專題1-4橢圓與雙曲線22類常考題型匯總知識(shí)點(diǎn)梳理一、橢圓的基本量1.如圖(1)，過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦AB＝________，稱為通徑． 圖(1) 圖(2)2.如圖(2)，P為橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為________．3.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為________，最小值為________．4.設(shè)P，A，B是橢圓上不同的三點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線PA與PB的斜率之積為定值________．1.eq\f(2b2,a)2.b2·taneq\f(θ,2)3.a＋ca－c4.－eq\f(b2,a2)二、直線與橢圓1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有：①Δ>0直線與圓錐曲線________；②Δ＝0直線與圓錐曲線________；③Δ<0直線與圓錐曲線________．2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則AB＝________．答案：1.(1)①相交②相切③相離2.eq\r(,1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(,1＋\f(1,k2))|y2－y1|三、雙曲線的基本量運(yùn)算1.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為________．2.如圖，P為雙曲線上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為________．3.焦點(diǎn)到漸近線的距離為________．4.設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線PA與PB的斜率之積為________．答案：1.eq\f(2b2,a)2.eq\f(b2,tan\f(θ,2))3.b4.eq\f(b2,a2)四、點(diǎn)差法 橢圓垂徑定理：已知A,B是橢圓上任意2點(diǎn)，且弦不平行軸，M為線段AB中點(diǎn)，則有證明（點(diǎn)差法）：設(shè)，，則，，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標(biāo)得① ②兩式相減得：，整理得∴五、第三定義 那么點(diǎn)差法是不是只能解決同時(shí)與中點(diǎn)和斜率有關(guān)的問題呢?其實(shí)不然．其實(shí)點(diǎn)差法的內(nèi)核還是“設(shè)而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線上兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)和差之間的聯(lián)系，這其實(shí)也是第三定義的體現(xiàn).第三定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的斜率乘積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線(不含兩個(gè)頂點(diǎn))．其中兩定點(diǎn)分別為橢圓或雙曲線的頂點(diǎn)．當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時(shí)為橢圓，此時(shí)；當(dāng)常數(shù)大于0時(shí)為雙曲線，此時(shí)．【第三定義推廣】：平面內(nèi)與兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，的斜率乘積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線．當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時(shí)為橢圓，此時(shí)；當(dāng)常數(shù)大于0時(shí)為雙曲線，此時(shí)．【證明】是橢圓上的一組對(duì)稱點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)，則有 證明（點(diǎn)差法）：設(shè)，，，，，∵P，A在橢圓上，代入坐標(biāo)得① ②兩式相減得：，整理得∴法二：通過橢圓的垂徑定理轉(zhuǎn)換 中點(diǎn)弦和第三定義本質(zhì)上是一樣的模塊一：橢圓與雙曲線的基本性質(zhì)【題型1】橢圓與雙曲線的定義與概念已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對(duì)該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個(gè)命題：甲：可以是圓的方程；

乙：可以是拋物線的方程；丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

?。嚎梢允请p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．其中，真命題有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．（2023佛山·高二期末）（多選）已知曲線的方程為，則可能是（

）A．半徑為的圓B．焦點(diǎn)在上的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．等軸雙曲線D．焦點(diǎn)在上的雙曲線，且焦距為（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知曲線，則下列判斷正確的是（

）A．若，則是圓，其半徑為B．若，則是雙曲線，其漸近線方程為C．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上D．若，則是兩條直線（多選）已知方程表示的曲線為，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)或時(shí)，曲線是雙曲線B．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則（2023上·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若是橢圓，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B．若，則是雙曲線C．C不可能表示一個(gè)圓D．若，則上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為（多選）已知曲線，（

）A．若，則C的離心率是B．若，則C的離心率是C．若，則C是雙曲線D．若，則C是橢圓（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）（多選）已知曲線，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C可能是圓，也可能是直線B．曲線C可能是焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，則越大，橢圓越圓D．當(dāng)曲線C表示雙曲線時(shí)，它的離心率有最小值，且最小值為（2023寶安中學(xué)期中）若方程表示橢圓，則m的取值范圍是.（易錯(cuò)）【題型2】雙曲線的漸近線相關(guān)計(jì)算（2023·深圳高二統(tǒng)考期末）雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，則的離心率為（

）A． B． C． D．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（

）A． B． C． D．（2023上·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谀┤綦p曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．（2023上·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎狥是雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的漸近線上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，則的面積為（

