均確定，我們令^均確定，我們令^■■■■■■■■，有；■■-■-，可見，「的運動是簡諧運動。專題12機械振動二三事廣義地說，振動不僅存在于所有的物理現(xiàn)象中，在化學、生物學、氣象學等許多自然科學分支中都會涉及各種各樣的振動，各種不同本質(zhì)的振動會有各自不同的特點，但又具有其共同性—振動是一種往復性的變化。物體位置的往復變化即為機械振動。在這個專題中，我們將探究機械振動中的一些有趣的規(guī)律，這些規(guī)律中的很多都適用于其他的振動。我們知道，簡諧運動是最簡單、最基本的振動，任何復雜的振動總可以分解成幾個簡諧運動，一切振動都是若干個簡諧運動合成的結果。彈簧振子、單擺（數(shù)學擺）、復擺（物理擺）、扭擺、沉浮子的小幅振動都是簡諧運動。簡諧運動發(fā)生的動力學原因是受到一個與位移,，大小成正比（線性）而方向相反的回復力：，這是振動系統(tǒng)做諧振的充要條件。通常我們以此為據(jù)認定物體的振動是否屬于簡諧運動。【例1】質(zhì)點以角速度?沿半徑為X的圓軌道做勻速圓周運動，試證明：質(zhì)點八在某直徑上的投影的運動為簡諧運動?！痉治雠c解】如圖所示，將質(zhì)量為的質(zhì)點「的運動正交分解為沿水平（蒔由）與豎直（’軸）直徑的兩個分運動，質(zhì)點「在水平直徑上的投影廠的運動即質(zhì)點"在■，方向的分運動。顯然，質(zhì)點廠沿圓周運動一個周期，「沿■，軸向直徑以為中心往復運動完成一個全振動。我們將質(zhì)點做勻速圓周運動的合外力（即向心力'）分解為'與'兩個分力，'即是廠做振動的回復力，它的方向總是指向平衡位置而與「對的位移啪反。以位移方向為正，容易得到從上面的討論中可知，一個勻速圓周運動可以正交分解成兩個簡諧運動，每個簡諧運動的振幅：新，周期，圓頻率。若八點初始位置坐標為（），初相位A",則在圖所示坐標中，兩個分運動的振動方程為運動的振幅：新，周期，圓頻率。若八點初始位置坐標為（），初相位A",則在圖所示坐標中，兩個分運動的振動方程為?:■■I,y-月訂Ti（ryf十冷|J=A吐恥5"十嘰）速度公式為片=-m如仙"M片=F皿十哲-1）加速度公式為反之，任何一個簡諧運動，都可以回歸于某一個勻速圓周運動，這個圓叫做簡諧運動的參考圓。利用參考圓來描述簡諧運動是我們常用的一種方法。反之，任何一個簡諧運動，都可以回歸于某一個勻速圓周運動，這個圓叫做簡諧運動的參考圓。利用參考圓來描述簡諧運動是我們常用的一種方法?！纠?】如圖所示，密度為??的液體注入一彎折細管中，彎折管之兩段與水平面的交角為■-、’，液柱總長為'。若對液體的平衡狀態(tài)加一擾動，則管中液柱即開始往復振動，求證：其屬簡諧運動并求振動周期。毛細管作用及摩擦忽略不計。【分析與解】當液體平衡被破壞而做往復運動時，整個液柱受到怎樣的回復力的作用是解決問題的關鍵。只要找到整個液柱往復運動的回復力所遵循的規(guī)律，即可認定液柱的振動性質(zhì)。先分析液柱處于平衡狀態(tài)時的受力。這時，設左臂液柱長'，右臂液柱長'。由于液體處于平衡，取彎管底部截面積為“的液片為隔離體研究其受力，兩臂液柱對該液片的壓力大小相等，方向相反，故有

