*第一步小題夯基礎(chǔ)

考點22等腰三角形與等邊三角形

真題回顧

1.（2020?呼倫貝爾）如圖，AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點D,若NT=65"，則/DBC

的度數(shù)是（）

A.25°B.20°C.30°D.15°

2.（2019?南充）如圖，在AABC中，AB的垂直平分線交AB于點D,交BC于點E,若BC=6,AC=5,則

△ACE的周長為（）

B.11C.16D.17

3.（202。南充）如圖,在等腰三角形ABC中，BD為NABC的平分線，ZA=36°,AB=AC=a,BC=b,則

CD=()

n-h

C.a-bD.b-a

4.（2019?蘇州）如圖，在AABC中，點D在BC上，AB=AD=DC,ZB=80°,則NC的度數(shù)為（）

A

B.40°C.450D.60°

5.（2018.雅安）如圖所示，底邊BC為2百，頂角A為120。的等腰AABC中，DE垂直平分AB于D,則

A.2+2y/3B.2+V3C.4D.3V3

6.（2019?連云港）如圖，在RtZ\ACB中，ZC=90°,BE平分/ABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,

則￡AE的值是（）

A.6百B.4V3C.6D.4

7.（2017海南）已知AABC的三邊長分別為4、4、6,在AABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將aABC分割成

兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）條.

A.3B.4C.5D.6

8.（2018?鎮(zhèn)江）邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一

個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，

記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如

圖），…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（）

A-x（±）5aB-x《）5aC.-x（-）6aD.1x（-）6a

9.（2018?蘇州）如圖，AAOB為等腰三角形，頂點A的坐標(biāo)（2,遍）,底邊OB在x軸上.^AAOB

繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△A，O，B,點A的對應(yīng)點A，在x軸上，則點0,的坐標(biāo)為（）

Z2010x

AA.（—,—）BY,乎）C.（—,這）D.（三，4y/j）

3333

10.（2018?六盤水）如圖，已知AB=A1B,AB=A1A2,A2B2=A2A3A3B3=A3A4…，若NA=70。，則

ZAn的度數(shù)為（）

4

cED3

??n-lcI：一二

11.（2020?十堰）如圖，在△4BC中，DE是AC的垂直平分線.若AE=3,△ABD的周長為13,則

△ABC的周長為.

12.（2013?無錫）如圖，AABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,BE±AC,AF1BC,則NEFC='

13.（2018?株洲）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD,且BD=CD,過點A作AMJ_BD于點M,過

點D作DNJ_AB于點N,且DN=30，在DB的延長線上取一點P,滿足/ABD=/MAP+/PAB,則

AP=.

14.（2019?番禺模擬）如圖，ZViBC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足

則線段PB長度的最小值為.

15.（2017?撫順）如圖，等邊△AiCG的周長為1,作CID」AIC2于Di,在C1C2的延長線上取點C3,

使D|C3=D|C|,連接D1C3,以C2c3為邊作等邊AA2c2c3；作C2D2，A2c3于D2,在C2c3的延長

線上取點使,連接,以為邊作等邊…且點

C4,D2c4=D2c2D2c4C3c4AA3c3c4；A],A2,

A3,…都在直線C1C2同側(cè)，如此下去，則△AlGCz,AA2C2C3,4A3c3c4,△AnCnCn+l

的周長和為.（n>2,且n為整數(shù)）

模擬預(yù)測

1.（2020?杭州模擬）如圖，AABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點E是AC邊的中點，點P是AD

上的一個動點，當(dāng)PC+PE最小時，/CPE的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2020?西安模擬）如圖，AABC內(nèi)有一點D，CD平分/ACB,AD1CD,=^BAD,若

BC=5,AC=3,則AD等于（）

A.1B.V2C.2D.、盡

3.（2019?橋東模擬）在等腰AABC中，AB=AC,D、E分別是BC,AC的中點，點P是線段AD上的一個

動點，當(dāng)4PCE的周長最小時，P點的位置在aABC的（）

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.不能確定

4.（2017?游仙模擬）如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=120°,BC=6cm,AB的垂直平分線交BC于點M,

交AB于點E,AC的垂直平分線交BC于點N,交AC于點F,則MN的長為（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

5.（2019?蘭州模擬）如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)一點A（2,-1）,O為原點，P是x軸上的一個動點，如果以點P、

0、A為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點P的個數(shù)為（)

6.（2020,三明模擬）如圖，在AABC中，AB=20cm,AC=12cm,點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點

