6直線和圓的位置關(guān)系第三章圓逐點學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)本節(jié)要點1學(xué)習(xí)流程2認(rèn)識力力的作用是相互的力的作用效果知識點感悟新知1直線和圓的位置關(guān)系1.直線和圓有三種位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系相離相切相交圖示感悟新知公共點個數(shù)012公共點名稱切點交點直線名稱切線割線圓心O

到直線l

的距離d

與半徑r

的關(guān)系d＞rd=rd＜r等價關(guān)系d>r

直線l與⊙O

相離d=r

直線l與⊙O

相切d<r

直線l與⊙O

相交感悟新知要點提醒如果一條直線滿足下列三個條件中的任意兩個，那么第三個條件也成立：(1)過圓心；(2)過切點；(3)垂直于切線.感悟新知如圖3-6-1，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，則直線AB和以點C

為圓心，r

為半徑的圓有何位置關(guān)系？為什么？(1)r=4cm；(2)r=4.8cm；(3)r=7cm.例1感悟新知解題秘方：求出點C

到AB

的距離，再將其與圓的半徑的大小進(jìn)行比較.感悟新知解：過點C作CD⊥AB于點D，如圖3-6-1.在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，則AB=10cm.又∵AB·CD=AC·BC，∴CD=4.8cm.(1)當(dāng)r=4cm時，CD

＞r，直線AB

和⊙C

相離；(2)當(dāng)r=4.8cm時，CD=r，直線AB

和⊙C

相切；(3)當(dāng)r=7cm時，CD

＜

r，直線AB和⊙C

相交.感悟新知1-1.[中考·嘉興]已知平面內(nèi)有⊙O和點A，B，若⊙

O半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙O

的位置關(guān)系為()A.相離B.相交C.相切D.相交或相切D感悟新知如圖3-6-2，在△

ABC中，∠

C=90°，∠

A=30°，O

是AB

上的一點，OB=2m(m＞0)，⊙O

的半徑r

為3，當(dāng)m

分別在什么范圍內(nèi)取值時，直線BC與⊙O相離、相切、相交？例2感悟新知解題秘方：利用直線與圓的位置關(guān)系建立方程(或不等式)求m

的取值范圍.解：如圖3-6-2，作OD⊥BC

于點D.∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠B=60°.∴∠DOB=30°.在Rt△ODB

中，∵OB=2m，∴DB=m，OD=m.感悟新知設(shè)OD=d.(1)當(dāng)直線BC

與⊙O

相離時，d

＞

r，即

m

＞，解得m

＞1.(2)當(dāng)直線BC

與⊙O

相切時，d=r，即

m=，解得m=1.(3)當(dāng)直線BC

與⊙O

相交時，d＜

r，即

m<，解得m

＜1.又∵m

＞0，∴0＜m

＜1.感悟新知2-1.已知直線l

與半徑為2的⊙

O

的位置關(guān)系是相離，則點O

到直線l的距離的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是()A感悟新知2-2.(易錯題)在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M

的圓心坐標(biāo)為(m，4),半徑是2，如果⊙M

與y

軸相切,那么m=________；如果⊙M

與y

軸相交,那么m的取值范圍是________.±2－2<m<2知識點切線的性質(zhì)感悟新知21.性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑.2.切線的性質(zhì)特別提醒性質(zhì)定理的題設(shè)有兩個條件：1.圓的切線；2.半徑過切點.應(yīng)用時缺一不可.感悟新知(1)切線和圓只有一個公共點.(2)圓心到切線的距離等于半徑.(3)圓的切線垂直于過切點的半徑.(4)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(找切點用).(5)經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心(找圓心用).(3)(4)(5)可歸納為：如果直線滿足過圓心、過切點、垂直于切線這三個條件中的任意兩個，那么第三個也成立.感悟新知如圖3-6-3，AB

為⊙O

的直徑，PD

切⊙O

于點C，交AB的延長線于點D，且∠D=2∠CAD.例3感悟新知(1)求∠

D的度數(shù)；解題秘方：利用“等半徑”得等腰三角形；解：如圖3-6-3，連接OC.∵AO=CO，∴∠OAC=∠ACO.∴∠COD=2∠CAD.又∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD.∵PD與⊙O

相切于點C，∴∠OCD=90°.∴∠D=45°連接過切點的半徑.感悟新知(2)若CD=2，求BD

的長.解題秘方：利用“切線”垂直于過切點的半徑構(gòu)成直角三角形，再結(jié)合相關(guān)性質(zhì)求解.解：由(1)可知△OCD

是等腰直角三角形，∴OC=CD=2.由勾股定理，得OD=∴BD=OD－OB=2－2.感悟新知3-1.[中考·懷化]如圖，AB與⊙O

相切于點C，AO=3，⊙O的半徑為2，則AC

的長為_________.知識點切線的判定感悟新知31.判定定理過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.特別提醒切線必須同時具備兩個條件：1.直線過半徑的外端；2.直線垂直于這條半徑.感悟新知2.判定方法(1)定義法：與圓有唯一公共點的直線是圓的切線.(2)數(shù)量法：圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線.(3)判定定理法：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.感悟新知如圖3-6-4，已知AB是⊙O