p片辭乩p片辭乩na=pL$柱長變?yōu)椋?’■）、右臂液柱長則變?yōu)椋?T,如圖，整個振動系統(tǒng)一質(zhì)量為的液柱所需的回復力是由兩管臂中液柱重力沿管方向的分力來提供的。其中，左臂液體重力的沿管方向分力與位移方向相同，右臂液體重力的沿管方向分力與位移方向相反。以位移方向為正，回復力為工尸一pgS{l}-^siiid-p^S(f2+x)sin0②由①、②兩式可得工F二一pg5(xina+sin■x令，可見，彎管中液柱受一與位移大小成正比而方向相反的成正比，得到回復力常數(shù)是的同時，也就求得了諧振周期。回復力的作用，故此振動屬簡諧運動，且由簡諧運動周期公式知成正比，得到回復力常數(shù)是的同時，也就求得了諧振周期?！纠?】如圖所示，設想在地球表面的：、蟲兩地之間開鑿一直通隧道，在：處放置一小球，小球在地球引力的作用下從靜止開始在隧道內(nèi)運動，忽略一切摩擦阻力。試求小球的最大速度以及小球從’，到K所需時間。已知地球半徑為蟲，地球表面的重力加速度為—，'?和“之間的直線距離為I，地球內(nèi)部質(zhì)量密度設為均勻，不考慮地球自轉(zhuǎn)。【分析與解】在專題丨丨中，我們介紹了牛頓證明過的一個結論：對于一個質(zhì)量均勻半徑為*的實心球，在距球心，（I處質(zhì)點只受半徑為，的球內(nèi)質(zhì)量的萬有

引力，而：以外球殼（即抄為外徑：為內(nèi)徑的球殼）貝y對質(zhì)點無引力的作用。若均勻球質(zhì)量為打，則距球心，處所置質(zhì)點受到的引力大小與成正比。這里，我們將證明，小球在隧道卜'中的運動是簡諧運動，這只須證明小球在隧道中受線性回復力。如圖所示，設地心到隧道的距離為』，取隧道中點為坐標原點當小球的位置矢量為?，時，所受引力大小為此力沿隧道方向的分力為可見小球在隧道中受到大小與位移成正比而方向相反的回復力作用，它使小球在隧道中做簡諧運動，回復力常數(shù)「振幅「，道中做簡諧運動，回復力常數(shù)「振幅「，由于小球的運動方式為諧振，從：點由靜止出發(fā)穿越隧道到達占點歷時恰為半個周期，即關注一下這個結論可以發(fā)現(xiàn)，穿越地球隧道的時間是一個定值，與隧道長度并無關系，而這個時間又是近地衛(wèi)星繞地球半周所需時間：第一宇宙速度'?■-■'，jrR[Rt==jfr—片Vg。這個有趣的巧合并非偶然，而正說明近地衛(wèi)星的勻速圓周運動與小球沿隧道的簡諧運動的相關性。小球的最大速度出現(xiàn)在過「J點時若以諧振的平衡位置為零勢能位置，小球振動的總能量本題中，當小球運動到隧道兩端時，在點處的動能全部轉(zhuǎn)化為勢能，大小為1mgL2mgl：E=(―)=]。'"'【例4】力心：、占相距■，一質(zhì)量為的質(zhì)點受與距離平方成反比的有心斥力作用而平衡于兩點連線上的點，若將質(zhì)點稍稍偏離其原平衡位置，試確定其運動情況?！痉治雠c解】如圖所示，設力心所施平方反比力之比例系數(shù)為-、■，則質(zhì)Kk點在點時的受力滿足卅廠，式中乂、?'為點到力心的距離現(xiàn)取質(zhì)點對有一小位移■，,此時’?、占對質(zhì)點的斥力大小分別為考慮到小幅振動，■，遠小于高階小量而取前兩項得■'，運用牛頓二項式展開與」，舍去考慮到小幅振動，■，遠小于高階小量而取前兩項得■'，運用牛頓二項式展開與」，舍去9那么，質(zhì)點所受合力

