§1.2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算一、多項(xiàng)式的概念

中學(xué)多項(xiàng)式的定義：n個單項(xiàng)式（不含加法或減法運(yùn)算的整式）的代數(shù)和叫多項(xiàng)式。例：4a+3b，

在多項(xiàng)式中，每個單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。這是形式表達(dá)式。后來又把多項(xiàng)式定義為R上的函數(shù)：但對這兩種定義之間有什么聯(lián)系在中學(xué)代數(shù)中并沒有交代。問題：1、高等代數(shù)中采用什么觀點(diǎn)定義多項(xiàng)式？2、多項(xiàng)式的形式觀點(diǎn)與多項(xiàng)式的函數(shù)觀點(diǎn)是否矛盾？定義1：設(shè)x是一個文字（或符號），n是一個非負(fù)整數(shù)形式表達(dá)式—（2.1）其中，稱為數(shù)域F上的一元多項(xiàng)式。常數(shù)項(xiàng)或零次項(xiàng)首項(xiàng)首項(xiàng)系數(shù)稱為i次項(xiàng)系數(shù)。

高等代數(shù)中采用形式觀點(diǎn)定義多項(xiàng)式，它在兩方面推廣了中學(xué)的多項(xiàng)式定義：

這里x不再局限為實(shí)數(shù)而是任意的文字或符號。

系數(shù)可以是任意數(shù)域。例1.2.1：是Q上多項(xiàng)式；是R上多項(xiàng)式；是C上多項(xiàng)式。都不是多項(xiàng)式。定義2：是兩個多項(xiàng)式，除系數(shù)為0的項(xiàng)之外，同次項(xiàng)的系數(shù)都相等。多項(xiàng)式的表法唯一。方程是一個條件等式而不是兩個多項(xiàng)式相等。定義3：設(shè)非負(fù)整數(shù)n稱為的次數(shù)，記為：

最高次項(xiàng)，亦稱為首項(xiàng)。例1.2.2：零次多項(xiàng)式：次數(shù)為0的多項(xiàng)式即非零常數(shù)。零多項(xiàng)式：系數(shù)全為0的多項(xiàng)式。對零多項(xiàng)式不個多項(xiàng)式不是零多項(xiàng)式。首一多項(xiàng)式：首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式。二、多項(xiàng)式的運(yùn)算定義4：設(shè)是數(shù)域F上次數(shù)分別定義次數(shù)，因此，在談?wù)摱囗?xiàng)式的次數(shù)時，意味著這為n和m的兩個多項(xiàng)式，則與的和為：。當(dāng)m<n時，取。定義5：設(shè)如上，與的積為例1.2.3：設(shè)其中相乘積的和作為的系數(shù)。得：把中兩個系數(shù)下標(biāo)之和為k的對應(yīng)項(xiàng)多項(xiàng)式的運(yùn)算（加、減、乘）滿足以下運(yùn)算規(guī)律：加法交換律：加法結(jié)合律：乘法交換律：乘法結(jié)合律：乘法對加法的分配律：下面證明多項(xiàng)式乘法滿足結(jié)合律。證：設(shè)現(xiàn)證這只要比較兩邊同次項(xiàng)（比如t次項(xiàng)系數(shù)）相等即可。左邊中S次項(xiàng)的系數(shù)是：左邊t次項(xiàng)的系數(shù)是：右邊中r次項(xiàng)的系數(shù)是：右邊的t次項(xiàng)的系數(shù)是：左、右兩邊同次項(xiàng)的系數(shù)相等，乘法滿足結(jié)合律。三、多項(xiàng)式的次數(shù)定理定理2.1.1：設(shè)

當(dāng)時，則

證：設(shè)當(dāng)令多項(xiàng)式乘法沒有零因子。推論1：若證：若f=0或g=0，則必有fg=0。反之，若，矛盾。乘法消去律成立。推論2：若且則證：由于故定義5：對多項(xiàng)式的加、減、乘法是否封閉？上的多項(xiàng)式環(huán)。對多項(xiàng)式的加、減、乘法封閉，故稱為數(shù)域F§1.3整除性理論一、多項(xiàng)式整除的概念

多項(xiàng)式的整除性設(shè)，若存在，使，則說整除，記為：，記為：。當(dāng)時，稱作的因式，稱作的倍式。

整除的基本性質(zhì)性質(zhì)1：否則就說不能整除若則。（傳遞性）證：使性質(zhì)2：若，則。證：性質(zhì)3：若，對。證：性質(zhì)4：若則對有性質(zhì)5：若則證：為常數(shù)。性質(zhì)6：且則性質(zhì)7：

帶余除法定理定理1.3.1：設(shè)，且則存在使得這里或滿足條件的唯一確定。商式余式證：先證存在性。1、若則取即知結(jié)論成立。2、設(shè)對的次數(shù)n，利用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n<m時，顯然取下面討論的情況。假設(shè)當(dāng)次數(shù)小于n時，的存在性已證現(xiàn)考慮次數(shù)為n的情況。，即知結(jié)論成立。令分別是的首項(xiàng)，因而多項(xiàng)式的次數(shù)小于n或?yàn)?。若，取若由歸納法假設(shè)，對有存在，使其中或者于是取就有，結(jié)論成立；其中或者再證唯一性。若有則若則這與矛盾，故從而推論1：若且則的充要條件是：除的余式證：充分性。若且則有必要性。若，則例1.3.1設(shè)求除所得的余式和商式。例1.3.2：證明的充要條件是證：充分性顯然。下證必要性，設(shè)于是由于，故。多項(xiàng)式的根及因式分解會因數(shù)域的擴(kuò)大而改變，那么問題：數(shù)域F上的多項(xiàng)式與的整除性是否會因數(shù)域的擴(kuò)大而改變？多項(xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變設(shè)，若在F上是否在上也有？結(jié)論：設(shè)，而，中，在則在中也有（多項(xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變）證：若則在中，因此在中，若則在中有但中的多項(xiàng)式仍是的多項(xiàng)式。因而在中，這一等式仍然成立。由的唯一性知，在中§1.4多項(xiàng)式的最大公因式一、兩個多項(xiàng)式的最大公因式定義1：若則是的一個公因式。的一個公因式。定義2：設(shè)是的一個公因式。若的任一個公因式均有則稱是的最大公因式。是例如問題：1、如何求兩個多項(xiàng)式的最大公因式？2、最大公因式是否唯一？引理：若與公因式和最大公因式。證：1、設(shè)是的公因式是的公因式。

反之，設(shè)是的公因式是的公因式。則兩對多項(xiàng)式與，有相同的2、設(shè)是的最大公因式是的公因式，對的任一公因式是的公因式故是的最大公因式。反之同樣成立。的最大公因式可以由引理知，要求轉(zhuǎn)化為求與的最大公因式。由于根據(jù)這種思想，我們可以對進(jìn)行如下的輾轉(zhuǎn)相除：

（1.4.1）當(dāng)進(jìn)行到某一步時，余式為0。例如則上一個式子的余式就是的最大公因式。于是得定理1.4.1：若兩個多項(xiàng)式經(jīng)輾轉(zhuǎn)相除后得一系列等式（1.4.1），則的最大公因式為。定理1.4.2：中任意兩個多項(xiàng)式的最大公因式必存在，且若是的最大公因式，則必存在，使由于余式的次數(shù)不斷降低，而的次數(shù)是有限的，故經(jīng)過有限次輾轉(zhuǎn)相除之后，必然有余式證明：1、若則的最大公因式是0。顯然有任意。2、若則的最大公因式是任意。3、若使則由定理1.4.1知，經(jīng)輾轉(zhuǎn)相除后可求出它們的最由（1.4.1）可求得大公因式為設(shè)都是的最大公因式，則有即兩個最大公因式之間僅差一個零次因子。若用表示中首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式，則唯一確定。例1.4.1：設(shè)求，和使

解：（利用輾轉(zhuǎn)相除法）二、兩個多項(xiàng)式互素若定義3：則稱互素。定理1.4.5：的充要條件是存在使多項(xiàng)式互素的性質(zhì)。性質(zhì)1：若則證：性質(zhì)2：若且則證：性質(zhì)3：若又則證：代入上式即知三、多個多項(xiàng)式的情況定義4：設(shè)則稱是這組多項(xiàng)式的公因式，若是的公因式，且這組多項(xiàng)式的任一公因式都能整除。則稱是的最大公因式。則稱是的最大公因式。用表示首一的最大公因式，則性質(zhì)1、若則使。性質(zhì)2、若則稱互素。性質(zhì)3、若則稱兩兩互素。性質(zhì)4、互素兩兩互素。例1.4.2設(shè)互素，但。性質(zhì)5、兩兩互素互素。注意：個多項(xiàng)式的最大公因式（互素）不隨數(shù)域的擴(kuò)大而改變?！?.5多項(xiàng)式的分解

