人教A版必修第一冊各章綜合測驗(yàn)

一、集合與常用邏輯用語..................................................1

二、一元二次函數(shù)、方程和不等式.........................................9

三、函數(shù)的概念與性質(zhì)...................................................18

四、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù).................................................27

五、三角函數(shù)...........................................................37

一、集合與常用邏輯用語

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知命題p：5x>l>x2—4<0,則^°是（）

A.3x>l>x2—420B.x2—4<0

C.VxWl,^-4^0D.Vx>l,f—4N0

解析：選D命題是存在量詞命題，則否定是全稱量詞命題，即Vx>l,x2

一420,故選D.

2.滿足條件MU{a}={a,力}的集合M的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3

C.2D.1

解析：選C因?yàn)镸U{a}={a,b],所以/?}且。eM,所以M可

能為仍}或{a,b},共2個(gè).

3.（2020?全國卷III）已知集合A={（x,y）|x,yGN*,y2x},B={（x,y）|x+y

=8},則AAB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.6

解析：選C由題意得An3={（l,7）,（2,6）,（3,5）,（4,4）},所以APB

中元素的個(gè)數(shù)為4,選C.

4.已知全集U=R,設(shè)集合A={x|x》l},集合8={x|x22},則An（[u3）

=（）

A.{x|lWxW2}B.{x[l<x<2}

C.{x|laW2}D.{x|lWx<2}

解析：選D'：B={x\x^2],.*/u3={x|x<2}.

又A={x|x21},...An（[uB）={x|lWx<2}.

5.已知命題p：Vxe{x|lWxW3},x-a^O,若命題〃是真命題，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（）

A.{a\a<\}B.{a\a>3}

C.{a\a^l}D.{a\a^3}

解析：選C由〃是真命題，可知aW（X）min,因?yàn)?WXW3,因此。W1,故

選C.

6.已知非空集合M,P,則M童尸的充要條件是（）

A.VxWM,x^P

B.VxGP,x^M

C.xiGP且X26M,xAP

D.3x^-M,x^P

解析：選D由可得集合M中存在元素不在集合P中，結(jié)合各選項(xiàng)

可得，M主產(chǎn)的充要條件是mxWM,艱P.故選D.

7.王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于

險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.則“有志”是“到達(dá)奇?zhèn)?、?/p>

怪，非常之觀”的（）

A.充要條件

B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件

D.必要不充分條件

解析：選D非有志者不能至，是必要條件；但“有志”也不一定“能至”，

不是充分條件.

8.定義差集A—8={x|xeA,且總團(tuán)，現(xiàn)有三個(gè)集合A,B,。分別用圓表

示，則集合C—（A—3）可表示下列圖中陰影部分的為（）

AAA4

wwww

ABCD

解析：選A如圖所示，A-B表示圖中陰影部分，故。一（A—8）所含元素屬

于C,但不屬于圖中陰影部分，故選A.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的

得3分，有選錯(cuò)的得0分）

9.下列四個(gè)命題中的假命題為（）

A.N,1<4x<3

B.5x—1=0

C.VxeQ,1=0

D.V九GR,X2+X+2>0

解析：選ABC由1<4尤<3得因此不存在xGN滿足條件，因此選項(xiàng)

A中命題為假命題；由5%一1=0得%=氐乙因此選項(xiàng)B中命題為假命題：由％2

-1=0得*=±1,不具有任意性，因此選項(xiàng)C中命題為假命題；/+x+2=（x+；

27

+W>0恒成立，因此選項(xiàng)D中命題為真命題.故選A、B、C.

10.集合U,S,T,尸的關(guān)系如圖所示，那么下列關(guān)系中正確的是（）

C.FCt/SD.T[uF

解析：選AC由題圖知S是T的子集，S與尸無公共元素，則A、C正確.

