高中數學必修二《第六章平面向量及應用》復習教案《6.1平面向量的概念》復習教案【基礎知識拓展】1．向量與數量的區(qū)別(1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數量是一個代數量，沒有方向；(2)數量可以比較大小，而向量無法比較大小，即使|a|>|b|，也不能說a>b；(3)0與0不同.0表示數量，但0表示零向量，其中|0|＝0.2．向量與有向線段區(qū)別：從定義上看，向量有大小和方向兩要素，而有向線段有起點、方向、終點三要素，因此這是兩個不同的量．聯(lián)系：向量可以用有向線段表示，但這并不是說向量就是有向線段．3．共線向量與相等向量(1)共線向量的定義指的是非零向量的共線問題；(2)共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合，與平面幾何中的“共線”“平行”不同；(3)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．特別注意：(1)判斷兩個向量的關系：一要判斷大小，二要判斷方向，如遇上零向量，必須注意其方向的任意性．(2)定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無數個，它們大小相等，但方向不一定相同．【跟蹤訓練】1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量能比較大?。?)(2)向量的模是一個正實數．()(3)單位向量的模都相等．()(4)向量eq\o(AB,\s\up16(→))與向量eq\o(BA,\s\up16(→))是相等向量．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)下列說法正確的是()A．若|a|＞|b|，則a＞bB．若|a|＝|b|，則a＝bC．若a＝b，則a與b共線D．若a≠b，則a一定不與b共線(2)如圖，四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，則必有()A.eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))B.eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))C.eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(DB,\s\up16(→))D.eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))(3)△ABC是等腰三角形，則兩腰上的向量eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AC,\s\up16(→))的關系是________．(4)如圖所示，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，①圖中與eq\o(AB,\s\up16(→))共線的向量有________；②圖中與eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量有________；③圖中與eq\o(AB,\s\up16(→))模相等的向量有________；④圖中與eq\o(EC,\s\up16(→))相等的向量有________．答案(1)C(2)D(3)模相等(4)①eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(EB,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))，eq\o(EA,\s\up16(→))，eq\o(BA,\s\up16(→))②eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))③eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(EB,\s\up16(→))，eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))④eq\o(BD,\s\up16(→))【核心素養(yǎng)形成】題型一向量的有關概念例1下列說法正確的是()A．數量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C．向量的大小與方向有關D．向量的?？梢员容^大小[解析]A項，不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，不正確；B項，方向相同的向量也不能比較大小，不正確；C項，向量的大小即向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關，不正確；D項，向量的模是一個數量，可以比較大小，正確．[答案]D1.解決與向量概念有關問題的方法解決與向量概念有關題目的關鍵是突出向量的核心——方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規(guī)定零向量與任意向量共線．只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關的問題．【跟蹤訓練】給出下列命題：①若向量a＝eq\o(AB,\s\up16(→))，b＝eq\o(BA,\s\up16(→))，則|a|＝|b|；②若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反；③若向量eq\o(AB,\s\up16(→))是單位向量，則eq\o(BA,\s\up16(→))也是單位向量；④以坐標平面上的定點A為起點，所有單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓．其中正確的個數是________．答案3解析①正確，由于|a|＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝AB，|b|＝|eq\o(BA,\s\up16(→))|＝BA＝AB，因此有|a|＝|b|.②不正確，由單位向量的定義知，凡長度為1個單位長度的向量均稱為單位向量，但是對方向沒有任何要求，因此說法②不正確．③正確，因為|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(BA,\s\up16(→))|，所以當eq\o(AB,\s\up16(→))是單位向量時，eq\o(BA,\s\up16(→))也是單位向量．④正確，由于向量|eq\o(AP,\s\up16(→))|＝1，所以點P是以點A為圓心的單位圓上的一點．反過來，若點P是以點A為圓心，1為半徑的單位圓上的任一點，則由于|eq\o(AP,\s\up16(→))|＝1，所以向量eq\o(AP,\s\up16(→))是單位向量，因此說法④正確.題型二向量的幾何表示例2某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向按東北方向走了10eq\r(2)米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up16(→))的模．[解](1)作出向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))如圖所示．(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq\r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(米)．所以|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝5eq\r(5)米．2.向量的兩種表示方法(1)幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據向量的長度確定向量的終點．(2)字母表示法：為了便于運算可用字母a，b，c，…表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質，可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量，如eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(EF,\s\up16(→))等．【跟蹤訓練】某次軍事演習中，紅方一支裝甲分隊為完成對藍軍的穿插包圍，先從A處出發(fā)向西迂回了100km到達B地，然后又改變方向向北偏西40°走了200km到達C地，最后又改變方向，向東突進100km到達D處，完成了對藍軍的包圍．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up16(→))|.解(1)向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，如圖所示．(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(CD,\s\up16(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(CD,\s\up16(→))共線．又|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(CD,\s\up16(→))|，∴在四邊形ABCD中，AB綊CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．∴eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))，|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝200km.