2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)

1.已知函數(shù)/(x)=6sin2x-cos2x,貝9/。)的()

A.最小正周期兀，最大值為B.最小正周期為兀，最大值為2

C.最小正周期為2兀，最大值為6-1D.最小正周期為2兀，最大值為2

2."，=與"是及cose+e]=tan6的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.專家對(duì)某地區(qū)新冠肺炎爆發(fā)趨勢(shì)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，從確診第一名患者開始累計(jì)時(shí)間f(單位：天)與病情爆發(fā)系數(shù)/⑺

之間，滿足函數(shù)模型：/(，)=[+/\"當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著疫情將要大面積爆發(fā)，則此時(shí)f約為()

(參考數(shù)據(jù)：e"?3)

A.38B.40

C.45D.47

4.已知函數(shù)/(X)=log3x的圖象與函數(shù)g(力的圖象關(guān)于直線J=x對(duì)稱，函數(shù)/j(x)是滿足〃(x+2)=〃(x)的偶函

數(shù),且當(dāng)無目0,1]時(shí),〃(x)=g(x)-1,若函數(shù)y=h/(x)+/z(x)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是()

A.(l,2log73)B.(-2,-21og53)

C.(—21og53,-1)D.1-log73,一彳

5.已知貝+左肛左cZ”是“sin2a=sin2/?”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

(yr>2

6.已知函數(shù)〃x)='「一一貝廳(〃1))=()

x+l,x<2

A.2B.5

C.7D.9

7.在AABC中,“sinA=sin3”是“A=6”的()

A.充要條件B.充分非必要條件

C必要非充分條件D.既非充分又非必要條件

8.已知直線4：y=-x+2a與直線4:^=(4—2)x+2平行，則”的值為

A.±V3B.±l

C.lD.-l

9.點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD_L平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所成角的度數(shù)為()

A.30°B.45°

C.60°D,90°

10.若函數(shù)〃x)的零點(diǎn)與g(x)=4'+2x-2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25,則“X)可以是

A/(x)=4x-lB.”x)=(x-l)2

C.f[x)=ex-\D.=—

二、填空題(本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11.計(jì)算：cos2150-sin215°=.

|lgx|,0<x<10,

12.已知函數(shù)〃尢)={1若。也c互不相等，且/⑷=/(〃)=/?,貝！的取值范圍是

——x+6,x>10

2

13.已知函數(shù)/(x)=Gsin2x+|cos2x|,現(xiàn)有如下幾個(gè)命題：

①該函數(shù)為偶函數(shù)；

71冗

②一丁，丁是該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間；

_46_

③該函數(shù)的最小正周期為萬；

(7兀、

④該函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)彳彳,0對(duì)稱；

⑤該函數(shù)值域?yàn)閇—1,2].

其中正確命題的編號(hào)為

14.已知函數(shù)/(x)=^-則函數(shù)/V(x))的值域?yàn)?

15.函數(shù)y=d+acosx是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.如圖，在四棱錐尸-ABCZ)中，ABC。為平行四邊形，AB1AC,R1_L平面A5CD,且R4=A5=2,AC=1,點(diǎn)E是

PD的中點(diǎn).

(1)求證：P8//平面AEC；

(2)求O到平面AEC的距離.

17.已知平面上點(diǎn)A(4,l),B(3,6),D(2,0),且覺=而.

(1)求|衣|;

(2)若點(diǎn)M(-1,4),用基底｛淳近｝表示說.

