數(shù)學(xué)解題的“靈魂變奏曲”一轉(zhuǎn)化思想

把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決問題的重要的方法，著名數(shù)學(xué)家、教育家G?波利亞在《怎樣解

題》一書中說道：“不斷地變換你的問題，……，我們必須一再地變換它，重新敘述它、變

換它，直到最后成功地找到有用的東西為止”.我們在解決數(shù)學(xué)問題時，常把復(fù)雜、生疏、

抽象、困難、未知的問題變成簡單、熟悉、具體、容易、已知的問題來解決.這是一種思想

方法，也是一種策略。它把一個數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為另一個數(shù)學(xué)問題，達(dá)到化生為熟，化繁為簡

的目的，不僅可以節(jié)省時間和精力，巧妙簡捷地解題，還可以提高我們的思維水平，培養(yǎng)創(chuàng)

新能力，及分析問題和解決問題的能力。下面例析問題轉(zhuǎn)換幾種基本途徑及方法.

一、等與不等的轉(zhuǎn)化

等與不等的轉(zhuǎn)化主要體現(xiàn)為化不等為相等及化等為不等。在等與不等的矛盾轉(zhuǎn)化中，

基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)等常發(fā)揮著重要作用，它們是聯(lián)系著等與不等的紐帶，是等與不等

矛盾差異間的內(nèi)在聯(lián)系。等與不等是數(shù)學(xué)中兩個重要的關(guān)系，把不等問題轉(zhuǎn)化成相等問題，

可以減少運(yùn)算量,提高正確率;把相等問題轉(zhuǎn)化為不等問題，能突破難點(diǎn)找到解題的突破口。

例1：若正數(shù)3為滿足。占=&+右+3,貝依5的取值范圍是

［解法一］生力為正數(shù)，..a+b>2^b

■：ab=a+b+3■-ab>2y［ab+3,

..(J高1一2疝一3之0,.：、麻(舍去)或必之3,：.ab>9,

此的取值范圍為【9，的.

,a+3a1+3a

b—___________

【解法二】由a3=a+"3,得a_]；..ab=a-\且a>1

■.^=a-l+—+5>2.L-1).—+5=9

a-\ra-\

當(dāng)且僅當(dāng)口-L,即a=3時取等號

則就的范圍為區(qū)的

【點(diǎn)評】：將一個等式轉(zhuǎn)化為一個不等式，是求變量取值范圍的一個重要方法。

鞏固練習(xí)題：已知x,y同為非負(fù)數(shù)，且滿足也(一+1)+也('+4)=也加，求x,y的值。

(\11產(chǎn)

例2：已知a,b,c均為正整數(shù)，且d+加+/+48<4a+6b+12c,求I。b的值.

【解答】因?yàn)樵坏仁絻蛇吘鶠檎麛?shù)，所以不等式儲+b2+/+48<4a+6H12c

與不等式〃+62+標(biāo)+48+644+66+12。等價(jià)，這個等價(jià)不等式又可化為

a=2.

b=3于是可得

(a-2)2+(/?-3)2+(c-6)2+(c-6)2<0,小=，

【點(diǎn)評】將等式與不等式對應(yīng)轉(zhuǎn)化，是轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題常用的、有效的手段.

二、正與反的轉(zhuǎn)化

解決某些問題時，若按習(xí)慣從“正面進(jìn)攻”難已解決或運(yùn)算繁雜。此時可從相反的方向

去探求，有可能會轉(zhuǎn)化為我們較熟悉或簡單的問題。2、正與反的相互轉(zhuǎn)化

對于那些從“正面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較難的問題，可先攻其反面，從而使正面問題

得以解決。

當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題從正面處理較難時，不妨從反面思考，如逆推法、分析法、反證法、補(bǔ)集法

等都是重要的反面思維方法.

例3已知拋物線y=K+4ar—4a+3,y=9+(〃-Dx+/，)=犬+26一2a中至少有一條與

x軸相交，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

分析：此題先從正面入手，要對各種可能性逐一分析，相當(dāng)繁瑣.若逆向思維求其反面：求三條

拋物線都不與x軸相交時a的取值范圍.再求其補(bǔ)集，則簡潔得多.

解：先求結(jié)論的反面，都無交點(diǎn)，即

A=(44)2—4(3—4a)<0

(=(a-I)2-4a2<0

3

A=(2a)2+8a<0

3)解得一2<“<—1.

故所求a的取值范圍是aW—2或?！芬?.

