壓軸題大招新高考第19題沖刺2024高考數(shù)學【突破壓軸型】(原

卷)

題型探究

【題型一】數(shù)列新定義題

【題型二】函數(shù)與導數(shù)壓軸題

【題型三】集合新定義題

【題型四】解析幾何

【題型五】向量

【題型六】概率與統(tǒng)計

各個擊破

【題型一】數(shù)列新定義題

【知識回顧】

1.$口與a門的關(guān)系'=『1'n=1'

ISn—Sn-i，n>2.

2,等差數(shù)列

(1)遞推公式：an+ian=d(n￡N*)或anani=d(n22,n￡N*)

(2)中項性質(zhì)：a,A,b成等差數(shù)列=2A=a+b=A=—.

(3)通項公式：an=ai+(nl)d.

(4)前n項和：已知首項、末項與項數(shù)，則S,二W

已知首項、公差與項數(shù)，則S1g+若，.

3.等比數(shù)列

遞推公式：陋工q（neN*）或Aq（n22,nGN*）,

anan-l

通項公式：a「ad".

中項性質(zhì)：在等比數(shù)列｛aj中，若k+l=m+n（k,1,m,nGN*）,則3,^=8,^.特別地,若m+n=2r

（m,n,reN*）,則％aiaR

,ai（1-qn）z.0

前n項和公式：已知首項、公比與項數(shù)，Sn=i-qWJ，,

.na［（q=1）

已知首項、末項與公比s0=尸-q-'

I網(wǎng)色=1）

L（2024?吉林白山?二模）已知數(shù)列｛與｝的前"項和為S’,，若數(shù)列｛&｝滿足：①數(shù)列｛%｝項

N

數(shù)有限為N；②s.=o；③Z同=1，則稱數(shù)列｛%｝為"N階可控搖擺數(shù)列”.

1=1

⑴若等比數(shù)列｛%｝（1V〃W1O）為"10階可控搖擺數(shù)列"，求｛%｝的通項公式；

（2）若等差數(shù)列｛。"｝（14，區(qū)2%根eN*）為"2"階可控搖擺數(shù)列"，且,求數(shù)列｛《｝的

通項公式；

N

⑶已知數(shù)列｛%｝為"N階可控搖擺數(shù)列"，且存在1<m<N,使得￡同=2s1n，探究:數(shù)列｛S,,｝

Z=1

能否為"N階可控搖擺數(shù)列"，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列%,的,…,。“為〃（"=2,3,4,…）階"曼

德拉數(shù)列J

①%+%+%+…+/=0；（2）|a1|+|a2|+|a3|+---+|a?|=1.

⑴若某2M左eN*）階"曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)歹U,求該數(shù)列的通項?！埃?”42左，用左，”表示）；

（2）若某2人+1化eN*）階"曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項?！埃?W”42左+1,用左,〃

表示）；

⑶記"階"曼德拉數(shù)列的前左項和為其（左=1,2,3廣.,〃），若存在加e｛1,2,3,…㈤,使

》,=(，試問：數(shù)列｛sj(i=1,2,3,…川能否為”階“曼德拉數(shù)列"？若能，求出所有這樣的數(shù)

列；若不能，請說明理由.

3.(2024?天津?一模)若某類數(shù)列｛(｝滿足&>2,且%wO"(〃eN*),則稱這個

an-\

數(shù)列｛%｝為"G型數(shù)列

2n+1

⑴若數(shù)列｛氏｝滿足%=3,ana?+1=3,求生，%的值并證明：數(shù)列｛%｝是"G型數(shù)列"；

(2)若數(shù)列｛%｝的各項均為正整數(shù)，且％=1,｛。"｝為"G型數(shù)列"，記數(shù)列｛2｝為等

比數(shù)列，公比9為正整數(shù)，當｛"｝不是"G型數(shù)列"時，

(i)求數(shù)列｛%,｝的通項公式；

(ii)求證：2-----<-AneN).