18.已知AABC中，4(2,-1),8(4,3),C(3,-2)

⑴求8c邊上的高所在直線的一般式方程；

(2)求AA3C的面積

19.已知：M=(2cosx,sinx),h=(V3cosx,2cosx).設(shè)函數(shù)=(xeR)

求：(1)f(x)的最小正周期；

(2)/(x)的對(duì)稱中心，

(3)若l/'(二一^)一/(二+二)=5/^,且ae(],萬)，求。

262122

2"+a

20.設(shè)QWR,函數(shù)

(1)若a<0,判斷并證明函數(shù)“X)的單調(diào)性;

⑵若"0,函數(shù)/(x)在區(qū)間[私〃](機(jī)<〃)上的取值范圍是~~(AeR),求5的范圍

21.某市郊區(qū)有一加油站，2018年初汽油的存儲(chǔ)量為50噸，計(jì)劃從年初起每周初均購進(jìn)汽油"?噸，以滿足城區(qū)內(nèi)和

城外汽車用油需求，已知城外汽車用油每周5噸；城區(qū)內(nèi)汽車用油前X個(gè)周需求量y噸與X的函數(shù)關(guān)系式為

y=a4^(l<x<16,xe^),。為常數(shù)，且前4個(gè)周城區(qū)內(nèi)汽車的汽油需求量為100噸.

(1)試寫出第x個(gè)周結(jié)束時(shí)，汽油存儲(chǔ)量M(噸)與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)要使16個(gè)周內(nèi)每周按計(jì)劃購進(jìn)汽油之后，加油站總能滿足城區(qū)內(nèi)和城外的需求，且每周結(jié)束時(shí)加油站的汽油存

儲(chǔ)量不超過150噸，試確定的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)

1、B

【解析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)得到/(%)=2$也(2%一2],求出最小正周期和最大值.

【詳解】/(%)=A/3sin2x-cos2x=2sin2x-

所以最小正周期為T=』=》，最大值為2.

2

故選：B

2、A

【解析】先看〃=，時(shí)，&cos(1+“=tane是否成立，即判斷充分性；再看夜《)$(5+“=12116成立時(shí)，能

否推出。=手，即判斷必要性，由此可得答案.

4

【詳解】當(dāng)夕=今時(shí)，夜cos(]+eJ=0cos[]+,)=-l=tane,

即“，=乎是夜costan9的充分條件；

當(dāng)夜cos(三+。]=tan。時(shí)，一0sin夕=tan8=,出",

[2)cos0

則sin8=0或cos6=----，

2

則。=左》或6>=2左乃士包次eZ,即夜cos(2+e]=tan。成立，推不出，=四一定成立，

4U)4

故“。=今”不是發(fā)35(1+。1=1211。的必要條件，

故選：A.

3、B

【解析】根據(jù)/(，)=().1列式求解即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)?(。=0.1,/?=—

^-0.22(1-50)，

所以%)=1+丁!2k6)=0-1，即1+e心-5。)=10,

所以e?22(-5o)=9,由于3」=3,故(一」)2=e22x9,

所以e"2“-5o)=e2.2,所以-0.22(-50)=22,解得"40.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得小°22"5。)=9,再結(jié)合已知K/=3得=?2.2=9,進(jìn)而根據(jù)

e922?-50)=e2.2解方程即可得答案，是基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】把函數(shù)y=h/(x)+〃(X)有3個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為-og3X=Tz(x)有3個(gè)不同根，畫出函數(shù)y="og3X與

y=-雙力的圖象，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式組求解即可.

【詳解】由函數(shù)J.(x)=log3x的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，得g(x)=3',函數(shù)力⑴是最小正周

期為2的偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/2(x)=g(x)-l=3*-l,函數(shù)y=H/(x)+〃(x)有3個(gè)零點(diǎn)，即Zrlog3x=T7(x)

有3個(gè)不同根，

畫出函數(shù)y=—og3x與y=—"x)的圖象如圖：

要使函數(shù)y=8og3%與y=-/z(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則z<0,且q,6c，即一2"<-21ogs3..\實(shí)數(shù)Z

klog35<-2

的取值范圍是(-2,-21og53).

故選：B.

5、A

【解析】求解出sin2。=sin2月成立的充要條件，再與。=/?+版分析比對(duì)即可得解.

