基于改進空間平滑算法的互耦信源doa估計

0陣元互環(huán)條件下的doa估計算法大多數(shù)高分類空間光譜估算算法（如音樂、esprit等）基于對矩陣流的精確已知，因此它們的性能非常好。然而,在實際的工程應用中,由于各種誤差不可避免,實際的陣列流型往往出現(xiàn)一定程度的偏差或擾動,此時,通常的高分辨空間譜估計算法的性能會嚴重惡化,甚至失效。因此,陣列誤差一直是高分辨空間譜估計技術走向?qū)嵱没囊粋€瓶頸。與此同時,相干信源的存在也會使這些高分辨空間譜估計算法完全失效。因此,陣列互耦條件下相干信源的DOA估計算法具有很重要的實際研究意義。但是,這方面的研究一直以來都沒有引起人們足夠的重視,現(xiàn)有的陣列校正方法幾乎都沒有考慮信源的多徑傳播。如文獻針對陣元間的互耦問題,提出了一種互耦條件下彈性的MUSIC算法,該法通過在均勻線陣兩端增加輔助陣元來避免陣元互耦對算法的影響,較好地解決了互耦條件下的DOA估計問題,但其只考慮了獨立信源而未考慮相干信源。迄今為止,只有極少數(shù)的幾篇文章涉及互耦條件下相干信源的DOA估計問題,如文獻利用校正準則(CODE)構造了一個用于相干信源條件下陣列校正的代價函數(shù),實現(xiàn)了相干信源的DOA估計和陣列誤差的聯(lián)合估計。但是該方法涉及高維、非線性優(yōu)化問題,所以隨之而來的是龐大的計算量、收斂速度慢、全局收斂性無法保證等問題;文獻、雖也考慮了信源的多徑傳播,并實現(xiàn)了相干信源的DOA和陣列誤差的聯(lián)合估計,但是也都涉及高維、非線性優(yōu)化問題。本文利用均勻線陣互耦矩陣的帶狀循環(huán)特性及對稱Toeplitz性,結(jié)合文獻中的改進空間平滑算法(ISS),提出了一種陣元互耦條件下的相干信源的波達方向估計算法。該算法無需陣元的互耦參數(shù)信息,只需一維譜峰搜索,避免了通常多參數(shù)聯(lián)合估計的多維非線性搜索及迭代運算;由于采用改進的空間平滑算法,所以該算法具有很好的統(tǒng)計估計性能。1互環(huán)矩陣及子空間類doa估計通常在陣列導向矢量建模時,均假設各陣元相對于其它陣元是獨立工作的。然而陣元間的互耦效應在陣列天線的實際工作中常常是不可避免的。陣元互耦存在時,由于各陣元入射開路電壓的二次反射,陣元的輸出電壓變?yōu)楦麝囋_路電壓以相應互耦系數(shù)為權系數(shù)的線性疊加。這種現(xiàn)象的存在使通常使用的導向矢量模型并不能反映陣列的真實空間響應;相應地,陣列協(xié)方差矩陣的特征結(jié)構也發(fā)生了變化。因此,通常的子空間類高分辨方位估計算法的性能在互耦存在時會嚴重惡化,當互耦較嚴重時,甚至會完全失效。當陣元存在互耦時,互耦矩陣C可表示成:C=(ΖA+ΖΤ)(Ζm+ΖΤΙ)-1(1)C=(ZA+ZT)(Zm+ZTI)?1(1)式中:ZT為負載阻抗矩陣;ZA為天線阻抗矩陣;Zm為互耦阻抗矩陣;A(θ)為無互耦時的陣列流形矩陣。文獻中對均勻線陣互耦矩陣的計算和建模表明:(1)陣元間的互耦與陣元間距成反比,陣元間的互耦效應隨陣元間距的增大,其幅度急驟下降,最終可近似為0,即:Ci,j=0,|i-j|>p;(2)根據(jù)互易原理,互耦矩陣應為一對稱矩陣,即:Ci,j=Cj,i;(3)間距相同的陣元對應的互耦系數(shù)相同(Toeplitz性),即:Ci,j=C1,j-i+1,Ci,j為互耦矩陣C的第i行第j列的元素。