t=iakak+l12

4.(2023?上海楊浦?模擬預(yù)測)設(shè)y=是定義域為R的函數(shù)，如果對任意的毛、

X2€1<(無產(chǎn)％)，|/(尤1)-/(工2)|<|再72|均成立，則稱尸f(x)是"平緩函數(shù)

⑴若工(x)=I/(x)=sinx,試判斷了=工(尤)和y=K(x)是否為"平緩函數(shù)"？并說明理

x~+1

由；(參考公式:x>0時，sinxcx恒成立)

(2)若函數(shù)y=〃x)是"平緩函數(shù)"，且>=/(x)是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的公、

ZeR,均有|/(%)-/仇)|<$

⑶設(shè)y=g(x)為定義在R上函數(shù)，且存在正常數(shù)4>1使得函數(shù)y=4g(x)為“平緩函數(shù)

現(xiàn)定義數(shù)列｛%｝滿足:網(wǎng)=0,無“=g(x,i)(〃=2,3,4,...),試證明:對任意的正整數(shù)

【題型二】函數(shù)與導數(shù)壓軸題

【知識回顧】

1.指數(shù)均值不等式與對數(shù)均值不等式

指數(shù)均值不等式：對于實數(shù)a,b,定義為a,b的指數(shù)平均數(shù)，則

a—2(當且僅當a=b時，等號成立)

對數(shù)均值不等式：對于a,b兩個正數(shù)的對數(shù)平均線，則有

Ina-lnb2(當且僅當a=b時，等號成立)

2.微分中值定理

定理1：(羅爾定理)如果函數(shù)滿足以下條件

⑴在閉區(qū)間河上連續(xù)，⑵在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，⑶/⑷=/(b),

則在內(nèi)至少存在一個點。使得

/隹)=0

定理2：(拉格朗日中值定理)如果/Xx)滿足以下條件

(1)在閉區(qū)間［a,連續(xù)，⑵在開區(qū)間伍⑷內(nèi)可導，

則在(凡人)內(nèi)至少存在一個點。使得

b-a

定理3：(柯西中值定理)如果八x)、g(x)滿足以下條件

(1)在閉區(qū)間［a,“連續(xù)，⑵在開區(qū)間(a,6)內(nèi)可導，且g(x)/0,

則在(a,b)內(nèi)至少存在一點。使得

f(b)-f(a)f皤)

g(b)-g(a)g'(^)

【注意】(1)以上3個中值定理，特別時拉格朗日中值定理建立了函數(shù)在區(qū)間上的變化(改

變量)與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)一點處導數(shù)的關(guān)系，從而使我們能夠利用導數(shù)來研究函數(shù)在區(qū)間

上的整體性態(tài).

(2)羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的拓展

形式.

3.泰勒公式

泰勒（Taylor）公式的主要作用是用多項式逼近函數(shù)和近似計算，對應(yīng)的分別時帶有皮

亞諾余項的泰勒公式和帶有拉格朗日余項的泰勒公式。

帶有皮亞諾余項的泰勒公式:若函數(shù)/（X）在點與處存在直至n階導數(shù)，則有

xxxxx+xx2n

/()=/(0)+f'(o)(~o)~~~(~o)+,,,+――皆^(x-Xo)"+O((x-x0))

2!n\

用得比較多的是在/=°時的特殊形式:

/(x)=/(0)+f\x}x+竽X2+--+X”+。(/)

它稱為帶有皮亞諾余項的麥克勞林公式.

4.常用的泰勒公式（帶有皮亞諾余項）

V2/

xn

(1)e=1+xH----------1----------1------------Fo{x),

2!n\

fv5A2n-l

(2)sinx=x——+H---F(―I)71+。（鐘）,

(2〃—1)!

