江蘇省2024屆高三下學(xué)期階段性測(cè)試（2.5模）數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)mU-I-1的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

m-i

A.（-1,1）B.（0,1）C,（l，+8）D.（0,+oo）

2.設(shè)…，切為樣本數(shù)據(jù)，令/（x）=￡（xi-X）2,則/（X）的最小值點(diǎn)為（）

1=1

A.樣本眾數(shù)B.樣本中位數(shù)C.樣本標(biāo)準(zhǔn)差D.樣本平均數(shù)

3「出佃”1十成立的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.曲線y=e，+x+l上的點(diǎn)到直線y=2x距離的最小值為（）

A.叵

B.‘5C.拽D.久1

10555

5.已知函數(shù)/（x）=(X-3)2-1,則平面圖形。內(nèi)的點(diǎn)（m,〃）滿足條件：f（加）

+f(〃)<0,且f(加)-f(〃)>0,則。的面積為（）

A.71B.3C.-D.1

2

6.已知尸為橢圓C:2+》=1的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn)，。為圓M:x2+（y-3?=1上

4

一點(diǎn)，則仍。|+PF|的最大值為（）

A.5B.5+273C.3+26D.6

7.記遞增的等差數(shù)列k｝的前〃項(xiàng)和為S.若aa=9加+3〃一2,〃￡N*,則S=()

In+110

A.-155B.125C.155D.185

8,設(shè)函數(shù)/（x）=2sin卜x—-l(co>0)在［,2］上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)①的

取值范圍是（）

337..5513…119)1

A.—,+00B.UC.—?3U—,+0°D.-,+co

2232OO6J2

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

二、多選題

9.下列四個(gè)命題中，假命題的是()

A.要唯一確定拋物線，只需給出拋物線的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)

B.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓，只需給出一個(gè)焦點(diǎn)和橢圓的上一點(diǎn)

C.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出雙曲線上的兩點(diǎn)

D.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線方程和離心率

10.對(duì)任意ABRR,記A十B=Acg},并稱A十B為集合的對(duì)

稱差.例如：若4={1,2,3},8={2,3,4},則A十8={1,4}.下列命題中，為真命題的是

()

A,若=R且A十8=8,則4=0

B.若=R且A十B=0,則A=3

C.若A,8=R且A十BqA,則

D,存在A,8qR,使得A十2/CA十

RR

11.用與母線不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀，則稱夾在

這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個(gè)截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的

距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長(zhǎng)半軸與短半

軸長(zhǎng)之積的n倍，已知某圓柱的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個(gè)平行平面去截

該圓柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對(duì)于這個(gè)斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是()

A.底面橢圓的離心率為也

2

B.側(cè)面積為24年

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36兀

D.底面積為4J1

三、填空題

12.已知ax-〒的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為32,則。=

13.已知尸,，工，分別為雙曲線C：—-21=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過尸2

a2b2

作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M,N兩點(diǎn).若cosNMFN=},則C的離

113

心率為一.

14.正三棱錐S-ABC中，底面邊長(zhǎng)AB=2,側(cè)棱AS=3,向量”，B滿足

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

T一—?一TITI

a-a+AC-aAB,b-b-ACb-AS,貝l|a-6’的最大值為.

四、解答題

15.記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知竺2=任￡二陋

csinA-sinB

(1)求角A;

(2)若。=6,點(diǎn)加為442。的重心，且AM=20,求“BC的面積.

16.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形/BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PAD,平

面48cD,PA=PD=7?,點(diǎn)E是線段40的中點(diǎn)，CM=2MP-

(1)證明：PE〃平面

(2)求平面4WB與平面瓦W的夾角.

17.某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品,

小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表:

176,82)182,88)188,94)

測(cè)試指標(biāo)[20,76)[94,100]

元件數(shù)(件)121836304

(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概

率；

(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(x)=|i,方差。(X)=O2,則對(duì)任意正數(shù)￡,均有

尸(％-|1|28)?巴■成立.

