L4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題

第2課時(shí)

課堂檢測(cè)?固雙基

1.平面。的斜線1與它在這個(gè)平面上射影，的方向向量分別為a=

(1,0,1),b=(0,1,1),則斜線/與平面。所成的角為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

2.已知向量出Z?分別是直線/和平面a的方向向量和法向量，若cos〈m,

ri)=—?jiǎng)t/與a所成的角為()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

3.直線1的方向向量&=(1,—1,1),直線A的方向向量昆=(1,2,-1),

設(shè)直線Z與4所成的角為。，則()

?“一

A.sin。一一B.sin0

「n蛆

n〃

C.COSu一I).COSu一

00

4.在三棱錐尸一/8。中，ABLBC,AB=BC=^PA,點(diǎn)0,〃分別是力C,尸。的

中點(diǎn)，以上底面480,則直線勿與平面4%所成角的正弦值為—.

5.如圖，在四棱錐尸一/靦中，P8上底面CDLPD,底面/發(fā)力為直

角梯形，AD//BC,ABLBC,AB=AD=PB=3.點(diǎn)E在棱PA上,且"=2劭.求平

面力砥與平面〃座夾角的余弦值.

p

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測(cè)

一、選擇題

1.（多選題）已知「為直線/的方向向量，2分別為平面。，￡的法向

量（。，尸不重合），則下列選項(xiàng)中，正確的是（）

A.nJn,ga〃￡B.zz,±a_L￡

C.v//n^l//aD.vS_n^l//a

2.若平面a的一個(gè)法向量為功=（1,0,1）,平面尸的一個(gè)法向量是生=（一

3,1,3）,則平面a與￡所成的角等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

3.已知3（0,1,1）,8（2,-1,0）,-3,5,7）,"（1,2,4）,則直線4?和直線

切所成角的余弦值為（）

5^225^22

6666

5^225^/22

J22U,22

4.已知正方形48口所在平面外一點(diǎn)尸，為，平面4先〃若PA=AB,則平

面為8與平面尸切的夾角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

5.在正方體/時(shí)一48C〃中，MN分別為49,G〃的中點(diǎn)，。為側(cè)面8%合

的中心，則異面直線階與2所成角的余弦值為（）

11

--

A.6B.4

II

D.

c.64

二、填空題

6.如圖，在正三棱柱48C—4/G中，已知/6=1,點(diǎn)〃在棱防上，且切

=1,則助與平面皿GC所成角的正弦值為一.

7.在空間中,已知平面。過(guò)點(diǎn)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a

>0),如果平面a與平面的夾角為45°,則a=—.

8.如圖，已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)/、B,線段劭分別在這

個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB,AB=4cm,AC=Gcm,BD=8cm,

CD=2y/17cm,則這個(gè)二面角的度數(shù)為___.

三、解答題

9.(2020?衡陽(yáng)市高三聯(lián)考)如圖1,平面四邊形胡龍中，C為BE上一點(diǎn),

△48。和均為等邊三角形，EC=2CB=2,M,川分別是比和力的中點(diǎn)，將

四邊形物應(yīng)1沿座1向上翻折至四邊形物'D'￡的位置，使二面角〃'-BE-D

為直二面角，如圖2所示.

圖1圖2

(1)求證"4〃平面〃'助9；

⑵求平面力'與平面〃'龍所成角的正弦值.

10.(2020?全國(guó)HI卷理，19)如圖，在長(zhǎng)方體/以力一〃中，點(diǎn)￡,F分

別在棱㈤，郎上，旦2DE=ED\,BF=2FB、.

（1）證明：點(diǎn)G在平面/項(xiàng)內(nèi);

（2）若/6=2,AD=\,AAt=3,求二面角/一爐的正弦值.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.（2021?福建泉州市普通高中質(zhì)量檢測(cè)）正方體48⑦-45G〃中，動(dòng)點(diǎn)M

在線段4c上，E,b分別為如，4〃的中點(diǎn).若異面直線）與所成的角為0,

則〃的取值范圍為（）

JIJTnJI

"T

jiJIJlJI

T,~2“可

2.如圖，已知四棱錐產(chǎn)一力交9的底面力時(shí)是等腰梯形，AB//CD,且

BD,AC與劭交于0,尸O_L底面46"，PO=2,AB=2y[2,E,尸分別是46,4P的

中點(diǎn).則平面網(wǎng)應(yīng)與平面煙夾角的余弦值為（）

3

3.正方體力及刀一4AG〃中，二面角力一物一瓜的大小為（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

