第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其運(yùn)算課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.下列命題中為真命題的是()A.向量AB與B.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C.空間向量就是空間中的一條有向線段D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等答案A2.下列向量的運(yùn)算結(jié)果為零向量的是()A.BC+AB BC.MP+GM+答案C3.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke14e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為()A.6 B.6 C.3 D.3答案B解析由題意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke14e2)=0,所以2k12=0,所以k=6.故選B.4.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AE·AF的值為(A.a2 B.12aC.14a2 D.34答案C解析AE·AF==14=14a×a×12+a×a×12=14a5.(多選)已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數(shù)量積一定為零的是()A.PC與BD BC.PD與AB D答案BCD解析PC·BD=(PA+AB+=PA·BA+AB·BA+BC·BA+PA·因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,即PA·CD又因?yàn)锳D⊥AB,AD⊥PA,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,所以DA·PB=0,同理PD·AB=0,因此B,C,D中的數(shù)量積均為06.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)不共線的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,則k=.

答案87.化簡:12(a+2b3c)+523a-12b+23c答案56a+92b8.如圖,平行六面體ABCDA'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,則AC'的長為.

答案11解析|AC'|2=|AB+BC+CC'|2=AB2+BC=12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,則|AC'|=119.在四面體ABCD中,E,F分別為棱AC,BD的中點(diǎn),求證:AB+CB+AD證明左邊=(AB+AD)+(=2AF+2CF=2(AF+CF)=4EF=右邊,10.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,D1D的中點(diǎn),正方體的棱長為1.(1)求<CE,AF>(2)求證:BD(1)解AF=因?yàn)锳B·AD=0,AB·AA所以CE·AF=AA1-1=12又|AF|=|CE|=52,所以cos<CE,AF(2)證明BD1=所以BD1·EF=關(guān)鍵能力提升練11.已知空間向量a=(t,1,t),b=(t2,t,1),則|ab|的最小值為()A.2 B.3 C.2 D.4答案C解析∵a=(t,1,t),b=(t2,t,1),∴ab=(2,1t,t1),則|ab|=22∴當(dāng)t=1時(shí),|ab|取最小值為2.故選C.12.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,已知(DB+DC2DA)·(AB-AC)=0,則△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.鈍角三角形 D.銳角三角形答案B解析因?yàn)镈B+DC2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2|AC|2=0,13.如圖,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC等于()A.62 B.6 C.12 D.144答案C解析因?yàn)镻C=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2PA·AB+2PA·BC+214.給出下列幾個(gè)命題:①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量;②若|a|=|b|,則a=b或a=b;③對于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中所有真命題的序號(hào)為.

答案③解析對于①,長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量,故①錯(cuò)誤;對于②,若|a|=|b|,則a與b的長度相等,但方向沒有任何聯(lián)系,故不正確;只有③正確.15.等邊三角形ABC中,P在線段AB上,且AP=λAB,若CP·AB=PA·PB,答案12解析設(shè)|AB|=a(a>0),由題知,0<λ<1.如圖,CP=AC=AC+λAB,故CP·AB=(λAB-=λ|AB|2|AB||AC|cosA=a2λ12a2PA·PB=(λAB)·(1λ=λ(λ1)|AB|2=λ(λ1)a2,則a2λ12a2=λ(λ1)a2解得λ=122λ=1+22舍.16.如圖,平面α⊥平面β,AC⊥AB,BD⊥AB,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB,AC,BD表示CD=,|CD答案AB-AC+解析∵CD=∴CD2=(AB-=AB2+AC2+BD22AB·AC+2AB·BD2AC·BD=1617.已知ABCDA'B'C'D'是平行六面體,AA'的中點(diǎn)為E,點(diǎn)F為D'C'上一點(diǎn),且D'F=23D'C'(1)化簡:12(2)設(shè)點(diǎn)M是底面ABCD的中心,點(diǎn)N是側(cè)面BCC'B'對角線BC'上的34分點(diǎn)(靠近C'),設(shè)MN=αAB+βAD+γAA',試求α,β,γ解(1)由AA'的中點(diǎn)為E,得12又BC=A'D'因此23AB=2(2)MN=MB+BN=12DB+34BC'=12(DA+AB)+34(BC+CC18.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點(diǎn),且BM=2A1M,C1N=2B1N.設(shè)AB=a,AC=b,AA1=(1)試用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的長.解(1)MN=13BA1+AB+13B=13a+13b+1(2)因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=所以|MN|=13|a+b+c|=53,即MN=學(xué)科素養(yǎng)拔高練19.如圖所示,已知線段AB在平面α內(nèi),線段AC⊥α,線段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,線段BD與α所成的角為30°,求CD的長.解由AC⊥α,可知AC⊥AB,過點(diǎn)D作DD1⊥α,D1為垂足,連接BD1,則∠DBD1為BD與α所成的角,即∠DBD1=30°,所以∠BDD1=60°,因?yàn)锳C⊥α,DD1⊥α,所以AC∥DD1,所以<CA,DB>=60°,所以<CA,BD>=120°所以|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+因?yàn)锽D⊥AB,AC⊥AB,所以BD·AB=0,AC·故|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA=242+72+242+2×24×24×cos120°=625,所以|CD|=25,即CD的長是25.20.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(點(diǎn)P位于平面ABCD的上方),則邊BC上是否存在點(diǎn)Q,使PQ⊥解假設(shè)存在點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在邊BC上),使PQ⊥連接AQ,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又PQ=所以PQ·QD=又PA·QD=0,所以AQ·QD=即