Kk注意到*"，則可見質(zhì)點受一線性回復力作用，故而做簡諧運動，因回復力常數(shù)為則諧振周期為⑶考察等效擺振動的圓頻率?，由于⑶考察等效擺振動的圓頻率?，由于■'，便可確定等效的'「一尋求等效的單擺在做小幅振動、回復力可視為■■-時，亦為諧振，其周期式中，'即擺長，'?是重力加速度。一個形式復雜的擺動實體，如若它的動力學描述及運動基本形態(tài)類同于單擺，我們便可以通過適當?shù)淖儞Q，使它與某一理想單擺丁=2jt一等效而成為一個等效單擺，這時等效單擺的周期可運用公式''■■-求得。通常尋求單擺等效的途徑有三條：⑴考察提供回復力的是重力的哪一部分，或還有其他何種力參與提供回復力，以確定單擺周期公式中二的等效值一尋求等效的》。⑵考察擺球運動圍繞哪個中心，即等效的懸點何在，以確定擺長'的等效值一尋求等效的廣。面，我們對每種情況給出示例，展示這三種等效過程的特色與操作方法?！锎_定等效的重力加速度■★確定等效的重力加速度■。【例5】如圖，擺線長為，的單擺懸于架上，架固定于小車。使小車沿傾角為.的斜面以加速度“做勻加速運動，求此時單擺振動的周期?！痉治雠c解】擺球在線繩拉力及重力作用下，同時做沿斜面方向、加速度為，的勻加速運動和對懸點的擺動。以加速下滑的小車為參考系，在振動的平衡位置時，小球受到重力繩拉力「、及慣性力'■■■■■■■，如圖。由三力平衡，得與理想擺相比較，此單擺擺動過程中的回復力就是由■■-'：的切向分力來提供的，等效的■■-■二八丄，于是該擺周期為容易得到，若小車加速度沿斜面向上，則由上，確定等效的二的操作方法是確定擺球振動的平衡位置；確定擺在此位置時擺線上的力■'等效的重力加速度’■■■■。

【例6】如圖，光滑的細桿組成夾角為-的人字架。一根長度為?的輕線套在架子

上，線的兩端共系一個重球1：，架豎直放置，試求重球在人字架平面內(nèi)做小振動的重球在重力及兩邊線拉，力作、用下平衡，顯然，重力及兩線拉力的合力作用線過人字架頂點故推測點可等效為懸點，而小為等效的擺長。擺球在人字架平面內(nèi)的小幅振動是在重力與兩線拉力作用下發(fā)生的，其動力學機制與單擺相同，本題難點在確定重球擺動中與點的距離始終等于小。首先，應注意到根據(jù)題給條件，不管擺球在什么位置，套在光滑桿上的兩邊線與桿所成的角總相等，如圖所示。因為兩邊線上等大力的合力必垂直于桿，否則線不可能平衡。考察球在初始位置］時，?。蓐P于兩桿對稱位置（、■‘如圖所示。由于前述兩線與桿所成角度相同，（、與線、桿相套點：、占在一直線，且（「■'，=x，x=g=g。3G是頂角為站、底邊長$的等腰三角形。由圖可知，等效擺長即腰長，故，于是我們求得重球做小振幅振動時的周期由圖可知，等效擺長即腰長，故，于是我們求得重球做小振幅振動時的周期當擺球處于振動中任一位置1,同樣地，?。蓐P于兩桿的對稱位置.、■，如圖，.、■連線也必過此時線、桿相套點：、占，且（『■'，zDg=加=g,gg仍是頂角為加、底邊長/的等腰三角形，與全等，可見5,即擺球在擺動過程中，到點的距離是確定的，始終等于小，則點等效為懸點，而小等效為擺長的推測成立。【例7】如圖，秋千的一根繩子的固定點’?比另一根繩的固定點“高［秋千兩根支架相距為「兩根繩子長度分別是'和'，并且''-”。試求人坐在這樣的秋千上小搖蕩的周期。（人的大小與上述長度相比可忽略不計）動，像這類關于固定軸的小幅振動，事實上可以用一系列相互等效的單擺來等效替代。如圖所示，這些單擺的等效懸點可以取軸上的任意一點，因為擺球的振動是對固定軸上所有點發(fā)生的，這些單擺的等效擺長也就相應地取等效懸點到擺球球心的距離，顯然，其長度在振動過程中不會變。當我們把固定軸上某一點視作等效懸點時，尚須等效變換重力加速度「將重力在豎直面內(nèi)沿平行于轉(zhuǎn)軸方向及等效擺線（懸點到擺球的平衡位置（）的方向分解，前者不影響振動，后者的切向分力提供該懸點、擺長下振動的回復力。在所有可行的等效懸點中，點是一個特殊的點：重力就在小方向上，當我們?nèi)榈刃尹c、小為等效擺長時，重力加速度無須作等效變換，只要確定等效擺長，即可確定擺的周期。這當然是最妙的等效操作法了。

