2024屆山西省太原市小店區(qū)太原四十八中數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知一個乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來高度的倍，則當(dāng)它第8次著地時，經(jīng)過的總路程是（）A. B.C. D.2．長方體中，，，，為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點，且滿足，則四棱錐體積的最小值為（）A. B.C. D.3．已知拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．曲線上的點到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.5．橢圓的焦點坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，6．點到直線的距離為2，則的值為（）A.0 B.C.0或 D.0或7．已知拋物線的焦點為F，過點F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點，則POQ(O為坐標(biāo)原點)的面積S等于（）A. B.C. D.8．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關(guān)于下列命題：①鉛垂的側(cè)面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發(fā)沿鉛垂側(cè)面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確9．第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．北京將成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．根據(jù)安排，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是兩個“相似橢圓”（離心率相同的兩個橢圓我們稱為“相似橢圓”）．如圖，由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.11．若在1和16中間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（）A. B.2C. D.412．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，，且，則值為______14．已知分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有________對15．等差數(shù)列中，若，，則______，數(shù)列的前n項和為，則______16．已知，，且，則的值是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點個數(shù)18．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)x=2是函數(shù)f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，.19．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.20．（12分）曲線與曲線在第一象限的交點為.曲線是()和()組成的封閉圖形.曲線與軸的左交點為、右交點為.（1）設(shè)曲線與曲線具有相同的一個焦點，求線段的方程；（2）在（1）的條件下，曲線上存在多少個點，使得，請說明理由.（3）設(shè)過原點的直線與以為圓心的圓相切，其中圓的半徑小于1，切點為.直線與曲線在第一象限的兩個交點為..當(dāng)對任意直線恒成立，求的值.21．（12分）已知橢圓焦距為，點在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線與C交于M，N兩點，點R是直線上任意一點，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程22．（10分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點，使得和面所成角的余弦值為，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過的路程為，第2次著地到第3次著地經(jīng)過的路程為，組成以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過的路程為，所以經(jīng)過的總路程是.故答案為：C.2、D【解析】取的中點，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分析可知點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，求出橢圓的方程，可知當(dāng)點為橢圓與棱或的交點時，點到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，其中，，則、，因為平面，平面，則，所以，，同理可得，所以，，所以點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓的一部分，則，，，所以，點的軌跡方程為，點到平面的距離為，當(dāng)點為曲線與棱或棱的交點時，點到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.3、B【解析】根據(jù)拋物線和寫出焦點坐標(biāo)，利用題干中的坐標(biāo)相等，解出，結(jié)合從而求出答案.【詳解】拋物線的焦點為，雙曲線的，，所以，所以雙曲線的右焦點為：，由題意，，兩邊平方解得，，則雙曲線的漸近線方程為：.故選：B.4、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，依題意即過切點的切線恰好與直線平行，此時切點到直線的距離最小，求出切點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，設(shè)切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D5、A【解析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，則橢圓的焦點坐標(biāo)可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點為故選：A.6、C【解析】根據(jù)點到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解：點到直線的距離為，解得或.故選：C.7、A【解析】由拋物線的方程可得焦點的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線的方程，與拋物線的方程，聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出，的縱坐標(biāo)之差的絕對值，代入三角形的面積公式求出面積【詳解】拋物線的焦點為，，由題意可得直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A8、C【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側(cè)面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側(cè)面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數(shù)為,作，，又,,cm,②正確.