11.定義集合運(yùn)算：A?8={z|z=（x+y）X（x—y）,xEA,y^B},設(shè)4={6,

小},3={1,啦},則（）

A.當(dāng)x=VLy=也時(shí)，z=l

B.x可取兩個(gè)值，y可取兩個(gè)值，z=（x+y）X（x—y）有4個(gè)式子

C.A?B中有3個(gè)元素

D.A?3中所有元素之和為3

解析：選BCD當(dāng)尤=啦，y=巾時(shí)，z=（小+柩X（血一柩=0,A錯(cuò)誤;

由于A={6，函,B={1,也},則z有（啦+1）X（6-1）=1,（也+啦）X（啦

一色）=0,（小+1）X（小一1）=2,（小+也）X（小一也）=1四個(gè)式子，B正確；

由集合中元素的互異性，得集合A?8有3個(gè)元素，元素之和為3,C、D正確.

12.下列說法中正確的是（）

A.ua>\,b>r是“">1”成立的充分條件

B.命題p：VJCGR,J?>0,則p：R,JT<0

C.命題“若a>">0則卜卜的否定是假命題

D.“a>b”是、2>〃”成立的充分不必要條件

解析：選AC對于選項(xiàng)A,a>l,匕>1時(shí)，易得時(shí)>1故A正確；對于選項(xiàng)

B,全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題p：VxGR,/>0的否定為

㈱p：3xGR,/W0,故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C,其否定為"若a泌〉0,則鴻”,

當(dāng)a=2,8=1時(shí)，顯然為假命題，故C正確；對于選項(xiàng)D,由%>少'并不能推出

“2>/”,如a="b=~\,故D錯(cuò)誤.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線

上）

13.命題“同位角相等”的否定為.

解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.

答案：有的同位角不相等

2

14.已知集合4={7,2m—1},B={7,m}9若A=B,則實(shí)數(shù)〃2=.

解析：若A=B,則加2=2m-1,即〃於一2〃z+1=0,即機(jī)=1.

答案：1

15.若“》<一1”是“xWa”的必要不充分條件，則a的取值范圍是.

解析：若“光<一1”是“九Wa”的必要不充分條件，

則{x|xWa}[x\x<_1},

a<—1.

答案：{a|a<—1}

16.已知集合A={x|-3aW6},B={x\b-3<x<b+7],M={x\~4^x<5},

全集U=R

⑴AnM—；

(2)若8U([uM)=R,則實(shí)數(shù)8的取值范圍為.

解析：⑴因?yàn)锳={x[—3<xW6},

M={x\~4^x<5},

所以ACM={x|-3a<5}.

(2)因?yàn)镸={x|—4Wx<5},

所以[uM={x\x<—4或x25},

又8={尤俗一34</?+7},8U([uM)=R.

h~3<一4,

所以1、解得一2WZ?<—1.

"+725,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是{M—2WX-1}.

答案：(l){x[-3a<5}(2){加一2〈從一1}

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證

明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并

寫出這些命題的否定，并判斷真假.

(1)有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除；

(2)\/尤金乙/與3的和不等于0；

(3)三角形的三個(gè)內(nèi)角都為60°；

(4)存在三角形至少有兩個(gè)銳角.

解：(1)是存在量詞命題，否定為：每一個(gè)奇數(shù)都能被3整除，假命題.

(2)是全稱量詞命題，否定為：%2與3的和等于0,假命題.

(3)是全稱量詞命題，否定為：存在一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不都為60°,真

命題.

(4)是存在量詞命題，否定為：每個(gè)三角形至多有一個(gè)銳角，假命題.

18.(本小題滿分12分)求證：方程/—Zx—3機(jī)=0有兩個(gè)同號且不相等的實(shí)

根的充要條件是一g＜m＜0.

證明：(1)充分性，?.?一

...方程/一2》-3加=0的判別式』=4+12加＞0,且一3加＞0,

方程/一2x—3m=0有兩個(gè)同號且不相等的實(shí)根.

(2)必要性：若方程X2—2尤-3加=0有兩個(gè)同號且不相等的實(shí)根，

/=4+12機(jī)＞0,?

則有彳解得一鏟加＜0.

x\X2——3m＞Q,J

綜合(1)(2)知，方程r—Zx—BmMO有兩個(gè)同號且不相等的實(shí)根的充要條件是

一；＜加＜0.

19.(本小題滿分12分)已知集合A={x|f—or+3=0,aCR).

(1)若1GA,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若集合8=但"一丁+b=0,b&R},且AC8={3},求AUB.

解:(DVl^A,.'.l~a+3=0,：.a=4.