回到秋千。如圖，取秋千處于平衡位置「，連接秋千繩的兩個固定點\-',將秋千所受重力作用線反向延長與川'交于點，取點為秋千擺的等效懸點，點到秋千平衡叫位置「的距離小為等效單擺擺長；，由幾何秋千平衡叫位置「的距離小為等效單擺擺長；，由幾何關系得「到川的距離為'、?'關系得「到川的距離為'、?'宀一■，則秋千小幅擺動的周期在有多個可等效的懸點、擺長時，首選等效懸點及擺長的操作是連接兩懸點的直線為轉(zhuǎn)軸；擺球所受重力作用線反向延長與轉(zhuǎn)軸的交點為首選等效懸點；取首選等效懸點與擺球間的距離為等效擺長;“。凹形滑塊質(zhì)量為擺長為與凹形滑塊質(zhì)量為擺長為與、■宀與水平面之間光滑，令擺線偏轉(zhuǎn)很小角度后，從靜止釋放，求系統(tǒng)的振動周期/?！痉治雠c解】本題中，加上一個凹形滑塊后，振動系統(tǒng)欲等效為某理想擺，即要考慮等效一值，又要考慮等效擺長，故我們可循第三條途徑一尋求其圓頻率與理想單擺圓頻率的關系以期求解。未放凹形滑塊的單擺，是以圓頻率■-振動的，設振幅(即參考圓半徑)為',，最大偏角為■■(I"')，由系統(tǒng)振動能量守恒，有-cos^9)-—rn(他2。①現(xiàn)設想帶有凹形滑塊的異形擺以同樣的振幅做圓頻率為，的振動，則有-cos^)=—(山十M}31A\~2。②比較①、②兩式，可得:I；'I--(Eg即該擺等效于圓頻率為j的理想單擺，則周期為I■■■■■。【例9】一個單擺，由一根剛性輕桿和桿端質(zhì)量為；；：的重物組成，做小振幅的自由振動。如果在桿上某點再固定一個和桿端重物質(zhì)量相同的重物，使原單擺變成一個異形復擺，其振動周期最多改變百分之幾？【分析與解】本題中擺的周期也須通過尋求等效的圓頻率來確定。設未加另一質(zhì)量亦為的重物時，單擺圓頻率為■，振幅為’■，最大偏角為'’，以，表示桿長，應有/ngJ(]-cos^)-—A)'2。①設復擺以同樣的振幅做圓頻率為，的振動，另一重物位置在桿懸掛端下'處，其振幅應為■''，則有。②比較①、②兩式，得

。②比較①、②兩式，得現(xiàn)在來求」的最值「，、''「''時有最小值故廠的最大值為該式當■'現(xiàn)在來求」的最值「，、''「''時有最小值故廠的最大值為1小］，即異形復擺振動周期最多改變約歸納以上兩例，當一個振動系統(tǒng)的動力學原因和表觀均較單擺有變異、因而難以單獨地確定等效的一值或'值時，可以通過對圓頻率這個表征單擺運動的重要參量，利用參考圓，利用諧振中能量守恒來尋求等效，從而解決單擺振動周期公式中這個因子的取值。關于復擺的更多內(nèi)容，我們將在專題匚中進行研究。以下我們討論振動的動力學問題【例10】如圖，質(zhì)量為門的小平板固定在勁度系數(shù)為匚的輕彈簧上，彈簧的另一端固定在地上，有一質(zhì)量為F的小球沿入射角■方向以速度’射向小平板，并發(fā)生完全彈性碰撞。忽略一切摩擦，求碰撞后小平板的振動方程。圓頻率與初相位。平板振動的圓頻率即；由于碰撞發(fā)生在板的平衡位置，可分析與解】為了得到小平板的振動方程，我們需要確定平板做簡諧運動的振幅、圓頻率與初相位。