山東省青島市萊西經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)中心中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知“命題”是“命題”成立的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________________.參考答案：略2.若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，故選B.

3.在復(fù)平面內(nèi)為坐標(biāo)原點(diǎn),復(fù)數(shù)與分別對(duì)應(yīng)向量和,則=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.（5分）（2015?浙江模擬）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=，則函數(shù)F（x）=f（x）﹣的所有零點(diǎn)之和為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；分段函數(shù)的應(yīng)用．【專(zhuān)題】：數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：得出x＜0時(shí)，f（x）=畫(huà)出R上的圖象，構(gòu)造f（x）與y=交點(diǎn)問(wèn)題，利用對(duì)稱(chēng)性求解，注意確定交點(diǎn)坐標(biāo)求解．解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=，∴x＜0時(shí)，f（x）=畫(huà)出圖象：∵函數(shù)F（x）=f（x）﹣，∴f（x）與y=交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)圖象可設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右為x1，2，x3，x4，x5，根據(jù)圖象的對(duì)性可知；x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∴x1+x2=x3=x4=x5=x3，∵=，xx=，故函數(shù)F（x）=f（x）﹣的所有零點(diǎn)之和為：．故選：B【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了函數(shù)的奇偶性，圖象的對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)的零點(diǎn)與構(gòu)造函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題，屬于中檔題，關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式，畫(huà)圖象．5.如圖，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓在第二象限上的點(diǎn)，直線(xiàn)BO交橢圓于C點(diǎn)，若直線(xiàn)BF平分線(xiàn)段AC于M，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．參考答案：C如圖，設(shè)中點(diǎn)為，連接，則為的中位線(xiàn)，于是，且，即，可得．6.設(shè)集合，則A.

B.

C.

D.參考答案：A7.在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，cosA=，b=2，面積S=3，則a為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理．【專(zhuān)題】方程思想；綜合法；解三角形．【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinA，再由面積公式可得c值，由余弦定理可得．【解答】解：在△ABC中cosA=，∴sinA==，∵b=2，面積S=3，∴S=bcsinA，∴3=×2c×，解得c=5，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，=b2+c2﹣2bccosA=13，即a=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．8.將正方形沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角后，有下列四個(gè)結(jié)論：(1)

(2)是等邊三角形(3)與平面的夾角成60°

(4)與所成的角為60°其中正確的命題有

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

參考答案：C略9.執(zhí)行如圖的程序框圖，當(dāng)輸入的n=351時(shí)，輸出的k=（

）A．355

B．354

C．353

D．352參考答案：B①，則，，成立，，；②成立，，；③成立，，；④不成立，所以輸出.故選．10.已知雙曲線(xiàn)C1：的離心率為2，若拋物線(xiàn)C2：的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C1的漸近線(xiàn)的距離是2，則拋物線(xiàn)C2的方程是A．

B．C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線(xiàn)的斜率分別是kA，kB，規(guī)定φ（A，B）=叫做曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A、B之間的“平方彎曲度”．設(shè)曲線(xiàn)y=ex+x上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，則φ（A，B）的取值范圍是．參考答案：（0，]【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．【分析】求出y′=ex，+1，由定義求出兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）之間的“平方彎曲度”，由題意可令t=e﹣e，可設(shè)f（t）=，t＞0，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極大值和最大值，即可得到所求范圍．【解答】解：y=ex+x的導(dǎo)數(shù)為y′=ex+1，kA=e+1，kB=e+1，φ（A，B）===，x1﹣x2=1，可得x1＞x2，e＞e，可令t=e﹣e，可設(shè)f（t）=，t＞0，f′（t）==，當(dāng)0＜t＜時(shí)，f′（t）＞0，f（t）遞增；當(dāng)t＞時(shí)，f′（t）＜0，f（t）遞減．則當(dāng)t=處f（t）取得極大值，且為最大值=．則φ（A，B）∈（0，]．故答案為：（0，]．12.已知a=，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

．參考答案：﹣672【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】==，則二項(xiàng)式即，利用通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：==×+=，則二項(xiàng)式即，通項(xiàng)公式Tr+1==（﹣1）r29﹣2rx9﹣3r，令9﹣3r=0，解得r=3．∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：﹣23=﹣672．故答案為：﹣672．13.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D為斜邊BC的中點(diǎn)，則向量在上的投影為

