專題02截長(zhǎng)補(bǔ)短證全等類型一截長(zhǎng)證全等1．如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．2．如圖，已知：在中，，、是的角平分線，交于點(diǎn)O求證：．3．如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．4．如圖，，、分別平分、，與交于點(diǎn)O．（1）求的度數(shù)；（2）說(shuō)明的理由．5．如圖所示，已知AC平分∠BAD，，于點(diǎn)E，判斷AB、AD與BE之間有怎樣的等量關(guān)系，并證明．6．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求證：BC＝AC+CD．7．已知：如圖，，，，求證：.8．如圖，，，平分，且是中點(diǎn)試問(wèn)：、和之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由.9．如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，交外角的平分線于．

（1）求證：；（2）如圖，當(dāng)是上任意一點(diǎn)，而其它條件不變，是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．類型二補(bǔ)短證全等10．已知：如圖所示，在中，為中線，交分別于，如果，求證：．11．如圖，在△ABC中，，D是三角形外一點(diǎn)，且，．求證：12．在中，，點(diǎn)D、E分別在、上，連接、和；并且有，．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．13．如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且．求證：．14．本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過(guò)輔助線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過(guò)三角形的基本性質(zhì)和全等來(lái)解決一些問(wèn)題．（1）如圖1，在四邊形中，，，連接．①小明發(fā)現(xiàn)，此時(shí)平分．他通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，證明，從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明平分．請(qǐng)你參考小明的想法，寫出完整的證明過(guò)程．②如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)你判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖3，等腰、等腰的頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在線段上，且，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長(zhǎng)度．（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請(qǐng)寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．類型三截長(zhǎng)補(bǔ)短證全等16．（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．17．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)老師出示了如下題目：如圖①，在四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的平分線，．求證：．小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)以下兩種方法：方法1：如圖②，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．方法2：