平板振動的圓頻率即；由于碰撞發(fā)生在板的平衡位置，可知其振動的初相位為-;根據(jù)小球與平板所發(fā)生的完全彈性碰撞的規(guī)律，可以求又由動能守恒，得又由動能守恒，得出平板開始振動的初速度，再由能量守恒關系，求出平板下降的最大高度即其振幅方向與豎直成□角，設球與板碰后速度變?yōu)??，平板獲得速度為，球離開板的速度大小為'?，方向遵守反射定律，亦與豎直成”角，根據(jù)彈性碰撞規(guī)律，各速度矢量間關系如圖所示，由圖得=sinQ，此后根據(jù)平板開始在豎直方向做簡諧運動，機械能守恒，當速度為零時，板有最大位移-有I21,—Mtv(.)~-—kA'，則振幅為??l-；■■■于是可得平板振動方程為.■Vf十mC0S(.■Vf十mC0S(【例11】如圖所示，小車質(zhì)量陽二他，由靜止開始沿傾角疔=撐的斜面自山伽高處滑下，與一彈簧緩沖器相碰而自由振動，然后又沖上斜面。若緩沖器彈簧的勁度系數(shù)。求緩沖器彈簧的最大壓縮量及小車被緩沖的時間。【分析與解】小車從?高處滑下，以的速度與緩沖器相碰，繼而壓縮彈簧到最低點，而后被彈簧重新推上斜面，將車與彈簧接觸過程視作自由振，若小車在平衡位置時彈簧壓縮量為，則動，這個振動的圓頻率為，若小車在平衡位置時彈簧壓縮量為，則A^csina人—2—。以平衡位置為零勢能位置，能量關系滿足式中：為過平衡位置時小車具有的最大速度，由此式解得若設振幅為：，則由；「，可得彈簧的最大壓縮量若設振幅為：，則由；「，可得彈簧的最大壓縮量為■，軸正方向，小車剛碰著彈簧開始振動的位置距坐標原點（平衡位置）為'’，相位為?，位為?，。于是可求出緩沖過程總共歷時振幅隨時間而減小的振動稱為阻尼振動，阻尼振動也就是能量減少的振動。能量減少的方式通常為摩擦阻力的存在使振動能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊嵋约罢駝幽芰恳圆ǖ男问较蛩闹茌椛?。摩擦阻力中一般以粘滯阻力最重要。在速度不大時，振動物體受到的粘滯阻力與速度成正比：“」，稱為阻力系數(shù)，由介質(zhì)的性質(zhì)和振動物體的形狀所決定。在有阻力的情況下，物體振動所受力為在線性力I上增加一個力''，相應地振動圓頻率將由固有圓頻率.二變?yōu)?地振動圓頻率將由固有圓頻率.二變?yōu)?，?與?有的關系，式中稱做阻尼因數(shù)八。阻尼振動的振幅隨時間逐漸減小，相隔一個周期;'的兩個相繼振幅的比值為「，=''稱做對數(shù)減縮。阻尼振動的周期保持定值，只是較無阻尼時長'；n【例12】用如圖所示的實驗裝置可以測定液體的粘滯系數(shù)：在彈簧上懸掛一薄板—測定它在空氣中的周期'，然后把薄板放在欲測粘滯系數(shù)的液體中，令其振動，測定周期/。已知薄板質(zhì)量為；，表面積為液體的粘滯阻力心巧"，°為運動速度。確定液體的粘滯系數(shù)。【分析與解】粘滯阻力"'Ji,則薄板在液體中減幅振動的阻尼因數(shù)由周期公式，