(2)VAnB={3},A3GA,3GB,

9—3tz+3=0,1=4,

:A,解得〈

〔18—3/?+。=0,[b=9,

.*.A={X*—4X+3=0}={1,3},

3={x|2『-9x+9=0}=13,I},

.*.AUB=n,I，3p

20.(本小題滿分12分)設(shè)命題p：3x^R,x2_2x+m_3=0,命題q：Vx

eR,f—2(〃z—5)尤+〃及+1gw。，若.，q都為真命題，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：若命題p:3A*GR,x2—2x+〃?一3=0為真命題，則[=4—4(m—3)20,

解得mW4;

若命題q:VxWR,x2—2(w—5)x+m2+19^0為真命題，則/=4(m—5)?

-3

—4(加2+19)<0,解得m>Q.

又p,q都為真命題，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{/加〃W4}C]〃？m>5}=

21.(本小題滿分12分)在①AU8=8；②“xWA”是“xWB”的充分不必要

條件；③ACB=0,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答.

問題：已知集合A={x|“一lWxWa+1},5={x|-1W九W3}.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求AU&

(2)若,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，集合A={x|lWxW3},8={x|-lWxW3},所以AU3=

{x|-1WxW3}.

(2)若選擇①AU3=8,則AB,

因?yàn)锳={x|a—IWxWa+l},所以A#。，

又8={x|-lWxW3},

a-]2-1,

所以彳,一解得0WaW2,

1W3,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0WaW2.

若選擇②“xCA”是“xWB”的充分不必要條件，則AB,

因?yàn)锳={x|a—1WxWa+1},所以AW。，

又3={x|-lWxW3},

a-12-1,

所以彳,/解得0WaW2,

.a十1W3,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是0WaW2.

若選擇③，An8=0,

因?yàn)锳={x|a-11},3={x|-1WxW3},

所以a-1>3或a+1<—1,

解得a>4或a<-2.

22.體小題滿分12分)已知集合A={x[2-aWxW2+a},B={x|xW1或尤24}.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求AC8；

(2)若“尤GA”是的充分不必要條件，且AH。，求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

解：(1)當(dāng)。=3時(shí)，A={x|-1WXW5},

又8={x|九W1或九24},

ZMAB=同一1Wx&1或4WxW5}.

(2)VB={x|x^1或x?4},

，[RB={x[l<x<4}.

由“XGA”是的充分不必要條件，

得A[RB,

又A={x|2—aWxW2+a},A#=0,

2—a〈2+a,

2~a>l,：.O^a<l.

{2+a<4,

.'.a的取值范圍是{a|OWa<l}.

二、一元二次函數(shù)、方程和不等式

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.不等式的解集是（）

A.{x|x22}B.{xpcW2}

C.{x|0WxW2}D.{x|xW0或x22}

解析：選D由x2?2x得x（x—2）20,解得xWO或x22,故選D.

2.若A=a2+3",B=Aab-b1,則A,B的大小關(guān)系是（）

A.AWBB.A*

C.A<B或A>3D.A>B

解析：選B

x1—1<0>

3.不等式組1U-3x<0的解集為（）

A.{J;|—1<X<1}B.{x|0<x<3]

C.{.r|O<r<l}D.U|-l<x<3}

—1<0—11

解析：選C由<,'得<'所以0<x<l,即不等式組的解集為

X-3x<o,[0<r<3,

{A-|0<C<1},故選C.

4.已知2a+lv0,則關(guān)于光的不等式f—4ar—5/>0的解集是（）

A.{x\x<5ax>~a}B.{尤|尢>5。或x<—a}

C.{x\~a<x<5a]D.{x\5a<x<-a}

解析：選A方程x2—4ar—5。2=0的兩根為一“，5。.因?yàn)?a+l<0,所以

一；,所以一a>5a結(jié)合二次函數(shù)y=x1—4ax—5a1的圖象，得原不等式的解集為

{x|x<5tz或x>-a},故選A.