【詳解】a,*R,

sin2a=sin2/?<=>sin[(cr+萬)+(a—/?)]=sin[(a+/?)—(a—/?)]<=>2cos(a+(3)sin(a-/7)=0,

則sin(cr一/7)=0或cos(a+/?)=0,

由sin(a-〃)=0得a-/?=k/ra=0+kjjkeZ,

jrjr

由cos(a+￡)=0得a+4=攵乃+5=￡=萬一/+ki,keZ,

顯然a=尸+攵萬，攵eZnsin2a=sin2尸，sin2a=sin244a=/3+k/r,keZ,

所以“a=/7+Qr,ZeZ”是“sin2a=sin24”的充分不必要條件.

故選：A

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：充分不必要條件的判斷：p是g的充分不必要條件，則p對(duì)應(yīng)集合是g對(duì)應(yīng)集合的真子集.

6、D

【解析】先求出了⑴，再求〃/⑴)即可，

【詳解】由題意得/(I)=1+1=2,

所以/(〃1))=八2)=32=9,

故選：D

7、A

【解析】結(jié)合三角形內(nèi)角與充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).

【詳解】在AABC中，0<A<兀,0<8<兀,0<4+8<兀，

所以sinA=sin3oA=3,

所以在AABC中，"sinA=sinB”是“A=3”的充要條件.

故選：A

8、D

【解析】由題意可得：\一2=-I解得“=—1

2w2a

故選。

9、C

【解析】

分別取AC.PC中點(diǎn)O.E.連OE,DE;則OE//PA,

所以NOOE(或其補(bǔ)角)就是PA與BD所成的角;

因PD_L平面ABCD,所以PD±DC,PD±AD.

設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,貝！JPA=PC=BD=272

所以O(shè)D=OE=DE=V^是正三角形，

ZDOE=60°，

故選C

10、A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=4，+2x—2在R上連續(xù)，且g(L)=J^+L—2=0—』<O,g(-)=2+1-2=1>0,設(shè)

4222

函數(shù)的g(x)=4*+2x—2的零點(diǎn)為%,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，有:<Xo<g，則0<玉)一：<；，所以小一：<；，又

因?yàn)閒(x)=4x-l的零點(diǎn)為》=,，函數(shù)f(x)=(x-l)2的零點(diǎn)為x=Lf(x)=ex-l的零點(diǎn)為x=0,f(x)=ln(x-0.5)

4

3111

的零點(diǎn)為x==，符合/一二<二為x=：,所以選A

2444

考點(diǎn)：零點(diǎn)的概念，零點(diǎn)存在性定理

二、填空題(本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

H、走

2

【解析】直接利用二倍角公式計(jì)算得到答案.

【詳解】cos215°-sin215°=cos30°=—.

2

故答案為：&

2

不妨設(shè)a<b<c,

作出大x)的圖象，如圖所示：

由圖象可知0<a<l<Z><10<c<12,

由加)寸S)得1也小1熾“，即Tga=lgb,

.".lga/>=0,則ab=l,

,,.abc=c,

：.abc的取值范圍是(10,12),

13、?@

【解析】由于/(一x)=—gsin2x+|cos2X為非奇非偶函數(shù)，①錯(cuò)誤.xe,2xw，此時(shí)

/(x)=gsin2x+cos2x=2sin12x+V),其在一:謂上為增函數(shù)，②正確.由于

〃x+兀)=6sin2x+|cos2x|=/(x),所以函數(shù)最小正周期為兀，③正確.由于

/fZ^1=73sin—+cos—=-&+立工0,故④正確.當(dāng)2x=電

[\2)6622

時(shí)，＞|=-73+^1?-1.732+0.707＜-1,故⑤錯(cuò)誤.綜上所述,正確的編號(hào)為②③.

33

555

【解析】先求的“X)的單調(diào)性和值域，然后代入〃/(切中求得函數(shù)的值域.

2?2

【詳解】由于/(x)=l-kT為R上的增函數(shù)，而4'＞0,0＜一二＜2，，TOkT〈l，即/(x)c(-1,1),

、/AAi171AAAi1、/、/

對(duì)1,1),由于/“)為增函數(shù)，故/。)6(/(-1),/(1)),即函數(shù)/(7(力)的值域?yàn)?/(一1),/(1)),也

33

5'5

【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域的求法，考查復(fù)合函數(shù)值域的求法.屬于中檔題.