A運(yùn)動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運(yùn)動，其中一個動點到達(dá)端點時，，另一個動點也隨

之停止運(yùn)動，當(dāng)4APQ是等腰三角形時，運(yùn)動的時間是（）

A.2.5B.3秒C.3.5秒D.4秒

7.（2017?資中模擬）如圖，已知等腰aABC中，AB=AC,NBAC=120。，ADJ.BC于點D,點P是BA延

長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC,下面的結(jié)論：①NAPO+NDCO=30。；②△OPC是等邊三

角形；③AC=AO+AP；@SAABC=SBSBAOCP,其中正確的個數(shù)是（）

8.（2020?柘城模擬）如圖，等腰4ABC中，AB=AC=5,BC=8,點F是邊BC上不與點B,

C重合的一個動點，直線DE垂直平分BF,垂足為D,當(dāng)△ACF是直角三角形時，BD的長為

BDiFC

9.（2017?黃岡模擬）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點C出發(fā)，按C—B—A

的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為時，AACP是等腰三角形.

A

10.（2017?黃島模擬）如圖放置的△OABi，ABIAIB2，AB2A2B3,…都是邊長為2的等邊三角形,

點A在x軸上，點O,Bi,B2,B3，…都在正比例函數(shù)y=kx的圖象1上，則點B2017的坐標(biāo)是

第一步小題夯基礎(chǔ)

考點22等腰三角形與等邊三角形

真題回顧

1.（2020.呼倫貝爾）如圖，AB=AC.AB的垂直平分線MN交AC于點D,若々=65°,則CBC

的度數(shù)是（）

A.25°B.200C.30°D.15°

【答案】D

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???AB=AC,ZC=ZABC=65°,

.".ZA=180°-65°x2=50°,

?；MN垂直平分AB,

，AD=BD,

ZA=ZABD=50°,

ZDBC=ZABC-ZABD=15°,

故答案為：D.

【分析】根據(jù)等要三角形的性質(zhì)得到NABC,再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出NABD,從而可得結(jié)果.

2.（2019?南充）如圖，在AABC中，AB的垂直平分線交AB于點D,交BC于點E,若BC=6,AC=5,則

△ACE的周長為（）

【答案】B

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】

解：：DE垂直平分AB,

AE=BE,

.,.△ACE的周長=AC+CE+AE

=AC+CE+BE

=AC+BC

=5+6

=11.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE,則AACE的周長=EC+AE+AC=BC+AC,因而得解。

3.（2020?南充）如圖，在等腰三角形ABC中，BD為NABC的平分線，NA=36。，AB=AC=a,BC=b,則

CD=()

B.IC.a-bD.b-a

【答案】C

【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：:在等腰^ABC中，BD為NABC的平分線，ZA=36°,

ZABC=ZC=2ZABD=72°,

AZABD=36°=ZA,

ABD=AD,

.??ZBDC=ZA+ZABD=72°=ZC,

.\BD=BC,

VAB=AC=a,BC=b,

???CD=AC-AD=a-b,

故答案為：C.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC=AD,進(jìn)而解答即可.

4.（2019?蘇州）如圖，在AABC中，點D在BC上，AB=AD=DC,ZB=80°,則NC的度數(shù)為（）

B.400C.45°D.60°

【答案】B

【考點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：:△ABD中，AB=AD,ZB=80°,

AZB=ZADB=80°,

???ZADC=180°-ZADB=100°,

VAD=CD,

./c=W-4DC_--2。。'=40。

故選：B.

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NADB的度數(shù)，再由平角的定義得出NADC的度數(shù)，根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

5.（2018?雅安）如圖所示，底邊BC為2百，頂角A為120。的等腰AABC中，DE垂直平分AB于D,則

△ACE的周長為（）

A.2+2V3B.2+V3C.4D.36

【答案】A

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過A作AFLBC于F,

VAB=AC,ZA=120°,

.\ZB=ZC=30o,

，AB=AC=2,

VDE垂直平分AB,

/.BE=AE,

.?.AE+CE=BC=2V3,

.二△ACE的周長=AC+AE+CE=AC+BC=2+20，

【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三

角形性質(zhì)等知識點，主要考查運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.過A作AFLBC于F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得

至叱B=/C=30°,得到AB=AC=2,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE=AE,即可得到結(jié)論.