例4：在由數(shù)字0,I,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的共有

__________個。

【分析】：以前我們做過能被5整除的排列組合題，先按照以前做過的方法求出能被5

整除的數(shù)的個數(shù)，再求出所有的四位數(shù)的個數(shù)，就能求出符合條件的數(shù)的個數(shù)。

解：有0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的所有四位數(shù)共有聞?@=60。個，其中

能被5整除的，即個位數(shù)為0,5的數(shù)有力；+.4=216個，所以不能被5整除的數(shù)有600

—216=384個。

【點(diǎn)評】此題從正面入手也行，但把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，做起來更加得

心應(yīng)手。另外，在考試時用正反兩種方法，可以提高準(zhǔn)確率。

鞏固練習(xí)題：若曲線y的所有弦都不能被直線'^=耀仁一3)垂直平分，求變量m

的取值范圍。

例5：試求常數(shù)機(jī)的范圍，使曲線y=f的所有弦都不能被直線)'=機(jī)(x一3)垂直平分.

分析：“不能”的反面是“能”，被直線垂直平分的弦的兩端點(diǎn)關(guān)于此直線對稱問題轉(zhuǎn)化為“拋

物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=，"(x-3)對稱，求加的取值范圍”.再求出機(jī)的取值集合

的補(bǔ)集即為原問題的解.

解：拋物線上兩點(diǎn)（制，勺）、（及，町）關(guān)于直線y=m（x—3）對稱，滿足

々+X23

才+x；=m(xx4-x2-6)

11

-xm

2,即m

2x；+—x,H—T-+6m+1=0

消去X2，得活m

(2_-81-^y+6也+1

；xiGR,△='也>0,

2

(2w+l)(6w2—2m+1)<0><*.m<—2

2

即當(dāng)機(jī)＜—5時，拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=皿x—3）對稱.

2

而原題要求所有弦都不能被直線垂直一部分，那么所求，"的范圍為〃?》一5.

很多的數(shù)學(xué)問題，如果直接從正面入手求解，難度較大，致使解題思路受阻，但如果轉(zhuǎn)化為考

慮問題的反面，則往往可以將問題輕松解決.數(shù)學(xué)解題中的反證法、補(bǔ)集法等體現(xiàn)的就是這

種思想.

正向向逆向轉(zhuǎn)化

一個命題的題設(shè)和結(jié)論是因果關(guān)系的辨證統(tǒng)一，解題時，如果從下面入手思維受阻，不妨從

它的正面出發(fā)，逆向思維，往往會另有捷徑。

例6：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，不共面的取法共有

___________種。

A、150B、147C、144D、141

分析：本題正面入手，情況復(fù)雜，若從反面去考慮，先求四點(diǎn)共面的取法總數(shù)再用補(bǔ)集思想，

就簡單多了。

1種,其中面ABC內(nèi)的6個點(diǎn)中任取4點(diǎn)都共面有

解：10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)取法有種,

同理其余3個面內(nèi)也有種，又，每條棱與相對棱中點(diǎn)共面也有6種，各棱中點(diǎn)4點(diǎn)共面

的有3種，：不共面取法有—-6-3=141種，應(yīng)選（D）。

三動與靜的轉(zhuǎn)化

運(yùn)動與靜止的相互轉(zhuǎn)化普遍存在于客觀世界中，動與靜的轉(zhuǎn)化是解題的重要策略之一，它包

括

化靜為動，化動為靜兩個方面，適時的進(jìn)行動靜轉(zhuǎn)化，常常會收到奇妙的效果。

例7：對于拋物線尸=4十上任意一點(diǎn)Q,如果點(diǎn)P（a,0）滿足忸°但則,則a的取

值范圍是（）

A（_0°,0）B（一8,2]c[。,2]D（。,2）

【分析】：依題意，點(diǎn)。是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是軸上的定點(diǎn)，而當(dāng)求a的取值范圍時，

又考慮點(diǎn)P的可動性，把a(bǔ)看成是不等式的未知量來求解。

解：設(shè)Q3匕，八我則闈之同等價(jià)于不等式1,即

/（y2+16-8a）>0,a<^-+2片+2

’8，對于任意實(shí)數(shù)y恒成立，從而a只要小于或等于8

的最小值，所以a?（-8,2],選B

【點(diǎn)評】：從代數(shù)角度來看，動與靜的轉(zhuǎn)化相當(dāng)于變量與常量的轉(zhuǎn)化。

鞏固練習(xí)題：過圓*2+刀2=廠2的內(nèi)部一點(diǎn)作動弦AB,過A,B分別作圓的切線，

求兩切線的交點(diǎn)P的軌跡方程

四主與次的轉(zhuǎn)化

利用主元與參變量的關(guān)系，視參變量為主元（即參變量與主元的角色轉(zhuǎn)換），常使問題柳暗

花明。

例8：已知函數(shù)『3=/+"+1,當(dāng)。6[0,2]時，_/（"）>°恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值