。參考答案：；?,又，所以向量與夾角的余弦值為，所以向量在上的投影為。14.已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，則不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是．參考答案：（﹣，﹣）【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【分析】根據(jù)不等式ax2+5x+b＞0的解集求出a與b的值，再化簡(jiǎn)不等式bx2﹣5x+a＞0，求出解集即可．【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，則ax2+5x+b=0的實(shí)數(shù)根是3和2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得3+2=﹣，3×2=，解得a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0可化為﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案為：（﹣，﹣）．15.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若=，則的取值范圍是．參考答案：（1，2]【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】由已知整理可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，結(jié)合范圍A∈（0，π），可求A，由三角形內(nèi)角和定理可求C=﹣B，利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得=2sin（B+），由B∈（0，），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求sin（B+）∈（，1]，即可得解．【解答】解：∵=，可得：（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc，∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，可得：C=﹣B，∴====2sin（B+），∵B∈（0，），B+∈（，），可得：sin（B+）∈（，1]，∴=2sin（B+）∈（1，2]．故答案為：（1，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若{an}和{Sn}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a2=

.

參考答案：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)得點(diǎn)睛：在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路,一是利用基本量,將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為一元問(wèn)題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.17.已知F是雙曲線(xiàn)C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)，若P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，6）是y軸上一點(diǎn)，則△APF面積的最小值為．參考答案：6+9【考點(diǎn)】KC：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)AF的方程以及AF的長(zhǎng)，設(shè)直線(xiàn)y=﹣2x+t與雙曲線(xiàn)相切，且切點(diǎn)為左支上一點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，消去y，由判別式為0，求得m，再由平行直線(xiàn)的距離公式可得三角形的面積的最小值．【解答】解：雙曲線(xiàn)C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)為（3，0），由A（0，6），可得直線(xiàn)AF的方程為y=﹣2x+6，|AF|==15，設(shè)直線(xiàn)y=﹣2x+t與雙曲線(xiàn)相切，且切點(diǎn)為左支上一點(diǎn)，聯(lián)立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由判別式為0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直線(xiàn)AF的距離為d==，即有△APF的面積的最小值為d?|AF|=××15=6+9．故答案為：6+9．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知f（x）=x，x∈（0，1）．（1）若f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）≥f（x0）恒成立，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求證：x1+x2＞2x0．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求其最小值，分離參數(shù)法求解．（2）利用單調(diào)性證明存在唯一實(shí)數(shù)根ξ∈（0，1）使得h′（ξ）=0；證明f（x）≥f（x0）恒成立，x0是f（x）的極小值點(diǎn)，由f′（x0）=0，可知0＜x0＜ξ＜1．∴f（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x0，1）上單調(diào)遞增．f′（）=﹣1+，∴0＜x0＜；不妨設(shè)x1＜x2，由題意：f（x1）=f（x2），則：0＜x1＜x0＜x2＜1．要證明：x1+x2＞2x0，即證明：2x0﹣x1＜x2即可．【解答】解：（1）f（x）=x，x∈（0，1）．則f′（x）=2x+a﹣，∵f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f′（x）≥0恒成立，即2x+a﹣≥0可得：2x﹣≥﹣a恒成立，令g（x）=2x﹣，x∈（0，1）．g′（x）=2﹣sin∵x∈（0，1）是g′（x）＞0，且g′（0）＞0，g′（1）＜0；∴g′（x）在區(qū)間（0，1）上存在唯一零點(diǎn)x′；所以g（x）在區(qū)間（0，x′）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（x′，1）上單調(diào)遞減，故有，解得：a．