6.（2019?連云港）如圖，在RtZ\ACB中，ZC=90°,BE平分NABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,

則AE的值是（）

A.6、5B.45/3C.6D.4

【答案】C

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：-BE平分NABC,

/.ZCBE=ZABE,

VED垂直平分AB于D,

，EA=EB,

.\ZA=ZABE,

.,.ZCBE=30°,

，BE=2EC,即AE=2EC,

而AE+EC=AC=9,

，AE=6.

故選C.

【分析】由角平分線的定義得到NCBE=NABE,再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB,則NA=N

ABE,可得NCBE=30。，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BE=2EC,即AE=2EC,由AE+EC=AC=9,

即可求出AC.

7.（2017海南）已知AABC的三邊長分別為4、4、6,在AABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將AABC分割成

兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）條.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【考點】等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：如圖所示:

當(dāng)AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE時，都能得到符合題意的等腰三角形.

故選B.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用4作為腰或底邊得出符合題意的圖形即可.

8.（2018?鎮(zhèn)江）邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一

個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形,

記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如

圖），…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（）

A-x(2)5aB-x(&)5aC」x(?aD-x(二)6a

【答案】A

【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接AD、DF、DB.

二?六邊形ABCDEF是正六邊形，

；.NABC=NBAF=NAFE,AB=AF,NE=NC=120°,EF=DE=BC=CD,

，ZEFD=ZEDF=ZCBD=ZBDC=30°,

VZAFE=ZABC=120°,

；.NAFD=NABD=90。，

在RtAABD和RtAFD中

rAF=AB

{AD=AD

ARtAABD^RtAAFD(HL),

AZBAD=ZFAD=-xl20°=60°,

二NFAD+/AFE=60°+120°=180°,

，AD〃EF,

；G、I分別為AF、DE中點，

；.GI〃EF〃AD,

/.ZFGI=ZFAD=60°,

0

???六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，

.\ZEDM=60o=ZM,

，ED=EM,

同理AF=QF,

即AF=QF=EF=EM,

???等邊三角形QKM的邊長是a,

二第一個正六邊形ABCDEF的邊長是-a,即等邊三角形QKM的邊長的-,

33

過F作FZ_LGI于Z,過E作EN_LGI于N,

則FZ〃EN,

VEF/7GI,

四邊形FZNE是平行四邊形，

；.EF=ZN=-a,

3

VGF=1AF=ixi=-a,ZFGI=60°（已證）,

223a6

JZGFZ=30°,

1

/.GZ=eGF=—1ra,

同理IN=—a,

12

/.GI=±a+三a+二a=±a,即第二個等邊三角形的邊長是-a,與上面求出的第一個正六邊形的邊長

1231222

的方法類似，可求出第二個正六邊形的邊長是；X1a；

32

同理第第三個等邊三角形的邊長是iXia,與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第

三個正六邊形的邊長是xixia；

322

同理第四個等邊三角形的邊長是ix1x1a,第四個正六邊形的邊長是ix1x1x1a；

第五個等邊三角形的邊長是x1xix1a,第五個正六邊形的邊長是；x1xixixia；

第六個等邊三角形的邊長是ix1xix1xia,第六個正六邊形的邊長是ix1xix1x1x1a,

即第六個正六邊形的邊長是;x6)5a,

故選：A.

【分析】連接AD、DB、DF,求出NAFD=NABD=90。，根據(jù)HL證兩三角形全等得出NFAD=60。，求出

AD〃EF〃GL過F作FZ1GL過E作ENJ_GI于N,得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN=-a,求出GI

的長，求出第一個正六邊形的邊長是;a,是等邊三角形QKM的邊長的i；同理第二個正六邊形的邊長

是等邊三角形GHI的邊長的i；求出第五個等邊三角形的邊長，乘以-即可得出第六個正六邊形的邊長.

33

9.（2018?蘇州）如圖，AAOB為等腰三角形，頂點A的坐標(biāo)（2,若），底邊OB在x軸上.將AAOB

繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△AXYB,點A的對應(yīng)點A，在x軸上，則點0,的坐標(biāo)為（）

0Z\BAA:X

…，手）B.普，容）C.-,")D.(-,4V3)

333”

【答案】C

【考點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，過點A作ACLOB于C,過點0作ODLAB于D,

VA（2,y/S）,

.,.OC=2,AC=y/S，

由勾股定理得，OA=yjOCz+AC2=J2=+（V5）-=3

?.?△AOB為等腰三角形，OB是底邊，

；.OB=2OC=2x2=4,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，B0，=0B=4,ZA'BO^ZABO,

.?.O，D=4x違=及，

33

BD=4x=■=-,

3

???°D=0B+BD=4+；若，

點。，的坐標(biāo)為（去乎）.