在中學(xué)代數(shù)里我們學(xué)過因式分解，就是把一個多項(xiàng)式逐次分解成一些次數(shù)較低的多項(xiàng)式乘積。在分解過程中，有時感到不能再分解了也就認(rèn)為它不能再分了，但是當(dāng)時沒有理論根據(jù)，到底能不能再分下去？這里我們將系統(tǒng)地討論多項(xiàng)式的分解問題。對于中任一個多項(xiàng)式總是的因式。這樣的因式稱為平凡因式。我們感興趣的是，除了平凡因式外，還有沒有其他的因式？定義1.5.1設(shè)是中次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，若除F上不可約。平凡因式外，在中還有等價定義：可分解成中兩個次數(shù)都小于n的多項(xiàng)式的積，即則稱在數(shù)域F上可約。中一個次多項(xiàng)式如果如果在中，只有平凡因式，則稱在數(shù)域則稱在數(shù)域F上可約。其他因式，一、不可約多項(xiàng)式1、定義由定義可得：

一次多項(xiàng)式是不可約多項(xiàng)式（二次及二次以上多項(xiàng)式是否可約是重點(diǎn)討論對象）；②多項(xiàng)式的可約性與數(shù)域有關(guān)（例在C上可約，在R中不可約）。③零多項(xiàng)式于零次多項(xiàng)式不討論它們的可約性。

性質(zhì)性質(zhì)1不可約，則也不可約，若性質(zhì)2若是不可約多項(xiàng)式，則證：設(shè)由或若則若則性質(zhì)3：若不可約且則或證：若則結(jié)論成立；若，又不可約。由性質(zhì)2，推論：若不可約且則必整除某個二、因式分解問題：是否可分解為不可約多項(xiàng)式的乘積？定理1.5.1：中任一個次多項(xiàng)式都可以分解成中不可約多項(xiàng)式的乘積。證（歸納法）：n=1時，命題顯然成立。假設(shè)命題對一切小于n的多項(xiàng)式成立，則當(dāng)時，1、若不可約成立；2、若可約，由假設(shè)知均可分解為不可約多項(xiàng)式的乘積。問題：多項(xiàng)式分解成不可約多項(xiàng)式的乘積是否唯一？若取則可見分解式不唯一。定理1.5.2：中任一個次數(shù)大于零的多項(xiàng)式分解成不可約多項(xiàng)式的乘積：成不可約因式的乘積分解式是唯一的，此即若有兩個分解式：若不計零次多項(xiàng)式的差異和因式的順序，分解則有①r=s；②適當(dāng)調(diào)整的位置后，有）證（對分解式中的因式個數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明）：當(dāng)r=1時，結(jié)論顯然成立。假設(shè)當(dāng)分解成r-1個不可約因式時結(jié)論成立，則當(dāng)分解成r個因式時，有由于，故存在某個使為方便起見不防設(shè)就是。由歸納假設(shè)知，這時有r-1=s-1。故r=s，且三、標(biāo)準(zhǔn)（典型）分解式在的分解中，可以把每個不可約因式的故首項(xiàng)系數(shù)提出來，使之成為首一不可約多項(xiàng)式，并把相同的因式合并，于是，的分解式就變成：首項(xiàng)系數(shù)為的首一不可約多項(xiàng)式，

每個多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式是唯一的。

利用多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以判斷一個多項(xiàng)式是否整除另一個多項(xiàng)式。式。為自然數(shù)，這種分解式稱為的標(biāo)準(zhǔn)分解

利用多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以直接寫出例如：則雖然根據(jù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式寫出是簡單的，但由于任意多項(xiàng)式的典型分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法還是采用輾轉(zhuǎn)相除法。問：如何求的標(biāo)準(zhǔn)分解式？例1.5.1：求在中的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：利用帶余除法，知都是的因式，即有。如何知道是不是的一個因式？是的一個因式的充要條件是例1.5.2：求在上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：在Q上：在R上：在C上：例1.5.3：在R上分解解：§1.5重因式定義1：不可約多項(xiàng)式稱為的k重因式如果而。當(dāng)k=1時，就稱的單因式，當(dāng)k>1時，稱為的重因式。如果的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：則分別是的因式，且分別為重。要求的重因式，只要把式寫出即可。但我們還沒有一般的方法把一個多項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)分解式分解為不可約因式的乘積。

因此我們應(yīng)該找一種直接判斷多項(xiàng)式是否有重因式的方法。為此目的要引入多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的概念。定義2：的一階導(dǎo)數(shù)指的是多項(xiàng)式：（形式定義）多項(xiàng)式一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的二階導(dǎo)數(shù)，記為的導(dǎo)數(shù)稱為的三階導(dǎo)數(shù)，記為…………的k階導(dǎo)數(shù)記為多項(xiàng)式的求導(dǎo)法則：1、2、3、4、定理1.6.1：若不可約多項(xiàng)式是的k重因式（k>1），則是式，特別多項(xiàng)式的單因式不是式。證：的k-1重因的因從而于是是的k-1重因式。推論1：若不可約多項(xiàng)式是的k重因式不是的因式。證：是的k-1重因式，是的k-2重因式，……………（k>1），則是的因式，但是的（k-(k-1)=1）單因式，因而不是的因式。推論2：不可約多項(xiàng)式是的重因式的充要條件是是與的公因式。證：必要性由推論1立得。充分性，若是與的公因式，則不是的單因式（否則，由推論1知的因式），故不是是的重因式。推論3：無重因式的充要條件是多項(xiàng)式與互素。

推論3表明，判別一個多項(xiàng)式有沒有重因式，可以利用輾轉(zhuǎn)相除法得到。

在討論與解方程有關(guān)的問題時，常常要求所討論多項(xiàng)式有沒有重因式。設(shè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：由定理1得：故于是：有沒有重因式，只要求1、判別的最大公因式的重因式的重數(shù)恰好是中重因式的重數(shù)加1。此法不能求的單因式。例1.6.1在中分解多項(xiàng)式2、分離重因式，即求的所有不可約的單因式：例1.6.2：求多項(xiàng)式有重因式的條件。

當(dāng)時，即這時f有重因式

當(dāng)時，即時，欲有重因式，只需即重因式是例1.6.3：用分離因式法（單因式化法）求多項(xiàng)式在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：利用輾轉(zhuǎn)相除法求得：把單因式化，得由于故是的3重因式，是的單因式，故在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式為多項(xiàng)式在中沒有重因式，問題：在中是否也沒有重因式？由于多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)以及兩個多項(xiàng)式互素與否在由數(shù)域F過渡到含F(xiàn)的數(shù)域時并無改變，故有沒有重因式不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變?！?.7多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根一、多項(xiàng)式函數(shù)