^0^01、如圖所示，甲、乙二擺球質(zhì)量分別為‘宀、「，以不計質(zhì)量的硬桿將二擺球連接在一起，甲球擺長為'，乙球擺線很長，兩球在同一水平面上靜止?，F(xiàn)使之做小振幅的擺動，它的周期是。2、三根長度均為-"■■■■■■■，質(zhì)量均勻的直桿，構成一正三角形框架，「點懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，桿川'是一導軌，一電動玩具松鼠可在導軌上運動，如圖所示，現(xiàn)觀察到松鼠正在導軌上運動而框架卻靜止不動，試論證松鼠的運動是一種什么樣的運動并作描述。3、長度為J的輕鐵桿，一端固定在理想的鉸鏈上，另一端擱在勁度系數(shù)為是的彈簧上，桿上有一質(zhì)量為；的重物，如圖所示。試確定鐵桿做小振動的周期與重物在桿上的位置之關系。4、如圖所示，質(zhì)量為；的均勻長木板水平地置于兩個勻速反向轉(zhuǎn)動的輪上。設輪與木板間摩擦因數(shù)為廠，兩輪間距離'，平衡時長木板重心在■■處。若將木板稍稍拉過一小段后放手，則木板將在輪上做往復振動，這種振動是簡諧運動嗎？若是求其周期。5、如圖所示，質(zhì)量為：的均勻木板對稱地放在兩個滾柱上，兩滾柱軸線間的距離為'，其中一個滾柱和板之間摩擦因數(shù)為廠，而在另一個滾柱上，板可無摩擦地滑動。用一勁度系數(shù)為是的彈簧將板連接在豎直墻壁上，當板處于平衡位置時，使不光滑的滾柱快速旋轉(zhuǎn)起來。問動摩擦因數(shù)廠?為多大，木板相對平衡位置有了位移后可做簡諧運動？振動的圓頻率是多少？6、某棟高層大樓的電梯服務員是位一絲不茍的人，他為按時結束一天的工作，把一臺準確的擺鐘掛在電梯的壁上。電梯向上加速和向下加速的時間相同，加速度大小也相同。試問電梯服務員是按時結束工作，還是超時或提早了呢？7、輕硬桿的一端帶有重物，另一端用鉸鏈固定在墻上’?點，桿可以向各個方向轉(zhuǎn)動，如圖所示。一根長度為'的不可伸長的線沿豎直方向系在桿的中點，以保持桿處于水平位置。使重物具有垂直圖面方向的動量，試求系統(tǒng)小振動的周期，。固定在邊固定在邊長為'、質(zhì)量可忽略的等邊三角形框架小「上，可繞①桿擺動，川'桿和豎直墻夾角為「。求擺球做微小擺動的周期。9、在天花板下用兩根長度同為：的輕繩吊一質(zhì)量為門的光滑勻質(zhì)木板，板中央有一質(zhì)量為的小滑塊，如圖所示。開始時系統(tǒng)靜止，然后使板有一個水平的橫向小速度’，試求振動周期。10、數(shù)學擺是由長度為'的輕桿，一個固定在桿的自由端上的小鉛球所組成?，F(xiàn)在，在桿上套一粒同鉛球質(zhì)量相等的小球，它可以沿著桿中點的水平線自由地滑動，如圖所示。試求這種擺小振動的周期，摩擦不計。質(zhì)量為打、長為J的均勻細剛性桿一端懸掛，可在豎直xn=—平面內(nèi)繞懸點無摩擦地擺動。質(zhì)量為;的小蟲相對桿以速度'?緩慢地沿桿向下爬行。開始時，桿靜止并與豎直線成一個小角度，小蟲位于桿上端懸點處。釋放桿，桿開始擺動，小蟲開始爬行，試求⑴小蟲沿桿爬行/距離時，桿振動的圓頻率；⑵小蟲爬行到桿下端時，系統(tǒng)的能量減為初時的「，求桿的擺動幅度廠。12、一質(zhì)量為*、半徑為??的圓板用三根長均為'的細線懸于天花板上，連接點恰好三等分圓板的圓周，如圖所示。若圓板繞過其中心的鉛直軸做微小轉(zhuǎn)動，試求其周期。13、細軸環(huán)用鉸鏈固定于’，點，開始這樣放置軸環(huán)，使它的質(zhì)心位于’，點正上方,如圖所示。此后軸環(huán)自由下落，經(jīng)時間，軸環(huán)的質(zhì)心處于最低位置。有一擺是小重球N固定在輕硬桿上，桿的長度等于軸環(huán)的半徑，如果開始小球處于最高位置并自由落下，試問此擺經(jīng)過多少時間’返回到下面的平衡位置。14、如圖所示，半徑為抄的細圓環(huán)，其質(zhì)量與固定在其上的