§6.3解直角三角形中考數(shù)學(xué)

(湖南專用)A組2014—2018年湖南中考題組五年中考考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.(2018湖南益陽,8,4分)如圖,小剛從山腳A出發(fā),沿坡角為α的山坡向上走了300米到達(dá)B點(diǎn),則

小剛上升了

(

)

A.300sinα米

B.300cosα米C.300tanα米

D.

米答案

A根據(jù)三角函數(shù)的定義得,sinα=

,得BO=ABsinα,又AB=300米,所以BO=300sinα米,故選A.2.(2017湖南懷化,6,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),那么sinα的值是

(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C作AB⊥x軸于B,如圖,

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),∴OB=3,AB=4,∴OA=

=5,在Rt△AOB中,sinα=

=

.故選C.3.(2016湖南永州,11,4分)下列式子錯(cuò)誤的是

()A.cos40°=sin50°

B.tan15°·tan75°=1C.sin225°+cos225°=1

D.sin60°=2sin30°答案

D∵sin60°=

,2sin30°=2×

=1,∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故選D.4.(2015湖南邵陽,13,3分)下列計(jì)算中正確的序號(hào)是

.①2

-

=2;②sin30°=

;③|-2|=2.答案③解析2

-

=

,故①錯(cuò)誤;sin30°=

,故②錯(cuò)誤;|-2|=2,故③正確.5.(2015湖南長(zhǎng)沙,19,6分)計(jì)算:

+4cos60°-|-3|+

.解析原式=2+4×

-3+3=2+2=4.思路分析

本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì),特殊三角函數(shù)值,絕對(duì)值的化簡(jiǎn),非負(fù)數(shù)的算術(shù)平

方根.易錯(cuò)警示

本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè):①負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì):

錯(cuò)等于-2;②記混特殊三角函數(shù)值,cos60°錯(cuò)記成

.考點(diǎn)二解直角三角形1.(2018湖南常德,6,3分)如圖,已知BD是△ABC的角平分線,ED是BC的垂直平分線,∠BAC=90°,

AD=3,則CE的長(zhǎng)為

()

A.6

B.5

C.4

D.3

答案

D∵ED是BC的垂直平分線,∴DB=DC,∴∠C=∠DBC,∵BD是△ABC的角平分線,∴∠ABD=∠DBC,∵∠BAC=90°,∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°,∴BD=2AD=6,∴CE=CD×cosC=3

.故選D.2.(2017湖南益陽,7,3分)如圖,電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC相互垂直,∠CAB=α,則拉

線BC的長(zhǎng)度為(A、D、B在同一條直線上)

()

A.

B.

C.

D.h·cosα答案

B因?yàn)镃D⊥AB,AC⊥BC,所以∠CAB+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,所以∠CAB=

∠BCD=α.在Rt△BCD中,cosα=

,故BC=

,故選B.思路分析

利用CD與AB垂直,AC與BC垂直,得到∠BCD=∠CAB=α,再根據(jù)余弦的定義即可求

得BC的長(zhǎng)度.3.(2016湖南懷化,10,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

,AC=6cm,則BC的長(zhǎng)度為

()A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm答案

C∵sinA=

=

,∴設(shè)BC=4x,AB=5x(x>0),又∵AC2+BC2=AB2,∴62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍),則BC=4x=8cm,故選C.思路分析

先由sinA=

=

設(shè)未知量,再利用勾股定理列方程求解.解題關(guān)鍵

本題考查了三角函數(shù)與勾股定理,正確理解三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.4.(2016湖南益陽,8,5分)小明利用測(cè)角儀和旗桿的拉繩測(cè)量學(xué)校旗桿的高度,如圖,旗桿PA的高

度與拉繩PB的長(zhǎng)度相等,小明將PB拉到PB'的位置,測(cè)得∠PB'C=α(B'C為水平線),測(cè)角儀B'D的

高度為1,則旗桿PA的高度為

()

A.

B.

C.

D.

答案

A由題易得CB=B'D=1,PC=PB-CB=PB-1.設(shè)PA=PB=PB'=x,則PC=x-1.在Rt△PCB'中,

sinα=

,即sinα=

,∴x=

.故選A.5.(2016湖南長(zhǎng)沙,11,3分)如圖,熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為3

0°,看這棟樓底部C處的俯角為60°,熱氣球A處與樓的水平距離為120m,則這棟樓的高度為

()

A.160

mB.120

mC.300m

D.160

m答案

A設(shè)AD⊥BC于點(diǎn)D,由題意得AD=120m,在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,∴BD=AD·tan∠BAD=120·tan30°=120×

=40

(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,∴CD=AD·tan∠CAD=120·tan60°=120×

=120

(m).∴BC=BD+CD=40

+120

=160

(m),故選A.評(píng)析本題考查了解直角三角形,解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,利用銳角三角函數(shù)求解.6.(2015湖南長(zhǎng)沙,11,3分)如圖,為測(cè)量一棵與地面垂直的樹OA的高度,在距離樹的底端30米的

B處,測(cè)得樹頂A的仰角∠ABO為α,則樹OA的高度為

()

A.

