模塊五四邊形第四講正方形知識梳理夯實基礎知識點1:正方形的性質(zhì)1.邊：對邊平行，四條邊都相等2.角：四個角都是直角3.對角線4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸5.正方形面積求法：(a表示正方形的邊長，I表示正方形的對角線)注：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形知識點2:正方形的判定1.有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形2.有一組鄰邊相等的矩形是正方形3.對角線互相垂直的矩形是正方形4.有一個角是直角的菱形是正方形5.對角線相等的菱形是正方形有一組鄰邊相等或有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直對角線相等且互相垂直或正方形有一組鄰邊相等且有一個角是直角有一個角為直角或?qū)蔷€相等對角線相等且互相垂直平分一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直一個角為直角或，對角線相等四邊形矩形菱形知識點4:中點四邊形定義：依次連接任意一個四邊形各邊中點所得到的四邊形叫做中點四邊形.正方形正方形正方形直擊中考勝券在握A.有一個角是直角的菱形是正方形B.兩條對角線相等的菱形是正方形C.對角線互相垂直的矩形是正方形D.四條邊都相等的四邊形是正方形【答案】D2.(2023·綿陽中考)如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，∠CDE=30°,DE⊥CF,則BF的長是()A.1B.√2【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)得出DC=CB,∠DCE=∠CBF=90°,由ASA證得△DCE≌△CBF,即可得出答案.【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，即32+x2=(2x)2,【點睛】3.(2023·重慶中考)如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°,直角頂點P在正方形ABCD的對角線BD上，點M,N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點O,且點O為MN的中點，則∠AMP的度數(shù)為()【分析】Z2MPN=90°,【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟角的關(guān)系進行計算.4.(2023·遼寧中考)如圖，AC,BD是四邊形ABCD的對角線，點E,F分別是AD,BC的中點，點M,A.AB=CD,AB⊥CDB.AB=CD,AD=BCC.AB=CD,AC⊥BDD.AB【答案】A【分析】得出平行四邊形ABCD是菱形；當AB⊥CD時，EN⊥ME,即∠MEN=90°,即可得出菱形EMFN是正方形.【詳解】∵點E,F分別是AD,BC的中點，點M,N分別是AC,BD的中點，MEIICD//NF,,,故選A.【點睛】點E作EF⊥AB于點F,EG⊥BC于點G,連接DE,FG.下列結(jié)論：①DE=FG;②DE^FG;③∠BFG=∠ADE;④FG的最小值為3.其中正確結(jié)論的個數(shù)有()【分析】延長DE,交FG于點N,交AB于點M,連接BE,交FG于點O,先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出DE=BE,再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得BE=FG,由此可判斷①;先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得∠ABE=∠ADE,再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OB∠BFG=∠ABE,由此可判斷③;根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠ADE+∠AMD=90°,從而可得∠BFG+∠AMD=90°,由此可判斷②;先根據(jù)垂線段最短可得當DE⊥AC時，DE取得最小值，再解直角三角形可得DE的最小值，從而可得FG的最小值，由此可判斷④.【詳解】解：如圖，延長DE,交FG于點N,交AB于點M,連接BE,交FG于點O,∵四邊形ABCD是正方形，AB=4,∴AABE=△ADE(SAS),∴DE=FG,即結(jié)論①正確；∴∠BFG=∠ADE,即結(jié)論③正確；∴∠FNM=90°,即DE^FG,結(jié)論②正確；由垂線段最短可知，當DE⊥AC時，DE取得最小值，【點睛】的面積為()A.9B.16C.20【解析】日【答案】B【分析】過F作AB的垂線分別交AB,CD于N,M,由BF⊥EF,證明△MFE≌△NBF,設ME=FN=x,根據(jù)MN=4,求得x,在Rr?AFN中，利用勾股定理即可求得AF.【詳解】如圖，過F作AB的垂線分別交AB,CD于N,M,AB=BC=CD=4,∴四邊形CMNB是矩形，四邊形ABCD是正方形，即1+x+x=4,【點睛】求得ME是解題的關(guān)鍵.8.(2023·牡丹江中考)如圖，正方形ABCD的邊長為3,E為BC邊上一點，BE=1.將正方形沿GF折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF,EF,GE,則四邊形AGEF的面積為()【答案】D【分析】@BE2+BG2=GE2,=5.