定義：設(shè)對數(shù)稱為當(dāng)F中的根或零點(diǎn)。

定義（多項(xiàng)式函數(shù)）：設(shè)對作映射f：為F上的多項(xiàng)式函數(shù)。時的值，若則稱c為在映射f確定了數(shù)域F上的一個函數(shù)被稱當(dāng)F=R時，就是數(shù)學(xué)分析中所討論的多項(xiàng)式函數(shù)。若則二、余式定理和綜合除法所得的余式是。用一次多項(xiàng)式x-c去定理1.7.1（余式定理）：除多項(xiàng)式證：由帶余除法：設(shè)則。問題1、有沒有確定帶余除法：的簡單方法？中和設(shè)把代入中展開后比較方程兩邊的系數(shù)得：因此，利用與之間的系數(shù)關(guān)系可以方便和r，這就是下面的綜合除法：于是得去除例1.7.1：求用的商式和余式。解：由綜合除法因此利用綜合除法求與r時應(yīng)注意：1、多項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列，有缺項(xiàng)必須補(bǔ)上零；2、除式要變?yōu)槔?.7.2：把表成的方冪和。定理1.7.2（因式定理）：因式的充要條件是。證明：設(shè)若即故是的一個因式。若有一個因式即故此即。由此定理可知，要判斷一個數(shù)c是不是的根，可以直接代入多項(xiàng)式函數(shù)，看是否等于零；也可以利用綜合除法來判斷其余數(shù)是否為零。多項(xiàng)式有一個三、多項(xiàng)式的根定義3：若是的一個k重因式，即有但則是的一個k重根。問題2、若多項(xiàng)式有重根，能否推出有重因式，反之，若有重因式，能否說有重根？由于多項(xiàng)式有無重因式與系數(shù)域無關(guān)，而有無重根與系數(shù)域有關(guān)，故有重根有重因式，但反之不對。定理1.7.3（根的個數(shù)定理）：數(shù)域F上次多項(xiàng)式至多有n個根（重根按重數(shù)計算）。證明（用歸納法）：當(dāng)時結(jié)論顯然成立，假設(shè)當(dāng)是次多項(xiàng)式時結(jié)論成立，則當(dāng)是n次多項(xiàng)式時，設(shè)是的一個根，則有是n-1次多項(xiàng)式，由歸納知至多只有個根，故至多只有n個根。證二：對零次多項(xiàng)式結(jié)論顯然成立，數(shù)等于分解式中一次因式的個數(shù)，這個數(shù)目當(dāng)然不定理1.7.4：超過n，若在F中有n+1個不同的數(shù)使與的值相等，則。證明：令設(shè)它們的次數(shù)都不若又把若是一次數(shù)>0的多項(xiàng)式，分解成不可約多項(xiàng)式的乘積，這時在數(shù)域F中根的個超過n。由于F中有n+1個不同的數(shù)，使與的值相等，故有n+1個不同的根，這與定理1.7.3矛盾，故即問題3、設(shè)是F中n個不同的數(shù)，是F中任意n個數(shù)，能否確定一個n-1次多項(xiàng)式，使利用定理1.7.4可求一個n-1次多項(xiàng)式使作函數(shù)則這個公式也稱為Lagrange插值公式。例1.7.3：求一個次數(shù)小于3的多項(xiàng)式使。解一（待定系數(shù)法）：設(shè)所求的多項(xiàng)式由已知條件得線性方程組：解之得解二（利用Lagrange公式）：利用Lagrange插值公式可得：

問題4、用形式定義的多項(xiàng)式與用函數(shù)觀定義的多項(xiàng)式是否一致？四、多項(xiàng)式相等與多項(xiàng)式函數(shù)相等的關(guān)系

多項(xiàng)式相等：即對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同；

多項(xiàng)式函數(shù)相等：即對有定理1.7.5：中兩個多項(xiàng)式和相等的充要條件是它們所確定的在F上的多項(xiàng)式函數(shù)相等。證明：若它們對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同，于是對故這兩個多項(xiàng)式函數(shù)相等；若對有令此時有無窮多個根，故此即。§1.8復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式一、C上多項(xiàng)式對于上的多項(xiàng)式，它在F上未必有根，那么它在C上是否有根？

每一個次數(shù)大于零的多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上至多有一個根。定理1.8.1（代數(shù)基本定理）：

任何n（n>0）次多項(xiàng)式在C上有n個根（重根按重數(shù)計算）。定理1.8.2：當(dāng)n=1時結(jié)論顯然成立。證：假設(shè)結(jié)論對n-1次多項(xiàng)式成立，則當(dāng)是n次多項(xiàng)式時，由于在C上至少有一個根，設(shè)為則，是C上n-1次多項(xiàng)式。由歸納假設(shè)知在C上有n-1個根，

推論1：復(fù)數(shù)域上任一個次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都是可約的，即C上不可約多項(xiàng)式只能是一次多項(xiàng)式。推論2：任一個n（n>0）次多項(xiàng)式在在C上的根，所以n個根。它們也是在C上有上都能分解成一次因式的乘積，即的標(biāo)準(zhǔn)分解式是：其中是不同的復(fù)數(shù)，是自然數(shù)且韋達(dá)定理：設(shè)是的兩個根，則C上多項(xiàng)式的根與系數(shù)關(guān)系：設(shè)—（1）是一個n（n>0）次多項(xiàng)式，則它在C中有n個根，記—（2）比較（1）與（2）的展開式中同次項(xiàng)的系數(shù)，則為得根與系數(shù)的關(guān)系為：如果根與系數(shù)的關(guān)系又如何？利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以構(gòu)造一個n次多項(xiàng)式，使其恰以為根。例1.8.1：它以1和4為單根，-2為2重根。求一個首項(xiàng)系數(shù)為1的4次多項(xiàng)式，使解：設(shè)則二、實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式定理1.8.3：如果是實(shí)數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式的與有相同的重數(shù)。證：設(shè)由于是的根，故有兩邊取共軛復(fù)數(shù)，注意到和0都是實(shí)數(shù)，則有可見也是的根。非實(shí)復(fù)根，則的共軛復(fù)數(shù)也是的根，且因此多項(xiàng)式：能整除，即存在多項(xiàng)式，使是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故也是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。若是的重根，由于，故必是的根，是實(shí)系數(shù)，故也是的根，故也是的重根。與重復(fù)應(yīng)用這個推理方法知的重數(shù)相同。唯一地分解為實(shí)系數(shù)一次和二次不可約多項(xiàng)式的定理1.8.4

每個次數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可乘積。就是一次因式子，結(jié)論成立。若，證明：的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納。對假設(shè)對結(jié)論次數(shù)<n的多項(xiàng)式結(jié)論成立，現(xiàn)考慮，由代數(shù)基本定理，有一復(fù)根。若為實(shí)數(shù)則，其中不為實(shí)數(shù)，則若也是的復(fù)根，于是設(shè)，則是一個二次實(shí)系數(shù)不可約多項(xiàng)式，且不可約多項(xiàng)式的乘積，故結(jié)論成立。由歸納假設(shè)知可分解成一次因式與二次。即在上，推論3中不可約多項(xiàng)式除一次多項(xiàng)式外，只有含非實(shí)共軛復(fù)根的二次多項(xiàng)式。推論4n（n>0）次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：不可約，即滿足在R上例1.8.2：設(shè)是多項(xiàng)式的非零根，求以為根的四次多項(xiàng)式。解：設(shè)為多求多項(xiàng)式。所求多項(xiàng)式是：或§1.8有理系數(shù)多項(xiàng)式

本節(jié)討論有理數(shù)域上多項(xiàng)式的可約性，以及如何求Q上多項(xiàng)式的有理根，由于與在上的可約性相同。因此討論在Q上的可約性可轉(zhuǎn)化為求整系數(shù)多項(xiàng)式在Q上的可約性。一、整系數(shù)多項(xiàng)式的可約性定義1（本原多項(xiàng)式）：若整系數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)互素，則稱是一個本原多項(xiàng)式。例如：

本原多項(xiàng)式的加、減運(yùn)算所得的未必是本原多項(xiàng)式，但相乘之后必是本原多項(xiàng)式。是本原多項(xiàng)式。引理（高斯定理）：兩個本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式。證：設(shè)都是本原多項(xiàng)式若不是本原多項(xiàng)式，則存在素數(shù)p，使由于都是本原多項(xiàng)式，故的系數(shù)不能都被p整除，的系數(shù)也不能被p整除，可設(shè)但但現(xiàn)考慮除了這一項(xiàng)外，p能整除其余各項(xiàng)，因此這是一個矛盾，故是本原多項(xiàng)式。定理1.9.1：一個整系數(shù)n（n>0）次多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約的充要條件是它在整數(shù)環(huán)上可約。證：充分性顯然。下證必要性。設(shè)可分解成中兩個次數(shù)都小于n的多項(xiàng)式與的乘積，即有設(shè)的系數(shù)的公分母為m，則一個整系數(shù)多項(xiàng)式，把是系數(shù)的公因式n提出來，是本原多項(xiàng)式，即同理，存在有理數(shù)S，使也是本原多項(xiàng)式，于是下證是一個整數(shù)，設(shè)（p,q互素且p>0），由于是整系數(shù)多項(xiàng)式，故p能整除q與的每一系數(shù)的乘積，而p,q互素，故p能整除的每一系數(shù)，但由引理1知，是本原多項(xiàng)式，故p=1，從而rs是一個整數(shù)。C上不可約多項(xiàng)式只能是一次，R上不可約多項(xiàng)式只能是一次和含非實(shí)共軛復(fù)根的二次多項(xiàng)式，Q上不可約多項(xiàng)式的特征是什么？下面的Eisenstein的判別法回答了這個問題。問題：定理1.9.2（Eisenstein判別法）：設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，若存在素數(shù)p，使②①③則在Q上不可約。證（反證法）：若在Q上可約在Z上可約，即存在：使其中故或但兩者不能同時成立。不妨設(shè)但。由于，由知的系數(shù)不能都被p即但現(xiàn)考慮但p能整除其它項(xiàng)，故與已知矛盾。假設(shè)是第一個不能被p整除的系數(shù)，整除，在中不可約在中不可約。