82

(i)若*~8(100,j,證明：P(0<X<25)<^；

(ii)利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)

的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%,那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請(qǐng)結(jié)

合“切比雪夫不等式''說明該工廠所提供的合格率是否可信？(注：當(dāng)隨機(jī)事件/發(fā)生的

概率小于0.05時(shí)，可稱事件/為小概率事件)

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

18.設(shè)p是坐標(biāo)平面xOy上的一點(diǎn)，曲線「是函數(shù)y=/G)的圖象.若過點(diǎn)尸恰能作曲

線「的左條切線GeN),則稱P是函數(shù)y=/G)的“左度點(diǎn)”.

(1)判斷點(diǎn)。(0,0)與點(diǎn)A(2,0)是否為函數(shù)y=Inx的1度點(diǎn)，不需要說明理由；

(2)已知0<加<,g(x)=sinx.證明：點(diǎn)2(0,)是y=g(x)(0<x<〃?)的0度點(diǎn)；

(3)求函數(shù)y=x5-x的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合.

19.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，過點(diǎn)尸(1,0)的直線/與拋物線C:y2=4x交于跖N兩

點(diǎn)(“在第一象限).

⑴當(dāng)IMBI=3INFI時(shí)，求直線/的方程

(2)若三角形的外接圓與曲線C交于點(diǎn)D(異于點(diǎn)。，M,N),

(i)證明:△ACVD的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值

(ii)求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得該復(fù)數(shù)為嗎T+-2"，-i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義建立不

m2+1m2+1

等式組，解之即可求解.

【詳解】由題意知％±1=也也％出=如土組=處二1+&_i,

m—i(m—i)(wt+i)m2+1m2+1m2+1

該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?m2-12m

AH2+15m24-1)，

吧＜0

又該點(diǎn)位于第二象限，所以,解得0〈，篦＜1,

21n＞0

.m2+1

即實(shí)數(shù)加的取值范圍為(0,1).

故選：B

2.D

【解析】把函數(shù)整理成二次函數(shù)的一般形式，然后由二次函數(shù)性質(zhì)求解.

【詳解】由題意/(x)=加2—2(x+x+???+%)%+(%2+X2+.??+%2),

12n12n

-rr/t=f?124-1—

/(x)取得最小值時(shí)，X=T_+-----rr=X.

n

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查樣本平均數(shù)的概念，掌握樣本平均數(shù)的表示是解題關(guān)鍵.

3.D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)、充分條件、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】取。=一1,6=1,則但：＜：,故不充分,

取a=l,b=-l,則:＞；,但］；：＜］；：，故不必要?

故選：D.

4.C

【分析】設(shè)切點(diǎn)(x°，/(x。))，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解.

【詳解】令/(尤)=e*+x+l,則/(x)=ex+l,

設(shè)該曲線在點(diǎn)(2(叩)處的切線為/,

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

需求曲線到直線y=2x的距離最小，必有該切線的斜率為2,

所以/(X)=%+1=2,解得X=0,則切點(diǎn)為(0,2),

0°

故切線/的方程為y-2=2x,即2x-y+2=0,

所以直線2無-y+2=0到直線2x-y=0的距離為八丁二==^,

5/22+(-1)25

即該曲線上的點(diǎn)到直線y=2x的最小距離為&5.

5

故選：C

5.A

【解析】由“間+/⑺V0和"劃一/⑺>0確定(九。所在區(qū)域,然后計(jì)算區(qū)域面積.

/(m)+/(n)=(m-3)2+(n-3)2-2<0,即(根—3"+("一3”<2,該不等式表示的平

面區(qū)域是以(3,3)為半徑，及為半徑的圓內(nèi)部分(不含邊界)，如圖所示，

又/(加)一/(〃)=(根一3)2-(九—3)2=(m-n)(m+n-6)>0,畫出其對(duì)應(yīng)區(qū)域，如圖，直線

f/(m)+/(n)<0

X—y=0與x+y—6=0互相垂直，且交點(diǎn)剛好是圓心(3,3),.??滿足條件[[的

點(diǎn)(嘰w)所形成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，其面積為2X：TTX(及)2=兀.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二元二次不等式組表示的平面區(qū)域，解題時(shí)可分別研究?jī)蓚€(gè)不等式表示的

平面區(qū)域，再考慮它們的交集.