綜上所述,可以用一帶狀、對稱Toeplitz矩陣對均勻線陣的互耦矩陣進行建模,并將互耦矩陣C用C11歸一化:{Cij=C1?|i-j|+1C1?j=0?j＞pC11=1(2)式中:p為互耦矩陣的自由度,它表征均勻線陣互耦矩陣第一行中非0元素的個數(shù)。所以均勻線陣的互耦矩陣可以由第一個元素為1的p維矢量c=[c0,c1,…,cp-1,0,…,0]唯一表征,且ci=Ci-1,i=1,2,…,p。因此,互耦矩陣C可以表示為:C=ttoe(c,c)(3)式中:ttoe(c,c)為由矢量c形成的對稱Toeplitz矩陣?；ヱ罡淖兞死硐氲年嚵袑蚴噶?此時陣列的實際導向矢量為a(θ,c)=Ca(θ)。假設在陣列遠場θk(k=1,2,…,M)處有M個窄帶信源以平面波入射,則陣列接收的快拍數(shù)據(jù)可表示為:X(t)=CA(θ)S(t)+Ν(t)(4)式中:X(t)為N×1快拍數(shù)據(jù)矢量;A(θ)為理想陣列流形陣;N(t)為N×1陣列噪聲矢量,這里假設為高斯白噪聲;S(t)為入射信號矢量。陣列的協(xié)方差矩陣R定義為:R=E[X(t)XΗ(t)]=CA(θ)RsAΗ(θ)CΗ+σ2ΙΝ(5)式中:Rs=E[S(t)SH(t)]為信源協(xié)方差矩陣;σ2為噪聲功率;IN為N×N的單位陣,上標H表示共軛轉(zhuǎn)置。信源全部相干時,信源協(xié)方差矩陣的秩將退化為1,對上述的陣列協(xié)方差矩陣進行特征分解可得信號子空間和噪聲子空間。此時,信號子空間退化為獨立信源對應的信號子空間的一維子空間,而噪聲子空間的維數(shù)擴大為N-1維。因此,子空間類DOA估計算法不能正確估計信源方位。為了滿足參數(shù)估計的唯一性,這里假設互耦條件下陣列流形滿足無秩N-1模糊,即任意N個誤差擾動后的導向矢量線性獨立。2確定參數(shù)空間,進行特征值分解這里從左到右對陣元進行編號,并以第p個陣元為參考陣元,則從參考陣元開始,中間的N-2p+2個(假設N-2p+2>M)陣列接收的快拍數(shù)據(jù)可表示為:?X(t)=[xp(t),xp+1(t),?,xΝ-p+1(t)]=?CA(θ)S(t)+?Ν(t)(6)式中:A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θM)],a(θ)=[β(θ)1-p,β(θ)2-p,…,β(θ)-1,1,β(θ),…,β(θ)N-2p+1,β(θ)N-2p+2,…,β(θ)N-p-1,β(θ)N-p]T,β(θ)=exp(-j2πsinθ/λ),θ=θ1,…,θM。由于陣元間互耦的影響,最左/右邊的p-1個陣元接收的信號和中間的N-2p+2個陣元接收的信號部分混合。為了避免陣列互耦對信源的DOA估計造成影響,所以互耦矩陣?C可寫成:?C=[cp-1?c11c1?cp-100?00cp-1?c11c1?cp-10?0???????????0?0cp-1?c11c1?cp-100?00cp-1?c11c1?cp-1](Ν-2p+2)×Ν(7)因此,由式(3.12)可得其協(xié)方差矩陣為:?R=E[?X(t)?XΗ(t)]=?CA(θ)RsAΗ(θ)?CΗ+σn2ΙΝ-2p+2(8)由于信源中包含有相干信源,所以這里用ISS算法實現(xiàn)對相干信源的解相干,可得:?Rf=1qq∑i=1q∑j=1?Riim?Rjjm(9)?Rfb=12qq∑i=1q∑j=1[?Riim?Rjjm+J(?Riim?Rjjm)*J](10)式中:?Riim=?R(i:N+i-q,i:N+i-q);?Rjjm=?R(j:N+j-q,j:N+j-q);J為置換矩陣。