Vv4

(3)cosx=1-二+二+…+(-1)〃

2!4!(2〃)！

工32

(4)tanx=x+x5+—Fo(x2/7),

fV3

/71n

(5)ln(l+x)=x--1-------------1--------1-(-1)---1-o{x),

23n

/八\a1a(a+l)2a(a—1)…(a—〃+1),、

(6)(1+x)=l+ca+-----%+?--+-----------------xnn+o(xn),

2!n\

1

(7)----=1+x+x29+—\-xn+o(x〃)，

1-x

5.由泰勒公式，我們得到下列常用的不等式:

1___1

x2x

>l+x,e>l+x+—x(x>0),e>ex,ln(l+x)<x,Inx<x-l,vl+x<1+—,

X3X2X3

sinx<x<tanx[x>0),sinx>x--(x>0),cosx>1--,tanx>x+—(x>0).

6.高中常用的泰勒公式（麥克勞林公式）如下:

丫2Y3Y3

(l).ex=l+x+—+—+o(x3),(2).sinx=x--+o(x3)

2423

(3).cosx=1-+o(x4),(4).ln(l+x)=、-1+：+0(/方

(5).(1+x)。-\+ax+^———x2+o(12>⑹.——=1+x+x2+x3+o(x3).

2!1-x

7.切線放縮

1.指數(shù)放縮

xxx

(1)放縮成一次函數(shù)：e>x+l9e>ex,e>x9

(2)放縮成類反比例函數(shù)：ex<—(x<0),ex<--(%<0),

1-xX

⑶放縮成二次函數(shù)：>l+x+1x2(x>0),

2.對數(shù)放縮

(1)放縮成一次函數(shù)：Inx<x-l,ln(l+x)<x,lnx<x;

(2)放縮成二次函數(shù):ln(l+x)<x-^-x2(-l<x<0),

Inx<x2-x,ln(l+x)>x-^-x2(x>0);

⑶放縮成類反比例函數(shù)：lux>l--,lnx>2('>1),

Xx+1

Inx<—―(0<x<1),ln(l+x)>%,

x+11+x

2x2x

ln(l+x)>-----(x>0)ln(l+x)<------(-1<x<0),

1+x,1+x

(4)放縮成對勾函數(shù)：lnx<，(x--)(x>l),lnx>—(x--)(0<x<l),

2x2x

Inx<Vx——-F=(%>l),lnx>Vx<X<1),

3.三角函數(shù)放縮

sinx<x<tanx(x>0),sinx>x--x2,l--x2<cosx<1--sin2x

4.指對放縮

-Inx>(x+1)-(x-1)=2

5.(2024?上海普陀?二模)對于函數(shù)y=/(x),xeA和y=g(x),xeD2,設(shè)口口鼻二。，

若入，/e。，且工產(chǎn)乙，皆有|/(X］)-"x2)m卜&)-g(x2)|(>0)成立，則稱函數(shù)了=/(x)

與》=8(0"具有性質(zhì)

⑴判斷函數(shù)〃x)=/,x4,2］與gQ)=2x是否"具有性質(zhì)〃⑵"，并說明理由；

(2)若函數(shù)/(尤)=2+f,無e(0」］與g(x)=L，具有性質(zhì)"⑴”，求f的取值范圍；

X

⑶若函數(shù)"X)=-*?+2出.*-3與>=g(x)"具有性質(zhì)HQ)”,且函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,+功上

X

存在兩個零點X1,入2，求證X；+考>2.

6.(2024?上海楊浦?二模)函數(shù)了=/(x)、y=g(x)的定義域均為R,若對任意兩個不同的

實數(shù)。，b,均有/(a)+g(6)>0或/(6)+g⑷>0成立，則稱了=/(x)與y=g(x)為相關(guān)

函數(shù)對.

⑴判斷函數(shù);'(x)=x+l與g(x)=-x+1是否為相關(guān)函數(shù)對，并說明理由；

(2)已知/(尤)=/與g(x)=-x+左為相關(guān)函數(shù)對，求實數(shù)左的取值范圍；

⑶已知函數(shù)了=〃x)與y=g(x)為相關(guān)函數(shù)對，且存在正實數(shù)對任意實數(shù)xeR,均有

W.求證：存在實數(shù)<〃)，使得對任意均有/'(x)+g(x”-弓^.

