一、單選題

1.已知點4-3,1,-4）,點Z關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（）

A.(-3,-1,-4)B.(-3,-1,4)C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)

【答案】B

【分析】根據(jù)空間點關(guān)于直線對稱的知識確定正確選項.

【詳解】空間點關(guān)于x軸對稱，橫坐標不變，另外兩個坐標相反，

所以A關(guān)于x軸的對稱點為（-3,-1,4）.

故選：B

2.直線*+1=0的傾斜角為（）

371cTC+―4

A.-7tB.-C.-D.不存在

442

【答案】C

【分析】根據(jù)傾斜角的定義可得結(jié)果

【詳解】因為直線x+l=O即直線x=-l垂直于X軸,根據(jù)傾斜角的定義可知該直線的傾斜角為

故選:C.

3.已知圓的一般方程為r+y2+4x-2y-4=0,其圓心坐標是（）

A.(1,2)B.(—1,2)C.(一2,1)D.(一1,一2)

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的方程即得.

（DE

【詳解】因為圓/+/+瓜+￡>+尸=0的圓心為［一?—,-y

則圓/+y2+4x-2y-4=0的圓心坐標是（一2,1）.

故選：C.

4.正三棱柱4如圖所示，以四邊形5CC圈的前面為正前方畫出的三視圖正確的是

主視圖左視圖主視圖左視圖主視圖左視圖

俯視圖俯視圖俯視圖

A.B.C.

主視圖左視圖

俯視圖

D.

【答案】A

【分析】根據(jù)三視圖的知識確定正確答案.

【詳解】由于四邊形8CG4的前面為正前方,

所以主視圖為矩形，左視圖為三角形,

俯視圖是中間有一條橫線的矩形,

所以A選項正確.

故選：A

5.已知直線x+y-l=O與2x+〃y+5=0互相平行,則它們之間的距離是()

C77270

A.3&B.y/2D.

4~2~

【答案】C

【分析】由兩條直線平行的直線求參數(shù)，再利用兩平行線間的距離求解即可.

【詳解】因為直線x+y-l=O與2x+"y+5=0互相平行,

所以有;=2=2,

所以2x+2y-2=0與2x+2y+5=0的距為:

心3=逑

22+224

故選：C.

6.圓q：x2+/-4x=0和圓。2：公+了2-4>=0的位置關(guān)系是（）

A.外離B.相切C.內(nèi)含D.相交

【答案】D

【分析】求出兩個圓心距與半徑和半徑差的關(guān)系.

【詳解】vOj:x2+y2-4x=0（x-2）2+y2=4

2222

XvO2:x+y-4y=0x+（y-2）=4

，圓的圓心。i（2,0）,半徑4=2,圓。2的圓心。2（。，2）,半徑與=2,??.002=2后，，

2—2<O]O2<2+2,圓與圓Q相交.

故選：D

7.一平面截一球得到半徑為行的圓面，球心到這個平面的距離為3,則該球的體積為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)球半徑，球心距與底面圓半徑構(gòu)成直角三角形求解.

【詳解】畫圖為：

從圖像得半徑

又因為球心到這個平面的距離為3,即=3

所以球半徑CM=J。。"。/=4

所以該球的體積為：yx43=^

故選：A

8.已知圓x2-4x+/—2y=5關(guān)于直線2辦+了+6-3=0（°,b為大于0的數(shù)）對稱，則的

ab

最小值為（）

9

1Ca2

A.2-B.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對稱，可知直線經(jīng)過圓心，得到b的關(guān)系式，然后結(jié)合基本不等式，即

可得到結(jié)果.

【詳解】因為圓x2-4x+/-2y=5的圓心為(2,1),且圓元之—4x+/-2y=5關(guān)于直線

2ax+y+b-3=0(a,6為大于0的常數(shù))對稱，

所以直線2ax+y+6-3=0過圓心(2,1),所以4。+6=2,又a>0,b>0,

所以'+!=j』+?](4a+6).\=\(4+2+半+1]N：X(5+24)=g.(當且僅當a=6=1?時,

ab\ab)22\abJ2233

取

故選:A.