故選：C.

【分析】過點A作ACLOB于C,過點0,作O，D，AB于D,根據(jù)點A的坐標(biāo)求出0C、AC,再利用勾股

定理列式計算求出0A,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出0B,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BOMDB,ZA'B0'=

ZAB0,然后解直角三角形求出O'D、BD,再求出0D,然后寫出點0'的坐標(biāo)即可.

10.（2018?六盤水）如圖，已知AB=AiB,AiB產(chǎn)A1A2,A?B2=A2A3,A?B3=A3A4…，若NA=70°,則

NAn的度數(shù)為（）

【答案】C

【考點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???在aABAi中，NA=70。，AB=AiB,

.?.NBAiA=70。，

VAIA2=A1BI,/BA|A是AAIAZBI的外角，

/.ZB|A2A1=寺貯=35°；

同理可得,

NB2A3A2=17.5。，NB3A4A3=-xl7.5°=—，

24

.70。

/.ZAn-lAnBn-l=布?

故選：c.

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出/B|A2Al,/B2A3A2及NB3A4A3的度數(shù),

找出規(guī)律即可得出NA?iA?Bn?的度數(shù).本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及一角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意

得出NBiC2Al,NB2A3A2及NB3A4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

11.（2020?十堰）如圖，在4ABC中，DE是AC的垂直平分線.若AE=3,△ABD的周長為13,則

△ABC的周長為.

【答案】19

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：??-DE是AC的垂直平分線.4E=3,

：.AC=2AE=6.AD=DC.

AB+BD+AD=13,

ABC的周長=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC

=13+6=19.

故答案為：19

【分析】由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AC=2AE,AD=DC,從而可得答案.

12.(2013?無錫)如圖，AABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,BE±AC,AF±BC,則NEFO

【答案】45

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：〈DE垂直平分AB,

：.AE=BE,

VBE1AC,

??.△ABE是等腰直角三角形,

.\ZBAE=ZABE=45°,

XVAB=AC,

???ZABC=(180°-ZBAC)==(180°-45°)=67.5°,

，ZCBE=ZABC-ZABE=67.5°-45°=22.5°,

VAB=AC,AF1BC,

ABF=CF,

VEF==BC（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）,

:.BF=EF=CF,

AZBEF=ZCBE=22.5°,

JZEFC=ZBEF+ZCBE=22.5°+22.5°=45°.

故答案為：45.

【分析】根據(jù)線段垂宜平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE,然后求出4ABE是等腰直角三

角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出/BAE=/ABE=45。，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出NABC,然

后求出NCBE,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BF=CF,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半可得BF=EF,根據(jù)等邊對等角求出NBEF=NCBE,然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)

角的和列式計算即可得解.

13.（2018?株洲）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD,且BD=CD,過點A作AM_LBD于點M,過

點D作DN_LAB于點N,且DN=3在，在DB的延長線上取一點P,滿足/ABD=/MAP+/PAB,則

AP=.

【答案】6

【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：VBD-CD,AB=CD,

；.BD=BA,

又?.?AMJ_BD,DN_LAB,

DN=AM=3y/2>

XVZABD=ZMAP+ZPAB,ZABD=ZP+ZBAP,

.\ZP=ZPAM,

.?.△APM是等腰直角三角形，

/.AP=y12AM=6,

故答案為：6.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及BD=CD得出BD=BA,根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等得出

DN=AM=3V2,根據(jù)三角形的外角的定理，及NABD=NMAP+NPAB得出NP=NPAM,從而判斷出4APM

是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的邊之間的關(guān)系得出AP的長。

14.（2019?番禺模擬）如圖，匕ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足,

則線段PB長度的最小值為.

B

【答案】基

3

【考點】等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】?--△月BC是等邊三角形，

二/ABC=NBAC=60',AC=AB=3,

■：々AB=NACP,

NPAC+^ACP=60",

NAPC=120",

???點P的運(yùn)動軌跡是企，

當(dāng)。、P、B共線時，PB長度最小，設(shè)OB交4c于D,如圖所示:

此時PA=PC,OBLAC,

則AD=CD=：,^PAC=ZACP=30°,^ABD=^ABC=30",

???PD=AD?tan30"=立4D=立，BD=43AD=—.