米

B.30sinα米

C.30tanα米

D.30cosα米答案

C根據(jù)題意可得BO=30米,tan∠ABO=

,則AO=BO·tan∠ABO=30tanα(米).7.(2015湖南衡陽,12,3分)如圖,為了測(cè)得電視塔的高度AB,在D處用高為1米的測(cè)角儀CD,測(cè)得

電視塔頂端A的仰角為30°,再向電視塔方向前進(jìn)100米到達(dá)F處,又測(cè)得電視塔頂端A的仰角為6

0°,則這個(gè)電視塔的高度AB為

(

)

A.50

米

B.51米C.(50

+1)米

D.101米答案

C設(shè)AG=x米,則CG=

=

=

x米,EG=

=

x米,CG-EG=100米,即

x-

x=100,解得x=50

.∴AB=AG+GB=(50

+1)米,故選C.思路分析

求AB的長(zhǎng)即求AG的長(zhǎng),設(shè)AG=x,分別表示CG,EG,利用CG-EG=100米列方程求解.解題關(guān)鍵

根據(jù)兩個(gè)仰角構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)求解.8.(2018湖南邵陽,24,8分)某商場(chǎng)為方便消費(fèi)者購(gòu)物,準(zhǔn)備將原來的階梯式自動(dòng)扶梯改造成斜坡

式自動(dòng)扶梯.如圖所示,已知原階梯式自動(dòng)扶梯AB長(zhǎng)為10m,坡角∠ABD為30°.改造后的斜坡式

自動(dòng)扶梯的坡角∠ACB為15°,請(qǐng)你計(jì)算改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯AC的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.1

m.溫馨提示:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)

解析在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10m,∴AD=AB·sin∠ABD=10×sin30°=5m,在Rt△ACD中,∠ACD=15°,sin∠ACD=

,∴AC=

=

≈

≈19.2m.即改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯AC的長(zhǎng)度約為19.2米.9.(2018湖南湘潭,19,6分)隨著航母編隊(duì)的成立,我國(guó)海軍日益強(qiáng)大,2018年4月12日,中央軍委在

南海海域隆重舉行海上閱兵,在閱兵之前我軍加強(qiáng)了海上巡邏,如圖,我軍巡邏艦在某海域航行

到A處時(shí),該艦在觀測(cè)點(diǎn)P的南偏東45°的方向上,且與觀測(cè)點(diǎn)P的距離PA為400海里;巡邏艦繼續(xù)

沿正北方向航行一段時(shí)間后,到達(dá)位于觀測(cè)點(diǎn)P的北偏東30°方向上的B處,問此時(shí)巡邏艦與觀

測(cè)點(diǎn)P的距離PB為多少海里?(參考數(shù)據(jù):

≈1.414,

≈1.732,結(jié)果精確到1海里)

解析在△APC中,∠ACP=90°,∠APC=45°,則AC=PC.

∵AP=400海里,∴由勾股定理知,AP2=AC2+PC2=2PC2,即4002=2PC2,故PC=200

海里.在Rt△BPC中,∠PCB=90°,∠BPC=60°,∴PB=

=2PC=400

≈400×1.414≈566(海里).答:此時(shí)巡邏艦與觀測(cè)點(diǎn)P的距離PB約為566海里.思路分析

通過勾股定理得到線段PC的長(zhǎng)度,然后解直角△BPC求得線段PB的長(zhǎng)度即可.10.(2017湖南長(zhǎng)沙,22,8分)為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利,海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化

巡航管理.如圖,正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)50海里的速度向正東方向航行,在A處測(cè)

得燈塔P在北偏東60°方向上,繼續(xù)航行1小時(shí)到達(dá)B處,此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上.(1)求∠APB的度數(shù);(2)已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁,問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全?

解析(1)如圖,過點(diǎn)B作BC⊥AB,交AP于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD∥BC,則∠ACB=∠CAD=60°,∴∠

APB=∠ACB-∠CBP=60°-30°=30°.

(2)解法一:過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E,依題意知AB=50海里,設(shè)PE=x海里,則BE=

x海里,易知∠APE=∠DAP=60°,在Rt△APE中,∵tan∠APE=

,∴tan60°=

,解得x=25

.∵25

>25,∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的.解法二:過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E,由(1)知∠APB=30°,∵∠PAD=60°,∴∠PAB=30°,∴∠APB=∠PAB,∴PB=AB=50海里.在Rt△PBE中,sin∠PBE=

,∴PE=PB·sin60°=25

海里.∵25

>25,∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的.11.(2015湖南郴州,22,8分)如圖,要測(cè)量A點(diǎn)到河岸BC的距離,在B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在B點(diǎn)的北偏東30°

方向上,在C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在C點(diǎn)的北偏西45°方向上,又測(cè)得BC=150m.求A點(diǎn)到河岸BC的距離.

(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):

≈1.41,

≈1.73)

解析如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,

則AD的長(zhǎng)為點(diǎn)A到河岸BC的距離.

(1分)由題意知∠BAD=30°,∠CAD=45°,∴在Rt△ADC中,CD=AD,

(2分)在Rt△ABD中,BD=AD·tan30°,

(3分)∵BD+CD=150m,∴AD+AD·tan30°=150m,

(6分)即

AD=150m,∴AD=

≈

≈95m.

(7分)答:點(diǎn)A到河岸BC的距離約為95m.

(8分)B組2014—2018年全國(guó)中考題組考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.(2017黑龍江哈爾濱,8,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,則cosB的值為

()A.

B.

C.

D.

答案

A由勾股定理可得BC=

,所以cosB=

=

.故選A.2.(2017甘肅蘭州,3,4分)如圖,一個(gè)斜坡長(zhǎng)130m,坡頂離水平地面的距離為50m,那么這個(gè)斜坡

與水平地面夾角的正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

C在直角三角形中,根據(jù)勾股定理可知水平的直角邊長(zhǎng)為120m,故這個(gè)斜坡與水平地

面夾角的正切值等于

=

,故選C.思路分析

先利用勾股定理求得第三邊的長(zhǎng),再利用正切的定義求正切值.3.(2015天津,2,3分)cos45°的值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B

cos45°=

.4.(2015內(nèi)蒙古包頭,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜邊AB是直角邊BC的3倍,則tanB的值是

()A.

B.3

C.

D.2

答案

D在Rt△ABC中,設(shè)BC=x(x>0),則AB=3x,∴AC=

=2

x,則tanB=

=2

.故選D.5.(2015甘肅蘭州,4,4分)如圖,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,則cosA=

(

)

A.

B.

C.

D.

答案

D設(shè)AB=k(k>0),則BC=2k,∵∠B=90°,∴AC=

=

k,∴cosA=

=

=

,故選D.6.(2018黑龍江齊齊哈爾,13,3分)三棱柱的三視圖如圖所示,已知△EFG中,EF=8cm,EG=12cm,

∠EFG=45°,則AB的長(zhǎng)為

cm.

