第三章函數(shù)的概念與性質寒假作業(yè)知識鞏固及習題1.函數(shù)的概念設,是非空的（），如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作,.其中，叫做（），的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與的值相對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的（），顯然，值域是集合的（）.2.區(qū)間：設,是兩個實數(shù)，而且，我們規(guī)定：（1）滿足不等式的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，表示為；（2）滿足不等式的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，表示為（）；（3）滿足不等式或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為：,.這里的實數(shù)，都叫做相應區(qū)間的端點.這些區(qū)間的幾何表示如下表所示.（4）實數(shù)集可以表示為,“”讀作“無窮大”，“”讀作“負無窮大”，“”讀作“正無窮大”.滿足，，，的實數(shù)的集合，用區(qū)間分別表示為，.這些區(qū)間的幾何表示如下表所示.注意：（1）“”是一個趨向符號，表示無限接近，卻永遠達不到，不是一個數(shù).（2）以“”或“”為區(qū)間的一端時，這一端點必須用小括號.函數(shù)的三要素（1）（）（2）（）；（3）（）4.函數(shù)的相等如果兩個函數(shù)的（）和（）分別相同，那么就說這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).5.函數(shù)的表示方法（1）解析法（2）圖象法（3）列表法6.分段函數(shù)（1）分段函數(shù)的概念有些函數(shù)在其定義域內，對于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).如，.說明：=1\*GB3①分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).處理分段函數(shù)問題時，要先確定自變量的取值在哪個區(qū)間，從而選取相應的對應關系.=2\*GB3②分段函數(shù)在書寫時用大括號把各段函數(shù)合并寫成一個函數(shù)的形式.并且必須指明各段函數(shù)自變量的取值范圍.=3\*GB3③分段函數(shù)的定義域是自變量所有取值區(qū)間的并集，分段函數(shù)的定義域只能寫成一個集合的形式，不能分開寫成幾個集合的形式.=4\*GB3④分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)在對應自變量的取值范圍內值域的并集.7.單調性與最大（?。┲担?）增減性設函數(shù)的定義域為I,區(qū)間DI.如果，，當時，都有,（）那么就稱函數(shù)在區(qū)間D上單調遞增（單調遞減）.特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調遞增（單調遞減）時，我們就稱它是增函數(shù)（減函數(shù)）.證明函數(shù)在區(qū)間D上單調遞增或單調遞減，基本步驟;=1\*GB3①設值：設，且=2\*GB3②作差：；=3\*GB3③變形：對變形，一般是通分，分解因式，配方等.這一步是核心，要注意變形到底；=4\*GB3④判斷符號，得出函數(shù)的單調性.（3）函數(shù)的最大值與最小值=1\*GB3①最大值：設函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿對于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我們稱M是函數(shù)的最大值.(自己再寫最小值寫在最大值下面）8.奇偶性（1）偶函數(shù)設函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，（）那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).（奇函數(shù)）關于奇函數(shù)有下面的結論：奇偶函數(shù)的定義域一定關于原點對稱；如果奇函數(shù)當時有意義，那么；9.冪函數(shù)的概念一般地，形如（，為常數(shù)）的函數(shù)稱為冪函數(shù).對于冪函數(shù)，我們只研究，，，，時的圖象與性質.2.五個冪函數(shù)的圖象和性質定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調性增函數(shù)在上遞減在上遞增增函數(shù)增函數(shù)在，上遞減定點1．函數(shù)的定義域是（

）A．B．C． D．答案 B2．設函數(shù)，則等于（

）A． B．1 C． D．5答案A3．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【詳解】函數(shù)的定義域是，則，故，解得.故選：D4.函數(shù)f(x)=1x-2x在區(qū)間-2,-12A.1 B.72 C.-72 D.因為f(x)在區(qū)間-2,-所以f(x)min=f-12=1-12答案D5．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過的，按每立方米元收費；用水超過的，超過部分加倍收費．某職工某月繳水費元，則該職工這個月實際用水為（

）A． B． C． D．答案A【詳解】設該職工用水時，繳納的水費為元，由題意得，則，解得.答：該職工這個月實際用水為.5.函數(shù)f(x)=|x-2|·(x-4)的單調遞減區(qū)間是()A.[2,+∞) B.[3,+∞)C.[2,4] D.[2,3]由于f(x)=|x-2|·(x-4)=x在平面直角坐標系中畫出函數(shù)f(x)的圖象(如圖),則可得函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是[2,3].答案D7．已知冪函數(shù)的圖象過點，則等于（