15、0

【解析】根據(jù)給定條件利用奇函數(shù)的定義計(jì)算作答.

【詳解】因函數(shù)丁=/。)=/+。8酸是奇函數(shù)，其定義域?yàn)镽,

則對(duì)X/xeR,/(-x)=-/(x),BP(-x)3+acos(-x)=-(x3+acosx),整理得：2acosx=0,

而cosx不恒為o,于得a=0,

所以實(shí)數(shù)。=0.

故答案為：0

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16、(1)證明見解析

⑵V2

【解析】(1)連接8D交AC于。，連接。E,則可得08=0。，再由E是PD的中點(diǎn)，則可利用三角形中位線定

理可得0E〃心，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

3

(2)由已知條件可證明△PCD,△24。都為直角三角形，所以可求出AE=EC=—,從而可求出△AEC的面積,

2

然后利用等體積法可求出D到平面AEC的距離.

【小問1詳解】

連接8。交AC于。，連接。E,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，

所以O(shè)B=OD,OA=OC,

因?yàn)辄c(diǎn)E是尸。的中點(diǎn)，

所以O(shè)E〃PB,

因?yàn)镺Eu平面A￡C,平面A￡C,

所以「5〃平面AEC,

【小問2詳解】

因?yàn)镃O〃AB,ACLAB,

所以8LAC，BC7AC'AB?=5

因?yàn)?4,平面ABC。，CDu平面ABC。,

所以Q4，cr),

因?yàn)镻ADAC=A,PA.ACu平面尸AC,

所以CO1平面PAC,

因?yàn)镻Cu平面PAC,

所以CD_LPC,

在直角MDC中，EC=-PD=-VFA2+AD2=-y/PA1+BC2=-V?+5=-,

22222

3

同理AE=二，

2

在等腰八4￡。中，S.=-ACOE=-xlx

Mrc22

取AO的中點(diǎn)H,連接E“，則￡“〃%,EH=-PA=\,

2

因B4JL平面ABC￡>,所以EH_L平面ABC。，，

設(shè)D到平面AEC的距離為h,

由^D-EAC=^E-DCA9得

二S-h--S

3°AEAC"3°^ADC■EH,

、/71_

所以---h=—x2x1x1,得〃=J5,

22

所以。到平面4EC距離為J5

17、(1)|^C|=5；(2)AM=AB+2AD

【解析】(i)設(shè)C(x,y),根據(jù)向量相等的坐標(biāo)表示可得答案;

(2)設(shè)麗7=2而+〃而，建立方程，解之可得答案

【詳解】解：⑴設(shè)C(x,y),由點(diǎn)A(4,l),B(3,6),O(2,0),所以品=(%-3,/6),而=(-2,-1),

%—3=—2x=]_________

又覺=而，所以<,_6__]，解得:_5'所以點(diǎn)C&5)，Z=(-3,4),所以|恁|=J(—3>+42=5;

(2)若點(diǎn)M(-l,4),所以赤=(—5,3),AB=(-1,5),AD=(-2,-1),

__________[—5=—A-2//fA=1

設(shè)AM=/lA8+〃A。，即〈°-，解得〈c，

3=5/i-/z[〃=2

所以用基底｛淳近｝表示布7=麗+2加

18、(1)x+5y+3=0；(2)S“ABC=3

【解析】求三角形一邊的高所在的直線方程時(shí)，可利用點(diǎn)斜式求解，由于高線過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，與對(duì)邊垂直，借助

垂直求出斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求面積，最簡(jiǎn)單的方法是求出一邊的長(zhǎng)以及這

邊所在直線的方程，高線長(zhǎng)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，從而求出面積.

試題解析：

(1)由斜率公式，得ABC=5,

所以8C邊上的高所在直線方程為y+l=-g(x-2),即x+5y+3=0.

