第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)習(xí)：一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于“鏈”上變化率之積。yux一、求導(dǎo)法則情形Ⅰ

中間變量均為一元函數(shù)設(shè)則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這種導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)則推廣:的導(dǎo)數(shù)例1.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:情形Ⅱ中間變量是多元函數(shù)的情形.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

設(shè)則復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)設(shè)

則的偏導(dǎo)數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束推廣:例2.設(shè)解:求常采用下面記號：在多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，為方便起見，解例3設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求：注意：仍然是復(fù)合函數(shù)！∵f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

∴解例4設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求：例4設(shè)求∵f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，∴情形Ⅲ

中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)。則函數(shù)

設(shè)zuvwxyxy解：zuvwxyxy例5.設(shè)

求zuvwxyxy例5.設(shè)

求例5

求設(shè)另解：題設(shè)函數(shù)可看作由復(fù)合而成，利用情形Ⅱ中的公式可得同樣結(jié)果或者先式兩邊取對數(shù)，后求得偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：(1)復(fù)合函數(shù)對某自變量的變化率等于若干項乘積之和;(2)和式中的項數(shù)=

中間變量的個數(shù);(3)每一項均為因變量對中間變量的變化率對這個自變量的變化率.乘以中間變量注:

變化率即為偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))例如而則的導(dǎo)數(shù)再如,注意:這里表示固定

y對x

求導(dǎo),表示固定

v對x求導(dǎo)與不同,例6.設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求解：例7.設(shè)解：

f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分法則(1)設(shè)則(2)設(shè)，而則可證可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

其全微分表達形式都一樣,這一性質(zhì)叫做全微分形式不變性。1.全微分形式不變性設(shè)u,v是某些自變量的多元函數(shù)，則有（C為常數(shù)）；證明(3),由全微分形式不變性，有2.全微分運算法則例8.設(shè)，求一階偏導(dǎo)數(shù).解：即設(shè)例9.解：即求全微分。習(xí)題P75~763,5,6(提示),8(1)(4),9,11.思考與練習(xí)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則機動目錄上頁下頁返回