題型三相等向量與共線向量例3(1)①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④兩向量a，b相等的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b；))⑤|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分條件；⑥eq\o(AB,\s\up16(→))＝Ceq\o(D,\s\up16(→))的充要條件是A與C重合、B與D重合．其中真命題的個數是________．(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c.①與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？②與a共線的向量有哪些？③請一一列出與a，b，c相等的向量．[解析](1)①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.②正確．∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|且eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(DC,\s\up16(→)).又∵A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD是平行四邊形．反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB綊DC，且eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(DC,\s\up16(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同．又∵b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同．故a＝c.④不正確．當a∥b，但方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b))不是a＝b的充要條件．⑤正確．這是因為|a|＝|b|eq\o(\s\up7(?),\s\do5(/))a＝b，但a＝b?|a|＝|b|，所以|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件．⑥不正確．這是因為eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))時，應有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(CD,\s\up16(→))|及由A到B與C到D的方向相同，但不一定要有A與C重合、B與D重合．(2)①與a的長度相等、方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→))，eq\o(FE,\s\up16(→)).②與a共線的向量有eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))，eq\o(FE,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→))，eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→)).③與a相等的向量有eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→))；與b相等的向量有eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(EO,\s\up16(→))，eq\o(FA,\s\up16(→))；與c相等的向量有eq\o(FO,\s\up16(→))，eq\o(ED,\s\up16(→))，eq\o(AB,\s\up16(→)).[答案](1)3(2)見解析[結論探究]本例(2)條件不變，試寫出與向量eq\o(BC,\s\up16(→))相等的向量．解eq\o(OD,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→))，eq\o(FE,\s\up16(→)).[綜合探究]在本例(2)中，若|a|＝1，則正六邊形的邊長如何？解因為ABCDEF是正六邊形，|a|＝1，所以正六邊形的邊長也是1.3.共線向量與相等向量的區(qū)別與聯(lián)系相等向量是指大小相等且方向相同的向量．共線向量是方向相同或相反的非零向量，共線向量也叫平行向量．相等向量一定是共線向量，而共線向量不一定相等．向量相等具備傳遞性，而向量的共線不具備傳遞性．【跟蹤訓練】(1)下列命題：①兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同；②若非零向量eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(CD,\s\up16(→))是共線向量，則A，B，C，D四點共線；③若a∥b且b∥c，則a∥c；④若四邊形ABCD是平行四邊形，則一定有eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).其中真命題的個數為()A．0B．1C．2D．3(2)如圖所示，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形．①找出與向量eq\o(AB,\s\up16(→))共線的向量；②找出與向量eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量．答案(1)B(2)見解析解析(1)相等向量起點相同時，終點必相同，故①錯誤；向量的共線不同于點共線，故當eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(CD,\s\up16(→))共線時，四點A，B，C，D不一定共線，即②錯誤；當b＝0時，a與c沒有任何關系，故③錯誤；eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(DC,\s\up16(→))同向且等長，則eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，故④正確．(2)①依據圖形可知，eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(ED,\s\up16(→))，eq\o(EC,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))方向相同，eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(DE,\s\up16(→))，eq\o(CE,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))方向相反，所以與向量eq\o(AB,\s\up16(→))共線的向量為eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(ED,\s\up16(→))，eq\o(DE,\s\up16(→))，eq\o(EC,\s\up16(→))，eq\o(CE,\s\up16(→)).②由四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形，知eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(ED,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))長度相等且方向相同，所以與向量eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量為eq\o(DC,\s\up16(→))和eq\o(ED,\s\up16(→)).【課堂達標訓練】1．有下列物理量：①質量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的個數是()A．1B．2C．3D．4答案C解析速度、力、加速度這3個物理量是向量，它們都有大小和方向，其余的不是向量．2．在下列判斷中，正確的是()①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤答案D解析由定義知①正確，②由于零向量的方向是任意的，故兩個零向量的方向是否相同不確定，故不正確．顯然③⑤正確，④不正確．3．如圖，在圓O中，向量eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→))是()A．有相同起點的向量B．共線向量C．模相等的向量D．相等的向量答案C解析由圖可知，三向量方向不同，但長度相等．4．如圖所示，以1×2方格紙中的格點(各線段的交點)為始點和終點的向量中，與eq\o(AF,\s\up16(→))相等的向量有________．答案eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))解析因為各方格均為正方形，則有eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AF,\s\up16(→)).5．如圖，O是正方形ABCD的中心．(1)寫出與向量eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(OA,\s\up16(→))的模相等的向量．