專題17等腰、等邊三角形1.了解等腰三角形、等邊三角形的概念，會(huì)識(shí)別這二種圖形；2.理解等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定；3.能用等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問題；4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性質(zhì)和判定；一、等腰、等邊三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì).

(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角)

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.

3.判定：

(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

特別提醒：(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.

例1．如圖，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于()

A.頂角的2倍B.頂角的一半C.頂角D.底角的一半

例2．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，則BC=cm．二、直角三角形1.直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.2性質(zhì)：

(1)直角三角形中兩銳角互余.

(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.

(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3．判定：

(1)有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，這個(gè)三角形是直角三角形.

(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.例3．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.

(1)若∠BAC=30°，求證:AD=BD；

(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數(shù).

圖1圖21．（2022·黑龍江九年級(jí)期末）如圖，在坡角為30°的斜坡上要栽兩棵樹，要求它們之間的水平距離SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，則這兩棵樹之間的坡面SKIPIF1<0的長(zhǎng)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到△AB′C′，若點(diǎn)B′恰好落到邊BC上，則∠CB′C′的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°3．（2022·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)一模）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0后得到的SKIPIF1<0（點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)SKIPIF1<0），連接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·沙坪壩區(qū)·重慶八中九年級(jí)二模）下列命題中是真命題的是（）A．三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等B．三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．直角三角形斜邊上的高線等于斜邊的一半D．等邊三角形是中心對(duì)稱圖形5．（2022·全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0點(diǎn)，連接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD上的一點(diǎn)，連接EC，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，EF⊥EC交AB于點(diǎn)F．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，下列結(jié)論：①OE＝OH；②EF＝EC；③當(dāng)G為CE中點(diǎn)時(shí)，BF＝SKIPIF1<0；④BG?BH＝BE?BO，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④7．（2022·全國(guó)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△PAB中，M、N是AB上兩點(diǎn)，且△PMN是等邊三角形，△BPM∽△PAN，則∠APB的度數(shù)是________．8．（2022·西寧市教育科學(xué)研究院中考真題）如圖，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，N是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的中線，M是SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是________．9．（2022·福建省福州楊橋中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E為線段BC上的一點(diǎn)，連接AE．（1）將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到線段AF，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F．請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出線段AF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，求證：點(diǎn)F在SKIPIF1<0的平分線上．10．（2022·沙坪壩區(qū)·重慶八中九年級(jí)二模）如圖1，在RtSKIPIF1<0ACB中，AC＝BC，過B點(diǎn)作BD⊥CD于D點(diǎn)，AB交CD于E．（1）如圖1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若