貴州省遵義市湄潭縣湄江中學2024屆高一數(shù)學第二學期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若點（m，n）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中m＜0，則m+3n的最大值等于（）A．2 B．2 C．﹣2 D．﹣22．一個三棱錐內接于球，且，，則球心到平面的距離是（）A． B． C． D．3．若，則t=（）A．32 B．23 C．14 D．134．定義平面凸四邊形為平面上沒有內角度數(shù)大于的四邊形，在平面凸四邊形中，，，，，設，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．甲、乙、丙三人隨意坐下，乙不坐中間的概率為（）A． B． C． D．6．已知平面向量，，，，且，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．7．連續(xù)拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，若前4次出現(xiàn)正面朝上，則第5次出現(xiàn)正面朝上的概率是（）A． B． C． D．8．邊長為2的正方形內有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域.向正方形中隨機地撒200粒芝麻，大約有80粒落在陰影區(qū)域內，則此陰影區(qū)域的面積約為（）A． B． C． D．9．已知a=logA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a10．設雙曲線的左右焦點分別是，過的直線交雙曲線的左支于兩點，若，且，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過點且與直線l：垂直的直線方程為______.（請用一般式表示）12．在數(shù)列中，，，，則_____________．13．如圖所示，正方體的棱長為3，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為_____．14．設函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.15．設等比數(shù)列的公比，前項和為，則．16．已知：，則的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，平面平面，四邊形為矩形，，點為的中點.(1)若，求三棱錐的體積；(2)點為上任意一點，在線段上是否存在點，使得?若存在，確定點的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.18．某廠生產產品的年固定成本為250萬元，每生產千件需另投人成本萬元.當年產量不足80千件時，（萬元）；當年產量不小于80千件時，萬元，每千件產品的售價為50萬元，該廠生產的產品能全部售完.（1）寫出年利潤萬元關于千件的函數(shù)關系式；（2）當年產量為多少千件時該廠當年的利潤最大？19．已知，為常數(shù)，且，，．（I）若方程有唯一實數(shù)根，求函數(shù)的解析式．（II）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．（III）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．如圖是一景區(qū)的截面圖，是可以行走的斜坡，已知百米，是沒有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假設你（看做一點）在斜坡上，身上只攜帶著量角器（可以測量以你為頂點的角）.（1）請你設計一個通過測量角可以計算出斜坡的長的方案，用字母表示所測量的角，計算出的長，并化簡；（2）設百米，百米，，，求山崖的長.（精確到米）21．如圖，已知三棱柱的側棱垂直于底面，，，點，分別為和的中點.（1）若，求三棱柱的體積；（2）證明：平面；（3）請問當為何值時，平面，試證明你的結論.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)題意可得出，再根據(jù)可得，將添上兩個負號運用基本不等式，即可求解．【題目詳解】由題意，可得，因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了基本不等式的應用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2、D【解題分析】由題意可得三棱錐的三對對棱分別相等，所以可將三棱錐補成一個長方體，如圖所示，該長方體的外接球就是三棱錐的外接球，長方體共頂點的三條面對角線的長分別為，設球的半徑為，則有，在中，由余弦定理得，再由正弦定理得為外接圓的半徑），則，因此球心到平面的距離，故選D.點睛：本題主要考查了球的組合體問題，本題的解答中采用割補法，考慮到三棱錐的三對對棱相等，所以可得三棱錐補成一個長方體，長方體的外接球就是三棱錐的外接球，求出求出球的半徑，進而求解距離，其中正確認識組合體的特征和恰當補形時解答的關鍵.3、B【解題分析】

先計算得到，再根據(jù)得到等式解得答案.【題目詳解】故答案選B【題目點撥】本題考查了向量的計算，意在考查學生對于向量運算法則的靈活運用及計算能力.4、D【解題分析】

先利用余弦定理計算，設，將表示為的函數(shù)，再求取值范圍.【題目詳解】如圖所示：在中，利用正弦定理：當時，有最小值為當時，有最大值為（不能取等號）的取值范圍是故答案選D【題目點撥】本題考查了利用正余弦定理計算長度范圍，將表示為的函數(shù)是解題的關鍵.5、A【解題分析】甲、乙、丙三人隨意坐下有種結果，乙坐中間則有，乙不坐中間有種情況，概率為，故選A.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.6、B【解題分析】

根據(jù)可得到：，由此求得；利用向量夾角的求解方法可求得結果.【題目詳解】由題意知：，則設向量與向量的夾角為則本題正確選項：【題目點撥】本題考查向量夾角的求解，關鍵是能夠通過平方運算將模長轉變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積，從而得到向量的位置關系.7、D【解題分析】

拋擲一枚質地均勻的硬幣有兩種情況，正面朝上和反面朝上的概率都是，與拋擲次數(shù)無關.【題目詳解】解：拋擲一枚質地均勻的硬幣，有正面朝上和反面朝上兩種可能，概率均為，與拋擲次數(shù)無關.故選：D.【題目點撥】本題考查了概率的求法，考查了等可能事件及等可能事件的概率知識，屬基礎題.8、B【解題分析】

依題意得，豆子落在陰影區(qū)域內的概率等于陰影部分面積與正方形面積之比，即可求出結果.【題目詳解】設陰影區(qū)域的面積為，由題意可得，則.故選：B.【題目點撥】本題考查隨機模擬實驗，根據(jù)幾何概型的意義進行模擬實驗計算陰影部分面積，關鍵在于掌握幾何概型的計算公式.9、B【解題分析】