9.設(shè)直線/:y=foc+石(4>0),交圓f+/=2于/,8兩點，當口0/B面積最大時，k=()

A.—B.—C.2D.1

552

【答案】C

【分析】設(shè)圓心到直線/的距離為“，利用”來表示1408的面積，然后得到當d=l時面積最大，

利用點到直線的距離公式列方程，解方程即可得到h

【詳解】由題意知圓。的圓心為(0,0),r=亞,

直線/:了=a+石(女>0)經(jīng)過定點(o,6)，該點在圓外，

22

設(shè)圓心到直線/的距離為d,de[o,&),則|力用=26彳，SDA0B=~\AB[d=^(2-d)d,

令小山，則fe[0,2),SDA0B=^2-t)t,當f=l,即d=l時，星,最大，

所以d=4L=l,解得上=2.

故選：c

10.已知點血-2,2),5(6,4),H(5,2),"是1148c的垂心.則點C的坐標為()

A.(6,2)B.(-2,2)C.(-4,-2)D.(6,-2)

【答案】D

【分析】先設(shè)點C的坐標，再求出直線8H,的斜率，則可求出直線ZC的斜率和直線3c的傾斜

角，聯(lián)立方程組求出C的坐標；

2—7

【詳解】設(shè)C點標為(x,y),直線4”斜率3〃=n=0,

?.BCVAH,而點8的橫坐標為6,則x=6,

4-2

直線BH的斜率心〃=--=2,

6—5

???直線/C斜率標=消=-：，

6+22

.-.y=-2,

???點。的坐標為(6,-2).

故選:D.

11.如圖，正三棱柱48C-44G的底面是邊長為3的正三角形，側(cè)棱44=4,一小蟲從點N途

經(jīng)三個側(cè)面爬到點4,則小蟲爬行的最短距離為()

C.V97D.V153

【答案】c

【分析】將三棱柱展開為一矩形，確定邊長，確定小蟲爬行的軌跡，即可求得答案.

【詳解】三棱柱的側(cè)面展開圖為一個矩形4,如圖所示，

因為正三角形ZBC的邊長為3,側(cè)棱44=4,所以/⑷=9,

所以；=y]AAa+AA^=阮=場,即小蟲爬行的最短距離為歷，

故選：C

12.在圓幕定理中有一個切割線定理：如圖1所示，0區(qū)為圓。的切線，R為切點,。8為割線,

則|。砰=|。/|0必如圖2所示，在平面直角坐標系xQy中，已知點4-1,0),點P是圓

。:1+『=4上的任意一點，過點8(1,0)作直線8T垂直/P于點T,則2歸旬+3|尸7|的最小值是

()

6及872C.472D.2>/2

【答案】A

【分析】先利用)=；(存+麗)和余弦定理得到盧。|=；+|28『卜=2,可得

33

照『+|「8「=10,即可求cos4P8=陽”尸耳,進而求得歸刀=網(wǎng)，再利用基本不等式即可得到

答案

【詳解】連接P。，

在△P/8中，因為。是的中點,

所以所=|■陛+珂，平方得匹『=：(網(wǎng)?+附?+2網(wǎng).閥COS4P8

四「+|卿-|阿代人可得儼。|=g,2口+閥2)_|何=2,

將cosZAPB=

21PH.阿

因為|”|=2,所以|P/「+|P8『=10,

3

所以c°s4取河網(wǎng),

3

在Rt匚尸8T,|尸7|=|P卻cos//P8=網(wǎng),

9.—L

所以2|刃+3|PT|=2照|+怛/2可=6五，

當且僅當21PH=向即歸/卜孚時，取等號,

故選：A

二、填空題

13.已知直線/1：x-/y+2=o,直線/2：辦-(“—2”-3=0,若…,則實數(shù)?？赡艿娜≈禐?/p>

【答案】0或1

【分析】根據(jù)兩直線垂直關(guān)系，建立方程求解即可.