解(1)與向量eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量是eq\o(DC,\s\up16(→)).(2)與eq\o(OA,\s\up16(→))的模相等的向量有：eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))，eq\o(BO,\s\up16(→))，eq\o(CO,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→)).《6.2平面向量的運算》復習教案6.2.1向量的加法運算【基礎知識拓展】1．準確理解向量加法的三角形法則和平行四邊形法則(1)兩個法則的使用條件不同三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和．(2)當兩個向量不共線時，兩個法則是一致的．如圖所示：eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))(平行四邊形法則)，又因為eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))(三角形法則)．(3)在使用三角形法則時，應注意“首尾連接”，這個方法可推廣到多個向量相加的情形；在使用平行四邊形法則時，應注意范圍的限制及和向量與兩向量起點相同．2．向量a＋b與非零向量a，b的模及方向的關系(1)當a與b不共線時，a＋b的方向與a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)當a與b同向時，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)當a與b反向時，若|a|≥|b|，則a＋b的方向與a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，則a＋b的方向與b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.【跟蹤訓練】1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量相加結果可能是一個數量．()(2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加．()(3)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)對任意四邊形ABCD，下列式子中不等于eq\o(BC,\s\up16(→))的是()A.eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))B.eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))C.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))D.eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))(2)如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))|等于()A．1 B．2C.eq\r(3) D.eq\r(5)(3)如圖所示，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b＋c.答案(1)C(2)B(3)解：a，b，c不共線中隱含著a，b，c均為非零向量，因為零向量與任一向量都是共線的．利用三角形法則或平行四邊形法則作圖．解法一(三角形法則)：如圖①所示，作eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq\o(CD,\s\up16(→))＝c，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝(a＋b)＋c，即eq\o(AD,\s\up16(→))＝a＋b＋c.解法二(平行四邊形法則)：因為a，b，c不共線，如圖②所示．在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，以eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))為鄰邊作?OADB，則對角線eq\o(OD,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，以eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))為鄰邊作?OCED.則eq\o(OE,\s\up16(→))＝a＋b＋c.【核心素養(yǎng)形成】題型一向量的三角形和平行四邊形法則例1如下圖中(1)，(2)所示，試作出向量a與b的和．[解]如下圖中(1)，(2)所示，首先作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b.1、(1)應用三角形法則求向量和的基本步驟①平移向量使之“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合．②以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量，即為兩個向量的和．(2)應用平行四邊形法則求向量和的基本步驟①平移兩個不共線的向量使之共起點．②以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形．③平行四邊形中，與兩向量共起點的對角線表示的向量為兩個向量的和．【跟蹤訓練】(1)如圖，已知a，b，求作a＋b；(2)如圖所示，已知向量a，b，c，試作出向量a＋b＋c.解(1)如圖①，②所示．首先作eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，然后作eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b.(2)作法一：如圖1所示，首先在平面內任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，接著作向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up16(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up16(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．作法二：如圖2所示，首先在平面內任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，以OA，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b.再以OD，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝a＋b＋c即為所求.題型二向量的加法運算例2如圖，在△ABC中，O為重心，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點，化簡下列三式：(1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))；(2)eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)).[解](1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝(eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→)))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).2、解決向量加法運算時應關注的兩點(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算．(2)要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順序，特別注意勿將0寫成0.【跟蹤訓練】化簡或計算：(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))；(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→)).解(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→)))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝0.題型三利用向量加法證明幾何問題例3已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).求證：四邊形ABCD是平行四邊形．[證明]eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，又∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．3、怎樣用向量方法證明幾何問題用向量方法證明幾何問題，首先要把幾何問題中的邊轉化成相應的向量，通過向量的運算及其幾何意義得到向量間的關系，然后再還原成幾何問題．【跟蹤訓練】如圖所示，在平行四邊形ABCD的對角線BD的反向延長線及延長線上取點E，F(xiàn)，使BE＝DF，求證：四邊形AECF是平行四邊形．證明∵eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))，又eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(FD,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))，∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(FC,\s\up16(→))，即AE與FC平行且相等．