5.已知a,b,ceR,則下列說法中錯(cuò)誤的是（）

ab

A.c<O^a<b

C.a3>b3,^Z?>0=>-<7D.a>R,

abab

解析：選D對于A,c2^0,則由a>〃可得ac22》/,故A中說法正確；

對于B,由"〉‘，得區(qū)—,”>0,當(dāng)”0時(shí)，有〃一。<0,貝IQG,故B中

CCCCC

說法正確；

對于C,:足>〃，帥>0,.?.<73>。3兩邊同乘示*,得到點(diǎn)故C中

說法正確；

對于D,?:足>按,ab>0,...屋>〃兩邊同乘

得到.>",不一定有故D中說法錯(cuò)誤.故選D.

6.若關(guān)于x的一元二次不等式/+/加+120的解集為R,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是（）

A.mW—2或加22B.-2WmW2

C.m<—2或相>2D.-2<m<2

解析：選B因?yàn)椴坏仁健?12。的解集為R,所以/=m2-4忘0,解

得一

7.某地為了加快推進(jìn)垃圾分類工作，新建了一個(gè)垃圾處理廠，每月最少要

處理300噸垃圾，最多要處理600噸垃圾，月處理成本y（元）與月處理量M噸）之

間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=*—300x+80000,為使平均處理成本最低，

該廠每月處理量應(yīng)為（）

A.300噸B.400噸

C.500噸D.600噸

解析：選B由題意，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）的函數(shù)關(guān)系為y=%

,1^-300x4-80000.

—300x+80000,所以平均處理成本為s=U=------------------------=之+-------

XX/X

300,其中300WxW600,51^+^^-300^2^1?^^-300=400-300=

100,當(dāng)且僅當(dāng)］=蹌詈時(shí)等號成立，所以x=400時(shí)，平均處理成本最低.故

選B.

8.設(shè)正數(shù)x,y,z滿足3孫+4）12—z=0,則當(dāng)?取得最大值時(shí)，~+~~^

zxyz

的最大值是（）

A.0B.1

9

C.4D.3

解析：選B由題意得尸士=1,當(dāng)且僅當(dāng)x

y十%

=2y時(shí)，等號成立，此時(shí)z=2y2.故（+；—|=——1）+1W1,當(dāng)且

僅當(dāng)y=l時(shí)，等號成立，故所求的最大值為1.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的

得3分，有選錯(cuò)的得。分）

9.已知不等式a^+bx+oO的解集為卜一裝<21則下列結(jié)論正確的是

（）

A.a>0B.b>0

C.c>0D.a+b+c>0

解析：選BCD因?yàn)椴坏仁揭?+bx+c〉0的解集為故相應(yīng)的

二次函數(shù)曠=加+次+（:?的圖象開口向下，所以a<0,故A錯(cuò)誤；易知2和一；是

關(guān)于x的方程以2+云+。=（）的兩個(gè)根，則有彳=2X（—；）=—1<0,—'=2+（一

3c

=2>0,又“<0,故b>0,c>0,故B、C正確；因?yàn)?=-1,所以a+c=0,又

b>0,所以a+/?+c>0,故D正確.故選B、C、D.

10.下列結(jié)論中正確的有（）

A.若a,人為正實(shí)數(shù)，a不b,則〃+83>屋力+"2

B-若O'O'"為正實(shí)數(shù),a<b,則需寸

C.若裝>§，則a>b

D.當(dāng)x>0時(shí)，尤的最小值為2啦

解析：選ACD對于A,??Z,〃為正實(shí)數(shù)，a豐b,：.a3+b3-(a2b+ab2)=

(a—b￥(a+Z?)>0,a3+b3>a2b+ab2,故A正確；

』,a+mam(〃—a)ta+ma

對于B,若a,b,m為正頭數(shù),a<b,則由廠廠方⑦+加>仇則麗力，

故B錯(cuò)誤；

ah

對于C,若1>F，則a>",故C正確;

對于D,當(dāng)x>0時(shí)，x+2的最小值為2啦，當(dāng)且僅當(dāng)％=地時(shí)取等號，故D

X

正確.故選A、C、D.

11.下列各式中，最大值是刎是()

A.y=x2+y^5B.y=x\j1—1)

/4

C，y=/+TD?>="+二*-2)

解析：選BCA中，y=x2+22

(當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)取等號)，因此式子無最大值；

,,,6r+1-x2V1

B中，---2-----)=不

.?.OWyW；,

、歷1

當(dāng)且僅當(dāng)尸牛時(shí)y取至U最大值點(diǎn)

C中，當(dāng)x=0時(shí)，y=0,當(dāng)xWO時(shí)，y=―當(dāng)且僅當(dāng)

x=±l時(shí)y取到最大值2；

44/

D中，y=x+-^=x+2+F—222、/（x+2）?不一2=2。>一2）（當(dāng)且

人I乙人I乙I乙

僅當(dāng)x=0時(shí)取等號），無最大值，故選B、C.

