第十四章機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波第一節(jié)簡諧振動(dòng)及其描述1．機(jī)械振動(dòng)簡稱振動(dòng)，是指物體在某一中心位置兩側(cè)所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，這一中心位置叫做平衡位置，物體受到總是指向平衡位置的合外力叫做回復(fù)力，2．由平衡位置指向振動(dòng)物體所在位置的有向線段叫做物體的位移，振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離叫做振幅。3．每一次完整的振動(dòng)叫做一次全振動(dòng)，物體完成一次全振動(dòng)所需要的時(shí)間叫做振動(dòng)的周期(T)。單位時(shí)間內(nèi)完成的全振動(dòng)的次數(shù)叫做振動(dòng)的頻率(f)，頻率的單位是赫茲(Hz)顯然有f＝eq\f(1,T)。4．物體所受的回復(fù)力跟位移大小成正比的機(jī)械振動(dòng)叫做簡諧振動(dòng)。5．把一個(gè)小球安放在彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平桿上，可以在桿上滑動(dòng)，小球和桿之間的摩擦不計(jì)，這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子，其中的小球叫做振子。彈簧振子是個(gè)理想模型。6．“平衡位置”不等于“平衡狀態(tài)”。平衡位置是指回復(fù)力為零的位置，物體在該位置所受的合外力不一定為零。(如單擺擺到最低點(diǎn)時(shí)，沿振動(dòng)方向的合力為零，但在指向懸點(diǎn)方向上的合力卻不等于零，所以并不處于平衡狀態(tài))7．簡諧運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系可以用正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))表示，如果用正弦函數(shù)表示，則可表示為x＝Asin(ωt＋Φ)。8．如圖所示，如果懸掛小球的細(xì)線的質(zhì)量與伸縮可以忽略，線長又比球的直徑大得多，這樣的裝置叫做單擺，在偏角θ很小時(shí)，單擺可看成簡諧運(yùn)動(dòng)。如果設(shè)單擺的擺長為l，重力加速度為g，則單擺的周期T＝2πeq\r(\f(l,g))。9．阻尼振動(dòng)是指振動(dòng)中受阻力，能量減少，振幅逐漸減小的振動(dòng)；無阻尼振動(dòng)是指振動(dòng)中無阻力，能量無損失，振幅大小不變的振動(dòng)。10．受迫振動(dòng)是指物體在外界周期性驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)。11．物體在受迫振動(dòng)中，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率跟物體的固有頻率相等的時(shí)候，受迫振動(dòng)的振幅最大，這種現(xiàn)象叫共振。例1如圖所示，為一彈簧振子，O為振動(dòng)的平衡位置，將振子拉到位置C從靜止釋放，振子在BC間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，已知BC間的距離為20cm，振子在4秒鐘內(nèi)振動(dòng)了10次。(1)求振幅、周期和頻率；(2)若規(guī)定從O到C的方向?yàn)檎较?，試分析振子在從C→O→B過程中所受回復(fù)力F，加速度a和速度υ的變化情況?！窘馕觥?1)eq\x\to(BC)＝2A，A＝10cm，T＝eq\f(t,n)＝0.4s，f＝eq\f(1,T)＝2.5Hz(2)按題設(shè)從O→C為正方向，則當(dāng)振子在平衡位置右側(cè)時(shí)位移為正，在平衡位置左側(cè)時(shí)位移為負(fù)。所以當(dāng)振子從C→O運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移方向?yàn)檎?，大小在減少，回復(fù)力方向?yàn)樨?fù)，加速度方向?yàn)樨?fù)，回復(fù)力和加速度的大小都在減小。振子的速度方向?yàn)樨?fù)，加速度與速度方向一致，速度在增大；振子到達(dá)O位置時(shí)位移X＝0，F(xiàn)、a均為零，υ最大。當(dāng)振子從O→B運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移方向?yàn)樨?fù)，位移x在增大，回復(fù)力F、加速度a方向?yàn)檎?，大小在增大，此過程速度方向?yàn)樨?fù)，a與υ反向，振子從O→B做減速運(yùn)動(dòng)，υ在減小，到達(dá)B位置時(shí)F、a為正向最大，υ＝0。例2有一個(gè)單擺，其擺長l＝1.02m，擺球的質(zhì)量m＝0.1kg，從和豎直方向成擺角θ＝4°的位置無初速度開始運(yùn)動(dòng)(如圖所示)，問：(1)已知振動(dòng)的次數(shù)n＝30次，用了時(shí)間t＝60.8s，重力加速度g多大？(2)擺球的最大回復(fù)力多大？