概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙大第四版)匯報人：AA2024-01-19目錄概率論基本概念一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)CONTENTS01概率論基本概念CHAPTER123在一定條件下并不總是發(fā)生的現(xiàn)象稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件用來量化隨機(jī)事件發(fā)生可能性的數(shù)值，取值范圍在0到1之間。概率非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。概率的性質(zhì)隨機(jī)事件與概率如果每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，則稱這種概率模型為古典概型。如果樣本點(diǎn)的發(fā)生概率與某個區(qū)域的幾何度量（如長度、面積、體積等）成正比，則稱這種概率模型為幾何概型。古典概型與幾何概型幾何概型古典概型事件的獨(dú)立性如果兩個事件的發(fā)生互不影響，則稱這兩個事件是相互獨(dú)立的。乘法公式用于計(jì)算多個事件同時發(fā)生的概率，特別地，當(dāng)這些事件相互獨(dú)立時，乘法公式可簡化為各事件概率的乘積。條件概率在已知某個事件發(fā)生的條件下，另一個事件發(fā)生的概率。條件概率與獨(dú)立性02一維隨機(jī)變量及其分布CHAPTER取值可數(shù)的隨機(jī)變量，如投擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。定義描述離散型隨機(jī)變量取各個值的概率，常用表格或圖形表示。概率分布律二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。常見離散型隨機(jī)變量分布離散型隨機(jī)變量定義取值充滿某個區(qū)間的隨機(jī)變量，如測量某物體的長度。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。概率密度函數(shù)描述連續(xù)型隨機(jī)變量在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況，具有非負(fù)性和規(guī)范性。連續(xù)型隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量通過函數(shù)關(guān)系形成的新的隨機(jī)變量。常見函數(shù)分布線性變換、多項(xiàng)式變換、指數(shù)變換等。求解方法通過已知隨機(jī)變量的分布，結(jié)合函數(shù)關(guān)系，求解新隨機(jī)變量的分布。隨機(jī)變量的函數(shù)分布03多維隨機(jī)變量及其分布CHAPTER二維隨機(jī)變量的定義設(shè)$X$和$Y$是兩個隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的二維數(shù)組$(X,Y)$稱為二維隨機(jī)變量。聯(lián)合分布函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)如果存在非負(fù)函數(shù)$f(x,y)$，使得對于任意實(shí)數(shù)$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。010203二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的分布函數(shù)分別稱為$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)，簡稱邊緣分布。條件分布函數(shù)設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。對于固定的$y$，如果$P{Y=y}>0$，則稱$frac{F(x,y)-F(x,y-)}{P{Y=y}}$為在$Y=y$條件下$X$的條件分布函數(shù)，記為$F_{X|Y}(x|y)$。條件概率密度函數(shù)如果存在聯(lián)合概率密度函數(shù)$f(x,y)$，則條件概率密度函數(shù)定義為$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，其中$f_Y(y)$是$Y$的邊緣概率密度函數(shù)。邊緣分布與條件分布相互獨(dú)立的定義設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。如果對于所有的$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是相互獨(dú)立的。相互獨(dú)立的性質(zhì)如果兩個隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則一個隨機(jī)變量的取值不會影響另一個隨機(jī)變量的取值。即對于任意實(shí)數(shù)$x_1,x_2,y_1,y_2$，都有$P{Xleqx_1,Yleqy_1}=P{Xleqx_1}P{Yleqy_1}$和$P{Xleqx_2,Yleqy_2}=P{Xleqx_2}P{Yleqy_2}$。相互獨(dú)立與條件獨(dú)立的區(qū)別相互獨(dú)立是兩個隨機(jī)變量之間的一種關(guān)系，而條件獨(dú)立是在給定某些條件下兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系。即使兩個隨機(jī)變量不是相互獨(dú)立的，它們也可能在某些條件下是條件獨(dú)立的。相互獨(dú)立的隨機(jī)變量04隨機(jī)變量的數(shù)字特征CHAPTER方差衡量隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，即隨機(jī)變量取值的波動性或分散程度。標(biāo)準(zhǔn)差方差的算術(shù)平方根，與方差一樣用于衡量隨機(jī)變量的波動性或分散程度。數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量取值的“平均水平”，是隨機(jī)變量所有可能取值的加權(quán)平均數(shù)，權(quán)數(shù)為對應(yīng)的概率。數(shù)學(xué)期望與方差協(xié)方差衡量兩個隨機(jī)變量的總體誤差，反映兩個隨機(jī)變量線性相關(guān)的程度和方向。相關(guān)系數(shù)將協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化后的結(jié)果，消除了量綱的影響，更直觀地反映兩個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。獨(dú)立性如果兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差為零，則稱這兩個隨機(jī)變量是獨(dú)立的。