范圍。

解：若視a為主元，X為輔元，/3即可轉(zhuǎn)化為8（。）=初+*2+1。

當(dāng)x=0時，g（a）=l>0恒成立，

Y當(dāng)X。。時，g（a）是關(guān)于白的一次函數(shù)，所以當(dāng)ae[0，2]時恒成立等價(jià)于

'g（O）>0fx2+l>0

昌⑵>°即"+2x+l>0x的取值范圍為xe

【點(diǎn)評】：此方法在解決原函數(shù)與反函數(shù)的問題時也很實(shí)用。

鞏固練習(xí)題：設(shè)不等式2為一1>根（爐一1）對滿足忸區(qū)2的一切實(shí)數(shù)m均成立，求實(shí)數(shù)x的

取值范圍。

主元向輔元的轉(zhuǎn)化

主元與輔元是人為的相對的，可以相互切換，當(dāng)確定了某一元素為主元時，則其他元素是

輔元。

例9：已知關(guān)于x的方程：x3-ax2-2ax+a2-1=0有且僅有一個實(shí)根，求實(shí)豺的取

值范圍。

分析：顯然，題目中的X是主元，&為輔元，但方程中X的最高次數(shù)為3,求根比較困難，

注意到a的最高次數(shù)為2,故可視以為主元，原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于4的二次方程。

解：原方程可代為白？—+2x)a+/-1=0,解得a=x—l或a=x*+x+l,即

x=a+l或，+x+l-a=0,?.?原方程有唯一實(shí)根，：/+x+l-a=0無實(shí)根，

3

：.AY0,即aY-

4

五原命題與逆否命題的轉(zhuǎn)化

由于原命題與逆否命題等價(jià)，因此我們在判斷原命題的真假有困難時，可以通過判斷逆否命

題達(dá)到目的。

例10：已知函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)，a,畫R,綱(幻+/0)2」(-。)+」(一9，則

a+b>0,試判斷該命題的真假。

【分析】：直接判斷原命題的真假難以入手，若改為判斷逆否命題，就比較方便。

解：原命題的逆否命題是：己知函數(shù)/(*)是R上的增函數(shù)，若a+b<0,,則

判斷：函數(shù)是/(*)是R上的增函數(shù)，且a,bCR,a+b<0,即

a<-b/(?)</(-^)./(^)</(-?),/(?)+/(^)</(-?)+/(-^)

?,該命題是真命題，原命題也是真命題。

鞏固練習(xí)題：“X?！恪笔恰皊inxWx”的()

A充分非必要條件B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件

六、數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化

通過挖掘己知條件的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)式子的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性解決問題，使問題

簡化.

hTogi。售Togi匕\=log2c

例11、設(shè)3b,c均為正數(shù)，且2,5,12).則()

4a<b<cB.c<b<ac.c<ab<a<c

解析：這里要比較出兒c三個正數(shù)的大小，而由已知條件很難求出。，b,c三個數(shù)的準(zhǔn)確

值。由己知條件可知弧4c分別是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此可利用化

歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的“數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化”來進(jìn)行解題。

答案：在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)為=2、與乃二（5）與

乃=loglX

2及居=1082*的圖象（如圖所示）則以表示的是函數(shù)

必一”與2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，同理有：小表示的是函

1*,

乃=（一）乃=l°gix

數(shù)2與2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，c表示的是函數(shù)

為一（5）與乂=1°82矛交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，則有：a<b<c.故

選Ao

點(diǎn)評：通過發(fā)掘函數(shù)式的幾何意義，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題或幾何問題或解析幾何，然

后利用函數(shù)圖象或幾何圖形來解決，這也是近年來高考中常用的解題方法。

數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題則會變抽象為直觀，使隱含的關(guān)系顯露出來，許多

代數(shù)、三角問題有著幾何圖形背景.因此繪制其圖形來研究問題會顯得十分直觀.反之，把

圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，在一定程度上說，使研究方式程序化.許多幾何問

題可以利用代數(shù)、三角函數(shù)的方法解決，顯得十分簡潔、明確.