∴四邊形AECF是平行四邊形.題型四向量加法的實際應用例4在水流速度為向東10km/h的河中，如果要使船實際航行的速度的大小為10eq\r(3)km/h，方向垂直于對岸渡河，求船行駛速度的大小與方向．[解]如圖所示，eq\o(OA,\s\up16(→))表示水速，eq\o(OB,\s\up16(→))表示船實際航行的速度，eq\o(OC,\s\up16(→))表示船速，由eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))，易知|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝10，又∠OBC＝90°，所以|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行駛速度為20km/h，方向與水流方向的夾角為120°.4、應用向量解決平面幾何和物理學問題的基本步驟【跟蹤訓練】在某地抗震救災中，一救護車從A地按北偏東35°的方向行駛800km到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向行駛800km送往C地醫(yī)院，求這輛救護車行駛的路程及兩次位移的和．解如圖所示，設eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))分別表示救護車從A地按北偏東35°方向行駛800km，從B地按南偏東55°的方向行駛800km.則救護車行駛的路程指的是|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|；兩次行駛的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).依題意，有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2))＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向為北偏東35°＋45°＝80°.從而救護車行駛的路程是1600km，兩次行駛的位移和的大小為800eq\r(2)km，方向為北偏東80°.【課堂達標訓練】1．下列等式錯誤的是()A．a＋0＝0＋a＝aB.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝0D.eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(MN,\s\up16(→))＋eq\o(NP,\s\up16(→))＋eq\o(PM,\s\up16(→))答案B解析對于A，根據0加任何向量都等于原向量，且向量加法滿足交換律，所以A正確；對于B，根據向量的三角形加法運算可得eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))，故原式等于eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))≠0.故B錯誤；對于C，可知eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(BA,\s\up16(→))共線且方向相反，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝0，所以C正確；對于D，可知eq\o(MN,\s\up16(→))＋eq\o(NP,\s\up16(→))＋eq\o(PM,\s\up16(→))＝eq\o(MP,\s\up16(→))＋eq\o(PM,\s\up16(→))＝0，又eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，可知D正確．故選B.2．設P是△ABC所在平面內一點，且eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(BP,\s\up16(→))＋eq\o(BP,\s\up16(→))，則()A.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0 B.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝0C.eq\o(PC,\s\up16(→))＋eq\o(PA,\s\up16(→))＝0 D.eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0答案C解析因為P是△ABC所在平面內一點，eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(BP,\s\up16(→))＋eq\o(BP,\s\up16(→))，所以P是AC的中點，所以eq\o(PC,\s\up16(→))＋eq\o(PA,\s\up16(→))＝0.3．若a等于“向東走8km”，b等于“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案8eq\r(2)km北偏東45°解析如圖所示，設eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，且△ABC為等腰直角三角形．則|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝8eq\r(2)，∠BAC＝45°.4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|Aeq\o(B,\s\up16(→))|＝1，則|eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))|＝________.答案1解析由題意知△ABD為等邊三角形，∴|eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝1.5．如圖，在正六邊形OABCDE中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OE,\s\up16(→))＝b，試用向量a，b將eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))表示出來．解設正六邊形的中心為P，則四邊形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均為平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則得eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))＝a＋b.∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(ED,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(ED,\s\up16(→))＝a＋b.在△AOB中，根據向量加法的三角形法則得eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋a＋b.同理，在△OBC中，eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝a＋a＋b＋b，在△OED中，eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(ED,\s\up16(→))＝eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(OP,\s\up16(→))＝b＋a＋b.6.2.2向量的減法運算【基礎知識拓展】1．向量減法的運算法則(1)向量的減法運算與向量的加法運算是互逆運算，可以靈活轉化，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．(2)兩個向量的差也可用平行四邊形法則及三角形法則求得：用平行四邊形法則時，如圖，兩個向量也是共起點，和向量是起點與它們的起點重合的那條對角線(eq\o(AC,\s\up16(→)))，而差向量是另一條對角線(eq\o(DB,\s\up16(→)))，方向是從減向量指向被減向量；用三角形法則時，把減向量與被減向量的起點相重合，則差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點．2．非零向量a，b的差向量的三角不等式(1)當a，b不共線時，如圖①，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，則a－b＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)當a，b共線且同向時，若|a|>|b|，則a－b與a，b同向(如圖②)，于是|a－b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，則a－b與a，b反向(如圖③)，于是|a－b|＝|b|－|a|.(3)當a，b共線且反向時，a－b與a同向，與b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如圖④)．可見，對任意兩個向量，總有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.【跟蹤訓練】1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量的差仍是一個向量．()(2)向量的減法實質上是向量的加法的逆運算．