7.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)

/(x)=(x-a)e-，-2x,g(x)=xe^x-eT_1-jx3+ax2-/(x),且/(x)在x=0處取得極

大值.

⑴求“的值與/（X）的單調(diào)區(qū)間.

（2）如圖，若函數(shù)＞=/G）的圖像在［。力］連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在

ce（a,6）,使得/'（c）=機，求加的表達式（用含。也/（。）,/（6）的式子表示）.

⑶利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)g（x）圖像上任意兩點的連線斜率不大于2一型.

4e

8.（2324高三下?山東荷澤?階段練習）帕德近似是法國數(shù)學家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項

式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)加，〃，函數(shù)/（五）在尤=0處的何，司階帕德近似定

義為：火（為=。：+}+二+：”產(chǎn),且滿足：/（0）=7?（0）,廣⑼=R⑼，尸（0）=僧⑼，

……，”"）（。）=心?。），注：/（）=［-（川，D/（x）］',/4）（x）=r（x）］,

/（5）（X）=［/（4）（X）］,……

已知函數(shù)/（%）=ln（x+l）.

⑴求函數(shù)/（x）=ln（x+l）在x=0處的［1,1］階帕德近似尺（x）,并求lnl.1的近似數(shù)（精確到

0.001）；

⑵在（1）的條件下：

①求證：苗*〈1;

②若“X）-哈+l＞（x）vi-cosx恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

9.（2024?浙江寧波?二模）定義：對于定義在區(qū)間［見句上的函數(shù)，若存在實數(shù)ce（a,6）,使

得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減），在區(qū)間6］上單調(diào)遞減（遞增），則稱這個函數(shù)為

單峰函數(shù)且稱c為最優(yōu)點.已知定義在區(qū)間［凡句上的函數(shù)/（x）是以。為最優(yōu)點的單峰函數(shù)，

在區(qū)間6）上選取關(guān)于區(qū)間的中心審對稱的兩個試驗點外,乙，稱使得

-/(c)|(i=l,2)較小的試驗點答為好點(若相同，就任選其一)，另一個稱為差點.容

易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點c與好點在差點的同一側(cè).我們以差點為分界點，把區(qū)間&句分成兩部分，

并稱好點所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為4］,再對區(qū)間［q,4］重復(fù)以上操作，可

以找到新的存優(yōu)區(qū)間&也］，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間&也］，&也］，…，滿足

［a,可口［%，4］?口,4］2［名也］2［&也］2…，可使存優(yōu)區(qū)間長度逐步減小.為了方便找到最

優(yōu)點(或者接近最優(yōu)點)，從第二次操作起，將前一次操作中的好點作為本次操作的一個試

驗點，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長度與操作前區(qū)間的長度的比值為同一個常數(shù)。，則稱

這樣的操作是“優(yōu)美的"，得到的每一個存優(yōu)區(qū)間都稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，。稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間

常數(shù).對區(qū)間［應(yīng)可進行〃次"優(yōu)美的"操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間［%也］,令￡”與二左，

b-a

我們可任取區(qū)間［。”也』內(nèi)的一個實數(shù)作為最優(yōu)點C的近似值，稱之為/(X)在區(qū)間［。,用上精

度為￡“的"合規(guī)近似值"，記作演，(川a,司).已知函數(shù)/(無)=(x+l)cosx-l,xe0,|-,函數(shù)

g(x)=sinx-ln(l+7i-x),xG兀.

⑴求證：函數(shù)/(%)是單峰函數(shù)；

(2)已知c為函數(shù)/(X)的最優(yōu)點，d為函數(shù)g(x)的最優(yōu)點.