答案4

解析如圖,作EH⊥FG于點(diǎn)H,在Rt△EFH中,EH=EF·sin45°=4

cm,所以AB=EH=4

cm.

考點(diǎn)二解直角三角形1.(2017山西,14,3分)如圖,創(chuàng)新小組要測(cè)量公園內(nèi)一棵樹的高度AB,其中一名小組成員站在距

離樹10米的點(diǎn)E處,測(cè)得樹頂A的仰角為54°.已知測(cè)角儀的架高CE=1.5米,則這棵樹的高度為

米(結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764).

答案15.3解析由題意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在Rt△ADC中,由銳角三角函數(shù)可得AD=CDtan

∠ACD=10tan54°=10×1.3764=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.264≈15.3米.2.(2016湖北荊州,15,3分)全球最大的關(guān)公塑像矗立在荊州古城東門外.如圖,張三同學(xué)在東門

城墻上C處測(cè)得塑像底部B處的俯角為11°48',測(cè)得塑像頂部A處的仰角為45°,點(diǎn)D在觀測(cè)點(diǎn)C正

下方城墻底的地面上,若CD=10米,則此塑像的高AB約為

米(參考數(shù)據(jù):tan78°12'≈4.

8).

答案58解析

如圖所示,由題意可得:CE⊥AB于點(diǎn)E,BE=DC=10米,

∵∠ECB=11°48',∴∠EBC=78°12',則tan78°12'=

=

≈4.8,解得EC=48(米),∵∠ACE=45°,∴AE=EC=48米,∴此塑像的高AB約為AE+EB=58(米).評(píng)析

本題考查解直角三角形,銳角三角函數(shù)等知識(shí).3.(2016新疆內(nèi)高班,14,5分)如圖,為測(cè)量河寬AB(假設(shè)河的兩岸平行),在C點(diǎn)測(cè)得∠ACB=30°,在

D點(diǎn)測(cè)得∠ADB=60°,又測(cè)得CD=60m,則河寬AB為

m(結(jié)果保留根號(hào)).

.答案30

解析∵∠ACB=30°,∠ADB=60°,∴∠CAD=30°,∴AD=CD=60m,在Rt△ABD中,AB=AD·sin∠ADB=60×

=30

(m).4.(2016湖北十堰,15,3分)在綜合實(shí)踐課上,小聰所在小組要測(cè)量一條河的寬度,如圖,河岸EF∥

MN,小聰在河岸MN上點(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得河對(duì)岸小樹C位于東北方向,然后沿河岸走了30米,

到達(dá)B處,測(cè)得河對(duì)岸電線桿D位于北偏東30°方向,此時(shí),其他同學(xué)測(cè)得CD=10米.請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)

據(jù)寫出河的寬度為

米.(結(jié)果保留根號(hào))

解析如圖,作BH⊥EF,CK⊥MN,垂足分別為H、K,則四邊形BHCK是矩形,

設(shè)CK=HB=x米,∵∠CKA=90°,∠CAK=45°,∴∠CAK=∠ACK=45°,∴AK=CK=x米,BK=HC=AK-AB=(x-30)米,∴HD=x-30+10=(x-20)米.在Rt△BHD中,∵∠BHD=90°,∠HBD=30°,∴tan30°=

,即

=

,解得x=30+10

,∴河的寬度為(30+10

)米.答案(30+10

)5.(2018安徽,19,10分)為了測(cè)量豎直旗桿AB的高度,某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿

CD,并在地面上水平放置一個(gè)平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上,如圖所示.該小組在標(biāo)桿的

F處通過平面鏡E恰好觀測(cè)到旗桿頂A(此時(shí)∠AEB=∠FED).在F處測(cè)得旗桿頂A的仰角為39.3°,

平面鏡E的俯角為45°,FD=1.8米,問旗桿AB的高度約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)

解析

解法一:由題意知,∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=90°.在Rt△AEF中,

=tan∠AFE=tan84.3°,在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE,∴

=

=tan84.3°,∴AB=FDtan84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米).答:旗桿AB的高度約為18米.解法二:作FG⊥AB于點(diǎn)G,

由題意知,△ABE和△FDE均為等腰直角三角形,∴AB=BE,DE=FD=1.8,∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在Rt△AFG中,

=tan∠AFG=tan39.3°,即

=tan39.3°,解得AB=18.2≈18(米).答:旗桿AB的高度約為18米.思路分析

思路一:由題意可確定∠AEF=90°,從而可推出△ABE∽△FDE,最后由相似三角形

中對(duì)應(yīng)邊的比相等求解;思路二:作FG⊥AB于點(diǎn)G,由題意可推出△ABE和△FDE均為等腰直

角三角形,在直角三角形AFG中由銳角三角函數(shù)求出AB.6.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子體操特有的一個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目,其比賽器材由高、低兩根平

行杠及若干支架組成,運(yùn)動(dòng)員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距

離.某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題,請(qǐng)你解答.如圖所示,底座上A,B兩點(diǎn)間的距離為90cm.低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長(zhǎng)為155cm,高

杠上點(diǎn)D到直線AB的距離DF的長(zhǎng)為234cm,已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4

°,高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH的長(zhǎng).(結(jié)果精確到1cm.參考數(shù)據(jù):sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.98

3,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)解析在Rt△CAE中,AE=

=

≈

≈20.7.

(3分)在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.

(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四邊形CEFH為矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠間的水平距離CH的長(zhǎng)約是151cm.

(9分)思路分析

根據(jù)Rt△CAE和Rt△DBF中的邊和角的數(shù)值,用正切函數(shù)分別求得AE,BF的長(zhǎng)度,

得EF=AE+AB+BF,由矩形的性質(zhì)可知CH=EF,可以求出問題的答案.方法總結(jié)

解直角三角形的應(yīng)用問題,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形,結(jié)合所給的線段或角,借

助邊角關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題,若幾何圖形中無直角三角形,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三

角形,再解直角三角形,求出實(shí)際問題的答案.7.(2017四川成都,18,8分)科技改變生活,手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行.如圖,小明一家自駕

到古鎮(zhèn)C游玩,到達(dá)A地后,導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60°方向行駛4千米至B地,再沿北偏東45°

方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C,小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向,求B,C兩地的距離.

