講柯西不等式與排序不等式維形式的柯西不等式高二數(shù)學(xué)PPT之人教版數(shù)學(xué)選修4-5課件：3.1二維形式的柯西不等式2021/5/91【自主預(yù)習(xí)】二維形式的柯西不等式(ac+bd)22021/5/92【即時(shí)小測(cè)】1.已知2x2+y2=1,則2x+y的最大值為(

)A.

B.2

C.

D.3【解析】選C.3=(2x2+y2)(2+1)≥(2x+y)2,所以-≤2x+y≤.即2x+y的最大值為.2021/5/932.已知=1,則以下成立的是(

)A.a2+b2>1

B.a2+b2=1C.a2+b2<1

D.a2b2=12021/5/94【解析】選B.由柯西不等式,得≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式取等號(hào),所以ab=化為a2b2=(1-a2)(1-b2),于是a2+b2=1.2021/5/953.設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則的最小值為_________.【解析】由柯西不等式知(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,又a2+b2=5,ma+nb=5,所以m2+n2≥5,所以答案:

2021/5/96【知識(shí)探究】

探究點(diǎn)二維形式的的柯西不等式1.在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中,取等號(hào)的條件可以寫成嗎?提示:不可以.當(dāng)b=d=0時(shí),等號(hào)成立,但

不成立.2021/5/972.用柯西不等式求最值時(shí)的關(guān)鍵是什么?提示:利用柯西不等式求最值問題,通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù),并尋求不等式等號(hào)成立的條件.2021/5/98【歸納總結(jié)】1.柯西不等式三種形式的關(guān)系根據(jù)向量的意義及其坐標(biāo)表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式及二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標(biāo)表示.2021/5/992.理解并記憶三種形式取“=”的條件(1)代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)取等號(hào).(2)向量形式中當(dāng)=k或=0時(shí)取等號(hào).(3)三角形式中當(dāng)P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三點(diǎn)共線且P1,P2在原點(diǎn)O兩旁時(shí)取等號(hào).2021/5/9103.“二維”的含義“二維”是對(duì)向量的個(gè)數(shù)來說的,在平面上一個(gè)向量有兩個(gè)量:橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),因此“二維”就要有四個(gè)量,還可以認(rèn)為是四個(gè)數(shù)組合成的一種不等關(guān)系.2021/5/9114.二維形式的柯西不等式的變式(1)≥|ac+bd|.(2)≥|ac|+|bd|.(3)≥ac+bd.2021/5/912類型一利用柯西不等式證明不等式【典例】求證:【解題探究】本例證明的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,改變一下多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)構(gòu),達(dá)到利用柯西不等式解題的目的.2021/5/913【證明】因?yàn)?(x12+x22)+(y12+y22)+由柯西不等式,得(x12+x22)(y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2,其中當(dāng)且僅當(dāng)x1y2=x2y1時(shí),等號(hào)成立.2021/5/914所以≥x1y1+x2y2,所以≥(x12+x22)+(y12+y22)+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2.所以其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1y2=x2y1時(shí)成立.2021/5/915【方法技巧】利用柯西不等式的代數(shù)形式證明不等式的方法利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時(shí),有時(shí)需要將待證不等式進(jìn)行變形,以具備柯西不等式的運(yùn)用條件,這種變形往往要認(rèn)真分析題目的特征,根據(jù)題設(shè)條件,利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配方、數(shù)形結(jié)合等方法,才能找到突破口.2021/5/916【變式訓(xùn)練】1.設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:++≥(a+b+c).【解題指南】根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu),分別使用柯西不等式.2021/5/917【證明】由柯西不等式:≥a+b,即≥a+b.同理≥b+c,≥c+a.2021/5/918將上面三個(gè)同向不等式相加得

(++)≥2(a+b+c),于是++≥(a+b+c).2021/5/9192.已知a1,a2,b1,b2為正實(shí)數(shù),求證:(a1b1+a2b2)·(+)≥(a1+a2)2.【證明】(a1b1+a2b2)(+)=［()2+()2］［(

)2+()2]≥(·+·)2=(a1+a2)2.2021/5/920類型二利用柯西不等式求最值【典例】已知x,y,a,b∈R+,且=1,求x+y的最小值.2021/5/921【解題探究】解答本例如何將x+y變形,向著柯西不等式的形式轉(zhuǎn)化?提示:關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)