()(3)向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為相反向量．()(4)相反向量是共線向量．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．做一做(1)非零向量m與n是相反向量，下列不正確的是()A．m＝n B．m＝－nC．|m|＝|n| D．方向相反(2)eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝________.(3)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，則|eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))|＝________.答案(1)A(2)0(3)eq\r(2)【核心素養(yǎng)形成】題型一向量的減法運算例1化簡：(1)(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→)))－(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(BD,\s\up16(→)))；(2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→)))－(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DO,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))．[解](1)解法一(變?yōu)榧臃?：原式＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))＋(eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→)))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝0.解法二(利用公式eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→)))：原式＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))－eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝0.解法三(利用公式eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))，其中O是平面內任一點)：原式＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))－(eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))－(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋(eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝0.(2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→)))－(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DO,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→)))－(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.1、(1)向量減法運算的常用方法(2)向量加減法化簡的兩種形式①首尾相連且為和；②起點相同且為差．做題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時要注意逆向應用．【跟蹤訓練】化簡下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))；(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→)).(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).(3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).題型二向量減法的幾何意義例2如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AE,\s\up16(→))＝c，試用a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))及eq\o(CE,\s\up16(→)).[解]∵四邊形ACDE為平行四邊形，∴eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))＝c.eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝b－a.eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝c－b，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝b－a＋c.[結論探究]若例2條件不變，試用a，b，c表示向量eq\o(DA,\s\up16(→)).解解法一(應用三角形法則)：eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(EA,\s\up16(→))－eq\o(ED,\s\up16(→))＝－eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝－c－b.解法二(應用平行四邊形法則)：eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\o(AD,\s\up16(→))＝－(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AE,\s\up16(→)))＝－c－b.2、求作兩個向量的差向量的兩種思路(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．【跟蹤訓練】已知一點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的向量分別是a，b，c，則向量eq\o(OD,\s\up16(→))等于()A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c答案B解析如圖，點O到平行四邊形的三個頂點A，B，C的向量分別為a，b，c，結合圖形有：eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋c－b.題型三向量加法、減法的綜合應用例3如圖，O為△ABC的外心，H為垂心．求證：eq\o(OH,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)).[證明]作直徑BD，連接DA，DC，有eq\o(OB,\s\up16(→))＝－eq\o(OD,\s\up16(→))，DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DA，AH∥DC.得四邊形AHCD是平行四邊形，進而eq\o(AH,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).又eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，得eq\o(OH,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AH,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)).3、用幾個基本向量表示其他向量的一般步驟(1)觀察待表示的向量位置；(2)尋找相應的平行四邊形或三角形；(3)運用法則找關系，化簡得結果．【跟蹤訓練】如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，AC，AB的中點．求證：eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝0.證明連接EF，由題意知：eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))，eq\o(CF,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)).由D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，AC，AB的中點可知：eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\o(FA,\s\up16(→)).所以eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＋(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→)))＋(eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)))＝(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)))＋(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))＝(eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)))＋0＝eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(EF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝0.