）A．1 B． C． D．【題型3】求焦點(diǎn)三角形面積已知點(diǎn)在橢圓上，與分別為左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．已知P是雙曲線上的點(diǎn)，，是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且，若的面積為9，則的值為__________.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則三角形的面枳為A． B． C． D．已知?是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線C上一點(diǎn)，且，的面為________已知為雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．【題型4】定義法求軌跡如圖，已知定圓A的半徑為4，B是圓A內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，且，P是圓上任意一點(diǎn).線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)Q的軌跡是（

）

A．圓 B．射線C．長(zhǎng)軸為4的橢圓 D．長(zhǎng)軸為2的橢圓已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，G點(diǎn)是三角形的重心，則點(diǎn)G的軌跡方程為（

）A． B．C． D．（2023上·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓，若動(dòng)圓E與，都外切，則圓心E的軌跡方程為.（2023上·廣東深圳·高二校考期末）如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在上，點(diǎn)，線段的垂直平分線和相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程.【題型5】設(shè)點(diǎn)運(yùn)算求軌跡方程已知點(diǎn)在曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程已知交軸于兩點(diǎn)，為上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫角€，求曲線的方程已知P是圓C：上一動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線，垂足為Q，點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為E，求E的方程在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為，求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程已知，直線的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,求的方程（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足直線，的斜率之積為，則的面積的最大值為．已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點(diǎn)作互相垂直的直線AM?AN分別交雙曲線于M?N兩點(diǎn).設(shè)線段AM?AN的中點(diǎn)分別為B?C，直線OB?OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為,求雙曲線的方程【題型6】光學(xué)性質(zhì)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．已知橢圓C：，為其左、右焦點(diǎn)．M是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6.動(dòng)直線l為此橢圓C的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為；S的取值范圍為．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與交于點(diǎn)、，直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點(diǎn)共線.若，，則.圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對(duì)稱軸，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)B，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于．圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中，例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，從雙曲線的右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過左焦點(diǎn)．已知入射光線的斜率為，且和反射光線互相垂直（其中為入射點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為．雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（

）

A． B． C． D．【題型7】橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，，分別是它們?cè)诘谝幌笙藓偷谌笙薜慕稽c(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則等于A．4 B． C．2 D．3已知、為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是其一個(gè)公共點(diǎn)，，則橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為（

）A． B．1 C． D．2模塊二：最值問題【題型8】坐標(biāo)軸上的點(diǎn)與橢圓距離最短已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小為A．2 B． C． D．【題型9】直線與橢圓距離最短（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）若動(dòng)點(diǎn)P在直線上，動(dòng)點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（

）A． B． C． D．【題型10】線段和差最值問題（2023上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于.（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，Р是的左支上一動(dòng)點(diǎn)，，若周長(zhǎng)的最小值為10，則的漸近線方程為.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為C上任意一點(diǎn)，N為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．【題型11】焦點(diǎn)弦的最小值（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，焦距為8，過的直線與該橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若的最小值為，則周長(zhǎng)為.【題型12】焦半徑的最小值問題（2023·深圳一模）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為．（2023·溫州一模）已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓的離心率為．【題型13】利用基本不等式求最值函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線上，則的最大值為A．6 B．4 C．2 D．1已知函數(shù)，且的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，則的最小值為A．12 B．10 C．9 D．8設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若的焦距為12，則面積的最大值為A．72 B．36 C．18 D．9模塊三：求離心率與其它值【題型14】結(jié)合余弦定理求焦半徑（2023上·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知和是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則的離心率為（

）A． B． C． D．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線離心率的值為A． B． C．2 D．3已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，△的內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為，，若，則的離心率為A． B． C． D．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【題型15】余弦定理用2次橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若且，則橢圓上的離心率為 （）A．B．C．D．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)均在上，若，，則橢圓的離心率為 （）A．B．C．D．【答案】B已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，且．若，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．4已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則橢圓的方程為A． B． C． D．【題型16】構(gòu)造齊次化方程（2023上·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）是橢圓上的一點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，軸，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．雙曲線，的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)，軸，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為的左，右焦點(diǎn)，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【題型17】雙焦點(diǎn)三角形模型：導(dǎo)邊已知橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的下頂點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線E的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為．已知雙曲線方程為，，兩焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過與雙曲線交于兩點(diǎn)，其中且，則此雙曲線離心率為.、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，若是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．已知點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【題型18】利用幾何性質(zhì)求離心率已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與的左支交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．（2023上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交橢圓C于點(diǎn)A，若T為線段AF的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為