連續(xù)的量子力學(xué)本征值問題的malab實現(xiàn)

有限差分法是一種簡單有效的數(shù)值解算方法。文獻~文獻介紹了將薛定諤方程用有限差分法轉(zhuǎn)化成久期方程進行數(shù)值求解的方法。文獻求解了一維無限深勢阱和含位勢的一維無限深勢阱。文獻對普通的徑向薛定諤方程和含時薛定諤方程進行了有限差分法的分析,給出了2種薛定諤方程的有限差分法的離散方程,并以線性諧振子為例進行了計算機編程推算。文獻求解了拋物線勢阱中的束縛能級和波函數(shù)。文獻求解了磁場下量子環(huán)中一個電子在諧振子勢下的薛定諤方程,并與B樣條技術(shù)的計算結(jié)果進行了對比。文獻求解了一維、二維、三維各向同性諧振子的薛定諤方程。文獻討論了薛定諤方程的差分矩陣化和緊束縛模型矩陣化之間的關(guān)系,以及由矩陣規(guī)模的擴大所引發(fā)的計算上的實際困難的解決方法。但是,目前在國內(nèi)關(guān)于用有限差分法求解薛定諤方程來研究量子圍欄問題還未見報道。量子圍欄是指貴金屬(如銅、銀、金等)在晶面指標為(111)的表面電子態(tài)形成的二維電子氣受雜質(zhì)原子(如鐵原子)散射作用而形成的電子駐波的掃描電鏡圖像。文獻~文獻介紹了量子圍欄現(xiàn)象,并對這種現(xiàn)象進行了理論分析和計算機模擬。文獻用無限高圓形對稱散射勢的近似方法模擬和分析了這種情況下受禁錮的表面態(tài)電子波的駐波,并介紹了通過實驗觀察電子駐波圖像的方法。文獻~文獻利用柱坐標系中的薛定諤方程解出電子在無限高圓環(huán)勢阱中的波函數(shù)及能量,并對量子圍欄的圖像進行簡要的理論解釋。文獻基于Matlab運用有限元法模擬了處于圓形“量子圍欄”內(nèi)金屬表面態(tài)電子的波函數(shù)及概率密度分布。文獻用有限元法模擬了圓形、矩形、跑道形的圍欄內(nèi)金屬表面電子的分布。文獻分別根據(jù)二維無限高勢壘模型、二維有限高勢壘模型及多體散射理論對量子圍欄中金屬表面電子的局域態(tài)密度在空間上的變化進行了模擬。但是,這些模型和模擬大多沒有考慮鐵原子分布的不連續(xù)性。1維定態(tài)刑事法中的問題文獻~文獻都對一維問題進行了具體的推導(dǎo)。限于篇幅,以下僅對二維情況進行說明:二維定態(tài)薛定諤方程在Matlab編程環(huán)境下,按照物理模型生成格點,計算哈密頓矩陣的元素,利用Matlab內(nèi)部函數(shù)eig計算本征向量和本征值。2能量對勢壘的排斥作用將勢阱寬1000等分,計算得到能量最低的3個態(tài)密度分布,如圖1所示。計算結(jié)果與理論結(jié)果一致,可見當(dāng)能量較低時,波函數(shù)變化緩慢,用有限差分法計算的結(jié)果精度較高。為了觀察量子圍欄效應(yīng),將勢阱寬1000等分,取U=1×10-3(能量約化單位),在勢阱中布置2個勢壘,計算得到能量最低的3個態(tài)密度分布,如圖2所示,其中插圖為勢壘分布圖。由此可見,能量較低時,勢壘對物質(zhì)波有阻隔作用,物質(zhì)波有一定的滲透深度。圖3是在勢阱中布置2個勢壘時4號態(tài)~9號態(tài)的態(tài)密度分布。由圖3(a)可見,5號態(tài)和6號態(tài)的2個態(tài)密度分布,勢壘中的態(tài)密度高于勢阱中部的態(tài)密度,這說明在一定的能量條件下,勢壘對微觀粒子有吸引作用,這是一種能量共振效應(yīng)。由圖3(b)可見,隨著粒子能量的增加,勢壘對物質(zhì)波的排斥作用也在增加?？傊?在勢阱中有2個勢壘時,可以觀察到量子圍欄效應(yīng)。3mtatba結(jié)構(gòu)模擬清潔銅表面上48個鐵原子構(gòu)成的圓形量子圍欄電子態(tài)密度,取80×80的等寬網(wǎng)格。在半徑為34個約化長度單位的圓周上等間距布置48個勢壘,勢壘高度為0.5個約化能量單位。圖4是6號態(tài)的態(tài)密度分布,插圖為清潔銅表面48個鐵原子構(gòu)成的圓形量子圍欄模型,由圖4可見,圓形量子圍欄與一維量子圍欄具有類似的性質(zhì),即能量較低時,勢壘對物質(zhì)波有阻隔作用,物質(zhì)波有一定的滲透深度。1號態(tài)~20號態(tài)的能級以約化單位列于表1。