6.B

【分析】由題意設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸(-百,0),作出圖形，結(jié)合圖形和橢圓的定義可知當(dāng)M,尸,P

11

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

三點(diǎn)共線時(shí)|尸。|+|尸盟取到最大值.

【詳解】由題意知，F(xiàn)(V3,0),設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸(-由,0),

1

如圖，P為C上一點(diǎn)，。為圓M:x2+(y-3)2=1上一點(diǎn)，M(0,3),半徑為1,

PQ+|PF|=|PM|+1+PF|<|W|+|PF+\PF+1=J(一拘2+32+2a+1=5+2小,

當(dāng)且僅當(dāng)M,F,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

1

所以|PQ|+|PF的最大值為5+2』.

故選：B

7.C

【分析】令〃分別取1,2,得到等差數(shù)列的兩個(gè)關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出

數(shù)列｛。｝的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可求前10項(xiàng)的和.

n

【詳解】設(shè)遞增的等差數(shù)列｛。｝的公差為d,則”>0.

n

因?yàn)?9n2+3n-2,neN*,

nn+1

所以當(dāng)〃=1時(shí)，aa=10,即a(〃+d)=10①，

1211

當(dāng)〃=2時(shí)，aa=40,即(〃+d)Q+2d)=4。②.

2311

聯(lián)立①②，結(jié)合d>0,解得〃]=2,d=3.

10x9

所以S=10x2+----x3=155.

102

故選：C

8.A

【分析】先令/G)=。得sin(3x-、]=：,并得到co%—>一從小到大將sinz=」的正根

V6J2662

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

寫出，因?yàn)?2］,所以co--,2(o--,從而分情況，得到不等式，求出答

案.

［詳解］令2sinfcox-——

因?yàn)棰佟?,所以cox—,

66

令sinz=—,解得z=-+2上,keZ^z=—+2k,ksZ,

266ii

從小到大將刖馬的正根寫出如下:

513172529

696‘式’~9~6~9~6

因?yàn)閤j,2],所以3%-一￡CO-—,2co

666」

5解得(0>],

當(dāng)3--G0,1,即cow時(shí)，2co->

6o603662

此時(shí)無解,

(5(1137

當(dāng)co一片匕‘不'即①七,1時(shí)，20-薩可，解得32片此時(shí)無解,

(513(7173

當(dāng)co_於￡，即①后1，彳時(shí)，2①,解得①之大，

6^0oJ13」662

,「37一

故①￡25-3'

<13171<712513

當(dāng)3-二-，二-，即①￡1,3時(shí)，2co--,解得co2”，

6166」13」666

故①￡弓，3,

當(dāng)323時(shí)，2co---fco--j=co>3,此時(shí)/(x)在[,2]上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn),

綜上，3的取值范圍是1,+?

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在三角函數(shù)/(x)=Asin(3x+(p)圖象與性質(zhì)中，3對(duì)整個(gè)圖象性質(zhì)影響

最大，因?yàn)?可改變函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值個(gè)數(shù)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解8的取值范圍是經(jīng)?？疾?/p>

的內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，除掌握三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，還要準(zhǔn)確發(fā)掘題干中的隱含條件，找到

切入點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出相關(guān)性質(zhì)，如最小正周期，零點(diǎn)個(gè)數(shù)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)等，此部分題目還

常常和導(dǎo)函數(shù)，去絕對(duì)值等相結(jié)合考查綜合能力.

