2000-2001學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷答案PAGE1第4頁共9頁2000-2001學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷答案一．填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分），請(qǐng)將合適的答案填在空中．1．已知球面的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為和，則該球面的方程為______________________________．2．設(shè)，則______________________．3．設(shè)二元函數(shù)，則_______________．4．若函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，且，則________________．5．設(shè)，則___________________．答案：⒈；⒉；⒊；⒋；⒌．二．選擇填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）。以下每道題有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)選出合適的答案填在空中，多選無效．1．下列直線中平行坐標(biāo)面的是________．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．2．旋轉(zhuǎn)曲面是______________．（A）．坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成；（B）．坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成；（C）．坐標(biāo)面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成；（D）．坐標(biāo)面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．3．與在點(diǎn)處連續(xù)是的______________．（A）．必要條件；（B）．充分條件；（C）．充分必要條件；（D）．既非充分條件，又非必要條件．4．設(shè)平面區(qū)域由直線，，，圍成，若，，則，，之間的關(guān)系是___________．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．5．設(shè)曲線是任意不經(jīng)過的區(qū)域內(nèi)的曲線，為使曲線積分與路徑無關(guān)，則___________．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．答案：即，解得，，所以，，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．五．（本題滿分6分）計(jì)算二重積分，其中為．解：作極坐標(biāo)變換則有六．（本題滿分7分）證明：曲面，，所圍立體的體積等于，其中是連續(xù)的正值函數(shù)，且，，．解：所求立體在面上的投影區(qū)域?yàn)?，因此有七．（本題滿分7分）求曲面積分，其中是曲面的上側(cè)．解：添加曲面，取下側(cè)，設(shè)閉曲面（取外側(cè)）所圍區(qū)域?yàn)椋蒅auss公式，得（對(duì)稱性）八．（本題滿分7分）計(jì)算曲線積分，其中為圓周．解：圓周的參數(shù)方程為，則因此，九．（本題滿分7分）設(shè)，，其中與分別具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)，求．解：令：，，則．十．（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)在平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且曲線積分與積分路徑無關(guān)，并且對(duì)任意的，恒有試求．解：設(shè)，由曲線積分與路徑無關(guān)的條件，得，由此得，其中為待定函數(shù)．由題設(shè)：，得上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得所以，因此，十一．（本題滿分8分）設(shè)曲線的方程為，函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，為曲線外一點(diǎn)，線段是點(diǎn)到曲線的最短距離，點(diǎn)在曲線上，證明：曲線上點(diǎn)處的法線必過點(diǎn)．解：設(shè)，，由題設(shè)知，必使函數(shù)在條件下取最小值．令：解方程組，解上面方程組中的前兩個(gè)方程，得這就是直線的方程，其斜率為．又曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為所以，因此，，所以為曲線在點(diǎn)處的法線．十二．（本題滿分8分）計(jì)算曲線積分，其中球面與柱面的交線，從軸的正向看，為逆時(shí)針方向．解：設(shè)上半球面被柱面所截下的部分為，則