安徽省宣城市琴溪中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果直線ax+2y+2=0與直線3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么實(shí)數(shù)a=（）A． B． C． D．6參考答案：A【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】通過兩條直線的垂直，利用斜率乘積為﹣1，即可求解a的值．【解答】解：因?yàn)橹本€ax+2y+2=0與3x﹣y﹣2=0互相垂直，所以﹣×3=﹣1，所以a=．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的垂直條件的應(yīng)用，斜率乘積為﹣1時(shí)必須直線的斜率存在．2.△ABC中，關(guān)于x的方程(1+有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則A為

（

）A．銳角

B．直角

C．鈍角

D．不存在參考答案：A3.若隨機(jī)變量，且，則的值是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C略4.已知雙曲線x2﹣=1的一條漸近線與橢圓+=1相交與點(diǎn)P，若|OP|=2，則橢圓離心率為(

)A．﹣1 B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先根據(jù)雙曲線x2﹣=1得出它的一條漸近線方程為：y=x，其傾斜角為60°，從而得到∠POx=60°又|OP|=2，故可得P點(diǎn)的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入橢圓方程得a從而求出橢圓的離心率．【解答】解：根據(jù)雙曲線x2﹣=1得出它的一條漸近線方程為：y=x，其傾斜角為60°，設(shè)這條漸近線與橢圓+=1相交于點(diǎn)P，則∠POx=60°且|OP|=2，故可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）．代入橢圓方程得：=1，?a=+1或a=﹣1＜2（不合，舍去）∴橢圓+=1的a=+1，b2=2，∴c=2，則橢圓的離心率為e==﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．5.投擲兩粒均勻的骰子，則出現(xiàn)兩個(gè)5點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】根據(jù)題意，分析可得兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)情況，由概率計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【解答】解：投擲兩個(gè)均勻的骰子，兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)有6×6=36種情況，而出現(xiàn)兩個(gè)5點(diǎn)是其中一種情況，則出現(xiàn)兩個(gè)5點(diǎn)的概率為；故選A．6.設(shè)O是正三棱錐P—ABC底面是三角形ABC的中心，過O的動(dòng)平面與PC交于S，與PA、PB的延長線分別交于Q、R，則和式

（

）

A．有最大值而無最小值

B．有最小值而無最大值

C．既有最大值又有最小值，兩者不等

D．是一個(gè)與面QPS無關(guān)的常數(shù)參考答案：解析：設(shè)正三棱錐P—ABC中，各側(cè)棱兩兩夾角為α，PC與面PAB所成角為β，則vS－PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，記O到各面的距離為d，則vS－PQR=vO－PQR+vO－PRS+vO－PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常數(shù)。故選D7.已知集合，，則

A、

B、

C、

D、參考答案：B略8.若圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則半徑的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：C略9.已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】先利用圓的一般方程，求得圓心坐標(biāo)和半徑，從而確定雙曲線的焦距，得a、b間的一個(gè)等式，再利用直線與圓相切的幾何性質(zhì)，利用圓心到漸近線距離等于圓的半徑，得a、b間的另一個(gè)等式，聯(lián)立即可解得a、b的值，從而確定雙曲線方程【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣6x+5=0的圓心C（3，0），半徑r=2∴雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為bx﹣ay=0，∴C到漸近線的距離等于半徑，即=2

②由①②解得：a2=5，b2=4∴該雙曲線的方程為故選A10.已知關(guān)于的不等式的解集為M，（1）

當(dāng)時(shí)，求集合M；（2）

若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：.解

（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為即.........3分所以或，即原不等式的解集為.............6分（2）因得

①

...........8分因得或

②

（補(bǔ)集思想的運(yùn)用）...........10分

由①、②得，或或。

所以的取值范圍為：。

...........12分略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+y2=16相切，則p的值為____________.參考答案：2略12.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)，則它的柱坐標(biāo)為＿＿＿＿；參考答案：13.函數(shù)y=4sin（3x﹣）的最小正周期為_________．參考答案：略14.=__________參考答案：15.已知原點(diǎn)O（0，0），則點(diǎn)O到直線x+y+2=0的距離等于