由Eisenstein判別法知，Q上存在任意次不可約多項(xiàng)式。例1.9.1：是Q上不可約多項(xiàng)式，p是素數(shù)。例1.9.2：判斷在Q上是否可約？解：分別取p=2,p=3即知。解：取素數(shù)p即知。Eisenstein是判別多項(xiàng)式在Q上不可約的充分條件，但不是必要條件。注意：例：不可約，但找不到素數(shù)p。系數(shù)多項(xiàng)式。特別地，若是本原的，則也是本原的。推論：設(shè)若都是整系數(shù)多項(xiàng)式，且是本原的，則必是整的所有系數(shù)。）（若不是二、整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根定理1.9.3：設(shè)是一個整系數(shù)多項(xiàng)式，若有理數(shù)是整系數(shù)多項(xiàng)式的一個根，這里u，v是互素的整數(shù)，則①②證：（1）是的根，有一次因式即因?yàn)槭潜驹囗?xiàng)式是整系數(shù)多項(xiàng)式，故是整系數(shù)多項(xiàng)式。（2）設(shè)是整數(shù)。比較兩邊n次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)得：由定理1.9.3，要求整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，只要求出最高次項(xiàng)系數(shù)的因數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)。然后對形如有理數(shù)用綜合除法來檢驗(yàn)，如果最高次系數(shù)為1，則整系數(shù)多項(xiàng)式f的有理根只能是整根。這樣的例1.9.3：求的有理根。解：2的因數(shù)是的因數(shù)是故可能的有理根只能是對用綜合除法逐一檢驗(yàn)知：的有理根只能是。定理1.9.4：設(shè)是互素的整數(shù)，且是整系數(shù)多項(xiàng)式的根，則證：由把代入得：§1.10多元多項(xiàng)式

前面介紹了一元多項(xiàng)式的基本性質(zhì)，但是除了一元多項(xiàng)式外；還有含多個文字的多項(xiàng)式，即多元多項(xiàng)式，如下面簡單介紹有關(guān)多元多項(xiàng)式的一些概念。設(shè)F是一個數(shù)域，是n個文字，形如—（1）的式子，其中是非負(fù)整數(shù)，稱為一個單項(xiàng)式。

如果兩個單項(xiàng)式中相同文字的冪全一樣，那么它們就稱為同類項(xiàng)。一些單項(xiàng)式的和就稱為n元多項(xiàng)式，簡稱多項(xiàng)式，記為—（2）

和一元多項(xiàng)式一樣，n元多項(xiàng)式也可以定義相等，相加、相減、相乘。

相等：如果F上兩個n元多項(xiàng)式有完全相同的項(xiàng)（或者只差一些系數(shù)為零的項(xiàng)），則稱這兩個多項(xiàng)式是相等的。

相加：F上兩個n元多項(xiàng)式與的和指的是把分別出現(xiàn)在這兩個多項(xiàng)式中對應(yīng)的同類項(xiàng)的系數(shù)相加多得的n元多項(xiàng)式。例如：設(shè)則f與g的和是

相減：設(shè)

把g的系數(shù)都換成各自的相反數(shù)，所得多項(xiàng)式叫做g的負(fù)多項(xiàng)式，記為

相乘：F上兩個n元多項(xiàng)式與與g的每一項(xiàng)相乘，然后把這些乘積相加（合并同類項(xiàng)）所得的多項(xiàng)式稱為f與g的積，記為fg。的乘積指的是，先把f的每一項(xiàng)例如則

這樣定義的多項(xiàng)式的加法和乘法與中學(xué)代數(shù)里多項(xiàng)式的運(yùn)算一致，n元多項(xiàng)式的運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律：設(shè)則⑴（加法結(jié)合律）⑵（加法交換律）⑶（乘法結(jié)合律）（乘法交換律）⑷⑸（乘法分配律）我們把F上一切n個文字的集合，連同以上定義的加法和乘法叫做F上n個文字的多項(xiàng)式所成的多項(xiàng)式環(huán)，記作同一元多項(xiàng)式一樣，也可以談?wù)搉元多項(xiàng)式的次數(shù)。設(shè)稱為單項(xiàng)式的次數(shù)，

對f來說其中系數(shù)不為零的單項(xiàng)式的最高次數(shù)就稱為這個多項(xiàng)式f的次數(shù)，記為

設(shè)f、g是F上兩個不等于零的n元多項(xiàng)式，則f與g的和與積的次數(shù)與f、g的次數(shù)有如下關(guān)系：1、2、

結(jié)論1是顯然的，但要證明結(jié)論2，還得先考慮多元多項(xiàng)式的排列順序，在一元多項(xiàng)式中，我們看到多項(xiàng)式的升冪（或降冪）排列對許多問題的討論是方便的。為此，對多元多項(xiàng)式也引入一種排列順序的方法，這種方法是模仿字典排列的原則得出的，因而稱為字典排列法。每一類單項(xiàng)式（1）都對應(yīng)一個n元數(shù)組

為了給單項(xiàng)式之間一個排列順序的方法，我們只要對n元數(shù)但定義一個先后順序就可以了。其中為非負(fù)整數(shù)，這個對應(yīng)是1-1的，設(shè)兩個單項(xiàng)式分別對應(yīng)n元數(shù)組和考慮如果有使而則稱n元數(shù)組先于數(shù)組記為于是對應(yīng)于的單項(xiàng)式就排在對應(yīng)于的單項(xiàng)式前面。例如，對多項(xiàng)式按字典排列法寫出來就是：應(yīng)該注意的是，

把一個多項(xiàng)式按字典排列法書寫后，次數(shù)較高的項(xiàng)并不一定排在次數(shù)較低的項(xiàng)的前面，例如上面的首項(xiàng)次數(shù)為4，第二項(xiàng)的次數(shù)為6，而

關(guān)于多項(xiàng)式的首項(xiàng)有以下定理，這個定理在下一節(jié)討論對稱多項(xiàng)式時將要用到定理1.10.1：數(shù)域F上兩個非零的n元多項(xiàng)式和的乘積的首項(xiàng)等于這兩個多項(xiàng)式首項(xiàng)的乘積。證明：設(shè)的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為為了證明它們的積為fg的首項(xiàng)，只要證明數(shù)組先于乘積中其他單項(xiàng)式所對應(yīng)的有序數(shù)組就行了。的有序數(shù)組有三類：中其他單項(xiàng)式所對應(yīng)①②③其中于是這證明在乘積fg的首項(xiàng)。推論1.10.1：則的首項(xiàng)等于每個的首項(xiàng)的乘積。如果推論1.10.2：如果則現(xiàn)在回到兩個n元多項(xiàng)式的乘積的次數(shù)上來，設(shè)是一個n元多項(xiàng)式，則稱f是一個k次齊次多項(xiàng)式，簡稱k次齊次。如果中各項(xiàng)都有同一次數(shù)k，例如就是一個4次齊次多項(xiàng)式。

兩個齊次多項(xiàng)式的乘積仍是齊次多項(xiàng)式，它的次數(shù)就等于這兩個多項(xiàng)式的次數(shù)之和。任何一個m次多項(xiàng)式都可以唯一地表成幾組齊次多項(xiàng)式的和，即是i次齊次多項(xiàng)式，若就是f的一個i次齊次成分。數(shù)域F上兩個不等于零的n元多項(xiàng)式的乘積的次數(shù)等于這兩個多項(xiàng)式次數(shù)的和。定理1.10.2：證明：設(shè)且

它們的次數(shù)分別為m和s，把f與g分別寫成齊次多項(xiàng)式的和：這里或者等于零，或者分別是i次或j次齊式并且于是由推論1.10.2：且是一個m+s次齊式，其余各項(xiàng)或者等于零，或者是一個次數(shù)低于m+s的齊式。因此

同一元多項(xiàng)式一樣，F(xiàn)上n元多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)是相同的。對于數(shù)域F上一個n元多項(xiàng)式對F中任意n個數(shù)如果在中，用代替就得到數(shù)域F中一個確定的數(shù)，稱為時多項(xiàng)式的值，用來表示。如果由此一個n元多項(xiàng)式就確定一個n元多項(xiàng)式函數(shù)。則數(shù)組叫做的一個零點(diǎn)。對作映射：這個映射就確定一個由到F的函數(shù)，稱為多項(xiàng)式在的值。設(shè)如果則對都有這說明相等的多項(xiàng)式確定相同的多項(xiàng)式函數(shù)。下面證明其反面也成立。定理1.10.3：設(shè)如果對任意都有則證明思路：