例12己知向量^/e,產(chǎn)|=1,對任意fGR,恒有pT|>p口|,則

———

(A)aJ_e(B)aJ_(a-e)

f—f

(C)e_L(a-e)(D)(a+e)j_(a-e)

分析：本題若用常規(guī)方法，較為繁瑣，而運(yùn)用其幾何意義，即數(shù)形結(jié)合法，則能直觀看出答

-.一.

案，產(chǎn)一心|》產(chǎn)一恒成立，AO^AB,從而使問題解決

解：如圖，設(shè)=e,OA=a,OP=te,則對任意『GR,恒有pT一e即

I濟(jì)|》|運(yùn)|,而點(diǎn)尸在直線04上，故否|為垂線段，即°j1_冠，簿，1—e）,

故選（C）.

數(shù)向形的轉(zhuǎn)化

數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，形數(shù)結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要表現(xiàn)形式，通過對已知不等式函

數(shù)等變形，代換處理后，賦于其幾何意義，以形定數(shù)，可以避繁就簡。

例13設(shè)a'C（°」），

求證.J*+/++（1—5）2+J（1-a）2+（1-1）222、巧

分析：不等式右端為2應(yīng)，可看為單位正方形的兩條對角線之和，從題目的整體結(jié)構(gòu)

容易聯(lián)想到勾股定理。

證明：作邊長為1的正方形ABCD,作兩組平行線把正方形分成四個矩形，那么不等式左端

廠a=b=-

=(PA+PC)+(PB+PD)之AC+BD=2d2,當(dāng)且僅當(dāng)p在正方形中心處，即2時,

“等號”成立。

七、特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化

對于那些結(jié)論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題，可先用特殊情形探求解題思路或命題結(jié)

論，再在一般情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉。

例14在平面直角坐標(biāo)系X。中，已知△松C的頂點(diǎn)工(-4,0)和C(4,o),頂點(diǎn)8在橢圓

x2y2sinj4+sinC

—+—=1----------=

259上，則sin5.

解析：這里頂點(diǎn)3是橢圓上的動點(diǎn)，所以smH、sin5,sinC不易確定。但根據(jù)“一般

成立特殊一定成立”可將這個一般性的問題轉(zhuǎn)化化歸為B點(diǎn)在特殊位置(橢圓短軸端點(diǎn))

來處理較易。

當(dāng)然：注意到4、C是兩焦點(diǎn)，利用正弦定理，進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化也能取得很好的效果.

,B4

sin.4=sinC=cos-=-sin—=

答案：頂點(diǎn)B取橢圓短軸端點(diǎn)，即'(°，司則2525

BB3424sinj4+sinC5

sinb=2sin—cos—=2x—x—=—/.----------=—

225525,sin￡4

點(diǎn)評：象這種“特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常應(yīng)用。

一般與特殊，辯證轉(zhuǎn)化

辯證思維告訴我們，事物發(fā)展總存在一般性和特殊性，且可以互相轉(zhuǎn)化.一般性寓于特殊性

之中，有些一般性問題很難找到解題方法，不妨將其向特殊方向轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化在選擇題及

填空題中比較常見.

A+B.不

tan-----=sinC

例15(1)在"SC中，已知2,給出以下四個論斷：

①tan-4，cotB=l②0<sin』+sin3V近

③sin2j+cos?B=1@cos2cos25=sin2C

其中正確的是

(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③

⑵的外接圓的圓心為。兩條邊上的高的交點(diǎn)為“，OH=m(OA+OB+OC)則

實(shí)數(shù)m=.

分析：本題的兩個小題直接從條件出發(fā)推理，顯然是小題大做，在考場上就會浪費(fèi)寶貴的時

間.對于客觀題完全可用特殊化法加以解決，即選擇特殊的直角三角形即可.

解：⑴取符合題意的直角三角形，令A(yù)=30?8=60?C=90?則①tan3（Rot60半1；②sin?l+

1+-^3

sinB=26（0,五］，③sin??。斗cos26件1,④c。/30°+（：。$260°=$111290°.故選出）.

⑵取等腰直角三角形ABC,則外接圓的圓心為斜邊上中點(diǎn)O,兩直角邊上的高為直角頂點(diǎn)

”(C),即有。上+℃=07/即。//—m0H,故m—\.應(yīng)填1.

已知數(shù)列｛〃“｝中，“1=1,an+\=2a“+l.求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和S".