運用中間量0比較a?,?c【題目詳解】a=log20.2<log21=0,【題目點撥】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉化與化歸思想解題．10、C【解題分析】，則，所以，，則，所以，故選C。點睛：離心率問題關鍵是利用圓錐曲線的幾何性質，以及三角形的幾何關系來解決，本題中，由雙曲線的幾何性質，可以將圖中的各邊長都表示出來，再利用同一個角在兩個三角形中的余弦定理，就可以得到的等量關系，求出離心率。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

與直線垂直的直線方程可設為，再將點的坐標代入運算即可得解.【題目詳解】解：與直線l：垂直的直線方程可設為，又該直線過點，則，則，即點且與直線l：垂直的直線方程為，故答案為：.【題目點撥】本題考查了與已知直線垂直的直線方程的求法，屬基礎題.12、5【解題分析】

利用遞推關系式依次求值，歸納出：an+6=an，再利用數(shù)列的周期性，得解.【題目詳解】∵a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），∴a3=a2-a1=5-1=4，同理可得：a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，∴an+6=an．則a2018=a6×336+2=a2=5【題目點撥】本題考查了遞推關系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力.13、【解題分析】

該多面體為正八面體，將其轉化為兩個正四棱錐，通過計算兩個正四棱錐的體積計算出正八面體的體積.【題目詳解】以正方體所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，也可以看作是兩個正四棱錐的組合體，每一個正四棱錐的側棱長與底面邊長均為．則其中一個正四棱錐的高為h．∴該多面體的體積V．故答案為：【題目點撥】本小題主要考查正八面體、正四棱錐體積的計算，屬于基礎題.14、.【解題分析】

確定函數(shù)的單調性，由單調性確定最小值．【題目詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的單調性．由單調性確定最小值，15、15【解題分析】分析：運用等比數(shù)列的前n項和公式與數(shù)列通項公式即可得出的值.詳解：數(shù)列為等比數(shù)列，故答案為15.點睛：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查學生對基本概念的掌握能力與計算能力.16、【解題分析】

由已知條件將兩個角的三角函數(shù)轉化為一個角的三角函數(shù)，再運用三角函數(shù)的值域求解.【題目詳解】由已知得，所以，又因為，所以，解得，所以，故填.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)存在，為中點，證明見解析.【解題分析】

（1）先根據(jù)面積垂直的性質得到平面；再由題中數(shù)據(jù)，結合棱錐體積公式，即可求出結果；（2）先由線面垂直的性質得到為中點時，有.再給出證明：取中點，連接，，，由線面垂直的判定定理，以及面面垂直的性質定理，證明平面，再由線面垂直的性質定理，即可得出結果.【題目詳解】(1)因為四邊形為矩形，所以，又平面平面，所以平面；又，所以，因此三棱錐的體積為：；(2)當為中點時，有.證明如下:取中點，連接，，.∵為的中點，為的中點，∴，又∵，∴，∴四點共面.∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，又平面，∴，∵，為的中點，∴，又，∴平面，又平面，∴，即.【題目點撥】本題主要考查求棱錐的體積，以及補全線線垂直的條件，熟記棱錐體積公式，以及線面垂直、面面垂直的判定定理與性質定理即可，屬于常考題型.18、（1）（2）100【解題分析】

（1）由于每生產千件需另投人成本受產量的影響有變化，根據(jù)題意，所以分當時和當時，兩種情況進行討論，然后根據(jù)利潤的定義寫出解析式.（2）根據(jù)（1）的利潤函數(shù)為，當時，用二次函數(shù)法求最大值；當時，用基本不等式求最大值.最后兩段中取最大的為利潤函數(shù)的最大值，相應的x的取值即為此時最大利潤時的產量.【題目詳解】（1）根據(jù)題意當時，，當時，，綜上：.（2）由（1）知，當時，，當時，的最大值為950萬.當時，，當且僅當即時取等號，的最大值為1000萬.綜上：當產量為100千件時，該廠當年的利潤最大.【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)的實際應用，還考查了建模，運算求解的能力，屬于驃題.19、（I）;（II）;;（III）.【解題分析】

（I）根據(jù)方程ax2+（b-1）x=0有唯一解，以及列方程求解即可;（II）根據(jù)二次函數(shù)的性質，函數(shù)的單調性，即可求得求得最值，（III）分離參數(shù)，構造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可.【題目詳解】∵，∴，∴.（I）方程有唯一實數(shù)根，即方程有唯一解，∴，解得∴（II）∵,∴，,若,若.（III）解法一、當時，不等式恒成立，即：在區(qū)間上恒成立，設，顯然函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，,當且僅當時，不等式在區(qū)間上恒成立，因此.解法二：因為當時，不等式恒成立,所以時，的最小值,當時，在單調遞減，恒成立,而,所以時不符合題意．當時，在單調遞增，的最小值為,所以，即即可,綜上所述，.20、（1）米，詳見解析（2）205米【解題分析】

（1）由題意測得，，在中利用正弦定理求得的值；（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等變換求得，在中利用余弦定理求得的值．【題目詳解】解：（1）據(jù)題意，可測得，，在中，由正弦定理，有，即.解得（米）.（2）解一：在中，百米，百米，百米，由余弦定理，可得，解得，∴.又由已知，在中，，可解得，從而的.∵，在中，由余弦定理得米所以，的長度約為205米.解二：（2）在中，求得.在中，由余弦定理，得，進而得，再由可求得，.在中，由余弦定理，得.所以，的長度約為205米.【題目點撥】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應用問題，也考查了三角函數(shù)模型應用問題，是中檔題．21、（1）4；（2）證明見解析；（3）時，平面，證明見解析.【解題分析】

（1）直接根據(jù)三棱柱