解微分方程的歐拉法，龍格-庫塔法簡單實(shí)例比擬歐拉方法〔Eulermethod)用以對給定初值的常微分方程(即初值問題)求解分為前EULER法、后退EULER法、改良的EULER法。

缺點(diǎn)：

歐拉法簡單地取切線的端點(diǎn)作為下一步的起點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)步數(shù)增多時(shí)，誤差會因積累而越來越大。因此歐拉格式一般不用于實(shí)際計(jì)算。

改良?xì)W拉格式〔向前歐拉公式〕：

為提高精度，需要在歐拉格式的根底上進(jìn)行改良。采用區(qū)間兩端的斜率的平均值作為直線方程的斜率。改良?xì)W拉法的精度為二階。

算法：微分方程的本質(zhì)特征是方程中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，數(shù)值解法的第一步就是設(shè)法消除其導(dǎo)數(shù)值。對于常微分方程：可以將區(qū)間分成段，那么方程在第點(diǎn)有，再用向前差商近似代替導(dǎo)數(shù)那么為：在這里，是步長，即相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的距離。因此可以根據(jù)點(diǎn)和的數(shù)值計(jì)算出來：這就是向前歐拉公式。改良的歐拉公式：將向前歐拉公式中的導(dǎo)數(shù)改為微元兩端導(dǎo)數(shù)的平均，即上式便是梯形的歐拉公式?？梢?，上式是隱式格式，需要迭代求解。為了便于求解，使用改良的歐拉公式：數(shù)值分析中，龍格－庫塔法〔Runge-Kutta〕是用于模擬常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。實(shí)際上，龍格-庫塔法是歐拉方法的一種推廣，向前歐拉公式將導(dǎo)數(shù)項(xiàng)簡單取為,而改良的歐拉公式將導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取為兩端導(dǎo)數(shù)的平均。龍格-庫塔方法的根本思想：在區(qū)間內(nèi)多取幾個(gè)點(diǎn)，將他們的斜率加權(quán)平均，作為導(dǎo)數(shù)的近似。龍格庫塔法的家族中的一個(gè)成員如此常用，以至于經(jīng)常被稱為“RK4”或者就是“龍格庫塔法”。令初值問題表述如下。那么，對于該問題的RK4由如下方程給出：其中這樣，下一個(gè)值由現(xiàn)在的值加上時(shí)間間隔和一個(gè)估算的斜率的乘積決定。該斜率是以下斜率的加權(quán)平均：是時(shí)間段開始時(shí)的斜率；

是時(shí)間段中點(diǎn)的斜率，通過歐拉法采用斜率來決定在點(diǎn)的值；

也是中點(diǎn)的斜率，但是這次采用斜率決定值；

是時(shí)間段終點(diǎn)的斜率，其值用決定。

當(dāng)四個(gè)斜率取平均時(shí)，中點(diǎn)的斜率有更大的權(quán)值：RK4法是四階方法，也就是說每步的誤差是階，而總積累誤差為階。注意上述公式對于標(biāo)量或者向量函數(shù)(可以是向量)都適用。例子：下面給出了數(shù)值求解該微分方程的簡單程序。其中分別為向前歐拉公式，改良的歐拉公式，4級4階龍格-庫塔公式及精確解。結(jié)果分析：圖1中顯示在時(shí)，3種算法與精確值較接近，即誤差不大，但當(dāng)繼續(xù)增加時(shí)那么4級4階龍格庫塔法較精確，但也有一定限度，當(dāng)時(shí)，計(jì)算值與精確值得差異將越來越大