的直徑，AB=4，點C

在線段AB的延長線上，點D

在⊙O

上，連接CD，且CD=OA，OC=2，求證：CD是⊙O的切線.例4解題秘方：利用“有切點，連半徑，證垂直”判定圓的切線.感悟新知證明：如圖3-6-4，連接OD.由題意可知CD=OD=OA=AB=2.∵OC=2，∴OD2+CD2=OC2.∴∠ODC=90°，即OD⊥CD.又∵點D

在⊙O

上，∴CD

是⊙

O的切線.感悟新知4-1.如圖，點C是⊙O上的一點，AB

是⊙

O的直徑，∠CAB=∠DCB，那么CD

與⊙

O的位置關(guān)系是()A.相交B.相離C.相切D.相交或相切C感悟新知如圖3-6-5，在Rt△ABC

中，∠B=90°，∠BAC

的平分線交BC于點D，以點D

為圓心，DB的長為半徑作⊙D.求證：AC

與⊙D

相切.解題秘方：利用“無切點，作垂直，證半徑”判定圓的切線.例5感悟新知證明：如圖3-6-5，過點D作DF⊥AC于點F.∵∠B=90°，∴

DB⊥AB.又∵

AD平分∠BAC，∴

DF=DB.∴AC與⊙D

相切.感悟新知5-1.如圖，點D

是∠AOB的平分線OC上任意一點，過點D

作DE⊥OB

于點E，以DE為半徑作⊙

D，求證：OA

是⊙D

的切線．感悟新知證明：過點D作DF⊥OA于點F.∵點D是∠AOB的平分線OC上任意一點，DE⊥OB，∴DF＝DE，即點D到直線OA的距離等于⊙D的半徑DE，∴OA是⊙D的切線．感悟新知[中考·湖州]如圖3-6-6，已知BC

是⊙O的直徑，AC

與⊙O

相切于點C，AB

交⊙

O于點D，E

為AC

的中點，連接DE.例6感悟新知(1)若AD=DB，OC=5，求AC

的長；解題秘方：構(gòu)造直徑所對的圓周角，利用直徑所對的圓周角是直角求解；解：連接CD，如圖3-6-6.∵BC是⊙O

的直徑，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB.∵AD=DB，∴AC=BC=2OC=10.感悟新知(2)求證：DE

是⊙O

的切線.解題秘方：利用“有切點，連半徑，證垂直”求證.感悟新知證明：連接OD，如圖3-6-6.∵∠ADC=90°，E為AC

的中點，∴DE=EC=AC.∴∠1＝∠2.∵OD=OC，∴∠3＝∠4.∵AC

切⊙O

于點C，∴AC⊥OC.∴∠1+∠3=∠2+∠4＝90°，即DE⊥OD.∴DE

是⊙O的切線.感悟新知6-1.[中考·十堰]如圖，△ABC

中，AB=AC，D

為AC

上一點，以CD

為直徑的⊙O

與AB

相切于點E，交BC于點F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G.感悟新知(1)求證：FG

是⊙O的切線；證明：如圖所示，連接OF.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OF＝OC.∴∠C＝∠OFC，∴∠OFC＝∠B.∴OF∥AB.∵FG⊥AB，∴FG⊥OF.又∵OF是⊙O的半徑，∴FG是⊙O的切線．感悟新知(2)若BG=1，BF=3，求CF

的長.感悟新知知識點三角形的內(nèi)切圓感悟新知41.三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個三角形叫做這個圓的外切三角形.要點解讀1.一個三角形有一個內(nèi)切圓，而一個圓有無數(shù)多個外切三角形.2.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部.感悟新知2.三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.3.三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，且等于其內(nèi)切圓的半徑.感悟新知王奶奶有一塊三角形的布料ABC，∠ACB=90°，她要裁剪一個圓片，已知AC=60cm，BC=80cm，為了充分地利用這塊布料，使裁剪下來的圓片的直徑盡量大些，她應(yīng)該怎樣裁剪？這個圓片的半徑是多少？解題秘方：在三角形中裁剪下的最大圓就是這個三角形的內(nèi)切圓.例7感悟新知解：如圖3-6-7，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙O

的半徑為rcm，⊙O

分別切AB，BC，AC于點D，E，F(xiàn)，連接OE，OF，則四邊形OECF為正方形.∴CE=CF=rcm.感悟新知∵∠ACB=90°，AC=60cm，BC=80cm，∴AB=100cm，AF=AD=(60－r)cm，BD=BE=(80－r)cm.∵AD+BD=AB，即60－r+80－r=100，∴

r==20.∴她應(yīng)該裁剪下來這塊三角形布料的內(nèi)切圓，這個圓片的半徑是20cm.直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩直角邊的和減去斜邊之差的一半.感悟新知7-1.如圖，⊙O

是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn).若BA=BC=13，AC=24，求△

ABC的內(nèi)切圓的半徑