4.（多選題）如圖，多面體如龍C中，AB=CD=2,AD=BC=2木,AC=BD=

而,且如，OB,%兩兩垂直，則下列結(jié)論正確的是（）

A.三棱錐尸4a'的體積是定值

B.球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)4B,C,〃四點(diǎn)的球的直徑是小

C.直線仍〃平面ACD

D.二面角/一%一。等于30°

二、填空題

5.已知在長(zhǎng)方體力犯9—4身G〃中，AB=\,BC=2,皿=4,6是側(cè)棱CQ

的中點(diǎn)，則直線力少與平面4他所成角的正弦值為—.

6.如圖，四面體48⑺中，E,歹分別為18,加上的點(diǎn)，且4￡=應(yīng)；CF=

2DF,設(shè)應(yīng)=a,DB=b,DC=c.

（1）以｛a,b,c｝為基底表示旗則走=

②若/ADB=/BDC=/ADC=6C,且|而|=4,|龐|=3,|比|=3,則|應(yīng)'

7.在正方體/況72—4AG〃中，則46與平面4A5所成角的大小為.

三、解答題

8.如圖，四棱柱48（小的所有棱長(zhǎng)都相等，ACCBD=O,

=。，四邊形/陽(yáng)4和四邊形加〃石均為矩形.

(1)證明：a。，底面口;

(2)若/物=60°,求平面G仍與平面啰。夾角的余弦值.

9.如圖，在四棱錐尸一/頗中，/_1平面/灰力，AD//BC,ADVCD,且/〃

=CD=y[i,BC=2\[i,PA=2.

⑴取房的中點(diǎn)M求證：〃平面必8；

(2)求直線與外所成角的余弦值；

(3)在線段PD上,是否存在一點(diǎn)也使得平面物C與平面力切的夾角為45°?

如果存在，求出“"與平面物。所成角的大??；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

L4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題

第2課時(shí)

保1驗(yàn)測(cè)」固雙基

1.平面a的斜線1與它在這個(gè)平面上射影1'的方向向量分別為a=

(1,0,1),b=(0,1,1).則斜線/與平面。所成的角為(C)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］］與。所成的角即為a與8所成的角(或其補(bǔ)角)，因?yàn)閏os〈a,b)

ab1

所

-以

司

引-(a,b)=60°./與。所成的角為60°.

*I2J

_

2.已知向量q，A分別是直線/和平面。的方向向量和法向量，若COS(227,

4=一/則/與。所成的角為(A)

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析］由已知得直線1的方向向量和平面。的法向量所夾銳角為60°,

因此/與a所成的角為30°.

3.直線3的方向向量&=(1,—1,1)，直線A的方向向量包=(1,2,-1),

設(shè)直線Z與4所成的角為，,則(D)

A.sinB.sin

C.cosD.cos

3

ai?&1—2-1—2

［解析］Vcos〈a”

I\a2\~y[3-y[Q~3y[2~3.

..cos

ABLBC,AB=BC=；PA,點(diǎn)0,〃分別是47,%的

4.在三棱錐尸一4?。中,

中點(diǎn)，以底面4式；則直線如與平面火所成角的正弦值為

［解析］以。為原點(diǎn)，射線如OB,0P為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖，

可求得平面如。的法向

量為n—一1,L

Ob-nV2W

所以cos(0b,ri)

\~0D\|n|30

設(shè)應(yīng)與平面次所成的角為明則sin6=舞.

5.如圖，在四棱錐尸一力靦中，陽(yáng)，底面/靦，CDLPD,底面力比7?為直

角梯形，AD//BC,ABLBC,AB=AD=PB=3.點(diǎn)E在棱PA上,且掰=2劭.求平

面/應(yīng)'與平面〃龍夾角的余弦值.

［解析］以6為原點(diǎn)，以直線闈BA,即分別為x,y,z軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系.則尸(0,0,3),的0,3,0),的3,3,0).