322

PB=BD-PD=呼一竺=V5.

故答案為：V3.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和可得出/APC=120。，可得點P的運(yùn)動軌跡是企，當(dāng)

0、P、B共線時，PB長度最小，設(shè)0B交AC于D,如圖所示，此時PA=PC,OBLAC,

由等邊三角形的性質(zhì)，可得AD=CD=；,^PAC=^ACP=30e，

^ABD=^ABC=30",根據(jù)解直角三角形求出PD、BD的長，利用PB=BD-PD,即可求出PB的長.

15.（2017?撫順）如圖，等邊△AiCiC2的周長為1,作CIDI，AIC2于Di,在C1C2的延長線上取點C3,

使D1C3=D|G,連接D1C3,以C2c3為邊作等邊4A2c2c3；作C2D2，A2c3于D2，在C2c3的延長

線上取點C4,使D2c4=D2c2，連接D2c4,以C3c4為邊作等邊4A3c3c4；...且點Al,A2,

A3,…都在直線C1C2同側(cè)，如此下去，則△A1C1C2,AA2c2c3,AA3c3c4，△AnGG+i

【考點】等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】?.?等邊△AICIC?的周長為1,作CIDI!_AIC2于D|

A|D|=DIC2，

...△A2c2c3的周長=i△ACiCz的周長=7，

AA1C1C2,△A2c2c3,△A3c3c4…，△AnCnCn+1的周長分別為1,

AAICIC2,AA2c2c3，AA3c3c4…，AAnCnCn+l的周長和為1+=+力+…+-^-7=----:.

ccM-1rn-I

故答案為盤.

【分析】由已知周長是等比數(shù)列，公比是:，套用等比數(shù)列求和公式即可.

模擬預(yù)測

1.（2020.杭州模擬）如圖，AABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點E是AC邊的中點，點P是AD

上的一個動點，當(dāng)PC+PE最小時，/CPE的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【考點】等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如連接BE,與AD交于點P,此時PE+PC最小,

?.?△ABC是等邊三角形，AD1BC,

，PC=PB,

，PE+PC=PB+PE=BE,

即BE就是PE+PC的最小值,

VAABC是等邊三角形，

，/BCE=60。，

VBA=BC,AE=EC,

.?.BE_LAC,

BEC=90。，

...NEBC=30。，

VPB=PC,

.?./PCB=NPBC=30。，

ZCPE=ZPBC+NPCB=60。，

故答案為：C.

【分析】連接BE,與AD交于點P,此時PE+PC最小.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD垂直平分

BC,從而求出PC=PB,可得PE+PC=PB+PE=BE,即BE就是PE+PC的最小值.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

及先打的中點可得NBCE=60。，BA=BC,AE=EC,從而可得BE,AC,/EBC=30。，利用等邊對等角

可得NPCB=/PBC=30。，利用/CPE=NPBC+/PCB即可求出結(jié)論.

2.（2020?西安模擬）如圖，AABC內(nèi)有一點D,CD平分4CB,ADLCD,28=NBAD,若

BC=5,AC=3,則AD等于（）

A.1B.V2C.2D.小

【答案】A

【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：延長AD交BC于點E

YCD平分NACB,AE1CD,

.\AC=CE.

又：NB=NBAE,

/.AE=BE.

，AD=-AE=-BE=-（BC-AC）.

222

VBC=5,AC=3,

AAD=；（5-3）=1.

故答案為：A.

【分析】延長AD交BC于點E,由已知條件判定AAEC為等腰三角形，且AC=CE；由等角對等邊判定AE=BE,

則易求AD=^AE=^BE=^(BC-CE).

3.（2019?橋東模擬）在等腰4ABC中，AB-AC,D、E分別是BC,AC的中點，點P是線段AD上的一個

動點，當(dāng)4PCE的周長最小時，P點的位置在AABC的（）

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.不能確定

【答案】A

【考點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】連接BP,根據(jù)題意可知，三角形ABC為等腰三角形

：D為底邊的中點

AAD1BC

，PB=PC

三角形PCE的周長=PE+PC+EC=PE+PB+EC

即點B,P,E三點共線時，距離最短，周長最小

ABE為三角形的重心。

故答案為：A.