解析過B作BH⊥AC于點(diǎn)H,

在Rt△ABH中,AB=4千米,∠BAH=60°,sin60°=

=

,∴BH=

AB=

×4=2

千米,在Rt△CBH中,∠CBH=45°,BH=2

千米,cos45°=

=

,∴BC=

BH=2

×

=2

千米.答:B,C兩地的距離為2

千米.8.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中,小明要測(cè)某地一座古塔AE的高度.如

圖,已知塔基頂端B(和A、E共線)與地面C處固定的繩索的長(zhǎng)BC為80m.他先測(cè)得∠BCA=35°,

然后從C點(diǎn)沿AC方向走30m到達(dá)D點(diǎn),又測(cè)得塔頂E的仰角為50°.求塔高AE.(人的高度忽略不

計(jì),結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示)

解析已知∠BCA=35°,BC=80m,由題意得∠EDA=50°,DC=30m.在Rt△ABC中,cos35°=

,∴AC=BCcos35°=80cos35°(m).

(2分)在Rt△ADE中,tan50°=

,

(3分)∵AD=AC+DC=(80cos35°+30)m,

(4分)∴AE=[(80cos35°+30)tan50°]m.

(5分)答:塔高為[(80cos35°+30)tan50°]m.

(6分)C組教師專用題組考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.(2016山東濰坊,6,3分)關(guān)于x的一元二次方程x2-

x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則銳角α等于

()A.15°

B.30°

C.45°

D.60°答案

B依題意得,Δ=(-

)2-4sinα=0,故sinα=

,∵α為銳角,∴α=30°,故選B.評(píng)析本題考查了一元二次方程根的判別式,同時(shí)考查了特殊的三角函數(shù)值,屬中等難度題.2.(2016遼寧沈陽,9,2分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,則BC的長(zhǎng)是()

A.

B.4

C.8

D.4

答案

D

∵∠C=90°,∠B=30°,∴AC=AB·sin30°=

AB=4,由勾股定理得BC=

=

=4

,故選D.3.(2016湖北荊州,7,3分)如圖,在4×4的正方形方格圖形中,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),△ABC的

頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則圖中∠ABC的余弦值是

()

A.2

B.

C.

D.

答案

D由題圖可知,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴cos∠ABC=

=

.故選D.4.(2015山西,10,3分)如圖,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,則∠ABC的正

切值是

()

A.2

B.

C.

D.

答案

D如圖,連接AC,由圖及勾股定理可得AC=

,AB=2

,BC=

,∵AC2+AB2=(

)2+(2

)2=10=BC2,∴△ABC是直角三角形,∠CAB=90°,∴tan∠ABC=

=

=

.

5.(2015湖北荊門,11,3分)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn),DE⊥BC于

點(diǎn)E,連接BD,則tan∠DBC的值為

()

A.

B.

-1

C.2-

D.

答案

A∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=45°,BC=

AC,又∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn),∴AD=DC=

AC,∵DE⊥BC于點(diǎn)E,∴∠CDE=∠C=45°,∴DE=EC=

DC=

AC,∴tan∠DBC=

=

=

.故選A.6.(2015湖北鄂州,8,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連接AE,將△ABE

沿AE折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接FC,則sin∠ECF=

()

A.

B.

C.

D.

答案

D因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),△ABE沿AE折疊,所以BE=EF=EC,∠AEF=∠AEB,因?yàn)镋F=EC,

所以∠EFC=∠ECF,又因?yàn)椤螰EC+∠EFC+∠ECF=180°,∠FEC+∠AEB+∠AEF=180°,所以∠

ECF=∠AEB,即sin∠ECF=sin∠AEB=

,在Rt△ABE中,根據(jù)勾股定理得AE=

=

=10,所以sin∠ECF=

=

=

.故選D.7.(2014貴州貴陽,6,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,則sinA的值為

()A.

B.

C.

D.

答案

D因?yàn)樵赗t△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,所以AB=

=13,所以sinA=

=

,故選D.8.(2016甘肅定西,13,4分)如圖,點(diǎn)A(3,t)在第一象限,OA與x軸所夾的銳角為α,tanα=

,則t的值是

.

解析過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B,∵點(diǎn)A(3,t)在第一象限,∴AB=t,OB=3,∵tanα=

=

=

,∴t=

.

答案

思路分析

過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B,根據(jù)正切等于對(duì)邊比鄰邊列式求解即可.評(píng)析

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,過點(diǎn)A作x軸的垂線,構(gòu)造出直角三角形是利用正切列

式的關(guān)鍵,需要熟記正切=對(duì)邊∶鄰邊.考點(diǎn)二解直角三角形1.(2017廣西南寧,11,3分)如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向,距離燈塔60nmile的A

處,它沿正北方向航行一段時(shí)間后,到達(dá)位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處,這時(shí),B處與燈塔

P的距離為

(

)

A.60

nmile

B.60

nmileC.30

nmile

D.30

nmile答案

B過點(diǎn)P作PC⊥AB交AB于點(diǎn)C.依題意得∠APC=90°-45°=45°,∠BPC=90°-30°=60°,AP

=60nmile,∴PC=30

nmile,∴PB=2PC=60

nmile.2.(2015黑龍江哈爾濱,6,3分)如圖,某飛機(jī)在空中A處探測(cè)到它的正下方地平面上目標(biāo)C,此時(shí)飛

行高度AC=1200m,從飛機(jī)上看地平面指揮臺(tái)B的俯角α=30°,則飛機(jī)所在A處與指揮臺(tái)B的距

離為()