(3)擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)速度多大？(4)此時(shí)懸線拉力為多大？(5)如果將這個(gè)擺改為秒擺，擺長應(yīng)怎樣改變？為什么？(取sin4°＝0.0698，cos4°＝0.9976，π＝3.14)【解析】(1)θ＜5°，單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)，其周期T＝t/n＝60.8/30s＝2.027s，根據(jù)T＝2πeq\r(l/g)得，g＝4×π2×1.02/2.0272＝9.791m/s2。(2)最大回復(fù)力為F1＝mgsin4°＝0.1×9.791×0.0698N＝0.068N。(3)單擺振動(dòng)過程中，重力勢能與動(dòng)能互相轉(zhuǎn)化，不考慮阻力，機(jī)械能守恒，其總機(jī)械能E等于擺球在最高處的重力勢能E，或在最低處的速度v＝eq\r(2gl1－cos4°)＝0.219m/s。(4)由T－mg＝mv2/l得懸線拉力為T＝mg＋mv2/l＝0.1×9.791＋0.1×0.2192/1.02＝0.52N(5)秒擺的周期T＝2s，設(shè)其擺長為l0，根據(jù)T＝2πeq\r(l/g)得，g不變，則T∝eq\r(l)即T∶T0＝eq\r(l)∶eq\r(l0)故l0＝Teq\o\al(2,0)l/T2＝22×1.02/2.0272＝0.993m，其擺長要縮短Δl＝l—l0＝1.02m—0.993m＝0.027m例3一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)，其位移和時(shí)間的關(guān)系如圖所示。(1)求t＝0.25×10－2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移；(2)在t＝1.5×10－2s到t＝2×10－2s的振動(dòng)過程中，質(zhì)點(diǎn)的位移、回復(fù)力、速度、動(dòng)能、勢能如何變化？(3)在t＝0到t＝8.5×10－2s時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的路程、位移各多大？【解析】(1)由題圖可知A＝2cm，T＝2×10－2s，振動(dòng)方程為x＝Asin(ωt－eq\f(π,2))＝－Acosωt＝－2coseq\f(2π,2×10－2)tcm＝－2cos100πtcm當(dāng)t＝0.25×10－2s時(shí)，x＝－2coseq\f(π,4)cm＝－eq\r(2)cm。(2)由題圖可知在1.5×10－2s到2×10－2s的振動(dòng)過程中，質(zhì)點(diǎn)的位移變大，回復(fù)力變大，速度變小，動(dòng)能變小，勢能變大。(3)在t＝0到t＝8.5×10－2s時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷eq\f(17,4)個(gè)周期，質(zhì)點(diǎn)的路程s＝17A＝34cm，位移為2cm?！敬鸢浮?1)－eq\r(2)cm(2)見解析(3)34cm,2cm例4如圖甲是一個(gè)單擺振動(dòng)的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，設(shè)向右為正方向，圖乙是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖象。根據(jù)圖象回答：(1)單擺振動(dòng)的頻率是多大？(2)開始時(shí)擺球在何位置？(3)若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?0m/s2，試求這個(gè)擺的擺長是多少？(計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)【解析】(1)由題圖乙知周期T＝0.8s，則頻率f＝eq\f(1,T)＝1.25Hz。(2)由題圖乙知，t＝0時(shí)擺球在負(fù)向最大位移處，因向右為正方向，所以開始時(shí)擺球在B點(diǎn)。(3)由T＝2πeq\r(\f(l,g))，得l＝eq\f(gT2,4π2)≈0.16m?！敬鸢浮?1)1.25Hz(2)B點(diǎn)(3)0.16m1．以下各裝置中，哪個(gè)作為單擺更合適()A．1m長的橡皮繩上掛一個(gè)鐵球B．1m長的鐵絲上掛一個(gè)乒乓球C．0.3m長的細(xì)線下掛一個(gè)大鋼球D．1m長的細(xì)線下掛一個(gè)小鋼球2．(多選)小球做簡諧運(yùn)動(dòng)，則下述說法正確的是()A．小球所受的回復(fù)力大小與位移成正比，方向相反B．小球的加速度大小與位移成正比，方向相反C．小球的速度大小與位移成正比，方向相反D．小球速度的大小與位移成正比，方向可能相同也可能相反3．如圖所示，彈簧振子在BC間振動(dòng)，O為平衡位置，BO＝OC＝5cm，若振子從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是1s，則下列說法中正確的是()A．振子從B經(jīng)O到C完成一次全振動(dòng)B．振動(dòng)周期是1s，振幅是10cmC．經(jīng)過兩次全振動(dòng)，振子通過的路程是20cmD．從B開始經(jīng)過3s，振子通過的路程是30cm4．