對式(9)或(10)進行特征值分解,可得相應的信號子空間?ES和噪聲子空間?EΝ。由子空間原理可得:[?Ca(θ)]Η?EΝ?EΗΝ[?Ca(θ)]=0,θ=θ1,θ2,?,θΜ(11)因為:?Ca(θ)=[cp-1β(θ)1-p+?+c1β(θ)-1+1+c1β(θ)+?+cp-1β(θ)p-1cp-1β(θ)2-p+?+c1+β(θ)+c1β(θ)2+?+cp-1β(θ)p?cp-1β(θ)Ν-3p+1+?+c1β(θ)Ν-2p-1+β(θ)Ν-2p+c1β(θ)Ν-2p+1+?+cp-1β(θ)Ν-p-1cp-1β(θ)Ν-3p+2+?+c1β(θ)Ν-2p+β(θ)Ν-2p+1+c1β(θ)Ν-2p+2+?+cp-1β(θ)Ν-p]=[cp-1β(θ)1-p+?+c1β(θ)-1+1+c1β(θ)+?+cp-1β(θ)p-1]?[1β(θ)?β(θ)Ν-2pβ(θ)Ν-2p+1]={2p-1∑n=1cncos[2nπ(sinθ)d/λ]+1}?a(θ)(12)定義c(θ)=2p-1∑n=1cncos(2nπ(sinθ)d/λ)+1,則:?Ca(θ)=c(θ)?a(θ)(13)式中:?a(θ)為中間N-2p+2個陣元理想的導向矢量。將式(13)代入式(11),可得:c*(θ)?aΗ(θ)?EΝ?EΗΝ?a(θ)c(θ)=0,θ=θ1,θ2,?,θΜ(14)若c(θ)=0,則陣列出現(xiàn)盲角(這一點將在3.1進行分析),這里假設c(θ)≠0,因此可得:?aΗ(θ)?EΝ?EΗΝ?a(θ)=0,θ=θ1,θ2,?,θΜ(15)基于上述思想可以構造如下譜函數(shù):Ρ(θ)=1?aΗ(θ)?EΝ?EΗΝ?a(θ),θ=θ1,θ2,?,θΜ(16)通過譜峰搜索即可得各信源的DOA。3算法績效分析與討論3.1互束矩陣中的2p-2個陣元式(14)中,假設對任意的θ∈[-π/2,π/2]都有c(θ)≠0成立。然而,在實際中,c(θ)在一些特定的角度上是有可能等于0的,這將對算法的DOA估計性能產(chǎn)生極大的影響。以下將分兩種情況來分析c(θ)的取值對算法的影響:(1)對任意θ∈[-π/2,π/2]都有c(θ)≠0,由前面分析可知陣列的互耦不會對算法有影響;(2)假設存在θl∈[-π/2,π/2]使得c(θl)=0,l=1,2,…,L,所以由式(13)可得:?Ca(θl)=c(θl)a(θl)=0(17)如果有一入射信源的DOA剛好滿足θj=θl,l=1,2,…,L,則陣列中間的N-2p+2個陣元接收的數(shù)據(jù)矢量可表示成:?X(t)=Μ∑i=1?Ca(θi)si(t)+?Ν(t)=Μ∑i=1,i≠j?Ca(θi)si(t)+?Ν(t)(18)從式(18)可看出:由于陣元間互耦的影響,使得中間的N-2p+2個陣元接收的數(shù)據(jù)中不再包含有第j個信號源的信息。因此,如果信號源的入射角度恰好為這些特殊角度,那么中間的N-2p+2個陣元將不能接收到從這些角度入射的信號源,從而形成“盲角”。