【分析】連接BP,根據(jù)等腰三角形的三線合一即可得到AD是線段BC的垂直平分線，根據(jù)三角形的周長

公式以及兩點之間線段最短，即可求得答案。

4.（2017?游仙模擬）如圖，在aABC中，AB=AC,ZA=120°,BC=6cm,AB的垂直平分線交BC于點M,

交AB于點E,AC的垂直平分線交BC于點N,交AC于點F,則MN的長為（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

【答案】c

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解:

連接AM、AN、過A作AD_LBC于D,

\?在AABC中，AB=AC,ZA=120°,BC=6cm,

/.ZB=ZC=30°,BD=CD=3cm,

，AB=渭T=2V3cm=AC,

VAB的垂直平分線EM,

二BE==AB=y/3cm

同理CF=V3cm,

'BM=^7=2cm,

同理CN=2cm,

.\MN=BC-BM-CN=2cm,

故選C.

【分析】連接AM、AN、過A作ADJ_BC于D,求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值,

代入MN=BC-BM-CN求出即可.

5.（2019?蘭州模擬）如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)一點A（2,-1）,。為原點，P是x軸上的一個動點，如果以點P、

0、A為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點P的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【考點】等腰三角形的判定

【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①OA為等腰三角形底邊；②OA為等腰三角形一

條腰.

【解答】如上圖：①OA為等腰三角形底邊，符合符合條件的動點P有一個；

②OA為等腰三角形一條腰，符合符合條件的動點P有三個.

綜上所述，符合條件的點P的個數(shù)共4個.

故選C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)：利用等腰三角形的判定來解決實際問題，其

關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解.

6.（2020?三明模擬）如圖，在AABC中，AB=20cm,AC=12cm,點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點

A運(yùn)動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運(yùn)動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨

之停止運(yùn)動，當(dāng)4APQ是等腰三角形時，運(yùn)動的時間是（）

【答案】D

【考點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

【分析】設(shè)運(yùn)動的時間為X,則AP=20-3x,當(dāng)APQ是等腰三角形時，AP=AQ,則20-3x=2x,解得x即可.

【解答】設(shè)運(yùn)動的時間為x,

在AABC中，AB=20cm,AC=12cm,

點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運(yùn)動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運(yùn)動，

當(dāng)AAPQ是等腰三角形時，AP=AQ,

AP=20-3x,AQ=2x

即20-3x=2x,

解得x=4.

故選D.

【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)這一知識點的理解和掌握，此題涉及到動點，有一定的拔

高難度，屬于中檔題.

7.（2017?資中模擬）如圖，已知等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD_LBC于點D,點P是BA延

長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC,下面的結(jié)論：①/APO+/DCO=30。；②AOPC是等邊三

角形；③AC=AO+AP；④SAABC=S四.AOCP,其中正確的個數(shù)是（）

【答案】D

【考點】線段垂宜平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖1，連接OB,

D

圖1

VAB=AC,AD±BC,

；.BD=CD,ZBAD=-NBAC=-xl20°=60°,

AOB=OC,ZABC=90°-ZBAD=30°

VOP=OC,

AOB=OC=OP,

AZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,

，ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD=30°；

故①正確；

?/ZAPC+ZDCP+ZPBC=180°,

???/APC+NDCP=150。，

VZAPO+ZDCO=30°,

.\ZOPC+ZOCP=120°,

.?.ZPOC=180°-(ZOPC+ZOCP)=60°,

VOP=OC,

???△OPC是等邊三角形；

故②正確；

如圖2,在AC上截取AE=PA,

,/ZPAE=180°-ZBAC=60°,

**.AAPE是等邊三角形，

AZPEA=ZAPE=60°,PE二PA,

AZAPO+ZOPE=60°,

*：ZOPE+ZCPE=ZCPO=60°,

AZAPO=ZCPE,

TOP二CP,

在aOPA和4CPE中，

PA=PE

{^APO=NCPE，

OP=CP

.?.△OPA^ACPE(SAS),

，AO=CE,

二AC=AE+CE=AO+AP：

故③正確；

如圖3,過點C作CHLAB于H,

圖3

VZPAC=ZDAC=60°,AD±BC,

；.CH=CD,

/.SAABC=；AB?CH,

S叫邊用AOCP=SAACP+S/、AOC=;AP?CH+；OA?CD==AP?CH+:OA?CH==CH?(AP+OA)==CH?AC,

SAABC=S㈣巡心AOCP；

故④正確.

故選D.

【分析】①利用等邊對等角，即可證得：ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,則/APO+/DCO=NABO+N

DBO=ZABD,據(jù)此即可求解；

②證明/POC=6。。且OP=OC,即可證得AOPC是等