2022年吉林省長春市市威特中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.拋物線y=﹣x2的準(zhǔn)線方程是（）A． B．y=2 C． D．y=﹣2參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先把拋物線轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=﹣8y，然后再求其準(zhǔn)線方程．【解答】解：∵，∴x2=﹣8y，∴其準(zhǔn)線方程是y=2．故選B．2.復(fù)數(shù)(

)A.2-i B.1-2i

C.-2+i

D.-1+2i參考答案：C略3.全集，集合，，（）A.{－1} B.{1} C.{2} D.{－2,－1}參考答案：C【分析】由一元二次方程的解法得：A，由集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算得解．【詳解】解一元二次方程x2x2＝0得：x＝2或x＝，即A，?UB，則故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法及集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，屬簡單題．

4.用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如右圖所示的一個(gè)正方形，則原來的圖形為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖．【分析】根據(jù)題目給出的直觀圖的形狀，畫出對應(yīng)的原平面圖形的形狀，則問題可求．【解答】解：作出該直觀圖的原圖形，因?yàn)橹庇^圖中的線段C′B′∥x′軸，所以在原圖形中對應(yīng)的線段平行于x軸且長度不變，點(diǎn)C′和B′在原圖形中對應(yīng)的點(diǎn)C和B的縱坐標(biāo)是O′B′的2倍，則OB=2，所以O(shè)C=3，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了平面圖形的直觀圖，考查了數(shù)形結(jié)合思想，解答此題的關(guān)鍵是掌握平面圖形的直觀圖的畫法，能正確的畫出直觀圖的原圖形．5.已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，， B．當(dāng)時(shí)，，C．當(dāng)時(shí)，， D．當(dāng)時(shí)，，參考答案：B6.若a＞1，則的最小值是（）A．2 B．a(chǎn) C．3 D．參考答案：C【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】將變形，然后利用基本不等式求出函數(shù)的最值，檢驗(yàn)等號能否取得．【解答】解：因?yàn)閍＞1，所以a﹣1＞0，所以=當(dāng)且僅當(dāng)即a=2時(shí)取“=”故選C7.過拋物線y=x2上的點(diǎn)的切線的傾斜角（）A．30° B．45° C．60° D．135°參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由直線的斜率公式，可得傾斜角．【解答】解：y=x2的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，在點(diǎn)的切線的斜率為k=2×=1，設(shè)所求切線的傾斜角為α（0°≤α＜180°），由k=tanα=1，解得α=45°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查直線的傾斜角的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.已知等比數(shù)列的公比為2，且前5項(xiàng)和為1，那么前10項(xiàng)和等于()A．33

B.31

C．35

D．37參考答案：A9.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是拋物線y2=2x的內(nèi)接等腰直角三角形，則這個(gè)平面圖形的面積(

) A． B．4 C．8 D．16參考答案：C考點(diǎn)：簡單空間圖形的三視圖．專題：數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)拋物線與等腰直角三角形的對稱性，得出拋物線y2=2x的內(nèi)接等腰直角三角形如圖所示，畫出圖形，結(jié)合圖形，求出等腰直角△AOB的面積，利用直觀圖與原圖形的面積關(guān)系，求出原平面圖形的面積．解答： 解：根據(jù)圖形的對稱性，畫出該拋物線y2=2x的內(nèi)接等腰直角三角形，如圖所示；設(shè)直線OA的方程為y=x，則由，解得x=2，y=2；等腰直角△AOB的面積為S△AOB=×|AB|×|x|=×4×2=4，∴原平面圖形的面積為4×2=8．故選：C．點(diǎn)評：本題考查了拋物線的對稱性應(yīng)用問題，也考查了平面直觀圖與原圖形的面積比的應(yīng)用問題，是綜合性基礎(chǔ)題目．10.設(shè)，，是自然對數(shù)的底數(shù)(

)A.若，則

B.若，則C.若，則

D.若，則參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為

參考答案：12.設(shè)某總體是由編號為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號是

．參考答案：10【考點(diǎn)】簡單隨機(jī)抽樣．【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，依次進(jìn)行選擇即可得到結(jié)論．【解答】解：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字中小于20的編號依次為08，02，14，07，02，10，．其中第二個(gè)和第四個(gè)都是02，重復(fù)．可知對應(yīng)的數(shù)值為08，02，14，07，10，則第5個(gè)個(gè)體的編號為10．故答案為：1013.命題“?x∈（0，），tanx＞sinx”的否定是