由表1可見,2號態(tài)和3號態(tài)、4號態(tài)和5號態(tài)、7號態(tài)和8號態(tài)、9號態(tài)和10號態(tài)等分別具有相同的能量,能級是簡并的。由于采用有限差分法模擬圓形區(qū)域時邊界的近似,隨著能級的增高,簡并態(tài)發(fā)生分裂,如,11號態(tài)和12號態(tài)、15號態(tài)和16號態(tài)等。圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)分別為7號態(tài)、8號態(tài)、19號態(tài)的態(tài)密度分布。由此可見,7號態(tài)和8號態(tài)不具有任意角度的旋轉(zhuǎn)對稱性,而19號態(tài)相反,它具有任意角度的旋轉(zhuǎn)對稱性。這是由于在Matlab中用內(nèi)部函數(shù)eig計算本征向量是實的。7號態(tài)和8號態(tài)是簡并態(tài),由7號態(tài)和8號態(tài)疊加成的復(fù)數(shù)態(tài)其態(tài)密度分布具有任意角度的旋轉(zhuǎn)對稱性,如圖5(d)所示。圖6(a)為75號態(tài)的態(tài)密度分布。由此可見,上述模型能夠模擬出圓形量子圍欄的波紋圖像,但方形勢阱的反射波紋也疊加在其中。為了改善模擬結(jié)果,圖6(b)是將模擬鐵原子的勢壘高度調(diào)整為0.8個約化能量單位,在其內(nèi)部設(shè)置深為1.25個約化能量單位的勢阱(相對于勢壘頂)時的69號態(tài)的態(tài)密度分布。比較顯見,方形勢阱的反射波紋有所減弱,且看到了原子所在位置的小峰,這與文獻中圖1所示的STM圖像更為接近。綜上所述,在邊長為80個約化長度單位的方形無限深勢阱中,半徑為34個約化長度單位的圓周上等間距布置48個帶勢阱的勢壘,較好地模擬了圓形量子圍欄的態(tài)密度分布。用鐵原子內(nèi)部的勢阱模擬了鐵原子對電子的吸引作用。在Matlab中用有限差分法求解二維定態(tài)薛定諤方程,方法簡單易懂,效果較好。4圓形量子圍欄的模擬本文簡要介紹了有限差分法求解定態(tài)薛定諤方程的方法,成功實現(xiàn)了在Matlab環(huán)境下用有限差分法求解定態(tài)薛定諤方程。用一維無限深勢阱模型檢測這種方法的精度,并研究了一維量子圍欄效應(yīng),較好地實現(xiàn)了圓形量子圍欄的模擬。與文獻相比,本研究將一維無限深勢阱中的1個勢壘變化為2個勢壘,分析較高能級的態(tài)密度分布,從而得到比文獻更為豐富的物理圖像。用一維圖像說明量子圍欄現(xiàn)象,有助于對基本概念的認識和理解。與文獻相比,本研究在Matlab環(huán)境下用有限差分法求解定態(tài)薛定諤方程,用鐵原子內(nèi)部的勢阱模擬了鐵原子對電子的吸引作用,從而得到比文獻更為接近圓形量子圍欄的STM圖像。參照文獻表面態(tài)電子的有效質(zhì)量為電子靜止質(zhì)量的0.38倍,圓形量子圍欄半徑為7.13nm,本研究模擬圓形量子圍欄的能量約化能量單位為2.4217eV。圖6(a)對應(yīng)的能級為0.4667eV,圖6(b)對應(yīng)的能級為0.4560eV,模擬鐵原子的勢壘變化對能級有一定的影響,但影響較小。這些結(jié)果都在文獻中用多體散射理論模擬研究的2種情形之內(nèi),因此是可以接受的。多體散射理論抽象,對其理解可以與波動光學(xué)中的光柵衍射類比。光柵是一種具有空間周期性的透光或反光器件。在圓形量子圍欄的模擬中,48個鐵原子的量子圍欄就變成了一個類似于圓形光柵的電子波的衍射柵,模擬得到的態(tài)密度分布圖就是電子波的衍射圖樣。本文旨在用有限差分法解定態(tài)薛定諤方程,用離散布置勢壘或勢阱的方法,模擬清潔銅表面48個鐵原子構(gòu)成的圓形量子圍欄,通過Matlab軟件編程求解并可視地描述電子態(tài)密度,從而更為接近實際地模擬量子圍欄。其中:m為微觀粒子的質(zhì)量為約化普朗克常量為勢函數(shù);Ψ(x,y)為波函數(shù)。記格點波函數(shù)為Ψm,n=Ψ(xm,yn),格點勢函數(shù)為Um,n=U(xm,yn),取Δx=xm-xm-1=xm+1-xm=Δy=yn-yn-1=yn+1-yn,則有:將式(2)代入式(1)得:將格點波函數(shù)Ψm,n重排成向量(用向量元素Φi表示),而Ψm+1,n、Ψm-1,n、Ψm,n+1和Ψm,n-1為格