【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，以及勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.9.(2023·貴州黔東南中考)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,使點B落在點B'的位置，連接BB',過點D作DEBBB',交BB的延長線于點E,則BE的長為()【答案】A【分析】的函數(shù)值求得x,繼而求得BE的值【詳解】設BE,CD交于點F,設EF=x,將DF,FC,BF都表示出含有x的代數(shù)式，利用tan∠FBC∵四邊形ABCD為正方形DE2BB'設EF=xFC=DC-DF=2-2xBE=BF+EF=4-3xBE=BE-BB'=4-3x-2=2-3x【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角活運用銳角三角函數(shù)的定義及特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.轉(zhuǎn)90°,得到△ABE.連接EF交AB于點H.下列結(jié)論正確的是()A.∠EAF=120°B.AE:EF=1:√3C.AF2=EH·EFD.EB:AD=EH:HF【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到EAF是等腰直角三角形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理即可作出判斷.【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：BEAF=90°,EA=AF,則BEAF是等腰直角三角形，BEF=√ZAE,即AE:EF=1:√2,若C選項正確，則AF2=AE2=EH·EF,團假設不成立，故C選項錯誤；【點睛】即故D選項正確；本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確運用反證法是解題的關(guān)鍵.11.(2023·湖南常德中考)如圖，已知F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點，AE與DF交于P.則下列結(jié)論成立的是()【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】圖已知F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點，故A選項錯誤，不符合題意；BEAF+BAFD=90°,故C選項正確，符合題意；連接FC,BZDP>ODCP,【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識.此題綜合性很強，解題沿BM對折至△BMN,連接DN,則DN的長是()A.日【分析】延長MN與CD交于點E,連接BE,過點N作NF⊥CD,根據(jù)折疊的正方形的性質(zhì)得到NE=CE,在Rr?MDE用勾股定理即可求解.②,②,【詳解】解：如圖，延長MN與CD交于點E,連接BE,過點N作NF⊥CD,在RtMDE中，設DE=x,則ME=6-x+2=8-x,根據(jù)勾股定理可得42+x2=(8-x)2,解得x=3,,,【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應用等內(nèi)容，做出合13.(2023·浙江溫州中考)由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示.過點D作DF的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G,連結(jié)CG,延長BE交CG于點H.若AE=2BE,則的值為()A3A3【答案】C【分析】如圖，設BH交CF于P,CG交DF于Q,根據(jù)題意可知BE=PC=DF,AE=BP=CF,根據(jù)AE=2BE可得BE=PE=PC=PF=DF,,利用勾股定CH=QH=CQ,利用ASA可證明2CPHEGDQ,可得PH=QD,即可得出BE,可得,利用勾股定,理可用BE表示長CH的長，即可表示出CG的長，進而可得答案.【詳解】如圖，設BH交CF于P,CG交DF于Q,BZCFD=aBPC,在RtaPCH中，【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.14.(2023·江蘇泰州中考)如圖，P為AB上任意一點，分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設∠CBE=α,則∠AFP【答案】B【分析】【詳解】又@∠CBE=a,團∠AFP=∠CBP=∠PBE-∠CBE=90°-α,【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等【分析】【詳解】OD=√ZOG,故②正確；故選C.【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方16.(2023·廣東深圳中考)在正方形ABCD中，AB=2,點E是BC邊的中點，連接DE,延長EC至點F,使得EF=DE,過點F作FG⊥DE,分別交CD、AB于N、G兩點，連接CM、EG、EN,下列正確的【答案】B【分析】②中先證明△DEC≌△FEM得到EM=EC,DM=FC,再證明△DMN≌△FCN即可求解；【詳解】解：①BFG⊥DE,EEDMF=90°=ZNCF,且對頂角aMND②由①知∠MDN=∠CFN,BEF=DE=√EC2+CD2=√5,CF=EF-EC=√5-1,故選B.