．參考答案：，tanx≤sinx【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)命題“?x∈（0，），tanx＞sinx”是特稱命題，其否定為全稱命題，將“?”改為“?”，“＞“改為“≤”即可得答案．【解答】解：∵命題“?x∈（0，），tanx＞sinx”是特稱命題∴命題的否定為：?x∈（0，），tanx≤sinx．故答案為：?x∈（0，），tanx≤sinx．【點(diǎn)評】本題主要考查全稱命題與特稱命題的相互轉(zhuǎn)化問題．這里注意全稱命題的否定為特稱命題，反過來特稱命題的否定是全稱命題．14.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，而北鄉(xiāng)需遣一百零八人，問北鄉(xiāng)人數(shù)幾何？”其意思為：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調(diào)300人，而北面征調(diào)108人（用分層抽樣的方法），則北面共有__________人．”參考答案：8100因?yàn)楣渤檎{(diào)300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽樣比為，所以北面共有人，故填8100.15.已知=

.參考答案：-2略16.已知，，若向量與共線，則在方向上的投影為______.參考答案：,由向量與共線，得，解得，則，故答案為.17.在△ABC中，2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是*****

.參考答案：等腰三角形

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列滿足前項(xiàng)和。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，滿足

所以，所以，，-----------------------4分（2）

----------------------------12分略19.某小型機(jī)械廠有工人共100名，工人年薪4萬元/人，據(jù)悉該廠每年生產(chǎn)x臺機(jī)器，除工人工資外，還需投入成本為(萬元)，且每臺機(jī)器售價(jià)為50萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的機(jī)器能全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式；（2）問：年產(chǎn)量為多少臺時(shí)，該廠所獲利潤最大？參考答案：（1）；（2）100臺時(shí)，850萬元【分析】（1）利用利潤等于銷售額減去成本可得利潤函數(shù).（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式可求利潤的最大值.【詳解】（1）依題意有.（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)時(shí)，取得最大值萬元；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值萬元．

綜上可知當(dāng)年產(chǎn)量為100臺時(shí)，該廠在生產(chǎn)中獲利最大，最大利潤為850萬元．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，一般地，函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并利用常見函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)或基本不等式去求數(shù)學(xué)模型的最值.20.（本題滿分16分）設(shè)，求的最大值和最小值．參考答案：解析：因?yàn)?，?dāng)或時(shí)等號成立，所以S的最大值為1．

………………（6分）令，，則．

………………（10分）

下證

．

①①，所以

，從而

，當(dāng)時(shí)等號成立，所以S的最小值為．……………（16分）21.已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，對任意，，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，所以，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，取，則，（或：因?yàn)榍視r(shí)，所以，）因?yàn)?，所以，此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)時(shí)，，所以在（）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.要使函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則即.綜上所述，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則或.（Ⅱ）因?yàn)閷θ我?，，有成立，因?yàn)椋?因?yàn)?，則.所以，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因?yàn)榕c，所以.設(shè)則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，從而.所以即.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以，即，解得.因?yàn)?，所以的取值范圍?

22.某商場準(zhǔn)備在今年的“五一假”期間對顧客舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了A，B兩種抽獎(jiǎng)方案，方案A的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分;方案B的中獎(jiǎng)率為,中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分，每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，并憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品，（1）若顧客甲選擇方案A抽獎(jiǎng)，顧客乙選擇方案B抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，若的概率為，求（2）若顧客甲、顧客乙兩人都選擇方案A或都選擇方案B進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問:他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的均值較大?參考答案：（1）（2）當(dāng)時(shí)，他們都選擇方案進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值較大；當(dāng)時(shí)，他們都選擇方案進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值較大；當(dāng)時(shí)，他們都選擇方案或都選擇方案進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值相等【分析】（1）首先求解出對立事件“”的概率，再根據(jù)對立事件概率公式求得結(jié)果；（2）利用二項(xiàng)分布均值公式求解出和，根據(jù)均值的性質(zhì)求得兩人全選方案或方案的均值，比較兩個(gè)均值的大小，得到不同取值的情況下應(yīng)選取的方案.【詳解】（1）由已知得，甲中獎(jiǎng)的概率為，乙中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響記“這人的累計(jì)得分”的事件為，則事件的對立事件為“”

（2）設(shè)甲、乙都選擇方