A.1200mB.1200

mC.1200

mD.2400m答案

D由∠B=α=30°,sinB=

得AB=

=1200×2=2400m.故選D.3.(2015江蘇蘇州,10,3分)如圖,在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站,AB=2km,從A測(cè)得船C

在北偏東45°的方向,從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向,則船C離海岸線l的距離(即CD的長(zhǎng))為

()

A.4kmB.(2+

)kmC.2

kmD.(4-

)km答案

B由題圖可知,在Rt△ABE中,∠AEB=45°,∴AB=EB=2km,∴AE=2

km,∵∠EBC=22.5°,∴∠ECB=∠AEB-∠EBC=22.5°,∴∠EBC=∠ECB,∴EB=EC=2km,∴AC=AE+EC=(2

+2)km.在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∴AD=DC=(2+

)km.即點(diǎn)C到l的距離為(2+

)km,故選B.4.(2018四川成都,18,8分)由我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艘國(guó)產(chǎn)航母于2018年5月成功

完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù).如圖,航母由西向東航行,到達(dá)A處時(shí),測(cè)得小島C位于它的北偏東70°

方向,且與航母相距80海里,再航行一段時(shí)間后到達(dá)B處,測(cè)得小島C位于它的北偏東37°方向.如

果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處,求還需航行的距離BD的長(zhǎng).

(參考數(shù)據(jù):sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.7

5)解析由題可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80.在Rt△ACD中,cos∠ACD=

,∴0.34≈

,∴CD≈27.2,在Rt△BCD中,tan∠BCD=

,∴0.75≈

,∴BD≈20.4.答:還需要航行的距離BD的長(zhǎng)為20.4海里.5.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放學(xué)路上,看到隧道上方有一塊宣傳“中國(guó)——南亞博覽會(huì)”

的豎直標(biāo)語牌CD,她在A點(diǎn)測(cè)得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42°,測(cè)得隧道底端B處的俯角為30°

(B,C,D在同一條直線上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求標(biāo)語牌CD的長(zhǎng)(結(jié)果保留小數(shù)

點(diǎn)后一位).(參考數(shù)據(jù):sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,

≈1.73)

解析如圖,過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E,

(1分)

由題意得∠DAE=42°,∠EAB=30°,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°,∴BE=

AB=

×10=5.

(2分)∵cos∠EAB=

,∴AE=AB·cos30°=10×

=5

.

(4分)在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°,∵tan∠DAE=

,∴DE=AE·tan42°≈5

×0.90=

,

(5分)∴CD=BE+ED-BC=5+

-6.5≈6.3(m).

(6分)答:標(biāo)語牌CD的長(zhǎng)約為6.3m.

(7分)思路分析

作AE⊥BD于點(diǎn)E,構(gòu)造直角△DEA和直角△ABE,解直角△DEA和直角△ABE,求得

BE,DE的長(zhǎng),進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng)度.方法總結(jié)

解直角三角形的應(yīng)用問題時(shí),一般根據(jù)題意抽象地畫出幾何圖形,結(jié)合所給的線段

或角,借助邊角關(guān)系、銳角三角函數(shù)的定義解題,若幾何圖形中無直角三角形,則需要根據(jù)條件

構(gòu)造直角三角形,再解直角三角形,求出實(shí)際問題的答案.6.(2018山東青島,19,6分)某區(qū)域平面示意圖如圖,點(diǎn)O在河的一側(cè),AC和BC表示兩條互相垂直

的公路.甲勘測(cè)員在A處測(cè)得點(diǎn)O位于北偏東45°,乙勘測(cè)員在B處測(cè)得點(diǎn)O位于南偏西73.7°,測(cè)

得AC=840m,BC=500m.請(qǐng)求出點(diǎn)O到BC的距離.

解析如圖,作OM⊥BC于M,ON⊥AC于N,則四邊形ONCM為矩形,∴ON=MC,OM=NC.設(shè)OM=xm,則NC=xm,AN=(840-x)m.在Rt△ANO中,∠OAN=45°,∴ON=AN=(840-x)m,則MC=ON=(840-x)m,在Rt△BOM中,BM=

≈

xm,由題意得840-x+

x=500,解得x=480.答:點(diǎn)O到BC的距離為480m.7.(2018甘肅蘭州,23,7分)如圖,斜坡BE,坡頂B到水平地面的距離AB為3米,坡底AE為18米,在B

處,E處分別測(cè)得CD頂部點(diǎn)D的仰角為30°,60°,求CD的高度.(結(jié)果保留根號(hào))

解析過點(diǎn)B作BF⊥CD,垂足為點(diǎn)F.

∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴四邊形ABFC為矩形,∴AB=CF=3,AC=BF.在Rt△CDE中,tan60°=

,∴CE=

,∴BF=AC=18+

.在Rt△BDF中,tan30°=

,∴

=

,解得CD=

.答:CD的高度為

米.思路分析

過點(diǎn)B作BF⊥CD,先確定四邊形ABFC為矩形,在Rt△CDE中,用含CD的式子表示

CE,進(jìn)而得出BF=AC=18+CE,然后在Rt△BDF中利用30°角的正切列出含有CD的等式求出CD

的值.方法指導(dǎo)

求角的三角函數(shù)值或者是求線段的長(zhǎng)時(shí),我們經(jīng)常通過觀察圖形將所求的角或者

線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中(如果沒有直角三角形,設(shè)法構(gòu)造直角三角形),再利用銳角三角函數(shù)

求出它們的解.8.(2018江蘇南京,23,8分)如圖,為了測(cè)量建筑物AB的高度,在D處樹立標(biāo)桿CD,標(biāo)桿的高是2m,

在DB上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F,從E測(cè)得標(biāo)桿和建筑物的頂部C、A的仰角分別為58°、45°,從F測(cè)得

C、A的仰角分別為22°、70°.求建筑物AB的高度(精確到0.1m).(參考數(shù)據(jù):tan22°≈0.40,tan58°≈1.60,tan70°≈2.75)

解析在Rt△CED中,∠CED=58°,∵tan58°=

,∴DE=

=

.在Rt△CFD中,∠CFD=22°,∵tan22°=

,∴DF=

=

,∴EF=DF-DE=

-

.同理,EF=BE-BF=

-

.∴

-

=

-

,解得AB≈5.9(m).因此,建筑物AB的高度約為5.9m.