故選：C9、C【解析】設(shè)內(nèi)層橢圓的方程為，可得外層橢圓的方程為，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，得到，同理得到，結(jié)合題意求得，進而求得離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，因為內(nèi)外層的橢圓的離心率相同，可設(shè)外層橢圓的方程為，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，整理得，設(shè)切線的方程為，同理可得，因為兩切線斜率之積等于，可得，可得，所以離心率為.故選：C.10、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C11、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項得：，從而可求出.【詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項得：，，故選：A.12、B【解析】由題設(shè)可得，又，易知，，將問題轉(zhuǎn)化為平面點線距離關(guān)系：向量的終點為圓心，1為半徑的圓上的點到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點時，使最小，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且時，最小為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動點到射線的距離最短問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用向量的坐標(biāo)運算及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即求.【詳解】由題意，空間向量，可得，所以，解得.故答案為：.14、0【解析】計算每兩個向量的數(shù)量積，判斷該兩個向量是否垂直，可得答案.【詳解】因為，，.所以中任意兩個向量都不垂直，即α，β，γ中任意兩個平面都不垂直故答案為：0.15、①.②.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求通項公式；，采用裂項相消的方法求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，，，；∵，∴.故答案為：；.16、【解析】根據(jù)空間向量可得，結(jié)合計算即可.【詳解】由題意知，，所以，解得.故答案：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點.【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，易知定義域為R，，當(dāng)時，；當(dāng)或時，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當(dāng)時，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時，恒成立，∴；當(dāng)時，①當(dāng)時，，∴無零點；②當(dāng)時，，∴有1個零點；③當(dāng)時，，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，，∴有2個零點；綜上所述：當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點【點睛】結(jié)論點睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用18、（1），的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析；【解析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，令，即證，，又，所以即證，令，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，即可得解；【詳解】解：（1）因為，定義域為，所以，因為是函數(shù)的極值點，所以，所以，解得，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，所以上單調(diào)遞增，綜上可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：依題意即證，即證，令，則，所以即證，因為，所以即證，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，所以，所以當(dāng)時，19、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡求得.【小問1詳解】設(shè)是的中點，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設(shè)，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.20、（1）或；（2）一共2個，理由見解析；（3）答案見解析.【解析】（1）先求曲線的焦點，再求點的坐標(biāo)，分焦點為左焦點或右焦點，求線段的方程；（2）分點在雙曲線或是橢圓的曲線上，結(jié)合條件，說明點的個數(shù)；（3）首先設(shè)出直線和圓的方程，利用直線與圓相切，以及直線與曲線相交，分別表示，并計算得到的值.【詳解】（1）兩個曲線相同的焦點，，解得：，即雙曲線方程是，橢圓方程是，焦點坐標(biāo)是,聯(lián)立兩個曲線，得，，即，當(dāng)焦點是右焦點時，線段的方程當(dāng)焦點時左焦點時，，，線段的方程（2），假設(shè)點在曲線上單調(diào)遞增∴所以點不可能在曲線上所以點只可能在曲線上，根據(jù)得可以得到當(dāng)左焦點，，同樣這樣的使得不存在所以這樣的點一共2個（3）設(shè)直線方程，圓方程為直線與圓相切，所以，，根據(jù)得到補充說明：由于直線的曲線有兩個交點，受參數(shù)的影響，蘊含著如下關(guān)系，∵，當(dāng)，存在，否則不存在這里可以不需討論，因為題目前假定直線與曲線有兩個交點的大前提，當(dāng)共焦點時存在不存在.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與橢圓和雙曲線相交的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是曲線由橢圓和雙曲線構(gòu)成，所以研究曲線上的點時，需分兩種情況研究問題.21、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為解出，再把點代入橢圓方程中，即可解出答案.（2）根據(jù)題意求出當(dāng)直線與軸重合時，由求出值，即求出的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時，上任意一點均使，設(shè)出直線方程與橢圓進行聯(lián)立，化簡得證，即可得到答案.【小問1詳解】.由于點在橢圓C上，則故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時，是橢圓的左右頂點，不妨設(shè)，設(shè)，則是上的任意一點，即方程對任意實數(shù)都成立，此時的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時，上任意一點均使即可，設(shè)直線的方程為，，設(shè)則由y得證.故的方程為.22、（1）證明見解析；（2）為的中點，理由見解析.【解析】（1）取的中點，連接，