12.某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價(jià)格銷售，每天能

賣出30盞，若售價(jià)每提高1元，則日銷售量將減少2盞.為了使這批臺燈每天

獲得400元以上（不含400）的銷售收入，則這批臺燈的售價(jià)武元）的取值可以是

（）

A.10B.15

C.16D.20

解析:選BC設(shè)這批臺燈的售價(jià)定為x元,x215,則［30—（x-15）X2卜x>400,

即f—30x+200<0,因?yàn)榉匠蘤—30x+200=0的兩根分別為xi=10,光2=20,

所以x2-30x+200<0的解集為{H10<x<20},又因?yàn)閤?15,所以15Wx<20.故選

B、C.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線

上）

13.已知a>8,a—（同時(shí)成立，則應(yīng)滿足的條件是.

斛Qi析u：因m為L.。_『1一1方所/以CMH—（iH=--（-a-—--b-）2（,--a-b-+-1-）->o-

又a>b,即a—Z?>0,所以“:f。,從而“。（況>+1）>0,所以仍<—1或必>0.

答案：ab<—1或ab>0

14.一個(gè)大于50小于60的兩位數(shù)，其個(gè)位數(shù)字8比十位數(shù)字。大2.則這個(gè)

兩位數(shù)為.

’50<10a+0<60,

h-a=2,

解析：由題意知〈,

0<aW9,

43

解得4lT<a<5R.

又aGN*,.,.a=5.

.?)=7,...所求的兩位數(shù)為57.

答案：57

15.一元二次不等式x2+ax-\-b>Q的解集為{X|A<-3或x>l},則a+b=

，一元一次不等式以+。<0的解集為.

解析：由題意知，-3和1是方程》2+儀+匕=0的兩根，

-3+1=-a,a=2,

所以“解得1

—3X1=8,

故a+h=-l.

不等式ax+*O即為2x_3<0,

所以X<-.

答案：一1>卜<|:

16.已知正數(shù)無，y滿足x+2y=2,則^的最小值為.

解析：因?yàn)橛?y為正數(shù)，且x+2y=2,所以]+y=1,所以",)=(：+爭(3+)')

=等+三+52]/?，+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=4)號時(shí)，等號成立，所以、^

的最小值為9.

答案：9

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證

明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)解下列不等式：

(l)2+3x-2x2>0；

(2)x(3—x)Wxa+2)-l.

解：(1)原不等式可化為21—3x—2<0,所以(2x+l)(x—2)<0,

故原不等式的解集是卜~^<x<?\.

(2)原不等式可化為"一大一120.

所以(2x+l)(x-l)20,

故原不等式的解集為?卜尤W—g或

18.(本小題滿分12分)當(dāng)p,夕都為正數(shù)且p+q=l時(shí)，試比較代數(shù)式3十

qy)2與pf+qy2的大小.

解：(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)/+式4-l)y2+2pqxy.

因?yàn)閜+q=l,所以p_]=_q,q~\=—p,

所以(px+qy)2-(/?九2+療)=-pqQ+yZ-2^),)=-))2.

因?yàn)閜,q都為正數(shù)，所以一pq(x—ypWO,

因此(/?x+qy)2Wp/+qy2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立.

19.(本小題滿分12分)已知關(guān)于x的方程V—Zx+anO.當(dāng)a為何值時(shí)，

(1)方程的一個(gè)根大于1,另一個(gè)根小于1?

(2)方程的一個(gè)根大于一1且小于1,另一個(gè)根大于2且小于3?

解：(1)已知方程的一個(gè)根大于1,另一個(gè)根小于1,結(jié)合二次函數(shù)y=/—2x

+a的圖象(如圖所示)知，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)值小于0,即口一2+。<0,所以a<l.

因此a的取值范圍是｛a|a<l).