(8分)思路分析

在△CED中,得出DE,在△CFD中,得出DF,進(jìn)而得出EF.同理,在△ABE中,利用AB表

示出BE,在△ABF中,利用AB表示出BF,進(jìn)而表示出EF,列出方程并求解,即可得出建筑物AB的

高度.解題關(guān)鍵

本題考查解直角三角形,解題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.9.(2018天津,22,10分)如圖,甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為78m,從甲的頂部A處測(cè)得乙的

頂部D處的俯角為48°,測(cè)得底部C處的俯角為58°,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(結(jié)果取整

數(shù)).參考數(shù)據(jù):tan48°≈1.11,tan58°≈1.60.

解析如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E.

則∠AED=∠BED=90°.由題意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,∠ABC=90°,∠DCB=90°.可得四邊形BCDE為矩形.∴ED=BC=78,DC=EB.在Rt△ABC中,tan∠ACB=

,∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.在Rt△AED中,tan∠ADE=

,∴AE=ED·tan48°.∴DC=EB=AB-AE=BC·tan58°-ED·tan48°≈78×1.60-78×1.11≈38.答:甲建筑物的高度AB約為125m,乙建筑物的高度DC約為38m.思路分析

過點(diǎn)D作DE⊥AB,構(gòu)造直角△ADE和矩形BCDE,通過解直角△ABC和直角△ADE

可求出答案.方法總結(jié)

解直角三角形的應(yīng)用,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形,結(jié)合所給的線段或角,借助

角、邊關(guān)系,三角函數(shù)的定義解題,若幾何圖形中無直角三角形,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三角

形,再解直角三角形,求出實(shí)際問題的答案.10.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)如圖,一座山的一段斜坡BD的長(zhǎng)度為600米,且這段斜坡的坡

度i=1∶3(沿斜坡從B到D時(shí),其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比).已知在地面B處測(cè)得山頂A

的仰角為33°,在斜坡D處測(cè)得山頂A的仰角為45°.求山頂A到地面BC的高度AC是多少米.(結(jié)果

用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可)

解析過點(diǎn)D作DH⊥BC,垂足為H.

∵斜坡BD的坡度i=1∶3,∴DH∶BH=1∶3.在Rt△BDH中,BD=600,∴DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60

,∴BH=180

.設(shè)AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,∴HC=x,EC=60

,在Rt△ABC中,tan33°=

=

,∴x=

,∴AC=AE+EC=

+60

=

.答:山頂A到地面BC的高度為

米.11.(2018湖北黃岡,21,7分)如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,

在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,

E在同一直線上.(1)求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值;(2)求斜坡CD的長(zhǎng)度.

解析(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°,∴AC=

=20

米.(2)過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,則四邊形AEDF為矩形,∴AF=DE,DF=AE.

設(shè)CD=x米,在Rt△CDE中,DE=

x米,CE=

x米,在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=

米,∵DF=AE=AC+CE,∴20

+

x=60-

x,解得x=80

-120,即CD=(80

-120)米.12.(2017河南,19,9分)如圖所示,我國(guó)兩艘海監(jiān)船A,B在南海海域巡航,某一時(shí)刻,兩船同時(shí)收到

指令,立即前往救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船C.此時(shí),B船在A船的正南方向5海里處,A船測(cè)得漁船C在其

南偏東45°方向,B船測(cè)得漁船C在其南偏東53°方向.已知A船的航速為30海里/小時(shí),B船的航速

為25海里/小時(shí),問C船至少要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到救援?

參考數(shù)據(jù):sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

,

≈1.41

解析過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則∠CDA=90°.

(1分)已知∠CAD=45°,設(shè)CD=x海里,則AD=CD=x海里.∴BD=AD-AB=(x-5)海里.

(3分)在Rt△BDC中,CD=BD·tan53°,即x=(x-5)·tan53°,∴x=

≈

=20.

(6分)∴BC=

=

≈20÷

=25海里.∴B船到達(dá)C船處約需時(shí)間:25÷25=1(小時(shí)).

(7分)在Rt△ADC中,AC=

x≈1.41×20=28.2海里,∴A船到達(dá)C船處約需時(shí)間:28.2÷30=0.94(小時(shí)).

(8分)而0.94<1,所以C船至少要等待0.94小時(shí)才能得到救援.

(9分)解題技巧

本題是解三角形兩種典型問題中的一種.以下介紹兩種典型問題:(1)如圖,當(dāng)BC=a時(shí),設(shè)AD=x,則CD=

,BD=

.∵CD+BD=a,∴

+

=a,∴x=

.

(2)如圖,當(dāng)BC=a時(shí),設(shè)AD=x,則BD=

,CD=

,∵CD-BD=a,∴

-

=a,∴x=

.13.(2017吉林,21,7分)如圖,一枚運(yùn)載火箭從距雷達(dá)站C處5km的地面O處發(fā)射,當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A,

B時(shí),在雷達(dá)站C處測(cè)得點(diǎn)A,B的仰角分別為34°,45°,其中點(diǎn)O,A,B在同一條直線上.求A,B兩點(diǎn)間

的距離(結(jié)果精確到0.1km).(參考數(shù)據(jù):sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67)

解析由題意,得∠AOC=90°,OC=5km.在Rt△AOC中,∵tan34°=

,∴OA=OC·tan34°=5×0.67=3.35(km).

(3分)在Rt△BOC中,∠BCO=45°,∴OB=OC=5km.

(5分)∴AB=5-3.35=1.65≈1.7(km).答:A,B兩點(diǎn)間的距離約為1.7km.