當(dāng)n=1時結(jié)論顯然成立，假設(shè)對于F上n-1個文字的多項(xiàng)式來說結(jié)論成立，現(xiàn)考慮n個文字的多項(xiàng)式，把含有同一次冪的項(xiàng)歸在一起并把的冪提到括號外，則這里任意取定代入得已知對有取則有由于定理對一元多項(xiàng)式成立，故有又由于對中有由歸納假設(shè)，故從而§1.11對稱多項(xiàng)式

對稱多項(xiàng)式是多元多項(xiàng)式中常見的一種，也是一類比較重要的多元多項(xiàng)式，它的應(yīng)用比較廣泛，對稱多項(xiàng)式的來源之一以及它應(yīng)用的一個重要方面，是一元多項(xiàng)式根的研究，下面我們從一元多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系談起。設(shè)是的一個多項(xiàng)式，如果在F中有n個根（重根按重數(shù)計算），則可分解為把上式展開，比較兩邊系數(shù)，得根與系數(shù)關(guān)系如下：由此看出，多項(xiàng)式的系數(shù)是對稱地依賴于方程的根的，改寫上述方程組得—（1）所得n個n元多項(xiàng)式是對稱地依賴于文字下面給出對稱多項(xiàng)式的概念。定義1.11.1：對于n元多項(xiàng)式如果對任意的都有則稱這個多項(xiàng)式為對稱多項(xiàng)式。例如：是一個三元對稱多項(xiàng)式，是一個n元對稱多項(xiàng)式。都是n元對稱多項(xiàng)式，（1）中的稱為初等對稱多項(xiàng)式。并非每一個多項(xiàng)式都是對稱多項(xiàng)式，例如這時由定義可以推出：1、兩個n元對稱多項(xiàng)式的和、差、積仍是n元對稱多項(xiàng)式；2、如果一個對稱多項(xiàng)式含有一項(xiàng)則也一定含有一切形如的項(xiàng)。這里是的任意一個排列；3、如果是n元對稱多項(xiàng)式，而是任一多項(xiàng)式，那么是n元對稱多項(xiàng)式。

在對稱多項(xiàng)式的理論中，初等對稱多項(xiàng)式占有一個很重要的地位。下面將要證明，每一個n元對稱多項(xiàng)式都可以唯一地表示成初等對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式。這是對稱多項(xiàng)式的基本定理。下面不加證明給出一個引理。引理1.11.1：設(shè)是數(shù)域F上一個n元多項(xiàng)式，以代替得關(guān)于的一個多項(xiàng)式如果則有定理1.11.1：數(shù)域F上每個n元對稱多項(xiàng)式都可以表成關(guān)于初等對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式且這種表示方法是唯一的。證明：1、設(shè)對稱多項(xiàng)式按字典排列的首項(xiàng)是—（2）則這一項(xiàng)的冪指數(shù)必滿足不等式：不然，設(shè)有某個i，使由于是對稱多項(xiàng)式，故也含有項(xiàng)—（3）

而按字典排列法，（3）項(xiàng)應(yīng)在（2）項(xiàng)之前，這與（2）項(xiàng)是首項(xiàng)矛盾。2、令由知，每一個的冪指數(shù)都是非負(fù)整數(shù)，而作為一些初等對稱的冪的乘積，是的一個對稱多項(xiàng)式，的首項(xiàng)是它等于f的首項(xiàng)。因此令是一個n元對稱多項(xiàng)式，且的首項(xiàng)，對的首項(xiàng)小于f對稱多項(xiàng)式重復(fù)上述消去首相的方法，我們得到是F上的初等對稱多項(xiàng)式的冪的乘積，的首項(xiàng)小于的首項(xiàng)。

如此繼續(xù)作下去，這個過程一定在有限步后終止，即存在一個自然數(shù)m，使這是因?yàn)?，若—?）是某個的首項(xiàng)。由于是對稱多項(xiàng)式。所以這一項(xiàng)的冪指數(shù)必須滿足不等式另一方面，（4）項(xiàng)小于項(xiàng)（2），故且是有限數(shù)，滿足這樣的數(shù)組只能是有限多組。因此經(jīng)過有限步后，必有一于是我們得一串等式把這一串等式相加，即得這里每一都是F上關(guān)于初等對稱多項(xiàng)式的冪的乘積，可是f可以表成的多項(xiàng)式。下證表方法是唯一的。如果多項(xiàng)式有兩種表達(dá)式：和都是的多項(xiàng)式。由引理1.11.1：故因此

基本定理的證明同時給出一個用初等對稱多項(xiàng)式來表示對稱多項(xiàng)式的方法。例1：用初等對稱多項(xiàng)式表示n元對稱多項(xiàng)式f的首項(xiàng)是對應(yīng)的n元數(shù)組為故取于是故對于復(fù)雜的對稱多項(xiàng)式，可以利用待定系數(shù)法來求。設(shè)是F上一個單項(xiàng)式，用符號—（5）表示這個單項(xiàng)式經(jīng)過的一切置換所得的所有不同項(xiàng)的和。1、（5）式是一個對稱多項(xiàng)式，并且是齊次的。例如例2：用初等對稱多項(xiàng)式表示n元對稱多項(xiàng)式由定理1.11.1的證明知道，所求的表示式的各項(xiàng)完全取決于相應(yīng)的對稱多項(xiàng)式的首項(xiàng)，這些首項(xiàng)必須滿足以下條件：

每個的首項(xiàng)都小于f的首項(xiàng)，如果i>j，則的首項(xiàng)小于的首項(xiàng)；

每一首項(xiàng)的指數(shù)組滿足不等式

每一首項(xiàng)的次數(shù)都等于4（因?yàn)閒是一個四次齊式，因此每一也是四次齊次）；

由f的首項(xiàng)的指數(shù)組開始，寫出滿足上述條件的一切可能的指數(shù)組，以及對應(yīng)的的冪的乘積，列表如下：指數(shù)組對應(yīng)的的冪的乘積于是多項(xiàng)式f可以表成其中a、b是待定系數(shù)，要確定a、b的值，只要對取一些特殊值代入即可求出。例如對例2，可以先取對于這組值，而由于得再取這時故由得于是2、如果所給的對稱多項(xiàng)式不是齊次多項(xiàng)式，則可以先把它寫成一些齊次多項(xiàng)式的和，然后再對每一齊次多項(xiàng)式應(yīng)用待定系數(shù)法?？紤]的差積的平方D是一個重要的對稱多項(xiàng)式。由基本定理，D可以表示成的多項(xiàng)式由根與系數(shù)的關(guān)系知，是的根。于是若則在C上有重根，反之也成立故為一元多項(xiàng)式的判別式。例：設(shè)求的判別式。解：設(shè)的根為§2.1引言§2.1引言

解方程是代數(shù)中一個基本問題，在中學(xué)我們學(xué)過一元、二元、三元以至四元一次線性方程組。在解線性方程組時，我們曾用代入消元法和加減消元法來解線性方程組。例如，對二元一次方程組（2.1.1）利用加減消元法，由和得若，則有我們用記號表示，+－若，則是方程組（2.1.1）的公式解。對三元一次線性方程組（2.1.2）若+－則是方程組（2.1.2）的公式解。這里是分別用代替中第1列，第2列，第3列所得的行列式。

由此，我們引入了二階行列式和三階行列式的定義，同時給出了二元一次和三元一次線性方程組的公式解。我們自然要問，對于n元一次線性方程組（2.1.3）是否也有類似于（2.1.1)、（2.1.2）的公式解？

這首先就必須解決：能否把二階、三階行列式推廣到n階行列式？要解決這個問題，必須回答以下一系列問題：這個n階行列式如何定義？n階行列式中一共包含有多少項(xiàng)？每一項(xiàng)由哪些元素組成？哪些項(xiàng)前面帶正號？哪些項(xiàng)前面帶負(fù)號？