(i)求證：c+d<n?,

(ii)求證：兀］-演［<0,彳j>d-c~~^-

注：>/2"414,6~1.732,石x2.236,V7?2.646.

10.(2324高二下?重慶?階段練習)對于整系數(shù)方程/(x)=0,當x的最高次事大于等于3

時，求解難度較大.我們常采用試根的方法求解：若通過試根，找到方程的一個根不，則

f(x)=(x-xjg(x),若g(x)=o已經(jīng)可以求解,則問題解決;否則，就對g(x)=o再一次

試根，分解因式，以此類推，直至問題解決.求根的過程中常用到有理根定理：如果整系數(shù)

方程。我"+%?1+…+叩+即=0@“W0)有有理根x=C,其中r、seZ,swO,(s/)=l,

那么H4,s|6.符號說明：對于整數(shù)加，"，(加,”)表示加，”的最大公約數(shù)；表示”是

加的倍數(shù)，即，*整除〃.

⑴過點尸(3,-1)作曲線y=x3-x的切線，借助有理根定理求切點橫坐標；

(2)試證明有理根定理；

⑶若整數(shù)。，6不是3的倍數(shù)，且存在有理數(shù)x,使得2/+//+2〃*+]=0,求0,江

【題型三】集合新定義題

【知識回顧】(略)

11.(2024?北京順義?二模)已知點集％={(再,％),(工2，%),一、(%,%)}("23)滿足04玉，%,

x,.+Z.＜2(/=1,2,■.?,?).對于任意點集M,，若其非空子集/,2滿足/c3=0,A^B=Mn,

則稱集合對(43)為河"的一個優(yōu)劃分.對任意點集M,及其優(yōu)劃分(48),記/中所有點的

橫坐標之和為X(/),3中所有點的縱坐標之和為y(3).

⑴寫出M={0，1),(2,0),(0,2)}的一個優(yōu)劃分(48),使其滿足刀(/)+丫(2)=3；

(2)對于任意點集AG，求證：存在出3的一個優(yōu)劃分(43),滿足x(/)+y”)w3；

(3)對于任意點集M,,求證：存在M,的一個優(yōu)劃分(48),滿足等且-.

12.(2024?浙江紹興?二模)已知左eN*,集合X*=何x=2,。+2"+…+2',,0V"＜彳＜…氣，其

中牌,…,”N}.

⑴求X2中最小的元素；

(2)設(shè)。=21+2^eX],6eX[,且a+beX-求b的值；

k+\人

⑶記4=Xm(2—,2“[,?eN\若集合4中的元素個數(shù)為，，求E聲.

m=\乙

13.（2024?湖南益陽?模擬預(yù)測）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組（％,出）

表示；三維空間向盤可用三元有序數(shù)組（%,。2，%）表示.一般地，"維空間向量用〃元有序數(shù)

組3，%…表示，其中小』=1,2,…,”）稱為空間向量的第二個分量,左為這個分量的下

標.對于"（〃N3）維空間向量（％,出,,定義集合4（加）=招為=能,左=1,2,….記

/（㈤的元素的個數(shù)為?（加）|（約定空集的元素個數(shù)為0）.

⑴若空間向量3M4，%。6，。7，。8）=（6,3,2,5,3,7,5,5）,求/⑸及|/（5）|；

,111

⑵對于空間向量（％，生，…必）?若?+曬+…+兩］="，求證：皿-{12…川，

若"j,則。戶與；

⑶若空間向量（％,。2嗎，的坐標滿足力（。"2+%）={科，4=。2=1，當”23時，求證:

…>2an_lan.

14.（2024?全國?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，兩點尸（再,必）,。5,力）的"曼哈頓距離"

定義為卜「引+|%-%|，記為“PQH，如點尸（L-2）,0（-2,-4）的“曼哈頓距離"為5,記為

“尸01=5.