）A． B． C． D．【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，又因為函數(shù)的圖象過點，所以，因此，故選：A8.已知實數(shù)a≠0,函數(shù)f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥1A.-1 B.1 C.3 D.-3解析:當a>0時,1-2a<1,1+a>1,由f(1-2a)=f(1+a),得2(1-2a)+a=-(1+a)-2a,a無解;當a<0時,1-2a>1,1+a<1,由f(1-2a)=f(1+a),得-(1-2a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-1.綜上可得,a=-1.9．（多選）下列每組中為不相同函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【詳解】A：函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，函數(shù)的定義域為全體非負實數(shù)，所以這兩個函數(shù)不是相同函數(shù)；B：因為，所以這兩個函數(shù)是相同函數(shù)；C：函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，函數(shù)的定義域為全體非零實數(shù)，所以這兩個函數(shù)不是相同函數(shù)；D：函數(shù)的定義域為不等于的全體實數(shù)，函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，所以這兩個函數(shù)不是相同函數(shù)，故選：ACD10．（多選）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調遞增的函數(shù)有（

）A． B． C． D．【詳解】解：對A：，定義域為R，因為，所以為偶函數(shù)，且時，，由冪函數(shù)的性質知函數(shù)在上單調遞增，故選項A正確；對B：，定義域為R，因為，所以為奇函數(shù)，故選項B錯誤；對C：，定義域為R，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，且時，，由指數(shù)函數(shù)的性質知函數(shù)在上單調遞增，故選項C正確；對D：，定義域為R，因為，且，所以函數(shù)不具有奇偶性，故選項D錯誤.故選：AC.11．已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：；，當時，都有；.則下列選項成立的是（

）A．B．若，則C．若，則D．，，使得12．已知則的值等于．【詳解】試題分析：由題意知13．設為奇函數(shù)，且當時，，則當時，（

）A． B．C． D．答案D14．設對任意的，不等式恒成立，則a的取值范圍為______.【詳解】由，因為，所以，令，由，設，則有，當時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增，，所以，要想恒成立，只需，故答案為：15已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ax2+2x+3的值域為[2,+∞),則f(x)的單調遞增區(qū)間為依題意知a解得a=1,這時f(x)=x2+2x+3,故f(x)的單調遞增區(qū)間為[-1,+∞).答案:[-1,+∞)15．若函數(shù)滿足對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是.【詳解】：∵對任意x1≠x2，都有成立，∴x1-x2與f（x1）-f（x2）同號，根據(jù)函數(shù)單調性的定義，可知f（x）在R上是單調遞增函數(shù)，∴當時，f（x）=（為增函數(shù)，則，即a＜3，①且當x=2時，有最小值；當時，f（x）=為二次函數(shù)，圖象開口向下，對稱軸為x=2，若f（x）在（-∞，2）上為增函數(shù)，且；又由題意，函數(shù)在定義域R上單調遞增，則，解得；②綜合①②可得a的取值范圍：，即答案為.16．（1）已知函數(shù)，求函數(shù)的解析式（2）已知為一次函數(shù)，若，求的解析式.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)給定關系式，利用配湊法求解作答.（2）設出函數(shù)的解析式，再利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】（1）函數(shù)，則，所以函數(shù)的解析式是.（2）因為一次函數(shù)，設，則，而，于是得，解得或，所以或.17．已知函數(shù)．（1）用函數(shù)單調性的定義證明：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的值域．【分析】（1）任取x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，通過計算f（x1）﹣f（x2）的正負來判斷單調性；（2）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上單調性求出最值即可．【解答】解：（1）任取x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，則，因為x1，x2∈（﹣1，+∞），x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)．（2）由（1）知f（x）在區(qū)間[1，4]上單調遞增，所以，f（x）max＝f（4）＝1，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的值域為．18.試討論函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性，并畫出函數(shù)圖象.【答案】定義域為，值域為R.在，上為增函數(shù)，奇函數(shù)，圖像見解析【解析】【分析】計算函數(shù)的定義域，值域，單調性，奇偶性，畫出函數(shù)圖像得到答案.【詳解】定義域為，值域為R.，且，則.，即.在上為增函數(shù).，且，則.，且.，即.在上為增函數(shù).設.是奇函數(shù).的圖像如圖.19．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調性，并用定義證明；（3）直接寫出函數(shù)f（x）的值域．（無需寫出推理過程）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷與證明即可；（2）根據(jù)單調性的定義，取值、作差（變形）、定號、下結論等步驟進行證明即可；（3）分x＞0和x＜0討論，運用基本不等式可求得值域．【解答】解：（1）f（x）為奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)，定義域為R，所以x∈R，﹣x∈R，則，所以f（x）為奇函數(shù)．（2）f（x）在（1，+∞）上單調遞減，證明如下：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，則，因為x2＞x1＞1，所以x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．（3）因為，所以f（0）＝0．當x＞0時，f（x）＞0，，當且僅當，即x＝1時，等號成立，所以，當x＜0時，f（x）＜0，，當且僅當，即x＝﹣1時，等號成立，所以，所以函數(shù)f（x）的值域為．21．設k為實數(shù)，已知關于x的函數(shù)(1)若對于?x∈R，都有y≤0恒成立，求k的取值范圍；(2)若對于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，求k的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)是否為零，結合一元二次不等式解集的性質分類討論進行求解即可；（2）根據(jù)的正負性，結合二次函數(shù)的性質、任意性、存在性的定義分類討論進行求解即可.（1）