【分析】這個數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但又看到其中既含等差數(shù)列又含等

比數(shù)列：比如把遞推式中的常數(shù)1去掉，則變成等比數(shù)列，把系數(shù)2換成1則變成等差數(shù)列.

為此，破題工作在化歸上尋找入口：向等比（等差）數(shù)列轉(zhuǎn)換.

【解答】在遞推式為+戶2m+1兩邊加1,化為4+什1）=2（跖+1）,數(shù)列｛斯+1｝為等比數(shù)列，

公比q=2.所以a”+l=2"i（ai+1）,B|Ja?=2n-1,且S,=2"-〃-l.

【插語】本數(shù)列的一般形式為：%+產(chǎn)%%+6（后0、1,厚0）,有人稱其為“等差比數(shù)列”.等

差、等比數(shù)列都是它的特例，分別是4=1,或6=0時的特殊情況.用換元法化歸為等比數(shù)列

的“常數(shù)匹配''可用待定系數(shù)法求得：

b

設(shè)a?+1+c=k（an+c）=ka?+k（r^an+\=kan+kc-（r^kc-c=b,c=上-1

對于上題，A=2,因此解得c=l.

【點(diǎn)評】化歸開門體現(xiàn)在本題中：把我們不熟悉的“等差比數(shù)列”化歸到我們熟悉的等

比數(shù)列來解.化歸采用的辦法是換元，實(shí)際上是aZc=b”、=kb..

說來也很滑稽，對中學(xué)生來講，不向“等比（等差）”化歸，還有什么別的出路呢？點(diǎn)

評：數(shù)列是每年高考的必考內(nèi)容。已知數(shù)列的遞推公式或已知數(shù)列前"項(xiàng)和段與斯的關(guān)系

求數(shù)列通項(xiàng)也是常考內(nèi)容。若已知數(shù)列的遞推公式為%=2%-1+8（4夕=°，力*1）的

形式，求數(shù)列的通項(xiàng)時常通過變形使之轉(zhuǎn)化為｛/+'）形式的等比數(shù)列來解決；若已知數(shù)列

前”項(xiàng)和用與即的關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)，則常用用一￡M=%將用與您的關(guān)系式化歸轉(zhuǎn)化

為%與4-1（或松與其-1）間的遞推關(guān)系再進(jìn)一步求解。

抽象向具體轉(zhuǎn)化

有些題目看起來較為抽象，貌似不易解決，但結(jié)合具體數(shù)學(xué)情境，聯(lián)系相知，建立模型，以

啟迪解題思路，尋找解決問題的突破口。

例16：已知Z?艮.為常數(shù)，且1一/（x），問Z（x）是不是周期函數(shù)，若是,

求出周期，若不是說明理由。

zz,s1+/（彳）/鼻1+tan%

/（x+a）=-——tan（x+-）=-------------

分析：由1一」（刈聯(lián)想到41一tanx,找到一個具體函數(shù)，

=tanx及"-而函數(shù)丁=t3nx的周期丁="=4。猜想〃x）是一個周期為4白

的函數(shù)。這樣方向明，思路清。

證明:（…"途'""+小序4=一行,

:y（x+4a）=/［（X+2a）+2a］=-7T=/（x）,；J（x）的周期7=4a

J（x+2a）

個別向一般的轉(zhuǎn)化

華羅庚說過：“善于退，足夠地退，退到起始，而不失去重要地步，是學(xué)好數(shù)學(xué)的決竅?！?/p>

對于表面上難于解決的問題，需要我們退步考慮，研究特殊現(xiàn)象，再運(yùn)用分析歸納、遷移、

演繹等手法去概括一般規(guī)律，使問題獲解。

例17：已知數(shù)列LJ（%e獷）是首項(xiàng)為外,公比煩的等比數(shù)列。

1）求和：。鬲+。2庭

2）由（1）的結(jié)果歸納出關(guān)于正整數(shù)花的一個結(jié)論，并加以證明。

分析?（1）旬“：_"2,；+&c：=的—2。遂+的［2=%（1-q）2（q=2）

同理可得:4103_。2。3+。2。3_。4。3=a4一9）3（附=①

猜想：溫一城+溫-....+=的（1-“

證明：呼：一町4+。3。；一...+（-1）*%+冏=叩：-4渦+--（-1）*,亦；

=的閃-qc；+1%；-....+（-1）*/4=%（1一g）“

八、整體與局部的相互轉(zhuǎn)化

整體由局部構(gòu)成，研究某些整體問題可以從局部開始。

零整割補(bǔ)變換，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

求解幾何問題，如果僅根據(jù)題目給出的圖形解題困難時，可考慮將圖形按一定規(guī)則分割成若

干個簡單圖形或通過增添輔助線、而補(bǔ)成一個簡單幾何體，把問題轉(zhuǎn)化為我們所熟知或易于

研究的問題，從而化繁為簡.這種方法是解幾何綜合題的常用的重要方法.：局部向整體的

轉(zhuǎn)化

從局部入手，按部就班地分析問題，是常用思維方法，但對較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題卻需要從總體