⑴若點尸（0,2）,M是滿足||尸。||<2的動點。的集合，求點集”所占區(qū)域的面積；

（2）若動點?在直線>=》-2上，動點。在函數(shù)y=6、的圖象上，求||尸。||的最小值；

（3）設(shè)點尸（。,6）,動點。在函數(shù)了=2尤2（尤?卜2,2］）的圖象上，||尸。的最大值記為河（。,6）,

求M（a,6）的最小值.

15.（2024?湖南邵陽?二模）給定整數(shù)"23,由〃元實數(shù)集合P定義其隨影數(shù)集

。={歸-引|x,yeP,x?}.若min（0）=l,則稱集合戶為一個“元理想數(shù)集，并定義尸的理

數(shù)/為其中所有元素的絕對值之和.

(1)分別判斷集合5={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；(結(jié)論不要求說明

理由)

(2)任取一個5元理想數(shù)集P,求證：|min(P)|+|max(P)|“；

⑶當尸={占,無2,…，尤202J取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)/的最小值.

注：由〃個實數(shù)組成的集合叫做〃元實數(shù)集合，max(P),min(P)分別表示數(shù)集P中的最大數(shù)

與最小數(shù).

【題型四】解析幾何

【知識回顧】

橢圓的標準方程

丫22I

f+f=1(。>力>0),a2=/+。2,。==J1--(0<e<1)

aba\a

雙曲線的標準方程

—1(。>0,Z7>0),c2=a2b1———/1+勺,漸近線：±±上=0.

aba\aab

拋物線的標準方程

y2=2px(p>0),e=1,準線：x=-y

22

16.(2023?全國?模擬預(yù)測淀義:一般地，當2>0且小時，我們把方程X>6>0)

222

表示的橢圓C/稱為橢圓?+/=1(。>6>0)的相似橢圓.已知橢圓C：亍+戶1,橢圓Q

(2>0且義#1)是橢圓C的相似橢圓，點尸為橢圓C/上異于其左、右頂點的任意一

點.

⑴當4=2時，若與橢圓。有且只有一個公共點的直線4,4恰好相交于點尸，直線4,4的斜

率分別為左，門，求匕魚的值；

(2)當％=e2(e為橢圓C的離心率)時，設(shè)直線尸必與橢圓C交于點48,直線尸N與橢圓C

交于點。,E,求|/同+|。回的值.

22

17.(2024?江蘇南通?二模)在平面直角坐標系中，已知橢圓八二+與=1(。>6>0)的

ab

離心率為如，直線/與加目切，與圓。：％2+必=3/相交于/,8兩點.當/垂直于X軸時,

3

|AB|=25/6.

⑴求「的方程；

(2)對于給定的點集M,N,若M中的每個點在N中都存在距離最小的點，且所有最小距離

的最大值存在，則記此最大值為?(",").

(i)若M,N分別為線段與圓。上任意一點，尸為圓。上一點，當AP/8的面積最大

時,求d(MN)；

(近)若4(〃,￡),d(N,M)均存在，記兩者中的較大者為〃已知8(X,y),H(Y,Z),

〃(X,Z)均存在，證明：H(X,Z)+H(Y,Z)^H(X,Y).

18.(2024?湖南?二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如尤="+1表示過點

(1,0)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線,

且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.

⑴若圓q:x2+y2=1是直線族皿x+即=l(m,neR)的包絡(luò)曲線，求私”滿足的關(guān)系式；

(2)若點尸(%,%)不在直線族：。：(2。-4)》+句，+(°-2)2=0(。€田的任意一條直線上，求為

的取值范圍和直線族Q的包絡(luò)曲線￡;

⑶在(2)的條件下，過曲線E上45兩點作曲線￡的切線/J,其交點為P.已知點

若4SC三點不共線，探究/尸。/=/尸。8是否成立？請說明理由.