9.CD

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】對(duì)于四個(gè)選項(xiàng)，分別根據(jù)圓錐曲線的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A：選項(xiàng)中給出拋物線上的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，由拋物線定義可確定拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線

的距離，所以能唯一確定拋物線，故A正確；

B：選項(xiàng)中以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，給出橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則另一個(gè)焦點(diǎn)能確定，再給出橢圓上

一點(diǎn)，則可確定橢圓上點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和，由橢圓定義可知，能唯一確定橢圓，所以B

選項(xiàng)正確；

C：選項(xiàng)中以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，若給出的雙曲線上的兩點(diǎn)關(guān)于雙曲線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則無法

確定雙曲線，所以C選項(xiàng)不正確；

D：選項(xiàng)給出雙曲線的一條漸近線方程和離心率，但無法確定焦點(diǎn)的位置，所以無法唯一確

定雙曲線，所以D選項(xiàng)不正確.

故選：CD.

10.AB

【分析】集合的新定義，結(jié)合選項(xiàng)以及交并補(bǔ)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)锳eB=B,所以B=x隹4"1團(tuán)，

所以且8中的元素不能出現(xiàn)在4口8中，因此4=0,即A正確；

對(duì)于B,因?yàn)锳十2=0,所以0={xlxe從Js,XFAQB},

即從_）8與是相同的，所以A=B,B正確；

對(duì)于C,因?yàn)锳十2屋4,所以{xlxeRjB，x史

所以8QA,即C錯(cuò)誤；

對(duì)于D由于

CA十CB-trlxeCAuCAnCfvIxeC（AnB）,xgCix\x&AuB,xAoB

RR?RRRR?RR

9

而A十8={x|xeAuB,xeAc8},故A十8=彳4十QB,即D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.ABD

【分析】不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)。和最低點(diǎn)B作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的

是圓柱，作出過斜圓柱底面橢圓長(zhǎng)軸的截面，截斜圓柱得平行四邊形，截圓柱得矩形，如圖，

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

由此截面可得橢圓面與圓柱底面間所成的二面角的平面角，從而求得橢圓長(zhǎng)短軸之間的關(guān)系,

得離心率，并求得橢圓的長(zhǎng)短軸長(zhǎng)，得橢圓面積，利用橢圓的側(cè)面積公式可求得斜橢圓的側(cè)

面積，由斜圓柱的高比圓柱的底面直徑大，可知斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的直徑與圓柱底面直

徑相等，從而得其表面積，從而可關(guān)鍵各選項(xiàng).

【詳解】不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)。和最低點(diǎn)8作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的

是圓柱，如圖，矩形ABC。是圓柱的軸截面，平行四邊形8萬(wàn)E是斜圓柱的過底面橢圓的長(zhǎng)

軸的截面，

由圓柱的性質(zhì)知NA8/=45。，

則2尸=&3,設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2。，則2°=尤-26,a=@,

c=yja2—Z>2=^a2a,

所以離心率為e=c=a，A正確；

a2

EG1BF,垂足為G,則EG=6,

易知NEBG=45。,BE=6垃,）LCE=AF=AB=4,

所以斜圓柱側(cè)面積為S=2兀x2x（4+6立）一2兀x2x4=24x&,B正確；

26=4,6=2,2a=,a=,

橢圓面積為兀ab=4血，D正確；

由于斜圓錐的兩個(gè)底面的距離為6,而圓柱的底面直徑為4,所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的

半徑為2,球表面積為軌x22=16兀，C錯(cuò).

故選：ABD.

12.3

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】利用賦值法即可求解.

【詳解】令x=l可得(a-l)=32,解得a=3,

故答案為：3

13.召

【分析】根據(jù)二倍角公式求出2=2,再求出離心率即可.

a

【詳解】易知MV關(guān)于x軸對(duì)稱，令/MF工=a,cos2a=V，

2

..tana=—

3

be

Cbe

,M\,tana=%=2

(22a

3c3

2

a

?c

>?e——==5/5.

a

故答案為：&

14.4

【分析】利用向量運(yùn)算化簡(jiǎn)變形，設(shè)、cM,b=cN,將向量等式轉(zhuǎn)化為兩動(dòng)點(diǎn)軌跡為均為

球面，再利用球心距求兩球面上任意兩點(diǎn)間距離最大值即可.