⑵由兩點(diǎn)間的距離公式，得18cl=糜，8c邊所在的直線方程為y+2=5(x-3),即5x-y-17=0,

|5x2+l-17|6

所以點(diǎn)A到直線BC的距離d=在)([j=>/269

-x-^=xV26=3.

故SABC=

A2V26

【點(diǎn)睛】已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求面積，最簡(jiǎn)單的方法是求出一邊的長(zhǎng)以及這邊所在直線的方程，高線長(zhǎng)利用點(diǎn)

到直線的距離公式求出，從而求出面積，還可求出三邊長(zhǎng)借助海倫公式去求；求三角形一邊的高所在的直線方程時(shí)，可

利用點(diǎn)斜式求解，由于高線過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，與對(duì)邊垂直，借助垂直求出斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.

19、(1)兀;⑵(亨-例(keZ)；⑶《W或者?

【解析】(1)/(x)=2sin(2x+y

解：由題意，/(x)=2sinf2x+y

(1)函數(shù)的最小正周期為7=不；

(2)2x+——kjt,x=^-——,keZ,所以對(duì)稱中心f-----,o\A：GZ?

326<26J

(3)由題意，sin(a-?)=*,得或等，所以或

點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的恒等關(guān)系的綜合應(yīng)用.本題中，由向量的數(shù)量積，同時(shí)利用三角函數(shù)化簡(jiǎn)的基本方法，得

到/(x)=2sin(2x+。］,利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求出周期、對(duì)稱中心等

20、(1)/(X)在R上遞增，證明見解析.

(2)(0,3-2夜)U{T}

【解析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義計(jì)算/(%)-/(王)的符號(hào)，從而判斷出了(X)的單調(diào)性.

(2)對(duì)。進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次方程根的分布來求得人的范圍.

a

【小問1詳解】

T+a2x-a+2a

f(x)=

2x-aT-a

當(dāng)a＜0時(shí)，〃x）的定義域?yàn)镽,

在R上遞增，證明如下:

2a-2處一2為

任取玉＜%2，/（玉）一/（々）=蘇-----=2a-7------77------C.

2應(yīng)_a(2x'-a)(2'2-a)

由于2,2一2%＞0，所以/（%）一/伍）＜°，/（百）＜/（±），所以/（x）在R上遞增.

【小問2詳解】

由于加＜〃，所以2"‘＜2"，*

由白身知福＜?，所以攵＜0.

由于〃W0,所以。＜0或4＞0.

當(dāng)。＜0時(shí)，由（1）可知/（x）在R上遞增.

/(〃?)$

所以《;從而沼V①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

“〃)下

令f=2”,f>0,①可化為*+(a-攵—+成=0,

其中a<O,%<O,a吹>0,

a-k?

----->0

2k>a

所以(a--4ak>0,vk—-6cik+>09

ak>0ak>0

0<-<l

a

(kykk

<——6---F1>0,解得0<—<3—2A/2.

\aJaa

ak>0

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)=l+7蘆一的定義域?yàn)椋鹸|xHlog2。｝,

函數(shù)/(X)在(r°，log2a)，(log2。,+°°)上遞減.

若［〃〃］=(log2a,+8),則于是?>0,這與左<0矛盾，故舍去.

[m,/i]o(-00,log,a),貝！

2m+a_k

2H(2m+a)=^(2n,-o)

,n

于是《2-a2"

2"+cik2"，(2"+a)=M2"-a)

[2n-a_T

兩式相減并化簡(jiǎn)得(a+Z)(2"—2"')=0,由于機(jī)<“,2">2"',

所以。+人=0,所以K=-l.

a

綜上所述，:的取值范圍是(O,3-2&)U{-1}.

【點(diǎn)睛】函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,以上單調(diào)，則其值域和單調(diào)性有關(guān)，若/(x)在區(qū)間目上遞增，則值域?yàn)?/p>

［/(a),/(/?)］；若/(x)在區(qū)間［a,句上遞減，則值域?yàn)椋?伍)"(叨.

3595

21、(1)M=mx-5x-5()77+50(1<x<16,xe)(2)

T,T

【解析】(1