(7分)評(píng)分說明:(1)計(jì)算過程中寫“=”或“≈”均不扣分;(2)計(jì)算過程不加單位不扣分.14.(2017江西,17,6分)如圖1,研究發(fā)現(xiàn),科學(xué)使用電腦時(shí),望向熒光屏幕畫面的“視線角”α約為

20°,而當(dāng)手指接觸鍵盤時(shí),肘部形成的“手肘角”β約為100°.圖2是其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖,其中視

線AB水平,且與屏幕BC垂直.(1)若屏幕上下寬BC=20cm,科學(xué)使用電腦時(shí),求眼睛與屏幕的最短距離AB的長(zhǎng);(2)若肩膀到水平地面的距離DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在鍵盤上,其到地面

的距離FH=72cm.請(qǐng)判斷此時(shí)β是否符合科學(xué)要求的100°.

參考數(shù)據(jù):sin69°≈

,cos21°≈

,tan20°≈

,tan43°≈

,所有結(jié)果精確到個(gè)位

解析(1)如圖,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.在Rt△ABC中,α=20°,AB=

≈20÷

=55(cm).

(3分)(2)如圖,延長(zhǎng)FE交DG于點(diǎn)I,

∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四邊形GHFI是矩形,∴IG=FH,∴DI=DG-FH=100-72=28(cm).

(4分)在Rt△DEI中,sin∠DEI=

=

=

,∴∠DEI≈69°.

(5分)∴β=180°-69°=111°≠100°.∴此時(shí)β不符合科學(xué)要求的100°.

(6分)15.(2017貴州貴陽,20,8分)貴陽市某消防支隊(duì)在一幢居民樓前進(jìn)行消防演習(xí),如圖所示,消防官

兵利用云梯成功救出在C處的求救者后,發(fā)現(xiàn)在C處正上方17米的B處又有一名求救者,消防官

兵立刻升高云梯將其救出.已知點(diǎn)A與居民樓的水平距離是15米,且在A點(diǎn)測(cè)得第一次施救時(shí)云

梯與水平線的夾角∠CAD=60°.求第二次施救時(shí)云梯與水平線的夾角∠BAD的度數(shù).(結(jié)果精確

到1°)

解析如圖,延長(zhǎng)AD,交BC所在的直線于點(diǎn)E,

由題意,得BC=17米,AE=15米,∠CAE=60°,∠AEB=90°,在Rt△ACE中,tan∠CAE=

,∴CE=AEtan60°=15

(米),在Rt△ABE中,tan∠BAE=

=

=

,∴∠BAE≈71°.答:第二次施救時(shí)云梯與水平線的夾角∠BAD的度數(shù)約為71°.16.(2017江蘇南京,25,8分)如圖,港口B位于港口A的南偏東37°方向,燈塔C恰好在AB的中點(diǎn)處.

一艘海輪位于港口A的正南方向,港口B的正西方向的D處,它沿正北方向航行5km到達(dá)E處,測(cè)

得燈塔C在北偏東45°方向上.這時(shí),E處距離港口A有多遠(yuǎn)?(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

解析如圖,過點(diǎn)C作CH⊥AD,垂足為H,設(shè)CH=xkm.

在Rt△ACH中,∵tanA=tan37°=

,∴AH=

=

.在Rt△CEH中,∵tan∠CEH=tan45°=

,∴EH=

=x.∵CH⊥AD,BD⊥AD,∴∠AHC=∠ADB=90°,∴HC∥DB,∴

=

.又C為AB的中點(diǎn),∴AC=CB,∴AH=HD,∴

=x+5,∴x=

≈

=15,∴AE=AH+HE=

+15≈35(km).因此,E處距離港口A大約35km.17.(2016四川宜賓,21,8分)如圖,CD是一高為4米的平臺(tái),AB是與CD底部相平的一棵樹,在平臺(tái)

頂C點(diǎn)測(cè)得樹頂A點(diǎn)的仰角α=30°,從平臺(tái)底部向樹的方向水平前進(jìn)3米到達(dá)點(diǎn)E,在點(diǎn)E處測(cè)得

樹頂A點(diǎn)的仰角β=60°,求樹高AB(結(jié)果保留根號(hào)).

解析過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,設(shè)AF=x米,

在Rt△ACF中,tan∠ACF=

,則CF=

=

=

=

x(米),在Rt△ABE中,AB=x+BF=(4+x)米,tan∠AEB=

,則BE=

=

=

(x+4)米.CF-BE=DE,即

x-

(x+4)=3,解得x=

,思路分析

過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,設(shè)AF=x米,在Rt△ACF中,利用三角函數(shù)用x表示出CF的長(zhǎng),

在Rt△ABE中表示出BE的長(zhǎng),然后根據(jù)CF-BE=DE即可列方程求得x的值,進(jìn)而求得AB.則AB=

+4=

(米).答:樹高AB是

米.解題關(guān)鍵

本題考查解直角三角形,方程的應(yīng)用,其中利用CF-BE=DE列方程并求解是解決本

題的關(guān)鍵.18.(2016四川內(nèi)江,20,9分)如圖,禁漁期間,我漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只,

測(cè)得A,B兩處距離為200海里,可疑船只正沿南偏東45°方向航行.我漁政船迅速沿北偏東30°方

向前去攔截,經(jīng)歷4小時(shí)剛好在C處將可疑船只攔截.求該可疑船只航行的平均速度(結(jié)果保留

根號(hào)).

解析如圖,過點(diǎn)C作CH⊥AB于H,則△BCH是等腰直角三角形,設(shè)CH=x海里,

則BH=x海里,AH=CH÷tan30°=

x海里.

(2分)∵AB=200海里,∴x+

x=200,解得x=

=100(

-1).

(4分)∴BC=

x=100(

-

)海里.

(6分)∵兩船行駛4小時(shí)相遇,∴可疑船只航行的平均速度=100(

-

)÷4=25(

-

)海里/小時(shí).

(8分)答:可疑船只航行的平均速度是每小時(shí)25(

-

)海里.