(多選)某質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)，其位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x＝Asineq\f(π,4)t，則質(zhì)點(diǎn)()A．第1s末與第3s末的位移相同B．第1s末與第3s末的速度相同C．3s末至5s末的位移方向都相同D．3s末至5s末的速度方向都相同5．(多選)一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖象如圖所示，質(zhì)點(diǎn)的速度方向與加速度方向相同的時(shí)間段是()A．0～0.3s B．0.3～0.6sC．0.6～0.9s D．0.9～1.2s6．如圖甲所示，彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在A、B兩點(diǎn)之間做簡諧運(yùn)動(dòng)，取向右為正方向，振子的位移x隨時(shí)間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是()A．t＝0.8s時(shí)，振子的速度方向向左B．t＝0.2s時(shí)，振子在O點(diǎn)右側(cè)6cm處C．t＝0.4s和t＝1.2s時(shí)，振子的加速度完全相同D．t＝0.4s到t＝0.8s的時(shí)間內(nèi)，振子的速度逐漸減小7．(多選)如圖是用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移－時(shí)間圖象(水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閠軸)，下列關(guān)于該圖象的說法正確的是()A．該圖象的坐標(biāo)原點(diǎn)是建立在彈簧振子小球的平衡位置B．從圖象可以看出小球在振動(dòng)過程中是沿t軸方向移動(dòng)的C．為了顯示小球在不同時(shí)刻偏離平衡位置的位移，讓底片沿垂直x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)D．圖象隨時(shí)間的推移而發(fā)生平移8．如圖所示，一單擺懸于O點(diǎn)，擺長為L，若在O點(diǎn)的正下方的O′點(diǎn)釘一個(gè)光滑釘子，使OO′＝eq\f(L,2)，將單擺拉至A處釋放，小球?qū)⒃贏、B、C間來回振動(dòng)，若振動(dòng)中擺線與豎直方向夾角小于5°，則此擺的周期是()A．2πeq\r(\f(L,g)) B．2πeq\r(\f(L,2g))C．2π(eq\r(\f(L,g))＋eq\r(\f(L,2g))) D．π(eq\r(\f(L,g))＋eq\r(\f(L,2g)))9．(多選)如圖所示，A球振動(dòng)后，通過水平細(xì)繩迫使B、C振動(dòng)，振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，下列說法中正確的是()A．只有A、C的振動(dòng)周期相等B．C的振幅比B的振幅小C．C的振幅比B的振幅大D．A、B、C的振動(dòng)周期相等10．一個(gè)單擺在地面上做受迫振動(dòng)，其共振曲線(振幅A與驅(qū)動(dòng)力頻率f的關(guān)系)如圖所示，則()A．此單擺的固有周期約為0.5sB．此單擺的擺長約為1mC．若擺長增大，單擺的固有頻率增大D．若擺長增大，共振曲線的峰將向右移動(dòng)11．(多選)小明在實(shí)驗(yàn)室做單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)得到如圖甲所示的單擺振動(dòng)情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的左右最遠(yuǎn)位置。小明根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況繪制了單擺的振動(dòng)圖象如圖乙所示，若圖中單擺向右擺動(dòng)為正方向，g＝π2m/s2，則下列選項(xiàng)正確的是()A．此單擺的振動(dòng)頻率是0.5HzB．根據(jù)圖乙可知開始計(jì)時(shí)時(shí)擺球在C點(diǎn)C．圖中P點(diǎn)向正方向振動(dòng)D．根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以求得此單擺的擺長為1.0m12．(多選)如圖所示為一個(gè)豎直放置的彈簧振子，物體沿豎直方向在A、B之間做簡諧運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為平衡位置，A點(diǎn)位置恰好為彈簧的原長。物體由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)(C、D兩點(diǎn)未在圖上標(biāo)出)的過程中，彈簧的彈性勢能增加了3.0J，重力勢能減少了2.0J。對于這段過程說法正確的是()A．物體的動(dòng)能增加1.0JB．C點(diǎn)的位置可能在平衡位置以上C．D點(diǎn)的位置可能在平衡位置以上D．物體經(jīng)過D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向可能指向平衡位置1．