【詳解】已知正三棱錐S—ABC,則AS=BS=CS=3,且AB=BC=CA=2,

由小(+43)=鼠/1月化簡(jiǎn)得〃2=〃.圍，

由+化簡(jiǎn)得良與

i^a=CM,b=CN,代入＜?=a.c月，b2=b-CS)

分別化簡(jiǎn)得wd-M方=0,且比.％6=0,

故點(diǎn)M在以BC為直徑的球面上，半徑r=(BC=l；

?2

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

13

點(diǎn)N在以SC為直徑的球面上，半徑r=、CS=；

222

分別取線段BC、SC的中點(diǎn)E、F,

13

則EF=-BS=_,

22

故立-目=\MN\-\EF\+r+r=^+1+^=4.

maxmax1222

故答案為：4

【點(diǎn)睛】將向量的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的幾何表達(dá)，借助幾何意義求解動(dòng)點(diǎn)間的距離最值是

解決本類題型的關(guān)鍵所在.

15.(1)A=-

(2)973

【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解,

（2）根據(jù)重心的性質(zhì)可得AO=3小，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得秘=36,由面積公式即可求

解.

―、AA+BsinC-sinB上―c-b

【詳解】（1）因M為----=「；——,由正弦定理可得----=-

csinA-sinBca-b

整理得上+C2-s=尻，由余弦定理可得cosA=加+—=

2bc2

又因?yàn)锳e（0,）,所以4=3.

（2）設(shè)AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)。，因?yàn)辄c(diǎn)〃為AABC的重心，所以點(diǎn)。為BC中點(diǎn),

又因?yàn)?加=2有，所以AD=3幣.

在AASC中，由/?2+C2—〃2=be和Q=6,可得歷=拉+C2一36.

在/\ABD和△AC。中，有cosZADB=-cosZADC,

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

由余弦定理可得"+MJ=_32+GG*

2x3x362x3x3/

故加+C2=72,

所以凱?=b2+c2-36=72-36=36,

所以^ABC的面積為:bcsinA=x36xsin—=94.

【分析】（1）連接EC交8。于N,連接MN,根據(jù)條件證明MN//PE即得；

（2）先證明PEL平面ABC。，依題建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，分別求得平面/MB

與平面的法向量，最后由空間向量的夾角公式求解即得.

【詳解】（1）

如圖，連接EC交8。于N,連接MN,由E是AO的中點(diǎn)可得OE=；AO=；BC=1,

易得eDEN與ABCN相似，所以EN=；NC,

又所以MN〃尸E,

又MNu平面BDMJEcZ平面瓦加，所以PE〃平面

(2)

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

因平面PA。_L平面ABC。，且平面PAOc平面ABC。=A。，由上4=P￡>=6，點(diǎn)E是線

段/。的中點(diǎn)可得PE，AD,

又PEu平面PAO,故得尸E_L平面ABCD.如圖，取BC的中點(diǎn)為歹,分別以￡>(,前,百戶為

x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則E(0,0,0),A(1,0,0),D(-1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),P(0,0,2),

PC=(-l,2「2),PM=；PC=，；，m則—:，j，?

設(shè)平面的法向量為q=(彳y/q),由4豆=(0,2,0),41/=[-*|,《

n-AB=2y=0

ii

則———424故可取彳=(1,0,1);

nAM=--x+—y+—z=01

i3i3i3i

設(shè)平面瓦加的法向量為由皿--2,。),*->工

n-BD=-2x-2y=0

222,故可取〃=(1,-1,0).

則---------444

n-BM=—x—y+—z=02

2323232

|------I九"11

故平面AM5與平面3ZW的夾角余弦值為|cos〈q,4〉|=|4『曰=戊正=3,

Iill2I

所以平面AM3與平面8DM的夾角為了

23

17.⑴巴

43

(2)(i)證明見解析；(ii)不可信.