所以f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，a的取值范圍是[，+∞）證明：（2）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）=，x∈（0，1）．則f′（x）=2x﹣2﹣，令h（x）=2x﹣2﹣，即f′（x）=h（x）；則h′（x）=2﹣sin顯然x∈（0，1）上，h′（x）是單調(diào)遞減．又∵h(yuǎn)′（0）=2＞0，h′（1）=2＜0，故存在唯一實(shí)數(shù)根ξ∈（0，1）使得h′（ξ）=0；所以h（x）在區(qū)間（0，ξ）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（ξ，1）上單調(diào)遞減，即f′（x）在區(qū)間（0，ξ）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（ξ，1）上單調(diào)遞減；又∵f′（0）=﹣2+＜0，f′（1）=0；∴f′（ξ）＞0；因?yàn)閒（x）≥f（x0）恒成立，所以x0是f（x）的極小值點(diǎn)，由f′（x0）=0，可知0＜x0＜ξ＜1．∴f（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x0，1）上單調(diào)遞增．f′（）=﹣1+，∴0＜x0＜；不妨設(shè)x1＜x2，由題意：f（x1）=f（x2），則：0＜x1＜x0＜x2＜1．要證明：x1+x2＞2x0，即證明：2x0﹣x1＜x2，∵x0＜2x0﹣x1＜1，x0＜x2＜1，所以只要證：f（2x0﹣x1）＜f（x2）＜f（x1）；即要證f（2x0﹣x1）＜f（x1）；設(shè)F（x）=f（2x0﹣x1）﹣f（x1）；即證F（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，F(xiàn)′（x）=﹣f′（2x0﹣x1）﹣f′（x1）=﹣h（2x0﹣x1）﹣h（x1）令M（x）=﹣h（2x0﹣x1）﹣h（x1）則M′（x）=h′（2x0﹣x1）﹣h′（x1）∵h(yuǎn)′（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減．x0＜2x0﹣x1＜1，∴h′（2x0﹣x1）﹣h′（x1）＜0即h（x）＜0，x∈（0，1）上單調(diào)遞減．h（x）＞h（x0）=﹣2f′（x0）=0；可得F′（x）＞0，在x∈（0，x0）上恒成立，則F（x）在x∈（0，x0）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）＜F（x0）=0；所以：x1+x2＞2x0．19.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求cosA的值；（2）若a=4，求c的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】（1）由已知及二倍角的余弦函數(shù)公式可求，結(jié)合C為銳角，A也為銳角，可求cosA的值．（2）由cosA，cosC的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，sinC的值，由正弦定理可得c的值．【解答】（本題滿(mǎn)分為12分）解：（1）由，得，…3分由知C為銳角，故A也為銳角，所以：cosA=，…6分（2）由cosA=，可得：sinA=，由，可得sinC=，…9分由正弦定理，可得：c==6，所以：c=6．…20.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx．（1）過(guò)原點(diǎn)O作函數(shù)f（x）圖象的切線(xiàn)，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）對(duì)?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．【分析】（1）通過(guò)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可寫(xiě)出切線(xiàn)方程，代入原點(diǎn)計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過(guò)轉(zhuǎn)化可知a（x2﹣x）≥lnx對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，分別設(shè)y1=a（x2﹣x），y2=lnx，利用x∈[1，+∞）可知a＞0．再記g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，通過(guò)舉反例可知當(dāng)0＜a＜1時(shí)不滿(mǎn)足題意．進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，利用當(dāng)x＞1時(shí)lnx＜x﹣1恒成立放縮即得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)切點(diǎn)為M（x0，f（x0）），直線(xiàn)的切線(xiàn)方程為y﹣f（x0）=k（x﹣x0），∵f′（x）=a﹣，∴k=f′（x0）=a﹣，即直線(xiàn)的切線(xiàn)方程為y﹣ax0+lnx0=（a﹣）（x﹣x0），又切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)O，所以﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，由lnx0=1，解得x0=e，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為e．（2）∵不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）恒成立，∴等價(jià)于a（x2﹣x）≥lnx對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立．設(shè)y1=a（x2﹣x），y2=lnx，由于x∈[1，+∞），且當(dāng)a≤0時(shí)y1≤y2，故a＞0．記g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，則當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（3）=6a﹣ln3≥0不恒成立，同理x取其他值不恒成立．當(dāng)x=1時(shí)，g（x）≥0恒成立；當(dāng)x＞1時(shí)，則a≥恒成立，等價(jià)于問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求h（x）=當(dāng)x＞1時(shí)的最大值．又當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x﹣1＜x（x﹣1），即h（x）=＜1（x＞1），綜上所述：a≥1．21.已知函數(shù)（I）求函數(shù)的最