四、轉化與化歸思想第一部分內(nèi)容索引0102思想方法?聚焦詮釋高頻考點?探究突破03預測演練?鞏固提升思想方法?聚焦詮釋高考命題聚焦轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位,數(shù)學問題的解決總離不開轉化與化歸,如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數(shù)學問題之間的互相轉化、實際問題向數(shù)學問題的轉化等.各種轉化具體解題方法都是化歸的手段,轉化與化歸的思想方法滲透到所有的數(shù)學解題過程中.思想方法詮釋1.轉化與化歸思想的含義轉化與化歸的思想方法,就是在研究和解決有關數(shù)學問題時,采用某種手段將問題通過變換使之轉化,進而得到解決的一種方法.一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題,將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題,將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.2.轉化與化歸思想在解題中的應用(1)在三角函數(shù)和解三角形中,主要的方法有公式的“三用(順用、逆用、變形用)”、角度的轉化、函數(shù)的轉化、通過正、余弦定理實現(xiàn)邊角關系的相互轉化.(2)換元法是將一個復雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要的方法.(3)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時,常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進行轉化.(4)在解決數(shù)列問題時,常將一般數(shù)列轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.(5)在利用導數(shù)研究函數(shù)問題時,常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題,轉化為其導函數(shù)f'(x)構成的方程、不等式問題求解.(6)在解決解析幾何、立體幾何問題時,常常在數(shù)與形之間進行轉化.3.轉化與化歸應遵循的原則(1)熟悉化原則:將陌生的問題轉化為熟悉的問題.(2)簡單化原則:將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題.(3)直觀化原則:將較抽象的問題轉化為比較直觀的問題(如數(shù)形結合思想,立體幾何問題向平面幾何問題轉化).(4)正難則反原則:若問題直接求解困難時,可考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題.高頻考點?探究突破命題熱點一特殊與一般的轉化【思考】

如何實現(xiàn)由特殊到一般的轉化?例1過拋物線y=ax2(a>0)的焦點F,作一直線交拋物線于P,Q兩點.若線段PF與FQ的長度分別為p,q,則

等于(

)C題后反思

1.當問題難以入手時,應先對特殊情況或簡單情形進行觀察、分析,發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關系結構或部分元素,再推廣到一般情形,以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡,這就是特殊化的化歸策略.2.數(shù)學題目有的具有一般性,有的具有特殊性,解題時,有時需要把一般問題化歸為特殊問題,有時需要把特殊問題化歸為一般問題.對點訓練1已知在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d>0,前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=a4,前n項和為Tn,則(

)A.S4>T4 B.S4<T4C.S4=T4

D.S4≤T4A解析:(方法一)設等比數(shù)列{bn}的公比為q,由題意可知q>1,b4>b2,命題熱點二命題的等價轉化【思考】

在應用化歸與轉化思想去解決問題時應遵循怎樣的原則?(1)求橢圓C的方程;(2)過點F的直線l與橢圓C交于M,N兩點,則在x軸上是否存在一點P,使得x軸平分∠MPN?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.若直線l斜率不存在時,則M,N兩點關于x軸對稱,當點P坐標為(4,0)時,x軸平分∠MPN.綜上所述,在x軸上存在一點P(4,0),使得x軸平分∠MPN.題后反思

在應用化歸與轉化的思想方法去解決數(shù)學問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式,它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉換.在解題過程中進行化歸與轉化時,要遵循以下五項基本原則:(1)化繁為簡的原則;(2)化生為熟的原則;(3)等價性原則;(4)正難則反的原則;(5)形象具體化原則.命題熱點三常量與變量的轉化【思考】

怎樣的情況下常常進行常量與變量之間的轉化?例3設f(x)是定義在R上的增函數(shù),若f(1-ax-x2)≤f(2-a)對任意a∈[-1,1]恒成立,則x的取值范圍為

.

(-∞,-1]∪[0,+∞)解析:∵f(x)在R上是增函數(shù),∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a),得1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].∴a(x-1)+x2+1≥0對a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1,則當且僅當g(-1)=x2-x+2≥0,g(1)=x2+x≥0,解之,得x≥0或x≤-1.故實數(shù)x的取值范圍為x≤-1或x≥0.題后反思

在處理多變量的數(shù)學問題時,當常量(或參數(shù))在某一范圍內(nèi)取值,求變量的范圍時,經(jīng)常進行常量與變量之間角色的轉化,即可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù)),將其看作變量,而把變量看作常量,從而達到簡化運算的目的.對點訓練3對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p,使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范圍是

.

