第四節(jié)基本不等式及其應(yīng)用A組基礎(chǔ)題組1.(2017北京朝陽二模)“x>0,y>0”是“yx+xy≥A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.當x>0時,函數(shù)f(x)=2xA.最小值1 B.最大值1 C.最小值2 D.最大值23.(3A.9 B.92 C.3 D.4.已知函數(shù)f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,則a=.5.已知a>0,b>0,a+2b=3,則2a+1b的最小值為6.(2015北京石景山一模)某學(xué)校擬建一塊周長為400米的操場,如圖所示,操場的兩頭是半圓形,中間區(qū)域是矩形,學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域,為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大,矩形的長應(yīng)該設(shè)計為米.

7.(2017北京豐臺一模)設(shè)a+b=M(a>0,b>0),M為常數(shù),且ab的最大值為2,則M等于.

8.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.9.某廠家擬在明年舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x=3-km(1)將明年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù);(2)該廠家明年的促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?B組提升題組10.若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是()A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]11.若直線2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圓x2+y2-2x-4y-6=0,則2a+1A.2-2 B.2-1 C.3+22 D.3-2212.設(shè)OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0)(a>0,b>0,O為坐標原點),若A,B,C三點共線,則2a+1A.4 B.92 C.8 13.若兩個正實數(shù)x,y滿足1x+4y=1,且不等式x+y4<mA.(-1,4) B.(-∞,-1)∪(4,+∞)C.(-4,1) D.(-∞,0)∪(3,+∞)14.定義運算“?”:x?y=x2-y2xy(x,y∈R,xy≠0).當x>0,y>0時,x?y+(2y)15.已知x,y∈R且滿足x2+2xy+4y2=6,則z=x2+4y2的取值范圍為.

16.某造紙廠擬建一座底面形狀為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池,池的深度一定(平面圖如圖所示),如果池四周的圍墻建造單價為400元/米,中間兩道隔墻建造單價為248元/米,池底建造單價為80元/平方米,水池所有墻的厚度忽略不計.(1)試設(shè)計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價;(2)若由于地形限制,該水池的長和寬都不能超過16米,試設(shè)計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價.答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.A2.B∵x>0,∴f(x)=2x+1當且僅當x=1x所以f(x)有最大值1.3.B因為-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,則由基本不等式可知,(3-a)(a+6)4.答案36解析∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+ax≥24x·ax=4a,當且僅當4x=a5.答案8解析由a+2b=3得13a+2又a>0,b>0,∴2a+1b=43+a3b+4b3a≥當且僅當a=2b=326.答案100解析設(shè)矩形的長為x米,寬為y米,則由題意得2x+πy=400,則xy=12π·2xπy≤12π2x+π7.答案22解析∵a+b=M(a>0,b>0),∴ab≤a=M2∵ab的最大值為2,∴M2∴M=22.8.解析(1)由2x+8y-xy=0,得8x+2又x>0,y>0,所以1=8x+2y≥28x得xy≥64,當且僅當x=16,y=4時,等號成立.所以xy的最小值為64.(2)由2x+8y-xy=0,得8x+2則x+y=8x+2y·(x+y)=10+2x當且僅當x=12且y=6時等號成立,所以x+y的最小值為18.9.解析(1)由題意知,當m=0時,x=1,∴1=3-k?k=2,∴x=3-2m每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×8+16x∴y=1.5x·8+16x=-16m(2)∵m≥0時,16m+1+m+1≥216=8,當且僅當∴y≤-8+29=21.故該廠家明年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大.B組提升題組10.D∵1=2x+2y≥22x·2y=22x∴2x+y≤12,∴2x+y≤1411.C易知圓心為(1,2),由題意知圓心(1,2)在直線2ax+by-2=0上,∴a+b=1,∴2a+1b=2a+1b(a+b)=3+2ba+a即a=2-2,b=2-1時等號成立.12.D∵AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2),若A,B,C三點共線,則有AB∥AC,∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0,∴2a+b=1,又a>0,b>0,∴2a+1b=2a+=5+2ba+2ab當且僅當2ba=13.B∵不等式x+y4<m2-3m∴x+y4min<m2-3m,∵x>0,y>0,且1x+4y=1,∴x+y4=x+y41x+∴x+y4min解得m<-1或m>4.∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1)∪(4,+∞),故選B.14.答案2解析x?y+(2y)?x=x2-y2xy+4y2-x∵x>0,y>0,∴x2y+yx≥21當且僅當x2y=yx故所求的最小值為2.15.答案[4,12]解析∵2xy=6-(x2+4y2),又2xy≤x2+4y22,∴6-(x2+4y2)≤x2+4y22,∴x2+4y2≥4(當且僅當x=2y時取等號).又∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(當且僅當x=-2y時取等號).綜上可知,4≤16.解析(1)設(shè)總造價為f(x)元,污水處理池的寬為x米,則長為162x總造價f(x)=400×2x+2×162=1296x+1=1296×x+∵x>0,∴f(x)≥1296×2x·當且僅當x