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的特征數(shù)，如一階原點(diǎn)矩即數(shù)學(xué)期望，二階中心矩即方差。協(xié)方差矩陣由多個隨機(jī)變量的協(xié)方差組成的矩陣，用于描述多個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。特征值與特征向量協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量在多元統(tǒng)計(jì)分析中有著重要應(yīng)用，如主成分分析等。矩、協(xié)方差矩陣05大數(shù)定律與中心極限定理CHAPTER種類包括伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律等。應(yīng)用在保險、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如用于評估風(fēng)險、計(jì)算保費(fèi)等。含義大數(shù)定律是描述隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理，即在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的頻率會趨于一個穩(wěn)定值。大數(shù)定律含義01中心極限定理是概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件。種類02包括獨(dú)立同分布的中心極限定理、德莫佛-拉普拉斯定理等。應(yīng)用03在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，中心極限定理用于推斷樣本均值的分布，從而進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間的構(gòu)建。中心極限定理06數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念CHAPTER總體研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個隨機(jī)變量及其分布來描述。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本容量樣本中包含的個體數(shù)目，用n表示。總體與樣本030201統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的概率分布，反映了統(tǒng)計(jì)量取值的概率規(guī)律。正態(tài)分布、t分布、F分布、卡方分布等。常用抽樣分布順序統(tǒng)計(jì)量將樣本觀測值按大小排序后得到的統(tǒng)計(jì)量，如最小值、最大值、中位數(shù)等。樣本矩描述樣本分布形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，如一階原點(diǎn)矩（均值）、二階中心矩（方差）等。樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差的算術(shù)平方根，用于衡量數(shù)據(jù)的離散程度。樣本均值樣本中所有個體觀測值的算術(shù)平均數(shù)，服從正態(tài)分布。樣本方差樣本中各個個體觀測值與樣本均值之差的平方的平均數(shù)，服從卡方分布。常用的統(tǒng)計(jì)量及其分布07參數(shù)估計(jì)CHAPTER定義點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)，因?yàn)闃颖窘y(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上某一點(diǎn)值，估計(jì)結(jié)果也以一個點(diǎn)的數(shù)值表示，所以稱為點(diǎn)估計(jì)。方法點(diǎn)估計(jì)的方法主要有矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。矩估計(jì)法是通過樣本矩來估計(jì)總體矩的方法，簡單易行，但精度可能不高。最大似然估計(jì)法則是通過最大化樣本數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)來得到參數(shù)估計(jì)值，具有更好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。評價標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)的評價標(biāo)準(zhǔn)主要有無偏性、有效性和一致性。無偏性是指估計(jì)量的期望值等于被估計(jì)參數(shù)的真值；有效性是指無偏估計(jì)量中方差最小的估計(jì)量；一致性是指當(dāng)樣本量趨于無窮大時，估計(jì)量依概率收斂于被估計(jì)參數(shù)的真值。點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間以較大的概率包含總體參數(shù)的真值。區(qū)間估計(jì)的方法主要有置信區(qū)間法和容忍區(qū)間法。置信區(qū)間法是通過構(gòu)造一個包含總體參數(shù)真值的隨機(jī)區(qū)間，使得該區(qū)間以一定的置信水平包含總體參數(shù)的真值。容忍區(qū)間法則是通過構(gòu)造一個同時包含總體參數(shù)真值和樣本統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)區(qū)間，使得該區(qū)間的寬度盡可能小。區(qū)間估計(jì)的評價標(biāo)準(zhǔn)主要有置信水平和區(qū)間寬度。置信水平是指構(gòu)造的置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率；區(qū)間寬度則是指置信區(qū)間的長度，寬度越小說明估計(jì)精度越高。同時，還需要考慮置信區(qū)間的無偏性和一致性等性質(zhì)。定義方法評價標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間估計(jì)08假設(shè)檢驗(yàn)CHAPTER先假設(shè)總體具有某種特性，然后根據(jù)樣本信息判斷假設(shè)是否成立。反證法思想在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生。如果發(fā)生了，則有理由拒絕原假設(shè)。小概率原理用于衡量拒絕原假設(shè)的可靠程度，常用α表示，一般取0.05或0.01。顯著性水平假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想03非參數(shù)檢驗(yàn)當(dāng)總體分布未知或不滿足正態(tài)分布時，可采用非參數(shù)檢驗(yàn)方法，如符號檢驗(yàn)、秩和檢驗(yàn)等。01單樣本t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個正