關(guān)于簡諧運(yùn)動(dòng)的位移、加速度和速度的關(guān)系，下列說法中正確的是()A．位移減小時(shí)，加速度減小，速度也減小B．位移方向總是與加速度方向相反，與速度方向相同C．物體的運(yùn)動(dòng)方向指向平衡位置時(shí)，速度方向與位移方向相反；背離平衡位置時(shí)，速度方向與位移方向相同D．物體向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度方向與速度方向相同；向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度方向與速度方向相反2．彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在水平方向上的A、B兩點(diǎn)間做簡諧運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的是()A．振子在A、B兩點(diǎn)時(shí)的速度和加速度均為零B．振子在通過O點(diǎn)時(shí)速度的方向?qū)l(fā)生改變C．振子的加速度方向總跟速度方向相反D．振子離開O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是減速運(yùn)動(dòng)，靠近O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是加速運(yùn)動(dòng)3．如圖甲所示，水平的光滑桿上有一彈簧振子，振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在a、b兩點(diǎn)之間做簡諧運(yùn)動(dòng)，設(shè)向右為正方向，其振動(dòng)圖象如圖乙所示。由振動(dòng)圖象可知()A．振子的振動(dòng)周期等于t1B．在t＝0時(shí)刻，振子的位置在a點(diǎn)C．在t＝t1時(shí)刻，振子的速度為零D．從t1到t2，振子正從O點(diǎn)向b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)4.(多選)如圖所示為一個(gè)單擺在地面上做受迫振動(dòng)的共振曲線(振幅A與驅(qū)動(dòng)力頻率f的關(guān)系)，則()A．此單擺的固有周期約為2sB．此單擺的擺長約為1mC．若擺長增大，單擺的固有頻率增大D．若擺長增大，共振曲線的峰將右移5．一彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)，周期為T，則()A．若t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的位移大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數(shù)倍B．若t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的速度大小相等、方向相反，則Δt一定等于eq\f(T,2)的整數(shù)倍C．若Δt＝T，則在t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的加速度一定相等D．若Δt＝eq\f(T,2)，則在t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻彈簧的長度一定相等6．如圖所示，在曲軸上懸掛一彈簧振子，轉(zhuǎn)動(dòng)搖把，曲軸可以帶動(dòng)彈簧振子上下振動(dòng)。開始時(shí)不轉(zhuǎn)動(dòng)搖把，讓振子自由上下振動(dòng)，測得其頻率為2Hz；然后以60r/min的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動(dòng)搖把，當(dāng)振子振動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，它的振動(dòng)周期為()A．0.25s B．0.5sC．1s D．2s7．(多選)蜘蛛會根據(jù)絲網(wǎng)的振動(dòng)情況感知是否有昆蟲“落網(wǎng)”，若絲網(wǎng)的固有頻率為200Hz，下列說法正確的是()A．“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動(dòng)的頻率越大，絲網(wǎng)的振幅越大B．當(dāng)“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動(dòng)的頻率低于200Hz時(shí)，絲網(wǎng)不振動(dòng)C．當(dāng)“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動(dòng)的周期為0.005s時(shí)，絲網(wǎng)的振幅最大D．昆蟲“落網(wǎng)”時(shí)，絲網(wǎng)振動(dòng)的頻率由“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動(dòng)的頻率決定8．(多選)如圖所示為同一地點(diǎn)的兩單擺甲、乙的振動(dòng)圖象，下列說法中正確的是()A．甲、乙兩單擺的