設(shè)平面￡切的一個(gè)法向量為z?i=(x,y,z),

22

因?yàn)閼?yīng)'=帝+照=詼+不必=(0,0,3)+5(0,3,-3)=(0,2,1),BD=

OO

⑶3,0),

Z7|<礪=0,

由，C：：Z

Z7i,BD=0,

又因?yàn)槠矫媪κ┑囊粋€(gè)法向量為d=(1,0,0),

1

所以cos所,所

設(shè)平面力龍與平面度的夾角為9,

貝Ucos0=|cos〈A,n)I=乎,故所求夾角的余弦值為書

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測(cè)

一、選擇題

1.(多選題)已知「為直線/的方向向量，2分別為平面。，￡的法向

量(。，￡不重合)，則下列選項(xiàng)中，正確的是(AB)

A.nJn-aHBB.〃i_Lm=a_L￡

C.v//n^l//aD.匕l(fā)_Ai=/〃a

［解析］對(duì)于A,平面。，￡不重合，所以平面。，￡的法向量平行等價(jià)于

平面a,￡平行，A正確；對(duì)于B,平面。，。不重合，所以平面a,￡的法向

量垂直等價(jià)于平面a,￡垂直，B正確；對(duì)于C,直線的方向向量平行于平面的

法向量等價(jià)于直線垂直于平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,直線的方向向量垂直于平面的

法向量等價(jià)于直線平行于平面或直線在平面內(nèi)，D錯(cuò)誤.故選AB.

2.若平面a的一個(gè)法向量為功=(1,0,1),平面￡的一個(gè)法向量是生=(一

3,1,3),則平面。與f所成的角等于(D)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］因?yàn)閆7i?lk=(1,0,1)?(—3,1,3)=0,所以a_1_￡,即平面。與

￡所成的角等于90°.

3.已知3(0,1,1),8(2,-1,0),以3,5,7),〃(1,2,4),則直線和直線

切所成角的余弦值為(A)

5廬5^22

A.B.

6666

5廬5^22

C.D.

2222

［解析］加=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),

AB*CD55展

而cos(AB,CD)——I——

\AB\\CD\3X^22a6a6

故直線48和切所成角的余弦值為警.

4.已知正方形485所在平面外一點(diǎn)尸，為，平面/比。若PA=AB,則平

面為8與平面尸修的夾角為（B）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)為=/8=1,

則4(0,0,0),〃(0,1,0),尸(0,0,1),

.?.9=(0,1,0).

取外的中點(diǎn)E,

則

.?.龍=卜,*I］,

易知做平面為6的一個(gè)法向量，癥是平面尸切的一個(gè)法向量，所以cos〈質(zhì),

AE）=t,故平面用6與平面A力的夾角為45°.

乙

5.在正方體4A勿一4AG〃中，M/V分別為G〃的中點(diǎn)，。為側(cè)面式'GA

的中心，則異面直線就與如所成角的余弦值為（A）

11

--

A.6B.4

II

D.

c.64

［解析］如圖，以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以％,DC,〃〃所在直線為x,y,z

軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則以1,0,0),M0,1,2),0(1,2,1),

D、(0,0,2),

強(qiáng).而1

：.MN={-1,1,2),碗=(—1,一2,1).則COS<MN,0D^=

I硼I初季X乖

異面直線MN與0D\所成角的余弦值為:，故選A.

66

二、填空題

6.如圖，在正三棱柱/式」4月C中，已知46=1,點(diǎn)〃在棱防上，且加

=1,則/〃與平面加《。所成角的正弦值為

［解析］解法一：取他4G的中點(diǎn)以M,連接網(wǎng)、BM.過(guò)〃作〃V〃顏

則容易證明隴，平面44GC連接ZM則/的A'就是4〃與平面A4CC所成的角.

A

在Rt△%N中,

也

ND2J6

six\ADAN=—=-f==xr.

前巾4

解法二：取點(diǎn)、4G中點(diǎn)0、E,則OBA.AC,位上平面/8C,以。為原點(diǎn)OA、

OB、應(yīng)'為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

在正三角形46。中，BM=

七,0,0,o,乎,0)

?.加6乎

7

又平面/4GC的法向量為e=(0,1,0)，

設(shè)直線與平面44GC所成角為〃，則

\AD-e|^6

sin0—|cos{AD,e)

\AD\?|e|4

解法三：設(shè)威=6,BC=a,BD=c,

由條件知a?6=]a,c=0,b,c=0,

乙

又而=礪一瓦!=c_b,

平面/4GC的法向量詼=；(a+/).