(2)由方程的一個(gè)根大于一1且小于1,另一個(gè)根大于2且小于3,結(jié)合二次

函數(shù)曠=1—2x+a的圖象(如圖所示)知，x取一1,3時(shí)函數(shù)值為正，x取1,2時(shí)

函數(shù)值為負(fù)，

"1+2+。〉0,

1—2+?<0,

即《解得一3<a<0.因此a的取值范圍是{a[—3<a<0}.

4—4+a<0,

<9—6+a>0,

“12

20.(本小題滿分12分)已知a＞0,?！?月.工+石=1.

(1)求ah的最小值;

(2)求a+b的最小值.

1?

解：(1)因?yàn)閍>0,。>0且,+石=1,

12a-A?總則—偏2W1,

所用+/2ah

Jab，

即出?》8,當(dāng)且僅當(dāng)

J_=2

a=2,

即＜時(shí)取等號，所以"的最小值是8.

b=4

12

⑵因?yàn)閍>0,b>0且］+石=1,

所以a+/?=(}+孤i+。)

=3+'工對+2=3+2隹

~+j=l,

aba=l+6，

當(dāng)且僅當(dāng)即＜,時(shí)取等號,

b2alb=2+小r

~a=~bJ

所以a+b的最小值是3+2，^.

21.(本小題滿分12分)設(shè)a)x+。-2.

(1)若不等式2對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

(2)解關(guān)于x的不等式ox2+(l—a)jc+a_2<6i—1(?GR).

解：(Dox2+a—a)x+a—22—2對于一切實(shí)數(shù)x恒成立等價(jià)于ax2+(l—a)x

+aN0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立.

當(dāng)。=0時(shí)，不等式可化為x?0,不滿足題意;

a>Q,

當(dāng)“W0時(shí)，由題意得，

、(1—a)2—4/<0,

解得“2；.

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍是a2m.

（2）不等式向?+（1—a）x+a—2<a—1等價(jià)于々『+（1—d）x—1<0.

當(dāng)a=0時(shí)，不等式可化為Ml,所以不等式的解集為｛x|x<l｝;

當(dāng)。>0時(shí)，不等式可化為（以+1）。一1）<0,此時(shí)一31,

所以不等式的解集為卜一十<??“；

當(dāng)a<0時(shí)，不等式可化為（如+1）。一1）<0,

①當(dāng)a=-1時(shí)，—>=1，不等式的解集為｛x|xrl｝；

②當(dāng)一l<a<0時(shí)，_：>1,不等式的解集為&卜<1或x>一力；

③當(dāng)a<一1時(shí)，一十<1,不等式的解集為卜x<—：或%>“.

綜上所述，當(dāng)a<-\時(shí)，不等式的解集為卜x<一［或x>l］；當(dāng)a=~\時(shí)，不

等式的解集為｛x|xWl｝；當(dāng)一1<&<0時(shí)，不等式的解集為卜x<l或%>一3；當(dāng)a

=0時(shí)，不等式的解集為｛x|x<l｝;當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為'一*

22.（本小題滿分12分）某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對某產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在

3元+1

一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售量。（萬件）與廣告費(fèi)武萬元）之間的關(guān)系式為。=:丁。20）.已

知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元,

若該企業(yè)產(chǎn)能足夠，生產(chǎn)的產(chǎn)品均能售出，且每件銷售價(jià)為“年平均每件生產(chǎn)成

本的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和.

（1）試寫出年利潤W（萬元）與年廣告費(fèi)x（萬元）的關(guān)系式；

（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)年利潤最大？最大年利潤為多少？

解：（1）由題意可得，每年產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為（32。+3）萬元，每萬件銷售價(jià)為

[320+3X150%+方X50%J萬元,

...年銷售收入為1°等150%+方X50%)?Q=|(32Q+3)+gx,

31

W=￥32Q+3)+]x—(32Q+3)-x

=；(32Q+3)-；x=；(32Q+3-x)

—f+98x+35、

2(x+1)~"①?

—f+98x+35

⑵由⑴得，—RD

-(x+1)2+100(x+1)-64A+132

卜50.

2(x+1)2x+1

Vx+l^l,A-+^Y>2x+132Q

2x+1-8

x+132

...WW42,當(dāng)且僅當(dāng)一^-=工，即x=7時(shí)，W有最大值42,即當(dāng)年廣告

乙XI1

費(fèi)投入7萬元時(shí)，企業(yè)年利潤最大，最大年利潤為42萬元.