【詳解】因為直線4：x-＜y+2=O,直線/2：辦-5-2))，-3=0

所以當

有a+/(a-2)=Ona[l+a(a-2)]=0,

所以a=0或l+a(a-2)=a?-2a+l==0

解得"=O或1.

故答案為：0或1

14.若/為一條直線，a,人7為三個互不重合的平面，給出下面四個命題：@aly,

/〃7=a_L6；②a_Ly,。，y=a1.g③〃/a,11(3=aL0：(4)IIIa,///￡na//￡.其

中正確命題的序號有.

【答案】①③

【分析】依據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，找出反例逐一分析，即可得出答案.

【詳解】若a_L7,,則機＜=0℃/=4加1/,”?1.八又因為/?〃7,所以機＜=0,m_1力,則。_1￡,

①正確.

如果a,是長方體相對的兩側(cè)面，則它們都垂直底面，但這兩個平面互相平行，故a,4也可能平

行，②不正確.

U/a，則存在/'/〃/uaj，則由面面垂直的判定定理//uana，色③正確.

如果a,4是長方體相鄰的兩側(cè)面，/為長方體不在這兩個面內(nèi)的側(cè)棱，/〃a,〃/尸,a,4也可能相

交，④不正確.

綜上，正確的命題的序號是①③.

故答案為:①③.

15.過點(2,4)作圓工2+丁=4的切線，則切線方程為.

【答案】x=2或3x-4y+10=0

【分析】考慮直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑列出方程,

求出切線方程.

【詳解】①直線的斜率不存在時x=2滿足，

②直線斜率存在時，設(shè)切線方程為4=k(x-2),則"=牛"=2=左=1,

所以切線方程為y-4=：(x-2),即3x-4y+10=0.

故答案為：x=2或3x-4y+10=0.

16.已知正方體/BCD-44GA的棱長為6,E、F分別是4A、的中點，則平面CEE截正方

體所得的截面的周長為

【答案】6拒+3收

【分析】延長EF交D4的延長線于N,連接CN交于點G,連接尸G；延長尸E交。。的延長

線于點M,連接CW交CA點H,連接Ea；則正方體被平面CEF截得的截面為C//EFG.則防+

/G+GC+C//+HE為平面CE廠截正方體所得的截面的周長，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解.

【詳解】延長EF交。/的延長線于N,連接CN交于點G,連接尸G：延長尸E交。4的延長

線于點M,連接CW交GA點H，連接E”；

則正方體被平面CE廠截得的截面為CHEFG.

???E、P分別是4。、⑨的中點，則易知ZN=4E=g">,

：.AN=-ND,.-.AG^-CD=2,

33

EF=3\/2,FG=y/ti,CG=2V13；

同理，D]H=；CD=2,EH=y[Y3,CH=2713;

.??平面CM截正方體所得截面的周長為：

EF+FG+GC+CH+HE^372+713+2713+25/13+713=6>/13+372.

故答案為：6V13+3J2.

三、解答題

17.已知空間直角坐標系中有三點/(5,2,10),8(11,0,7),C(3,5,4).

(1)求三角形/8C的中線CM的長；

(2)證明三角形NBC是等腰直角三角形.

【答案】(1)亭

(2)證明見解析

【分析】(1)求出的中點M的坐標，由兩點間的距離公式可得答案;

(2)求出卜回，|/C|,忸C|,再由勾股定理可得答案.

【詳解】(1)由題意可知的中點為(等，岑，等即"為(8

則3|=J(8-3)2+(5-l)2+(L=,25+16+自=再=苧，

(2)???|明=7(5-11)2+(2-0)2+(10-7)2=,36+4+9=7,

\AC\=^(5-3)2+(2-5)2+(10-4)2=J4+9+36=7,

忸C|=7(H-3)2+(0-5)2+(7-4)2=J64+25+9=7&,

：.\AB\=\AC\,\AB[+\AC[=\BC[,

綜上三角形Z8。是以/為頂點的等腰直角三角形.