設(shè)直線A9與平面A4CC成角為〃，則

sin〃=|cos(AD,物|=""馴

\AD\?\BM\

,:訕?麗=(c—6)

\AD\2=(c—b)2=|c\2+\b\2—2b?c=2,

：.\AD\=y(2,

11Q

|^/|2=^(a+Z>)2=-(|a|2+|b\2+2a?6)=~,

二@1=算，Asin好羋.

24

7.在空間中,已知平面。過(guò)點(diǎn)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a

12

>0),如果平面。與平面x處的夾角為45°,則

［解析］平面xOy的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),設(shè)平面a的一個(gè)法向量為m

f—3x+4y=0,aa

=(x,y,z),則彳八即3x=4y=az,取z=l,則x=j,y=~,

3xIaz0,J4

1A/2

由題意得Icos{n,m)|=

a2,a2,/O*

—+—+1

916

19

又因?yàn)閍>0,所以a=w~.

5

8.如圖，已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)/、B,線段力仁劭分別在這

個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB,A8=4cm,AC=(5cm,BD=8cm,

CD=2y[17cm,則這個(gè)二面角的度數(shù)為60°.

［解析］設(shè)(充，麗=9,'：CAVAB,ABLBD,

：.AC*AB=BD*AB=Q,(CA,而=180°—明

：.\CD\2=(CA+AB+Bb)2

=\CA\2+\AB\2+\Bb\2+2\CA\\BD\cos(180°—O).

/.(2V17)2=62+42+82+2X6X8X(-COSJ),

/.cos0=^,.?.0=60°.

因此，所求二面角的度數(shù)為60°.

三、解答題

9.(2020?衡陽(yáng)市高三聯(lián)考)如圖1,平面四邊形胡龍中，C為BE上一點(diǎn),

△/a'和均為等邊三角形，EC=2CB=2,M,A,分別是比和力的中點(diǎn)，將

四邊形BADE沿施向上翻折至四邊形BA'D'K的位置，使二面角D'-BE-D

為直二面角，如圖2所示.

圖1圖2

(1)求證/力〃平面〃場(chǎng);

⑵求平面/'46與平面〃'龍所成角的正弦值.

［解析］⑴在等邊△少黨和△"F中，『MICE,DMLCE,D'

所以直線"J_平面。'，切，即直線應(yīng)工平面〃'，"，同理可證直線應(yīng)上平

面4故平面〃',初〃平面/'NA.

又H然平面/A%,從而有4力〃平面。'物9.

(2)如圖，以,"為坐標(biāo)原點(diǎn)，孫，監(jiān)必'所在直線分別為x,y,z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系〃一孫z,易知〃(0,0,0),￡(0,1,0),D電0,0),D'(0,0,

#3、，，3

班),8(0,-2,0),A(-,2?-o'0)，/(3-o,

設(shè)平面4'力6的一個(gè)法向量為e=(x,y,z),

m,前=0y+/z=0

由，得,令z=l,得x=l,y=~\/3,所以

m,瓦1=0#x+y=0

平面/力8的一個(gè)法向量為勿=(1,一木，D.

n?~ED=Q

同理，設(shè)平面〃鹿的一個(gè)法向量為〃=G,必，Z1)，由，

〃?加=0

乖%一％=0

得

.一弘+42|=0

令Z|=1,得為=1,y尸木,

所以平面〃龍的一個(gè)法向量為A=(1,y［3,1).

從而?coshn>?=75r^r=|-||=i

故平面〃與平面〃'龐所成角的正弦值為

10.(2020?全國(guó)III卷理，19)如圖，在長(zhǎng)方體力靦-43G〃中，點(diǎn)￡,F，分

別在棱㈤，防上，且2龐=切，BF=2FB、.

(1)證明：點(diǎn)G在平面/項(xiàng)內(nèi);

⑵若四=2,AD=\,44產(chǎn)3,求二面角力一跖一4的正弦值.

［解析］設(shè)4?=a,AD=b,AAi=c,如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，口的方向?yàn)?/p>

x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz.