(9分)19.(2015河南,20,9分)如圖所示,某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定測(cè)量小河對(duì)岸大樹BC的高度,他們?cè)谛逼?/p>

上D處測(cè)得大樹頂端B的仰角是30°,朝大樹方向下坡走6米到達(dá)坡底A處,在A處測(cè)得大樹頂端B

的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大樹的高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin48°≈0.74,cos48°

≈0.67,tan48°≈1.11,

≈1.73)

解析延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H.由題意知,∠DAE=∠BGA=30°,DA=6,∴GD=DA=6.∴GH=AH=DA·cos30°=6×

=3

.∴GA=6

.

(2分)設(shè)BC=x米.在Rt△GBC中,GC=

=

=

x.

(4分)在Rt△ABC中,AC=

=

.

(6分)∵GC-AC=GA,∴

x-

=6

.

(8分)∴x≈13.即大樹的高度約為13米.

(9分)20.(2015江蘇鎮(zhèn)江,24,6分)某海域有A、B兩個(gè)港口,B港口在A港口北偏西30°的方向上,距A港

口60海里.有一艘船從A港口出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達(dá)位于B港口南偏東75°方向

的C處.求該船與B港口之間的距離即CB的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)).

解析∵∠BAE=30°,BF∥AE,∴∠ABF=30°.

(1分)∵∠FBC=75°,∴∠ABC=45°.

(2分)∵∠CAE=45°,∴∠BAC=75°.

(3分)∴∠C=60°.過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,

(4分)在Rt△ADB中,∠ABD=45°,AB=60海里,則BD=AD=30

海里.在Rt△ADC中,∠C=60°,AD=30

海里,則CD=10

海里.∴CB=(30

+10

)海里.答:略.

(6分)(用其他方法解答,相應(yīng)給分)21.(2015上海,22,10分)如圖,MN表示一段筆直的高架道路,線段AB表示高架道路旁的一排居民

樓.已知點(diǎn)A到MN的距離為15米,BA的延長(zhǎng)線與MN相交于點(diǎn)D,且∠BDN=30°.假設(shè)汽車在高架

道路上行駛時(shí),周圍39米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響.(1)過點(diǎn)A作MN的垂線,垂足為點(diǎn)H.如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛,當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)P

處時(shí),噪音開始影響這一排居民樓,那么此時(shí)汽車與點(diǎn)H的距離為多少米?(2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板.當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)Q時(shí),它與這一排居民樓

的距離QC為39米,那么對(duì)于這一排居民樓,高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長(zhǎng)?(精確

到1米)(參考數(shù)據(jù):

≈1.7)

解析(1)連接AP.由題意,知AH⊥MN,AH=15米,AP=39米.在Rt△APH中,由勾股定理得PH=

=36米.答:此時(shí)汽車與點(diǎn)H的距離為36米.(2)由題意可知,PQ段高架道路旁需要安裝隔音板,QC⊥AB,∠QDC=30°,QC=39米.在Rt△DCQ

中,DQ=2QC=78米.在Rt△ADH中,DH=

=15

米.∴PQ=PH-DH+DQ=36-15

+78≈114-15×1.7=88.5≈89米.答:高架道路旁安裝的隔音板至少需要89米長(zhǎng).22.(2015湖南湘潭,19,6分)“東方之星”客船失事之后,本著“關(guān)愛生命,救人第一”的宗旨,搜

救部門緊急派遣直升機(jī)到失事地點(diǎn)進(jìn)行搜救.搜救過程中,假設(shè)直升機(jī)飛到A處時(shí),發(fā)現(xiàn)前方江

面上B處有一漂浮物,從A測(cè)得B處的俯角為30°.已知該直升機(jī)一直保持在距江面100米高度飛

行搜索,飛行速度為10米/秒,求該直升機(jī)沿直線方向朝漂浮物飛行多少秒可到達(dá)漂浮物的正上

方.(結(jié)果精確到0.1,

≈1.73)

解析作AD⊥BD于點(diǎn)D,

由題意得∠ABD=30°,AD=100米,在Rt△ABD中,

=tan∠ABD,∴BD=

=

=100

(米),∵飛行速度為10米/秒,∴飛行時(shí)間為100

÷10=10

≈17.3(秒).答:該直升機(jī)沿直線方向朝漂浮物飛行17.3秒可到達(dá)漂浮物的正上方.A組2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)三年模擬1.(2018湖南長(zhǎng)沙二模,4)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

,則tanB的值為

()A.

B.

C.

D.

答案

D由sinA=

可設(shè)BC=5x,AB=13x(x>0).∴AC=?=12x,∴tanB=

=

=

.故選D.2.(2017湖南長(zhǎng)沙四模,3)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA可以表示為

()

A.

B.

C.

D.

答案

C由銳角的正切定義可知,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=

=

,故選C.3.(2017湖南長(zhǎng)沙五模,7)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則sinA的值是

()

A.

B.

C.

D.

答案

A由銳角的正弦定義可知,sinA=

,∴在△ABC中,sinA=

=

.故選A.4.(2017湖南益陽一模,10)如圖,在Rt△ABC中,斜邊AB的長(zhǎng)為m,∠B=40°,則直角邊BC的長(zhǎng)是

()

A.mcos40°

B.msin40°

C.mtan40°

D.

答案

A由銳角的余弦定義可知,在Rt△ABC中,cosB=

,∴BC=mcos40°.故選A.5.(2016湖南岳陽一模)

sin60°的值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

C

sin60°=

×

=

.6.(2017湖南常德一模,17)如圖,某河堤的橫斷面是四邊形ABCD,BC∥AD,迎水坡AB長(zhǎng)13m,且

tan∠BAE=

,則河堤的高BE為

m.

答案12解析在Rt△BEA中,∠BEA=90°,AB=13,∴tan∠BAE=

=

,設(shè)BE=12x,則AE=5x,又∵BE2+AE2=AB2,∴(12x)2+(5x)2=132,可得x=1(x=-1舍去),∴BE=12x=12m.7.(2016湖南益陽二模)如圖,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,則cosA=

.