使得x+y=2021/5/922【解析】構(gòu)造兩組實(shí)數(shù)因?yàn)閤,y,a,b∈R+,=1,所以x+y=[()2+()2]2021/5/923當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.所以(x+y)min=(+)2.2021/5/924【延伸探究】1.若把本例中的題設(shè)條件“a,b∈R+且=1”改為“=2”,結(jié)果如何?2021/5/925【解析】因?yàn)?2,所以x+y=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以(x+y)min=.2021/5/9262.把本例已知改為,試比較x2+y2與(a+b)2的大小.【解析】由已知及柯西不等式得x2+y2=(x2+y2)≥=(a+b)2.即x2+y2≥(a+b)2.2021/5/927【方法技巧】利用二維形式的柯西不等式求最值的技巧(1)求某些解析式的最小值時(shí),要把這個(gè)解析式看成柯西不等式的左邊構(gòu)造不等式.2021/5/928(2)求某個(gè)解析式的最大值時(shí),要把這個(gè)解析式看成柯西不等式的右邊構(gòu)造不等式.在構(gòu)造過程中系數(shù)的選擇是關(guān)鍵.2021/5/929【變式訓(xùn)練】1.已知x,y∈R,且xy=1,的最小值為(

)A.4

B.2

C.1

D.【解析】選A.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1等號(hào)成立.2021/5/9302.(2015·陜西高考)已知關(guān)于x的不等式|x+a|<b的解集為{x|2<x<4}.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值.(2)求的最大值.2021/5/931【解析】(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,則解得a=-3,b=1.2021/5/932當(dāng)且僅當(dāng)即t=1時(shí)等號(hào)成立,故2021/5/933【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a,b∈R,且a2+b2=10,求3a+b的最大值與最小值.【解題指南】3a+b是兩部分和的形式,將其看作ac+bd的結(jié)構(gòu),利用柯西不等式求其最值.2021/5/934【解析】利用柯西不等式得,(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)=10×10=100,即(3a+b)2≤100,所以|3a+b|≤10,-10≤3a+b≤10,當(dāng)且僅當(dāng)a=3b時(shí),等號(hào)成立.2021/5/935又a2+b2=10,所以a2=9,b2=1.所以當(dāng)a=-3,b=-1時(shí),3a+b有最小值為-10;當(dāng)a=3,b=1時(shí),3a+b有最大值為10.2021/5/936類型三二維形式柯西不等式向量形式的應(yīng)用【典例】設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,求證:2021/5/937【解題探究】如何構(gòu)造向量,用向量形式的柯西不等式證明?提示:可構(gòu)造如下向量形式:2021/5/938【證明】令則|·|=而||=又||=,所以||||=,由|·|≤||||,得2021/5/939【延伸探究】在本例題設(shè)條件下,如何證明:(ax+by)2≤ax2+by2(其中x>0,y>0).2021/5/940【證明】設(shè)m=(x,y),n=(,),則|ax+by|=|m·n|≤|m||n|==所以(ax+by)2≤ax2+by2.2021/5/941【方法技巧】應(yīng)用二維形式柯西不等式向量形式求最值及證明不等式的技巧在應(yīng)用二維形式柯西不等式向量形式求式子的最值或證明不等式時(shí)要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造兩個(gè)向量,通常我們使構(gòu)造的向量滿足積為待求式子或待證不等式一側(cè)的形式,再利用柯西不等式的向量形式求解或證明.2021/5/942【變式訓(xùn)練】1.已知a>b>c,若恒成立,則k的最大值為_________.2021/5/943【解析】設(shè)a=,b=由|a·b|≤|a||b|得2≤即,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c即a+c=2b時(shí),等號(hào)成立.故kmax=4.答案:42021/5/9442.求函數(shù)y=的最大值及最小值.【解析】由原函數(shù)式得2sinx+(3-y)cosx=4-2y,設(shè)a=(2,3-y),b=(sinx,cosx),由|a·b|≤|a||b|得|4-2y|≤,解得≤y≤3,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故最大值及最小值分別為3與.2021/5/945自我糾錯(cuò)求函數(shù)的最值【典例】已知實(shí)數(shù)x,y滿足=1,求x2+2y2的最小值.20