18.求符合下列條件的直線/的方程：

⑴過點”(2,1),且斜率為-；；

(2)過點4(1,4),5(2,3)：

(3)過點尸(2,1)且在兩坐標軸上的截距相等.

【答案】(l)x+2"4=0；

⑵x+y-5=0；

⑶x-2y=0或x+y-3=0.

【分析】(1)利用點斜式寫直線方程即可；

(2)利用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫直線方程：

(3)利用斜截式和截距式待定系數(shù)求直線方程.

【詳解】(1)???所求直線過點4(2,1),且斜率為-；，??.y-l=-g(x-2),即x+2y-4=0；

(2)???所求直線過工(1,4),8(2,3),.?.腦=咨=-1，

,即x+y_5=0；

(3)當直線過原點時，設(shè)直線方程為)，=丘，

???直線過戶點(2,1),??.后=男=：,直線方程為y=：x,即》_2y=0；

當直線不過原點時，設(shè)直線方程為2+2=1,

aa

2i

將點打2,1)代入上式，得—+—=1,解得。=3,

aa

故直線的方程為X+F-3=0,綜上，直線方程為x-2y=0或x+y-3=0.

19.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，PC_L8。，點E為PC的中點.

⑴求證：P4/平面BDE；

(2)求證：平面尸平面P4C.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線以及線面平行的判定定理證得尸4〃平面E9E

(2)通過證明8。上平面P/C,來證得：平面平面P/C.

【詳解】(1)連接NC交8。于。點，連接E。，

???底面ABCD是菱形，。為AC的中點，

???點E為尸C的中點，PAHEO,

?.?EOu平面3DE,且平面瓦歷，〃平面8DE；

(2)???底面/8CD是菱形，二/C工8。，

vPCLBD,PCcAC=C,PCu平面「4C,XCu平面P/C,

???8。工平面尸/C,

又8Ou平面P8D,

二平面P8O_L平面PAC.

D

BC

20.已知圓C的方程為/+/一4》+6了-機=0.

(1)求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若圓C與直線/：x+y+3=0交于〃，N兩點，且|A/N|=2打，求心的值.

【答案】(1)"?>—13

(2)7M=-8

【分析】(1)將圓。的一般方程用配方法化為標準方程，進而得到13+〃?>0,解之即可；

(2)利用弦長公式|四川=2，尸2-/求得廠,進而得到J〃?+13=6,易得加的值.

【詳解】(1)方程/+『-4'+6N一〃?=0可化為(x-2)2+(y+3)2=13+機，

??,此方程表示圓，

??.13+〃z>0,即相>一13,即加￡(-13,+8).

(2)由(1)可得圓心。(2,-3),半徑尸=而百，

則圓心C(2,-3)到直線/:x+y+3=0的距離為d="+印=及，

V12+12

由弦長公式|MN|=2,2-"2及|MN|=20,得2鳳2卜_(可,解得r=石，

r=J/n+13=-\/5>得”?=-8.

21.已知點力(1,1),C(-2,0),點4關(guān)于直線x-y-l=0的對稱點為點8.

(1)求B點坐標：

⑵在口PBC中，|?C|=&|?8],求口PBC面積的最大值.

【答案】(1)(2,0)；

(2)872

止=_1

【分析】(I)結(jié)合點關(guān)于線對稱可得/T,解方程組即可求出結(jié)果；

%+1乂>+1]=0

22

(2)求出動點P(x,y)的軌跡，進而可得點尸在(6,4啦)或僅,-40)時，三角形的面積最大，從而

結(jié)合三角形的面積公式即可求出結(jié)果.

金=7

%=2

【詳解】（1）設(shè)B的坐標為（X。/。），貝叫解得

乂=°

22

則3的坐標為（2,0）；

(2)設(shè)P(x,y),\PC\=^\PB|=>(x+2)2+y2=2(x-2)2+2y2

=>x2+/-12x4-4=0,（x-6）2+V=32.圓