《a,0,|cj,/[o,b,例,~EA=

(D連接GE則G(0,0,0),A(a,b,c),

0,b,方=(0,b,-cj,得威=次，

因此￡4〃GE即4E,F,G四點(diǎn)共面,

所以點(diǎn)G在平面4緒內(nèi).

⑵由已知得4(2,1,3),6(2,0,2),AO,1,1),4(2,1,0),A￡=(0,-1,

-1),游=(—2,0,-2),4^=(0,—1,2),誦=(—2,0,1).

設(shè)為=(x,y,z)為平面45F的法向量，則

n?AE=Q,—y-z=0,

t即彳

ni,"=0,—2x—2z=0,

可取〃=(—1,—1,1).

設(shè)心為平面43的法向量，則

ik,森=0,同理可取m=(去2>1

n2,誦=0,

6?2

因?yàn)閏os3,n,)亞

Z7iIIZ?2I7

A/42

所以二面角/一切J4的正弦值為七一.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.(2021?福建泉州市普通高中質(zhì)量檢測(cè))正方體ABCD-ABC?中,動(dòng)點(diǎn)"

在線段4。上，E,F分別為。以,4〃的中點(diǎn).若異面直線廝與5"所成的角為0,

則。的取值范圍為(A)

JIJIJIJI

了‘T

JTJIJTJT

r*1

［解析］以〃點(diǎn)為原點(diǎn)，DA,DC,加所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立

空間直角坐標(biāo)系.設(shè)為=2,易得序'=(1,0,-1),設(shè)唬=4以I=(24，-2A,

24)(OW4W1),9(24—2,—24,24)，則cos9—|cosAEP)I，

21

即cos0=~尸―/,,,,=一尸一'/..—

y]2yl(2—2)"+83?—2?+]

(0W4W1),

隹、/3（一%+|

JTJI

所以。的取值范圍為，故選

WUWO,A.

2.如圖，已知四棱錐尸一松力的底面/時(shí)是等腰梯形，AB//CD,且4UL

BD,AC與BD交于0,尸01底面46（勿，P0=2,AB=2y［2,E,尸分別是仍的

中點(diǎn).則平面凡應(yīng)與平面儂夾角的余弦值為（B）

乖

［解析］由題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,0C,。尸所在直線分別為x軸，y

軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題知，0A=0B=2,

EB

則4(0,-2,0),8(2,0,0),尸(0,0,2),，￡(1,一1,0),廠(0,-1,1),

.?.應(yīng)1=(1,-1,0),赤=(0,-1,1),設(shè)平面施產(chǎn)的法向量為H=(X,y,

z),

?旗

m=0,即x—y=0,令可得，

則,L+z=0,xjmi)

m?赤=0,

易知平面勿￡的一個(gè)法向量為n=（0,0,1）,

則cos〈m,而=產(chǎn)￡=2=半，設(shè)平面網(wǎng)應(yīng)與平面叫夾角為。，則

m\n弋33

nI,、?/

COSo=ICOS（227,n）|—"T--

o

3.正方體力叫9—45C〃中，二面角力一8〃一區(qū)的大小為（C）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析］如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)

為a,貝!J/（a,a,0）,為a,0,0）,〃（0,a,a）,5（a,0,a）,

:.廊=(0,a,0),BD\=(—a,a,a),BBi=(0,0,a),

設(shè)平面ABDy的法向量為n=(x,y,z),

則〃?威=(x,y,z)?(0,a,0)=ay=0,

n，BD\=(x,y,z),(—a,a,a)=—ax+ay+az=0,

'.'aWO,.*.y=0,x=z,

令z=l,則〃=(1,0,1)，

同理平面〃砌的法向量9=(-1,-1,0),

/、n-m1

cos{n,m)—i~?------r—

n\,m\2

而二面角4一8〃一5為鈍角，故為120°.