參考答案：略16.一個(gè)棱長為的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體棱長的最大值為

．參考答案：17.現(xiàn)有直徑為d的圓木，要把它鋸成橫斷面為矩形的梁，從材料力學(xué)知道，橫斷面為矩形的梁的強(qiáng)度Q=k?b?h2，（b為斷面寬，h為斷面高，k為常數(shù)），要使強(qiáng)度最大，則高與寬的比是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．（1）求橢圓C的方程；（2）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由離心率公式和直線與圓相切的條件，列出方程組求出a、b的值，代入橢圓方程即可；（2）設(shè)A、B、P的坐標(biāo)，將直線方程代入橢圓方程化簡后，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，即可求t的范圍．【解答】解：（1）由題意知，…1分所以．即a2=2b2．…2分又∵橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切，∴，…3分，則a2=2．…4分故橢圓C的方程為．…6分（2）由題意知直線AB的斜率存在．設(shè)AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分且，．∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．當(dāng)t=0時(shí)，不滿足；當(dāng)t≠0時(shí)，解得x==，y===，∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，化簡得，16k2=t2（1+2k2）…8分∵＜，∴，化簡得，∴，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分∴或，∴實(shí)數(shù)取值范圍為…12分19.（本小題滿分12分）如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3，BC=4，AB=5,,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:AC⊥BC1;(Ⅱ)求證:AC1∥平面CDB1；(Ⅲ)若BB1=4，求CB1與平面AA1B1B所成角的正切值.參考答案：證明:(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,

∴C1C⊥平面ABC,∴C1C⊥AC，

∵

,,，∴∴AC⊥BC

，又C1C∩BC=C,

∴AC⊥平面CC1B1B,

(2)令BC1與CB1的交點(diǎn)為E，,連結(jié)DE，.∵D是AB的中點(diǎn),為BC1的中點(diǎn),

∴DE∥AC1又∵平面CDB1,DE平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1（3）作CD⊥AB于D，連B1D，易證CD平面A1B，所以∠CB1D即為所求計(jì)算得:=20.如圖，在半徑為3m的圓形（為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料，其中點(diǎn)在圓弧上，點(diǎn)在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮卷成一個(gè)以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長，圓柱的體積為.（1）寫出體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子體積最大？最大體積是多少？（圓柱體積公式：，為圓柱的底面積，為圓柱的高）

參考答案：解:⑴連結(jié)，因?yàn)?，所以，設(shè)圓柱底面半徑為，則，即，所以，其中.……………6分⑵由及，得，……………8分列表如下：極大值

……12分

所以當(dāng)時(shí)，有極大值，也是最大值為.答：當(dāng)為時(shí)，做出的圓柱形罐子體積最大，最大體積是.……………16分21.已知函數(shù).（1）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為M，求證：；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（3）若，求證：對(duì)于任意的，的充要條件是

參考答案：解析：（1）對(duì)任意的，都有對(duì)任意的，

∴.（2）證明：∵∴，即。（3）證明：由得，∴在上是減函數(shù)，在

上是增函數(shù)?！喈?dāng)時(shí),在時(shí)取得最小值，在時(shí)取得最大值.故對(duì)任意的，22.已知函數(shù)g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；（Ⅲ）若?x1∈，?x2∈，使g（x1）≤f′（x2）+2a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得g′（x），分別解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出其單調(diào)區(qū)間；（II）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，可得f′（x）≤0恒成立，即≤0恒成立．通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為．，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；（III））由于?x1∈，?x2∈，使g（x1）≤f′（x2）+2a成立，可得．分別利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：（I）（x＞0且x≠1）．令g′（x）＞0，解得，x＞e，因此函數(shù)g（x）在區(qū)間（e，+∞）單調(diào)遞增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜e且x≠1，因此函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1），（1，e）單調(diào)遞減．（II）f（x）=g（x）﹣ax=（x＞1）．f′（x）=．∵函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴f′（x）≤0恒成立，