【分析】(1)由條件概率的公式進(jìn)行求解即可;

(2)(i)由*~8000,；]求出E(X)=50,O(X)=25,再結(jié)合切比雪夫不等式即可證明;

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

（ii）設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為X,XB（100,0.9）,由切比雪夫不等式判

斷出尸（X=7O）4尸（X-9O|22O）4-9=0.0225,進(jìn)而可得出結(jié)論.

400

【詳解】（1）記事件A為抽到一件合格品，事件8為抽到兩個(gè)合格品,

“）*。焉尸3=301

330

100

P（AB）_161_23

P（B\A）=

P（A）-301-43

（2）（i）由題：若乂~?100,￡|,則E（X）=5O,￡?（X）=25

又尸（X=%）=€>（1=尸（X=100-k）,

所以尸（04X425）=gp（0VX425或754X4100）=；尸（|X-50|225）

由切比雪夫不等式可知，P（X-50>25）<^=

所以尸（owxwzsb、；

（ii）設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為X,

假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為90%的說法成立，則X-B（100,0.9）,

所以E（X）=90,D（X）=9,

由切比雪夫不等式知，P（X=70）<P（X-90|>20）<—=0.0225,

400

即在假設(shè)下100個(gè)元件中合格品為70個(gè)的概率不超過0.0225,此概率極小，由小概率原理

可知，一般來說在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.

18.（1）。（0,0）是函數(shù)y=lnx的一個(gè)1度點(diǎn)；4（2,0）不是函數(shù)y=Inx的1度點(diǎn)

（2）證明見解析

（3）｛（a,b）|b

=—a或6=

【分析】（1）求出曲線y=lnx在點(diǎn)G,lnf）處的切線方程，該切線過點(diǎn)。時(shí)，列出方程，求

出一個(gè)根，滿足要求，該切線過點(diǎn)A（2,0）,構(gòu)造函數(shù)，解超越方程，無解，不合要求；

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

（2）求出y=sinx在點(diǎn)G,sin/）處的切線方程，轉(zhuǎn)化為-sinf=-/cost無解，構(gòu)造

GG）=sinf-fcosf-n,求導(dǎo)得到其單調(diào)性，證明出無解，故證畢；

（3）求出切線方程，得到y(tǒng)=x3-x的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于f的方程

6-Q一/"）=（3"一1）（<”/"）恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)ZzG）=2f3_3a"+（a+b）,分a=0,

a>0與。<0三種情況，進(jìn)行求解.

【詳解】（1）設(shè)f>。，則曲線y=lnx在點(diǎn)G,lnf）處的切線方程為y-hn=l（xT）.

t

則該切線過點(diǎn)。當(dāng)且僅當(dāng)=即/=e.故原點(diǎn)。是函數(shù)y=lnx的一個(gè)1度點(diǎn)，

該切線過點(diǎn)42,0）,故-lnr=l（2T）,

t

令wG）=flnf-f+2,則w'G）=l+lnf-l=lnf,令w'G）>0得f>1,令w'G）<0得0<f<1,

故tint—t+2在（1,4-QO）上單調(diào)遞增，在（0,1）上單調(diào)遞減，

w（/）=flnf-/+2在x=l處取得極小值，也時(shí)最小值，且w（l）=l>0,

故-lnr=l（27）無解，點(diǎn)A（2,0）不是函數(shù)y=lnx的一個(gè)1度點(diǎn)

t

（2）設(shè)￡〉0,y,=cost,

則曲線y=sinx在點(diǎn)G,sin/）處的切線方程為y-sin/=cost（元一方）.

則該切線過點(diǎn)（0,兀）當(dāng)且僅當(dāng)K—sinr=-?cost（*）.

設(shè)G（f）=sin/-/cosf-7i,則當(dāng)0<f<時(shí)，G'G）=/sinf>0,故,=G。）在區(qū)間（0,兀）上嚴(yán)

格增.

因此當(dāng)0<,<加<兀時(shí)，G（f）<G（）=0,（*）恒不成立，即點(diǎn)（0,兀）是>=8。）的一個(gè)0度

點(diǎn).