有了n階行列式的定義后，我們才能研究方程組（2.1.3）有沒有類似于二元、三元方程組的公式解。§2.2

排列第二章行列式一、排列與對換排列的定義：由n個數(shù)碼1，2，…，n組成的一個無重復(fù)的有序數(shù)組稱為這n個數(shù)碼的一個排列，簡稱為n元排列。例如，312是一個3元排列，2341是一個4元排列，45321是一個5元排列，等等。3元排列共有多少種不同的排列？123132213231312321n元排列共有多少種不同的排列？在n元排列中，只有123…n這個排列是按自然順序排列，其他排列或多或少破壞自然排列。反序的定義：在一個n元排列中，如果有一個較大的數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼前面，則稱這兩個數(shù)碼在這個排列中構(gòu)成一個反序，一個n元排列中所有反序的總和稱為這個排列的反序數(shù)，記為或。例如：一般地，這是計算一個n元排列的反序數(shù)的一般方法，特別在證明題中有用。對換的定義：在一個n元排列中，如果交換某兩個數(shù)碼的位置而別的數(shù)碼不動，則稱對這個排列施行了一個對換。如果交換的兩個數(shù)碼是和，就把這個對換記為例如問題1：任意兩個n元排列是否可經(jīng)一系列對換而互變？引理1：任意一個n元排列

可經(jīng)一系列對換變?yōu)樽匀慌帕?2…n。證明（用歸納法）：1、當(dāng)n=2時，結(jié)論顯然成立。2、假設(shè)結(jié)論對n-1元排列成立，（1）則對任一個n元排列，假如，則由歸納假設(shè)知可經(jīng)一系列對換變?yōu)?2…（n-1）。于是經(jīng)同樣一系列的對換，變?yōu)?2…(n-1)n；（2）假如，設(shè)，于是經(jīng)一次對換，得由（1）知，經(jīng)一系列對換可把變?yōu)?2…n。因而可經(jīng)一系列變換變?yōu)?2…n。(證畢)由于對換是可逆的，因此有推論1：自然排列12…n可經(jīng)一系列的對換變到任意一個n元排列：。

由引理1和推論1，我們圓滿地解決上面提出的問題1，這就是：定理2.2.1：任意兩個n元排列可經(jīng)一系列對換互化。問題2：排列的反序數(shù)可以是，反序數(shù)究竟有何作用？二、排列的奇偶性。排列的奇偶性：如果一個n元排列的反序數(shù)是一個奇數(shù)，則稱該排列為奇排列，反序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列。例如：是奇排列，而是偶排列。問題3：對n元排列施行一次對換，對排列的奇偶性有沒有影響？例如，，。定理2.2.2：每一個對換均改變排列的奇偶性。證明：（先特殊后一般）1、先考慮特殊情況，即對換的兩個數(shù)在n元排列中是相鄰的。設(shè)排列（1）：化為排列（2）：，在排列（1）中，若

與其他數(shù)構(gòu)成反序，則在排列（2）中仍然構(gòu)成反序；若與其他數(shù)不構(gòu)成反序的，則在排列（2）中也不構(gòu)成反序。不同的是的順序發(fā)生變化，若在（1）中構(gòu)成一個反序，則在（2）中經(jīng)對換(j,k)不構(gòu)成反序，或在（1）中不構(gòu)成一個反序，則在（2）中構(gòu)成一個反序。無論是減少還是增加一個反序，排列反序數(shù)的奇偶性均發(fā)生變化，因此定理成立。2、再考慮一般情況，設(shè)排列為（3）：經(jīng)對換后化為排列（4）：這樣一個對換可以經(jīng)由一系列相鄰數(shù)碼的對換來實(shí)現(xiàn)。從（3）出發(fā)，依次把與對換，與對換，…，與對換。經(jīng)過S+1次相鄰數(shù)碼的對換，排列（3）化為排列（5）：；再把依次與對換，則經(jīng)S次相鄰數(shù)碼的對換，排列（5）就化為排列（4）。故經(jīng)2S+1相鄰數(shù)碼的對換，就把排列（3）化為排列（4）。由第一步知每一次相鄰位置的對換均改變排列的奇偶性，因此，奇數(shù)次的對換的最終結(jié)果仍然改變排列的奇偶性。問題4：在全體n元排列中，究竟是奇排列多還是偶排列多？定理2.2.3：當(dāng)時，在n!個n元排列中，奇、偶排列各占一半，即各有個。證明：由于，故由定理2.2.2知，在n元排列中總有奇排列和偶排列，設(shè)在n!個n元排列中，有S個奇排列和T個偶排列。把S個奇排列中的每一個排列的任兩個數(shù)碼對換，這S個奇排列就都變成偶排列，但總共只有T個偶排列，故。同理對T個偶排列中每一個進(jìn)行對換，得。因此，又，§2.3n階行列式的定義問題：如何定義n階行列式？、二階與三階行列式的構(gòu)造特點(diǎn)：（1）二階行列式是一個含有項(xiàng)的代數(shù)和；（2）每一項(xiàng)都是兩個元素的乘積，這兩個元素既位于不同的行，又位于不同的列，并且展開式恰好是由所有這些可能的乘積組成；（3）任意項(xiàng)中每個元素都帶有兩個下標(biāo)，第一個下標(biāo)表示元素所在行的位置，第二個下標(biāo)表示該元素所在列的位置。當(dāng)把每一項(xiàng)乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序后，每一項(xiàng)乘積的符號由這一項(xiàng)元素的列指標(biāo)所成的排列的奇偶性決定，奇排列取負(fù)號，偶排列取正號。對三階行列式也有相同的特點(diǎn)特點(diǎn)：（1）共有3！項(xiàng)的代數(shù)和；（2）每一項(xiàng)是三個元素的乘積，這三個元素既位于不同的行又位于不同的列，展開式恰由所有這些可能的乘積組成；（3）當(dāng)把每一項(xiàng)乘積的元素按行下標(biāo)排成自然順序后，每一項(xiàng)的符號由這一項(xiàng)元素的列指標(biāo)所成的排列的奇偶性決定。二、n階行列式的定義1、為一個n階行列式，它等于所有取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和，這里是的一個排列。每一項(xiàng)中把行下標(biāo)按自然順序排列后，其符號由列下標(biāo)排列的奇偶性決定。當(dāng)偶排列時取正號，當(dāng)是是奇排列時取負(fù)號，即

根據(jù)定義可知：n階行列式共由n!項(xiàng)組成；要計算n階行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積；把構(gòu)成這些乘積的元素的行下標(biāo)排成自然順

序，其符號由列下標(biāo)所成排列的奇偶性決定；n階行列式的定義是二、三階行列式的推廣。2、例子例2.3.1：計算行列式例2.3.2：計算行列式例2.3.3：用行列式定義計算例2.3.4：設(shè)問：是不是四階行列式的項(xiàng)？如果是，應(yīng)取何符號？是，取符號：-1是，取符號：-1例2.3.5：設(shè)問：（1）dhsy與ptaz是否為的項(xiàng)？應(yīng)取何符號？（2）含有t的項(xiàng)有多少？（6項(xiàng)）注：在一個行列式中，通常所寫的元素本身不一定有下標(biāo)，即使有下標(biāo)，其下標(biāo)也不一定與這個元素本身所在的行與列的位置完全一致。因此要確定一項(xiàng)的符號，必須按照各元素在行列式中實(shí)際所在的行與列的序數(shù)計算。在一般情況下，把n階行列式中第i行與第j列交叉位置上的元素記為在行列式中，從左上角到右下角這條對角線稱為主對角線定理2.3.1在n階行列式中，項(xiàng)所帶的符號是證明：1、交換項(xiàng)—(1)中任兩個元素與的位置，不改變把（1）中與對換后得—(2)由于對換改變排列的奇偶性,故與與的奇偶性互化，2、逐次交換（1）中的元素的次序，可以把（1）化為故—(3)+與有相同的奇偶性+的奇偶性?！?）而（4）的行下標(biāo)與列下標(biāo)所成排列和的奇偶性與（3）相同，于是因此項(xiàng)所帶的符號是注：本定理說明在確定行列式中某項(xiàng)應(yīng)取的符號時，可以同時考慮該項(xiàng)行排列與列排列的反序數(shù)之和，而不一定要把行下標(biāo)排成自然順序。例2.3.6：試確定四階行列式中項(xiàng)的符號，寫出四階行列式中包含且取正號的所有項(xiàng)。解所帶符號是:取正號的項(xiàng)包括，幾種特殊的行列式：對角形行列式上三角行列式下三角行列式§2.4行列式的基本性質(zhì)