4.(多選題)如圖，多面體如施。中，AB=CD=2,AD=BC=2&AC=BD=

，且力，仍，/兩兩垂直，則下列結(jié)論正確的是（AB）

A.三棱錐A/3C的體積是定值

B.球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)4B,C,〃四點(diǎn)的球的直徑是仃

C.直線仍〃平面ACD

D.二面角/一比'一〃等于30°

［解析］由題意，構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖，設(shè)OA=x,OB=y,OC=z,

則/+/=4,=10,/+Z2=12,

解得x=l,y=小,z=3,

對(duì)于A,三棱錐的體積為;%X/X6(ff=乎，故A正確；

對(duì)于B,球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)4B,C,〃四點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng),

即為正苒而府=標(biāo)，故B正確；

對(duì)于C,由于08〃AE,四和平面/切相交，則仍和平面47?相交，故C錯(cuò)

誤；

對(duì)于D,因?yàn)镈CLOC,所以異面直線切與處所成的角大小為二面

角力一。。一〃的二面角大小，連接陽(yáng)則N加？即為所求，tan/A0E=%=m，

Un

所以N/您'=60°,故D錯(cuò)誤.

二、填空題

5.已知在長(zhǎng)方體力比》—48￡〃中，AB=\,BC=2,14=4,?是側(cè)棱CC、

4

=

的中點(diǎn)，則直線與平面4口所成角的正弦值為

9_-

［解析］在長(zhǎng)方體力8折45G〃中，AB=1,仇7=2,皿=4,￡是側(cè)棱3

的中點(diǎn)，以〃為原點(diǎn)，分別以為，DC,如所在直線為x,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系,4(2,0,0),￡(0,1,2),4(2,0,4),。(0,0,0),4=(2,-1,-2),DAX

=(2,0,4),應(yīng)'=(0,1,2),設(shè)平面4項(xiàng)的法向量為〃=(x,y,z),則〃?總=

2x+4z=0,n?癰=y+2z=G,取z=l,得z?=(—2,—2,1),

設(shè)直線與平面4口所成角為〃，則

/1L、威?A44

sin0-cos\EAyn)-=廣

\EA\\n\79X^99

4

直線42與平面4項(xiàng)所成角的正弦值為1

6.如圖，四面體48口中，E,歹分別為13,加上的點(diǎn)，且CF=

⑴以仿一，c｝為基底表示成則旗==紅紅

(2)若N4加=/故。=//〃。=60。，且|而|=4,|場(chǎng)|=3,|無(wú)1=3,則|應(yīng)'

因?yàn)閼?yīng)'=協(xié)+曲FD=-DF=-}(DC,龐=:(5i+施,

O乙

所以應(yīng)'=--c+-a+-b.

。乙乙

(2)\FE\-=^a+^b—\c^=^+^f+|c2+|a?Z>—?c—^b?c="x4?+；

,,1,11111127

X32+-X322+-X4X3X---X4X3X---X3X3X-=—

<7乙ZJO乙JLJJL

所以I應(yīng)1=乎.

7.在正方體ABCD-ABCD、中，則46與平面45徵所成角的大小為30°

［解析］解法一：連接6G，設(shè)與6c交于。點(diǎn)，連接40.

?:BC、工RC,4劣_1_閱，ABCRC=B,,...為,平面48C，

在平面45切內(nèi)的射影為4，/歷就是48與平面45繆所成的

角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.

在口△兒仍中，AB=取,BO=^T~,

V2

1

也

AsinZOA\B=~^=-2-：.ZOAB=30°.

A\D

即力力與平面45切所成的角為30°.

解法二：以〃為原點(diǎn)，DA、DC、〃〃分別x,必z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則4(1,0,1)、C(0,1,0).

.,.碗=(1,0,1)、DC=(0,1,0).

設(shè)平面4瓜切的一個(gè)法向量為A=(x,y,z),

n,碗=0x+z=Q

則'，令Z=-1得x=1.

n,DC=0go

...A=(1,0,-1),又8(1,1,0),.-.45=(0,1,-1),

TB-n11

cos〈A,&B〉

］而㈤飛.隹一2

",了例=60°,.?.48與平面AA切所成的角為30°.

三、解答題

8.如圖，四棱柱力比-4AG〃的所有棱長(zhǎng)都相等，ACCBD=0,ACCBA

=0\，四邊形力44和四邊形均為矩形.

(1)證明：底面口；

(2)若/物=60°,求平面G圈與平面如〃夾角的余弦值.

［解析］(1)證明：因?yàn)樗倪呅?CG4和四邊形BDDB均為矩形,所以CC\

LAC,DD\LBD,

又CCJDD\"0Q、所以mU2C,OOdB