【課堂達標訓練】1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→)) B.eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))C.eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→)) D.eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))答案C解析由向量減法法則知C錯誤．2．如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則eq\o(AF,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))等于()A.eq\o(FD,\s\up16(→)) B.eq\o(FC,\s\up16(→))C.eq\o(FE,\s\up16(→)) D.eq\o(DF,\s\up16(→))答案D解析由題圖易知eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\o(DE,\s\up16(→))，∴eq\o(AF,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(DE,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))，又eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(DF,\s\up16(→))，∴eq\o(AF,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(DF,\s\up16(→)).3．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()A.eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(OF,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→)) B.eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(OF,\s\up16(→))－eq\o(OE,\s\up16(→))C.eq\o(EF,\s\up16(→))＝－eq\o(OF,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→)) D.eq\o(EF,\s\up16(→))＝－eq\o(OF,\s\up16(→))－eq\o(OE,\s\up16(→))答案B解析由向量減法的三角形法則可知eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(OF,\s\up16(→))－eq\o(OE,\s\up16(→)).故選B.4．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.答案02解析如果a，b為相反向量，那么a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∴|a－b|＝2|a|＝2.5．已知O為平行四邊形ABCD內一點，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(OD,\s\up16(→)).解解法一：如圖所示，eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝a＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝a＋(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝a＋c－b.解法二：eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋0＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋(eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.6.2.3向量的數乘運算【基礎知識拓展】1．對λa的理解(1)可以將a的長度擴大(|λ|>1時)，也可以縮小(|λ|<1時)；同時可以不改變a的方向(λ>0時)，也可以改變a的方向(λ<0時)，與a的方向相反．(2)當λ＝0時，λa＝0，而當λ≠0時，若a＝0，也有λa＝0.(3)實數與向量可以求積，結果仍是一個向量，它可以看成實數與實數的積的定義的推廣，但不能進行加減運算，如：λ＋a，λ－a無意義．2．對兩向量共線的條件的理解(1)判斷兩向量共線，其實就是找一個實數，使得它與一個向量的積等于另一個向量．可以用來證明幾何中的三點共線及兩直線平行的問題．(2)為何規(guī)定“非零向量a”這一條件？若a＝0，b≠0時，不存在實數λ使得b＝λa；若a＝0，b＝0，則存在不唯一的實數滿足等式．(3)若a，b不共線，且存在實數λ，μ，使μa＝λb(或μa＋λb＝0)，則必有μ＝λ＝0.因為a，b不共線，則a，b必為非零向量，若λ≠0，則b＝eq\f(\a\vs4\al(μ),λ)a，若μ≠0，則a＝eq\f(λ,μ)b，無論哪種情況都有a，b共線與已知矛盾，故必有λ＝μ＝0.(4)兩向量共線的一般形式：若存在不全為0的一對實數λ，μ使μa＋λb＝0，則a與b共線．【跟蹤訓練】1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)λa的方向與a的方向一致．()(2)共線向量定理中，條件a≠0可以去掉．()(3)若a＝4e，b＝－8e，則a＝－2b.()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)下列各式中不表示向量的是()A．0·aB．a＋3bC．|3a|D.eq\f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)(2)下列各式計算正確的有()①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1個B．2個C．3個D．4個(3)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向(4)已知向量a＝2e，b＝－e，則a與b________(填“共線”或“不共線”)．答案(1)C(2)C(3)D(4)共線【核心素養(yǎng)形成】題型一向量的數乘運算例1化簡下列各式：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.1、向量數乘運算的方法(1)向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算．例如實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算．【跟蹤訓練】(1)設向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)；(2)已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿足關系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.解(1)原式＝eq\f(1,3)a－b－a＋eq\f(2,3)b＋2b－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1－1))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,3)＋2))b＝－eq\f(5,3)a＋eq\f(5,3)b＝－eq\f(5,3)(3i＋2j)＋eq\f(5,3)(2i－j)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5＋\f(10,3)))i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)－\f(5,3)))j＝－eq\f(5,3)i－5j.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a，①,－4x＋3y＝b，②))①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，再代入①，得y＝4a＋3b.題型二向量的線性運算的應用例2如圖，四邊形ABCD是一個梯形，eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→))且|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up16(→))|，M，N分別是DC，AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up16(→))＝e2，試用e1，e2表示下列向量．(1)eq\o(AC,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(MN,\s\up16(→))＝________.[解析](1)因為eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→)