直接用定義計算行列式是很麻煩的事，本節(jié)要導(dǎo)出行列式運(yùn)算的一些性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，將使行列式的計算大為簡化。轉(zhuǎn)置行列式：把n階行列式的第i行變?yōu)榈趇列（i=1，2，…，n）所得的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，用表示。性質(zhì)1：行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。（轉(zhuǎn)置變換）證：考察D的任意項(xiàng)—（1）它是取自D的不同行不同列的n個元素的乘積，因而也是取自的第行，1，2，…，n列的n個元素的乘積，因而也是中的一項(xiàng):—（2）。（1）項(xiàng)所帶的符號是,(2)項(xiàng)所帶的符號也是。因而D中的任一項(xiàng)均為中的項(xiàng)而且所帶的符號也相同。同理可知中的任一項(xiàng)也是D中的項(xiàng)且所帶的符號相同。因此D=性質(zhì)1表明，在行列式中，行與列的地位是相同的。凡是對行成立的性質(zhì)，對列也同樣成立。性質(zhì)2：把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常數(shù)k，相當(dāng)于用數(shù)k乘這個行列式，即（倍法變換）證明：推論1：一個行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提到行列式的符號外面。推論2：如果行列式中某一行（列）所有元素都為零，則這個行列式等于零。在性質(zhì)2中，取k=0，即知結(jié)論成立。性質(zhì)3：交換行列式D中的某兩行（列），行列式變號。（換法變換）即設(shè)則有：證：取D中任一項(xiàng)：—（1）它所帶的符號是：，顯然也是中的一項(xiàng)，它所帶符號為：。由于對換改變排列的奇偶性，故D中的任一項(xiàng)與中對應(yīng)項(xiàng)剛好相差一個符號，故推論3：如果行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)相同，則這個行列式等于零。（交換這兩行（列）即知）推論4：如果行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則這個行列式等于零。（利用性質(zhì)2和推論3）性質(zhì)4：如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成兩項(xiàng)之和，則該行列式可拆成兩個行列式之和，即（拆法變換）證明：性質(zhì)5：把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一個數(shù)k再加到另一行（列）的對應(yīng)元素上，所得行列式與原行列式相等。（消法變換）即利用性質(zhì)4和推論4即知。例2.4.1計算行列式例2.4.2計算行列式定理2.4.1：任一個n階行列式都可以利用性質(zhì)5中的行或列變換化為一個與其相等的上（下）三角行列式。證明：設(shè)1、先設(shè)D中第一列元素不全為零，若則把第i行所有元素同乘1加到第一行上，則故不妨設(shè)把第一行依次乘以后分別加到第2行，…，第n行，則—（1）若D中第一列元素全為零，則D已經(jīng)是（1）的形式?，F(xiàn)對（1）中第二列的進(jìn)行考慮，同上類似，先設(shè)它們不全為零，不妨設(shè)，則利用上面相似的方法，可得仿此不斷進(jìn)行下去，就可把D化為上三角行列式。例2.4.3計算n階行列式解法一：法二：在一個n階行列式中，若有，則稱為n階對稱行列式；若有則稱為反對稱行列式。例2.4.4奇數(shù)階的反對稱行列式等于0。證明：設(shè)為奇數(shù)階的反對稱行列式。由于得于是例2.4.5(思考題)計算n階行列式§2.5行列式依行（列）展開

上一節(jié)我們利用行列式的性質(zhì)把一個行列式化為上三角或下三角行列式，然后根據(jù)定義算出行列式的值，或者把一個行列式化成其中含有盡量多個零的行列式，然后算出行列式的值。本節(jié)我們沿著另一條思路來計算行列式的值，即通過把高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式來計算行列式的值。例如

如果我們能把n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式，把n-1階行列式轉(zhuǎn)化為n-2階，…，而行列式的階數(shù)越小越容易計算，我們就可以化繁為簡，化難為易，從而盡快算出行列式的值。為了這個目的，我們需引進(jìn)如下概念：一、余子式和代數(shù)行列式定義1（余子式）：在一個n階行列式中，劃去元素所在的行和列，余下的元素構(gòu)成一個n-1階子式，稱為元素

的余子式，記為定義2（代數(shù)余子式）：的余子式附以符號后，稱為元素的代數(shù)余子式，記為。例2.5.1.在行列式中，求元素p和s的余子式和代數(shù)余子式。二、行列式依行（列）展開

先考慮比較特殊的情況，即一個n階行列式中某一行（列）除一個元素外，其余元素都為零的情況，這時有以下引理。引理：如果行列式中，第i行（或第j列）中元素除了外其余都是零，則

證明：1、D中第一行元素除外其余皆為零，這時2、假設(shè)D中第i行除外其余皆為零，這時此時

把D中的第i行依次與第i-1行，第i-2行，…，第1行對換，再把第j列依次與第j-1列，第j-2列，…，第1列對換，這樣共經(jīng)過（i-1）+（j-1）次行與列的對換，則D轉(zhuǎn)化為注意到行列式中任兩行（列）的對換改變行列式的符號，故3、行列式依行（列）展開定理2.5.1

行列式等于它的任意一行（列）中所有元素與其代數(shù)余子式乘積的和，即有或證：定理2.5.2.

行列式中，某一行（列）中元素與另一行（列）中對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即有考察行列式然后按第j行展開即知。例2.5.2.計算行列式解：例2.5.3計算行列式解：

計算行列式的一個基本方法是：先利用行列式的性質(zhì)把某行（列）化成有盡可能多的零，然后把行列式按這行（列）展開，這樣計算要簡單。如果不分青紅皂白把行列式降階，由于要計算的行列式個數(shù)成倍增多，則計算量未必減少。例2.5.4計算范德蒙行列式解：這種計算行列式的方法稱為遞推法證明范德蒙行列式也可用歸納法證之§2.6行列式的計算對一般的數(shù)字行列式，如果它的元素之間沒有特定的規(guī)律，其計算方法是：

1）利用行列式性質(zhì)把它化為上三角或下三角行列式，則行列式的值等于其主對角線上元素的連乘積；

2）選定某一行（列），利用行列式性質(zhì)把其中元素盡可能多的化為0；然后按這一行（列）展開，如此繼續(xù)下去可得結(jié)果。如果行列式的元素之間有某種規(guī)律，特別是含字母或式子的行列式，則需根據(jù)不同情況采用不同方法加以計算，這方面的計算頗有技巧性，下面介紹一些典型方法。一、各行（列）倍數(shù)總加法例2.6.1：計算解：練習(xí)1計算二、逐行（列）倍數(shù)依次相加法例2.6.2計算（依次把第n列，第n-1列，…，第2列乘x加到第n-1列，…2，1列）三、遞推法例2.6.3計算范德蒙行列式解：四、加邊法例2.6.4計算解：當(dāng)時，故五、歸納法例2.6.75計算解：我們猜測證明：當(dāng)n=2,3時，結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對n-2階，n-3階行列式成立，即則對n階行列式練習(xí)2計算§2.7Gramer法則

行列式理論在解一類特殊的線性方程組方面有重要應(yīng)用，對于二元一次和三元一次方程組，當(dāng)方程組的系數(shù)行列式不為0時，方程組有唯一的公式解。對于n元一次方程組，相應(yīng)的結(jié)論也成立，這就是下面要介紹的Gramer法則。設(shè)n元一次線性方程組為—（1）稱為這個方程組的系數(shù)行列式。把D中的第j列換成常數(shù)列后所得行列式記為則

定理2.7.1（Gramer法則）：

如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式有唯一解，其解為：

，則這個方程組—（2）其中是把D中的第j列元素?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)所得的行列式，該定理包括三個結(jié)論：

方程組在時有解；

解是唯一的；

解由公式（2）給出。這三個結(jié)論相互之間有聯(lián)系，因此證明的步驟是：1、把（2）代入方程組，驗(yàn)證它是方程組（1）的解；2、假設(shè)方程組有解，則它的解必可由公式（2）給出。證：把方程組簡寫成首先證明公式（2）確是方程組（1）的解。把代入第i個方程得：因此確是方程組（1）的解。再證方程組（1）的解必由公式（2）給出。設(shè)是方程組（1）的任一解，則有—（3）用D中第j列元素的代數(shù)余子式依次乘以（3）中每個方程得把這n個方程相加得：而例2.7.1解線性方程組解：由于方程組的系數(shù)行列式故方程組有唯一解。由于方程組的解是注意：克萊姆法則只適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等，且系數(shù)行列式不等于零的線性方程組。如果方程個數(shù)與未知量個數(shù)不相等或雖相等，但系數(shù)行列式等于零，克萊姆法則失效。如果在線性方程組（1）中常數(shù)項(xiàng)全為零，即有—（4）稱方程組（4）為齊次線性方程組，這種方程組顯然有解：稱其為零解。齊次線性方程組如果有其他的解，則稱為非零解。我們關(guān)心方程組（4）什么時候有非零解。定理2.7.2：