(-∞,-1)∪(3,+∞)解析:設f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,則當x=1時,f(p)=0.所以x≠1.命題熱點四函數(shù)、方程與不等式之間的轉化【思考】

怎樣的情況下常常要進行函數(shù)、方程與不等式之間的轉化?(1)當t>0時,求f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值;(2)求證:對任意x∈(0,+∞),不等式f(x)>g(x)恒成立.當x<1時,f'(x)<0;當x>1時,f'(x)>0.所以f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.①當t≥1時,f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞增,②當0<t<1時,t+1>1,f(x)在區(qū)間[t,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,t+1]上單調(diào)遞增,所以f(x)的最大值f(x)max=Max{f(t),f(t+1)}.下面比較f(t)與f(t+1)的大小.(2)證法一:由(1)知,當x>0時,f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當x>0時,f(x)≥f(1)=e.所以當0<x<1時,g'(x)>0,當x>1時,g'(x)<0.所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.所以當x>0時,g(x)≤g(1)=0.綜上可知,當x>0時,不等式f(x)>g(x)恒成立.所以,當0<x<1時,h'(x)<0;當x>1時,h'(x)>0.所以h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.所以當x>0時,h(x)=(x-1)-ln

x≥h(1)=0.因為x>0,所以不等式等價于ex>ln

x-x+1.令h(x)=ex-(x+1),則在區(qū)間(0,+∞)上h'(x)=ex-1>0.所以h(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,h(x)>h(0)=0,即ex>x+1.所以,要證ex>ln

x-x+1成立,只需證x+1>ln

x-x+1成立即可,即證2x-ln

x>0.題后反思

函數(shù)、方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯(lián)系,解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡,常常將不等式的恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題;將證明不等式問題轉化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題;將方程的求解問題轉化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題等.對點訓練4已知函數(shù)f(x)=x3+3x.(1)解不等式f((log2x)2)+f()≤0;(2)若過點A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)由題意可知f(x)的定義域為R,因為f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).因為f'(x)=3x2+3>0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增.設g(x)=-2x3+6x2+6,則g'(x)=-6x2+12x=-6x(x-2).令g'(x)=0,則x=0或x=2,當x∈(-∞,0)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x∈(0,2)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x∈(2,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.所以g(x)的極小值為g(0)=6,極大值為g(2)=14.所以6<m<14.預測演練?鞏固提升1.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上為減函數(shù),且為奇函數(shù).若f(2)=-2,則滿足-2≤f(x-2)≤2的x的取值范圍是(

)A.[-2,2] B.[1,3] C.[-1,1] D.[0,4]D解析:由題意知f(-2)=-f(2)=2,則-2≤f(x-2)≤2可化為f(2)≤f(x-2)≤f(-2),因為f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上為減函數(shù),所以-2≤x-2≤2,即0≤x≤4.2.已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex在區(qū)間(2,3)內(nèi)沒有極值點,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,3]∪[4,+∞) B.[3,4]C.(-∞,3] D.[4,+∞)A解析:f'(x)=(x+1-a)ex,依題意,x+1-a≥0或x+1-a≤0在區(qū)間(2,3)內(nèi)恒成立,即a≤x+1或a≥x+1.∵x+1∈(3,4),∴a≤3或a≥4.故選A.3.如圖,在棱長為5的正方體ABCD

-A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=2,點Q是A1D1的中點,點P是棱C1D1上的動點,則四面體PQEF的體積(

)A.是變量且有最大值

B.是變量且有最小值C.是變量且有最大值和最小值D.是常數(shù)D解析:因為點Q到棱AB的距離為常數(shù),所以△EFQ的面積為定值.由C1D1∥EF,可得棱C1D1∥平面EFQ,所以點P到平面EFQ的距離是常數(shù),于是可得四面體PQEF的體積為常數(shù).4.(2022廣西柳州一中模擬)若?x∈(0,+∞),