上去把握事物，不糾纏細(xì)節(jié)，從系統(tǒng)中去分析問題，不單打獨(dú)斗。

例18一個四面體所有棱長都是J5,四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球表面積為（）

A、3kB、4開口3、麗D、6k

分析：若利用正四面體外接球的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形去求解，過程冗長，容易出錯，但把

正四面體補(bǔ)形成正方體，那么正四面體，正方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn)，因?yàn)檎?/p>

面體棱長為正，所以正方體棱長為1,從而外接球半徑為五-3",應(yīng)選(A)。

例19如圖，在多面體A8CDE尸中，已知ABCQ是邊長為1的正方形，且

LADE、△BCF均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為(

V2乖43

(A)3(B)3(C)3(D)2

分析：本題所給幾何體運(yùn)用中學(xué)知識，無法直接體積公式加以計(jì)算，這時需用割補(bǔ)

變換，實(shí)施轉(zhuǎn)化，可分割為兩個等積的三棱錐和一個三棱柱，故所求多面體的體積為此三部

分體積之和.

解：如圖，過BC作EF的直截面BCG,作面ADW〃面BCG,

1

F0=2,FG=2,

1x1x2^=^

■JFO2-FG2=—

：.GO=2224,

X=VBCG-ADM=S&BCG?AB=V2=2^F_SCG=2x-x-^-x-=

3,故選(A).

點(diǎn)評：本題運(yùn)用典型的分割法，即將一個幾何體分割成若干個簡單幾何體，使問題顯現(xiàn)在其

中之一內(nèi)，其思想方法是“化整為零，各個擊破”.

例20設(shè)函數(shù)/(幻的圖象與直線及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)人r)在［m例上

穴227r

的面積，已知函數(shù)〉=$指內(nèi)在［0,打上的面積為閥("GN*),(Dy=sin3x在10,3］上的面積

7T4開

為—：⑵產(chǎn)sin(3x—k)+1在［3,3］上的面積為.

分析：本題是一道很好的理性思維信息開放性定義型題，能很好地考查學(xué)生

分析思維能力及割補(bǔ)法.

7F2

解：⑴由新定義的面積公式，知〉=$萬3X在［0,3］上的面積為3,據(jù)對稱性,

y=sin3x在［0,竺］上的面積為2x2=-

故得333

7T4開

⑵由誘導(dǎo)公式，得y=—sin3x+l,如圖，由定義知在［3,3］上的面積為+S2+S3+S4,

2

由對稱性知$4=55,根據(jù)割補(bǔ)法得Si+S2+S3+S4=S|+"?席觸CD=3+開.

點(diǎn)評：本題把已知不規(guī)則的圖形適當(dāng)?shù)卦黾虞o助線y=l,而使之成為一個完整的特殊的幾

何圖形，這樣便于從整體出發(fā)，揭示圖形的內(nèi)在聯(lián)系，使問題得到解決.此法指導(dǎo)思想是“聚

零為整，統(tǒng)籌考慮”.

九、高維與低維的相互轉(zhuǎn)化

事物的空間形成，總是表現(xiàn)為不同維數(shù)且遵循由低維想高維的發(fā)展規(guī)律，通過降維轉(zhuǎn)化，可

把問題有一個領(lǐng)域轉(zhuǎn)換到另一個領(lǐng)域而得以解決，這種轉(zhuǎn)化在復(fù)數(shù)與立體幾何中特別常見。

空間與平面，維數(shù)轉(zhuǎn)化

在高等代數(shù)中常見有高維數(shù)的問題，如果把它向低維問題轉(zhuǎn)化，問題往往變得簡單、明了.最

簡單的由三維向二維空間轉(zhuǎn)化，即把三維的空間的立體圖形轉(zhuǎn)化為二維的平面圖形來研究，

也是研究立體幾何問題的重要方法之一.

例21一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為”,則球的表面積為（）

（A徵信（B）阮?4、②F（D）4k