若齊次線性方程組（4）的系數(shù)行列式，則方程組（4）只有零解。證：由Gramer法則，方程組（4）只有唯一解：但由于推論：齊次線性方程組（4）有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零。例2.7.2當(dāng)取何值時，齊次線性方程組有非零解。解：當(dāng)或時，方程組有非零解。§2.8Laplace展開定理

利用行列式的依行（列）展開可以把n階行列式化為n-1階行列式來處理，這在簡化計算以及證明中都有很好的應(yīng)用。但有時我們希望根據(jù)行列式的構(gòu)造把n階行列式一下降為n-k階行列式來處理，這是必須利用Laplace展開定理。為了說明這個方法，先把余子式和代數(shù)余子式的概念加以推廣。定義（k階子式和它的余子式）：在n階行列式D中，任意取定k行或k列（），設(shè)為第行和第列。位于這些行列式交叉位置上的元素構(gòu)成的k階子式記為N，則在D中劃去這k行k列后，余下的元素按照原來相對位置所構(gòu)成的n-k階子式，稱為子式N的余子式。定義（代數(shù)余子式）：N的余子式M附以符號，即稱為N的代數(shù)余子式。注意：1、當(dāng)k=1時，上面定義的余子式和代數(shù)余子式就是§2.5中關(guān)于一個元素的余子式和代數(shù)余子式。2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互為余子式。例2.8.1寫出行列式第三行所得的所有二階子式及它們的余子式和代數(shù)余式。二階子式共有中取定第一行和個。引理：n階行列式D的任一個子式N與它的代數(shù)余子式乘積中的每一項(xiàng)都是行列式D的展開式中的一項(xiàng)，而且符號也一致。

證明：首先考慮N位于行列式D的左上方（即第1，2，…，k行和第1，2，…，k列）的情況。這時D中k階子式N的余子式位于右下角，其代數(shù)余子式為N的每一項(xiàng)可寫作：，其中是1，2，…，k的一個排列。所以這一項(xiàng)前面所帶符號為：，中每一項(xiàng)可寫為其中是k+1,k+2,…,n的一個排列。這一項(xiàng)在M中所帶的符號是：（或）。這兩項(xiàng)的乘積是：所帶的符號是：由于都比k大，所以上述符號等于。因此這個乘積是行列式D中的一項(xiàng)而且符號相同。

現(xiàn)考慮N位于D的第行，第列。這里為了利用前面的結(jié)論，我們先把第行依次與行對換，這樣經(jīng)過次對換把第行換到第1行，再把第行依次與第行對換而換到第2行，共經(jīng)次對換，如此進(jìn)行下去，一共經(jīng)過次行對換把第行換到第1，2，…，k行。利用類似的列變換，可以把N的第列換到第1，2，…，k列，這時一共經(jīng)過次列變換，把N換到左上角，把M換到右下角。用表示經(jīng)上述行、列變換后得到的新行列式，由于一次行（列）對換改變行列式的符號，故新、舊行列式之間有如下關(guān)系：由此可知，和D的展開式中出現(xiàn)的項(xiàng)是一樣的，只不過每一項(xiàng)都相差符號為現(xiàn)在N位于的左上角，它的余子式位于的右下角，由第一步知中的每一項(xiàng)都是中的一項(xiàng)且符號相同，故中每一項(xiàng)都與D中的一項(xiàng)相等且符號一致。定理2.8.1（Laplace定理）：設(shè)在行列式D中任意取定行，由這k行元素所組成的一切k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。證明：設(shè)D中取定k行后所得的子式為它的代數(shù)余子式分別為下證—（1）由引理知，中的每一項(xiàng)都是D中一項(xiàng)而且符號相同，而且和無公共項(xiàng)。因此要證明（1）式成立，只要證明等式兩邊的項(xiàng)數(shù)相等就可以了。由定義知D中共有項(xiàng)，為了計算（1）的右邊的項(xiàng)數(shù)，先算出t共有多少個。由組合公式知因此取出的k階子式共有個，而中共有項(xiàng)，中共有項(xiàng)，故等式（1）的右邊的項(xiàng)數(shù)共有例2.8.2計算行列式解：取定1、4兩行，由Laplace定理得由上例可知，對特殊類型的行列式，Laplace展開能使計算簡化，另外，定理還能用于理論證明。定理2.8.2（行列式相乘規(guī)則）：兩個n階行列式和的乘積等于行列式，其中為中第i行元素與中第j列對應(yīng)元素的乘積之和，即證明：構(gòu)造一個2n階行列式取定前n行，根據(jù)Laplace展開得對作消法變換，即分別用乘第1列，第2列，…，第n列加到第n+1列，用乘第1列，第2列，…，第n列加到第n+2列，…，用乘第1列，第2列，…，第n列加到第2n列，則化為由此得兩個n階行列式的乘法規(guī)則是：第三章線性方程組§3.1消元法§3.1消元法對一般線性方程組—（1）當(dāng)m=n，且系數(shù)行列式時，我們知方程組（1）有唯一解，其解由Gramer法則給出。但是若此時D=0，我們無法知道此時方程組是有解，還是無解。同時，當(dāng)時，我們也沒有解此方程組（1）的有效方法。因此我們有必要對一般線性方程組（1）進(jìn)行研究。在中學(xué)代數(shù)中，我們曾用加減消元法和代入消元法來解二元、三元線性方程組。實(shí)際上用加減消元法比用行列式解方程組更具有普遍性。下面考慮解線性方程組：

解方程組：把未知量系數(shù)和常數(shù)按原順序?qū)懗上卤怼训?個方程分別乘以（-2）、（-1）加到第2個、3個方程把第1行分別乘以（-2）、（-1）加到第2、3行→把第3個方程分別乘以（-4）、1加到第2個、1個方程把第3行分別乘以（-4）、1加到第2、1行→把第2個方程與第3個方程互換位置把第2行與第3行互換位置→分別把第1個方程和第3個方程乘以和分別用和乘第1行和第3行→把第3個方程分別乘以（-1）、1加到第1、2個方程分別把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行→在用消元法解線性方程組時我們實(shí)際上是對方程組進(jìn)行如下三種變換：用一個數(shù)乘某個方程的兩邊加到另一方程上；用一個非零數(shù)乘一個方程的兩邊；互換兩個方程的位置。這三種變換總稱為線性方程組的初等變換。如果把方程組寫成“數(shù)表”（矩陣）的形式,則解方程組就相當(dāng)于對“數(shù)表”（矩陣）進(jìn)行以下三種變換：

用一個數(shù)乘矩陣的某一行加到另一行上；用一個非零數(shù)乘矩陣的某一行；

互換兩行的位置。這三種變換被稱為矩陣的初等行變換。

從上面可以看出，解線性方程組的問題可以轉(zhuǎn)化成對由方程組的未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)所排成的一個“數(shù)表”進(jìn)行相應(yīng)的“變換”，從而得到方程組的解。這個數(shù)表就稱為矩陣。拋開具體的背景，下面引進(jìn)矩陣的定義和它的初等變換。定義1（矩陣）：數(shù)域上個元素排成形如下數(shù)表稱為矩陣的或稱為數(shù)域上的m行n列矩陣，簡稱階矩陣，記為。元素，i稱為元素所在行的行下標(biāo)，j稱為元素所在列的當(dāng)m=n時，矩陣亦稱為方陣。列下標(biāo)。若，則稱為矩陣A的行列式，記為注意行列式與矩陣在形式上與本質(zhì)上的區(qū)別。定義2（矩陣的初等變換）：以下三種變換稱為矩陣的初等變換：

用一個數(shù)乘矩陣的某一行（列）加到另一行（列）上；（消法變換）用一個非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）；（倍法變換）交換矩陣中某兩行（列）的位置。（換法變換）

為了利用矩陣的行初等變換解線性方程組，我們要解決以下問題：一個線性方程組經(jīng)初等變換后所得線性方程組是否與原方程組同解。證明：對第（1）種初等變換證明之。

由方程組未知量系數(shù)按原來的順序組成的矩陣，稱為方程組的系數(shù)矩陣，記為A。由方程組未知量系數(shù)和常數(shù)組成的矩陣稱為方程組的增廣矩陣，記為對方程組進(jìn)行初等變換，其實(shí)質(zhì)就是對方程組中未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成的矩陣（稱為增廣矩陣）進(jìn)行相應(yīng)的初等變換，因此由定理3.1.1，我們有定理3.1.2:

對線性方程組（1）的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換化為，則以為增廣矩陣的線性方程組（2）與（1）同解。

由前面的討論知，對一個線性方程組施行初等變換，相當(dāng)