（3）y=3x2-1,

對(duì)任意feR,曲線y=x3-x在點(diǎn)（,/3-J處的切線方程為y-G-r）=G?2-i）（x-?）

故點(diǎn)（a,。）為函數(shù)y=x3-x的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于f的方程b-Q7）=（3驍-1）（°_。恰

有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

設(shè)〃G）=2n-3a/2+Q+/?）.則點(diǎn)（a,b）為函數(shù)y=￡-尤的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)y=/?G）兩

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

個(gè)不同的零點(diǎn).

若“=0,則〃0）=213+6在R上嚴(yán)格增，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不合要求.

若a>0,因?yàn)?。）=6/2-68，

由t<0或f>a時(shí)力。）>0得y=%G）嚴(yán)格增;而當(dāng)0<t<a時(shí)/G）<0,得y=^G）嚴(yán)格減.

故y=/?0）在f=0時(shí)取得極大值/?（0）=a+6,在/=。時(shí)取得極小值刀（。）=6+°-°3.

又因?yàn)閖-^^|=-3a^pJ<0,h^a+^[b\a>0,

所以當(dāng)/i（0）>0>/7（a）時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，y=/zG）在（Y）,O）、（0,。）、Q,北）上各有一

個(gè)零點(diǎn)，不合要求；

當(dāng)0>/7（。）>/?（°）時(shí)，y=〃G）僅（。,”）上有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；

當(dāng)/i（0）>/z（a）>0時(shí),y=/zG）僅（田,0）上有一個(gè)零點(diǎn)，也不合要求.

故y=/jQ）兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)〃（0）=?；?z（a）=0.

若”0,同理可得》="/）兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)從。）=?；?。）=0.

綜上，y=x?-x的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合為=—a或b=a3—a,。*。｝.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：針對(duì)一般的函數(shù)新定義問題的方法和技巧：

（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理

解；

（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解

的較為透徹；

（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么

情況下可以使用書上的概念.

19.⑴>=后_喬

372〕

（2）（i）證明見解析；縱坐標(biāo)為0；（ii）--,+0°,

.2J

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】(1)設(shè)直線MN的方程為x=%y+l,聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理和已知關(guān)系即可求解.

(2)(i)由O,M,D,N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為xz+yz+dx+ey=0,

I尤2+y2+dx+ey=0

聯(lián)立'-，消去x,得y4+(4d+16)w+16ey=0,由方程根的思想即可求解.

［產(chǎn)=4x

或O,M,C,N四點(diǎn)共圓，由NMON+NMDN=兀，tanAMON+tanZMDN=0,也可求

解.

(2)(ii)記AOMMA肱⑦的面積分別為S,S,分別聯(lián)立方程先求出S,S,所以

1212

s=q+s?=2dm2+1+2dm2+1.根匹-1|=2加+1(+根機(jī)2-1|),結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一

步化簡(jiǎn)為S=+11+8mz-l|)=16m2-7m2+1,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)而求解.

【詳解】(1)解:設(shè)直線皿：龍=的+1,"。N),?/。，y)

1122

\x=my+1

聯(lián)立:，消去X,得下一4陽(yáng)一4=0,

［尸=4x

所以1+八=4〃“二=-4,

\MF\=3\NF\,則y=-3y

12

y+y=-2y=4m小1

122貝ijg=-,又由題意機(jī)〉0,.,.機(jī)=走

y-y=-3y2=-43

直線的方程是y=>/3%->/3;

(2)(1)方法1:設(shè)A/(x,y),N(x,y),D(x,y)

112233

因?yàn)镺,M,D,N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為12+/+dx+ey=0,

,、[x2+y2+dx+ey=0,,日

聯(lián)立[,消去%，得”+(44+16)產(chǎn)+16◎=0,

[y2=4x

即>(戶+(4d+16)y+16e)=0,

所以々々>3即為關(guān)于丁的方程A+(4d+16)y+16e=0的3個(gè)根，

則>3+(4d+16)y+16e=(y-y)(y-y)(y-y),

12