三、函數(shù)的概念與性質(zhì)

(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.函數(shù)./w=，r/的定義域是()

A.[-1,4-0°)B.(-8,0)U(0,+8)

C.f-1,0)U(0,+0°)D.R

1+尤20,

解析：選C栗使函數(shù)有意義，需滿足彳華八

.x手0,

即—1且xWO.故選C.

2.已知函數(shù)兀x+l)=eLi,則次2)=()

A.1B.0

C.eD.e2

解析：選AVyCx+l）=ev"|,

???H2）=/U+l）=eLi=l.

f+l,xWO,

3.已知函數(shù)/（x）=L八若大。）=10，則。的值是（）

、2x,x>0,

A.—3或5B.3或一3

C.-3D.3或一3或5

解析：選A若aWO,則%）=/+1=10,解得q=-3（a=3舍去）；若a>0,

則式。）=2a=10,解得a=5.

綜上可得，a=5或a=-3,故選A.

4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y—xB.y=|x|+l

C.y=—x1+\D.y=T

解析：選By=x是奇函數(shù)，故A不符合題意；y=|x|+l是偶函數(shù)，在（0,

+8）上單調(diào)遞增，故B正確；y=-f+l是偶函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞

減，C不合題意；>=一;是奇函數(shù)，D不合題意.

5.已知嘉函數(shù)外）=X（MR,a《R）的圖象過點(diǎn)出6），則左+a等于（）

A.^B.1

C.|D.2

解析：選A?.?賽函數(shù)aWR）的圖象過點(diǎn)七，甸，；.k=l,

/=隹二.,,.11

,..k+a=1~2=2'

6.已知危）為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，危）=-W+2x,則危）在[—3,-1]±（）

A.單調(diào)遞增，最小值為一1

B.單調(diào)遞增，最大值為一1

C.單調(diào)遞減，最小值為一1

D.單調(diào)遞減，最大值為一1

解析：選C?x）=一『+2x,圖象為開口向下，對稱軸為x=l的拋物線，

所以x>0時(shí)式x）在［1,3］上單調(diào)遞減.

因?yàn)?U）為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)兀r）在［-3,—1］也單調(diào)遞減.

7.已知函數(shù)_/U）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且對任意為，X2d（—8,0］,當(dāng)

)

D./I)

解析：選A由題意，7U）在（-8,0］上單調(diào)遞增，又/（X）是定義域?yàn)镽的

偶函數(shù)，故於）在［0,+8）上單調(diào)遞減.由川一2%）一（一，〉0可得川一2止《一?

=（；）,即41一加）刁g），所以|1一加</,解得

(。-3)x+5,

8.已知函數(shù)/(x)=<2a是R上的減函數(shù)，那么。的取值

一,%>1

1X

范圍是()

A.(0,3)B.（0,3］

C.(0,2)D.（0,2］

(a—3)x+5,xWl,

解析：選D?.?函數(shù)/U)=<2a是R上的減函數(shù),

一,x>l

lx

.??xWl時(shí)，5x）單調(diào)遞減,即a-3<0,①

%>1時(shí)，,心:）單調(diào)遞減，即a>0,②

且（a-3）Xl+52空，③

聯(lián)立①②③解得0<aW2,故選D.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的

得3分，有選錯(cuò)的得。分）

9.已知負(fù)2x—l）=4f,則下列結(jié)論正確的是（）

A..*3)=9B.大-3)=4

C.f^x)=x1D..*x)=(x+l)2

解析：選BD因?yàn)槿?1)=(2￥—1)2+2(2%—1)+1,故7U)=e+2x+1=

(x+l)2,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；人3)=16,3)=4,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選

項(xiàng)B正確.故選B、D.