【點睛】【分析】【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.點G,H分別是EC,FD的中點，連接GH,則GH的長度為.【分析】過E作EP⊥DC,過G作GQ⊥DC,勾股定理即可求解.【詳解】過E作EP⊥DC,過G作GQ⊥DC,AB=AD=DC=BC=2√2,過H作HR⊥BC,HR與GQ相交于1,分別求出HI和GI的長，利用過H作HR⊥BC,垂足分別為P,R,R,HR與GQ相交于I,如圖，,團,?HI=HP,故答案為：1.【點睛】此題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線與勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.19.(2023·浙江紹興中考)如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在x軸正半軸上，頂點B,的圖象恰好經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點，則k的值是【答案】5或22.5【分析】先設一個未知數(shù)用來表示出B、C兩點的坐標，再利用反比例函數(shù)圖像恰好經(jīng)過B、C、D的其中兩個點進行分類討論，建立方程求出未知數(shù)的值，符合題意時進一步求出k的值即可.【詳解】解：如圖所示，分別過B、D兩點向x軸作垂線，垂足分別為F、E點，并過C點向BF作垂線，垂足為點G;2ADEDBAF,同理可證BADEEEBAF2RCBG;不符題意，舍去；當時，由m≥0解得m=3,符合題意，故該情況成立，此時故答案為：5或22.5.【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解一元二次方程等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能根據(jù)題意建立相等關(guān)系列出方程等，本題涉及到了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等.20.(2023·廣西桂林中考)如圖，正方形OABC的邊長為2,將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角α(0?<a<180°)得到正方形OA'B'C,連接BC,當點A'恰好落在線段BC上時，線段BC的長度是【分析】連接AA',根據(jù)旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)得出EOA'C=45°,BBA'O=135°,OA=OA'=AB=2,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得出旋轉(zhuǎn)角α=60°,然后利用三角形的性質(zhì)和勾股定理得出答案；【詳解】解：連接AA',團將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角α(0°<a<180°)得到正方形OA'B'C,連接BC,當點A'恰好落在線Bx8=√2-√5)+F=√6-√E,【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是得出旋轉(zhuǎn)角α=60得21.(2023·浙江臺州中考)如圖，點E,F,G分別在正方形ABCD的邊AB,BC,AD上，AFBEG.若AB=5,【分析】先證明ABF∽△GAE,得到,進而即可求解.【詳解】②ABF∽GAE..【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明。ABF~△GAE,是解題的關(guān)鍵.22.(2023·山東東營中考)如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12,點F是AD上一點，將CDF沿CF折疊，點D落在點G處，連接DG并延長交AB于點E.若AE=5,則GE的長為【點睛】是本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，找到△AED~△HDC是解題的關(guān)鍵.23.(2023·山東威海中考)如圖，在正方形ABCD中，AB=2,E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點.連接DE和AF交于點G,連接BG,若AE=BF,則BG的最小值為.【分析】根據(jù)SAS證明QDEARRAFB,得CADE=OBAF,再證明@DGA=90°,進一步可得點G在以AD為直徑的半圓上，且0,G,B三點共線時BG取得最小值.【詳解】②AE=BF回點G在以AD為直徑的圓上移動，連接OB,OG,如圖：回當且公當O,G,B三點共線時BG取得最小值.【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，圓周角定理等相關(guān)知識，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.24.(2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考)如圖，已知正方形ABCD的邊長為6,點F是正方形內(nèi)一點，連接CF,DF,且∠ADF=∠DCF,點E是AD邊上一動點，連接EB,EF,則EB+EF長度的最小值為.【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到8ADC=90°,推出BDFC=