19.(2024?新疆烏魯木齊?二模)在平面直角坐標系無。夕中，重新定義兩點/(4%),川松力)

之間的"距離"為|/同=上-%|+|%|,我們把到兩定點耳(~C,0),F2(C,0)(C>0)的"距離"

之和為常數(shù)的點的軌跡叫"橢圓

⑴求"橢圓”的方程;

（2）根據(jù)“橢圓”的方程，研究"橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；

（3）設(shè)c=l,a=2,作出"橢圓"的圖形，設(shè)此"橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A,過且作

直線交C于兩點，A/MN的外心為。，求證：直線與九W的斜率之積為定值.

【題型五】向量

【知識回顧】（略）

20.（2024?河南南陽?一模）在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個

圓上，該圓的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長半軸（實半軸）與短半軸（虛

22

半軸）平方和（差）的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓E:=+與=\{a>b>0）的蒙日

ab

圓的面積為13兀，該橢圓的上頂點和下頂點分別為耳且上刃=2,設(shè)過點。（0,；]的直

線4與橢圓E交于43兩點（不與心￡兩點重合）且直線，2：x+2y-6=0.

⑴證明：APX,的交點P在直線y=2上;

（2）求直線/片乃々/圍成的三角形面積的最小值.

21.（2024?云南?模擬預(yù)測）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下:

“3jk

bxb2b3=岫2c3+。2。3。13ble2一。3b2cl-Cl2ble3一砧3%.若萬義6=乂Z],貝U稱為

C\C2C3x2%

空間向量G與B的叉乘，其中萬=x『+yj+z氏（x”M，Z[eR）,

b=x2l+y2j+z2k（x2,y2,z2eR）,{7，，，定}為單位正交基底.以O(shè)為坐標原點，分別以后的

方向為x軸、了軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，已知42是空間直角坐標系中異于。

的不同兩點.

⑴①若/(0,2,1),8(-1,3,2),求。X麗;

②證明：04x03+08x04=0-

(2)記。03的面積為又皿，證明：

⑶問：(Ex礪了的幾何意義表示以“03為底面、|ax礪|為高的三棱錐體積的多少倍？

22.(2324高二上?四川綿陽?階段練習)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)

成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為"斜坐標系現(xiàn)

有一種空間斜坐標系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60。，我們將這種坐標系稱為“斜60。坐標

系”.我們類比空間直角坐標系，定義"空間斜60。坐標系”下向量的斜60。坐標：后分別

為“斜60。坐標系”下三條數(shù)軸(x軸、V軸、z軸)正方向的單位向量，若向量力=行+訝+zE,

則力與有序?qū)崝?shù)組(x),z)相對應(yīng)，稱向量力的斜60。坐標為記作元=[x,y,z].

⑴若a=[1,2,3],=[-1,1,2],求1+3的斜60。坐標;

(2)在平行六面體ABCD-ABClDl中，4B=AD=2,A4=3,ABAD=NBA&=ADAA,=60°,

N為線段DC的中點.如圖，以｛畫石，石｝為基底建立"空間斜60。坐標系

①求麗的斜60。坐標；

②若孤=[2,-2,0],求萬？與麗夾角的余弦值.

【題型六】概率統(tǒng)計

【知識回顧】

1.二項分布

1.一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),用X表示

事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=Cy(lp)nk,k=0,1,2,…,n.如果隨機

變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).

2.二項分布的期望與方差：一般地，如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(lp).

2.超幾何分布

1.一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件

(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=隼以，k=m,

LN

m+1,m+2,…，r.其中n,N,M￡N*,MWN,nWN,m=max{0,nN+M},r=min{n,M}.如

果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

若隨機變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)=霍.

2.若X服從參數(shù)為N,n,M的超幾何分布，即)CH(N,n,M),則D(X)=^1黜斗粵

NZ(N-1)

3.正態(tài)分布

](x-U)2

1.正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)=^=e--4，x￡R.其中WR,。>0為參數(shù).我們稱f(x)為正態(tài)密度函

數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

2.正態(tài)分布：若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記

為X~N(R,。2).特別地，當[1=0,0=1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.