1+/

10.設(shè)火x）=「二F，則下列結(jié)論一定正確的有（）

A.火一x)=-/U)B.(O=-Ax)

C.(一0=大處D.人-x)=/U)

J+f1+(—x)2

解析：選BD因?yàn)槿巳?=[彳，所以＜一幻=]_(_外2=/U),D正確,

A錯(cuò)誤;

鼻=碧一曲B正確;

11.如圖①是反映某條公交線路收支差額（即營運(yùn)所得票價(jià)收入與付出成本的

差）y與乘客量X之間關(guān)系的圖象.由于目前該條公交線路虧損，公司有關(guān)人員提

A.圖②的建議：提高成本，并提高票價(jià)

B.圖②的建議：降低成本，并保持票價(jià)不變

C.圖③的建議：提高票價(jià)，并保持成本不變

D.圖③的建議：提高票價(jià)，并降低成本

解析：選BC根據(jù)題意和圖②知，兩直線平行即票價(jià)不變，直線向上平移

說明當(dāng)乘客量為0時(shí)，收入是0但是支出變少了，即說明此建議是降低成本而保

持票價(jià)不變，故B正確；

由圖③可以看出，當(dāng)乘客量為0時(shí)，支出不變，但是直線的傾斜角變大，即

相同的乘客量時(shí)收入變大，即票價(jià)提高了，即說明此建議是提高票價(jià)而保持成本

不變，故C正確.

12.具有性質(zhì)：0=一人處的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下

列函數(shù)中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是()

A..*x)=x—(B.yu)=x+:

x,0Vxvl,(x,0<x<l,

c彳、J°，X=l'nn\J6X=1'

c.D.段)=[

一—，X>1一，X>1

IXlx

解析：選AC對于A,《；)=(一X=—(X—?="/(x),滿足“倒負(fù)”變換.對

于B,/J)='+x=x+,=/3)W—/(x),不滿足“倒負(fù)”變換.對于C,當(dāng)0<xvl

時(shí)，(>屋f=—；=—x=-/(x);當(dāng)X=1時(shí)，(=1,43=0=—7U)；當(dāng)%>1

X

時(shí)，0<《<1,0=；=一(一^二-Ax)，滿足"倒負(fù)”變換.對于D,當(dāng)(Kr<l

時(shí)，:>1,/U),不滿足"倒負(fù)"變換.

X

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線

上)

13.已知募函數(shù)危)=(加+1]"門，則式2)=.

解析：因?yàn)?x)=("z+1)九2"廠1是賽函數(shù)，所以〃z+l=l,即機(jī)=0,所以

=x~l,所以旭)=2一|=；.

答案：3

14.已知函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)%>0時(shí)，?r)=x(l—x),則當(dāng)x<0時(shí)，次尤)=

解析：因?yàn)閤<0,所以一x>0,所以/(—x)=(—x)(l+x),又函數(shù)./(x)是奇函數(shù)，

所以火x)=-A—x)=—(—x)(l+x)=Ml+x),所以當(dāng)x<0時(shí)，火X)=JC(1+X).

答案：x(l+x)

15.已知?r)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤20時(shí)，1無)=f,則/一小)=

,不等式式1-2x)勺(3)的解集是.

解析：由兀r)為奇函數(shù)且x20時(shí)，_/U)=/，可得，.八一小)=一八小)=一3.

因?yàn)閤20時(shí)，7U)=/單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，/(x)在R上單調(diào)遞

增，故由7U-2x)勺(3)可得，l—2x<3,解得x>-l.

答案：一3(―1,+°°)

16.設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值f

萬元。為正常數(shù)).公司決定從原有員工中分流x(0a<100,x￡N*)人去進(jìn)行新開

發(fā)的產(chǎn)品8的生產(chǎn).分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)

值在原有的基礎(chǔ)上增長了L2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少，則最多能分

流的人數(shù)是.

解析：由題意，分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100f(萬元)，分流x人后，每年創(chuàng)

造的產(chǎn)值為(100—x)(l+1.2x%)f,

0<r<100,xWN*,

則由“

.(100-x)(l+1.2x%)閆007,

解得

因?yàn)閤eN*,所以x的最大值為16.

答案：16

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證

明過程或演算步驟)

YY1

17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)式x)=x+1,且式1)=3.

(1)求m的值；

(2)判斷函數(shù)凡r)的奇偶性.

解：(IT71)=3,即1+〃，=3,：.m=2.

2

⑵由⑴知，7U)=x+X-,其定義域是{x|x#O,xCR},關(guān)于原點(diǎn)對稱，又??貝一

x)=-X—,=—(x+1]=-fix)，,