因為等式c(θ)=0最多有2p-2個解,所以對于一個互耦自由度為p的陣列來說,最多可能產(chǎn)生2p-2個“盲角”。理論上來說,通過比較數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R和?R的大特征值的個數(shù)就可判斷出本文算法是否出現(xiàn)“盲角”,然而,實際中由于信噪比較小可能會導致無法通過比較大特征值的個數(shù)來確定算法是否會出現(xiàn)“盲角”。這種情況下將會導致用式(16)進行譜峰搜索時,特定角度(“盲角”)上不會形成譜峰,從而造成信源DOA的漏估。3.2兩個陣元的互耦合自由度p由前面的分析可知,在整個DOA估計過程中,為避免陣元間互耦對DOA估計造成影響,只取陣列中間的N-2p+2個陣元的數(shù)據(jù)來進行DOA估計,這意味著由于陣元間的互耦使得陣列孔徑有所損失(相當于損失了2p-2個陣元)。若互耦自由度p較大,將會極大地減小陣列的有效孔徑。此外,由于本文算法最多可能產(chǎn)生2p-2個“盲角”,因此,p較大將有可能使得算法的“盲角”個數(shù)較多,不利于DOA估計。綜上所述,在設計陣列時,應盡量減小p值,以減小其對算法的影響。4空間譜曲線仿真為驗證本文算法的有效性,做如下計算機仿真。仿真中取N=12元均勻線陣,陣元間距為0.5倍波長,信噪比為S/N=10lg(σs2/σ2n),其中σs2為信號功率,σ2n為噪聲功率。仿真過程采用式(10)來實現(xiàn)對相干信源的解相干。仿真1:特定角度上存在c(θ)=0時,算法的空間譜曲線假定空間偏離陣列法線有4個等功率的全相干信源,信噪比為0dB,快拍數(shù)為256,子陣數(shù)為2,互耦自由度p=3(即認為陣元間距大于一個波長時陣元互耦可以忽略),互耦系數(shù)取為:c0=1,c1=0.9081+0.0256i,c2=-0.1880-0.0582i。圖1(a)給出了c(θ)值隨角度的變化曲線,圖1(b)給出了當信源入射方位為-30°、20°、30°和60°時,本文算法的空間譜曲線,圖1(c)給出了當信源入射方位為-45°、20°、30°和45°時,本文算法的空間譜曲線。從圖1(a)可看出:當θ=±45°時,有c(θ)=0,即θ=±45°為本文算法的“盲角”。如果信源的入射方位角恰好等于“盲角”,則本文算法不能在信源真實的入射方位上形成譜峰(見圖1(c));反之,如果信源的入射方位不等于“盲角”,則本文算法可以較高精度地估計各信源的入射方位(見圖1(b))。這與前面的理論分析結(jié)果是一致的。仿真2:對任意角度有c(θ)≠0時,算法的空間譜曲線假定在空間偏離陣列法線-45°、-25°、10°和40°方位上有4個等功率的全相干信源,其信噪比為0dB,快拍數(shù)為256,子陣數(shù)為2,互耦自由度p=3(即認為陣元間距大于1個波長時陣元互耦可忽略),互耦系數(shù)取為:c0=1,c1=0.4331-0.2500i,c2=0.1414-0.1414i。圖2(a)給出c(θ)隨角度變化的曲線,圖2(b)給出本文算法的空間譜曲線。從圖2(a)可以看出:對任意θ∈[-π/2,π/2]有c(θ)≠0成立,即DOA估計過程中不會出現(xiàn)“盲角”。同時從圖2(b)看出,在不出現(xiàn)