23.(2024?廣東廣州?一模)某校開展科普知識團隊接力闖關(guān)活動，該活動共有兩關(guān)，每個團

隊由〃(〃23,〃eN)位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成

員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖

第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團隊接力闖關(guān)活動結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由

下一位成員接力去闖第二關(guān)；當?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場參加了闖關(guān)，該團隊接

力闖關(guān)活動結(jié)束.已知A團隊每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為:和;，且每位成

42

員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.

（1）若〃=3,用X表示A團隊闖關(guān)活動結(jié)束時上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求X的均值;

（2）記A團隊第4（1V左V〃-1,左eN*）位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為P2集合

卜eN*以〈高中元素的最小值為原，規(guī)定團隊人數(shù)〃=耳+1,求〃.

24.（2024?山東濰坊?一模）若久〃是樣本空間。上的兩個離散型隨機變量，則稱4〃）是O

上的二維離散型隨機變量或二維隨機向量.設(shè)（,〃）的一切可能取值為。/=1,2,???,

記P?’表示（知與）在。中出現(xiàn)的概率，其中Py=p七=%力=4）=尸四=《）n（〃=勺）］.

⑴將三個相同的小球等可能地放入編號為1,2,3的三個盒子中，記1號盒子中的小球個

數(shù)為九2號盒子中的小球個數(shù)為〃，貝是一個二維隨機變量.

①寫出該二維離散型隨機變量信力）的所有可能取值；

②若（私〃）是①中的值，求尸（＜=〃?,〃="）（結(jié)果用加，"表示）；

（2）P佰=q）稱為二維離散型隨機變量（乙〃）關(guān)于4的邊緣分布律或邊際分布律，求證：

丁00,

P化=a）=EPg.

7=1

25.（2024?遼寧?一模）十七世紀至十八世紀的德國數(shù)學家萊布尼茲是世界上第一個提出二進

制記數(shù)法的人，用二進制記數(shù)只需數(shù)字0和1,對于整數(shù)可理解為逢二進一，例如：自然數(shù)

1在二進制中就表示為⑴2,2表示為（IO1,3表示為（I）,5表示為（IO）,發(fā)現(xiàn)若“eN+

aaa1

可表示為二進制表達式'k-\k）2，則"=o,2*+-2*HFak_x+ak,其中a。=1,

q=0或1（i=l,2,---k）.

⑴記…求證：S（8"+3）=S（4++3）；

（2）記/（〃）為整數(shù)〃的二進制表達式中的0的個數(shù)，如"2）=1,/⑶=0.

（i）求/（60）；

511

（ii）求±2/⑻（用數(shù)字作答）.

n=l

26.（2024?廣東汕頭?一模）2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學實驗教學基本目錄》,

內(nèi)容包括高中數(shù)學在內(nèi)共有16個學科900多項實驗與實踐活動.我市某學校的數(shù)學老師組織

學生到“牛田洋”進行科學實踐活動，在某種植番石榴的果園中，老師建議學生嘗試去摘全園

最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學生小明兩手空空

走出果園，因為他不知道前面是否有更大的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前

見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)小明在果園中一共會遇到〃顆番石榴（不妨設(shè)〃顆番石榴的

大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石

榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導下采用了如下策略：不摘前人（14左<"）顆番石榴,

自第左+1顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后

一顆.設(shè)左=打，記該學生摘到那顆最大番石榴的概率為P.

⑴若w=4,左=2,求p；

⑵當"趨向于無窮大時，從理論的角度，求尸的最大值及P取最大值時/的值.

-111,〃、

（取一+---+???+----=ln—）

k左+1n-1k

27.（2324高三上?浙江溫州?期末）現(xiàn)有標號依次為1,2,…，〃的〃個盒子，標號為1號的

盒子里有2個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球.現(xiàn)從1號盒子里取出

2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進行到從n-l號

盒子里取出2個球