微專題2概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用第八章

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析概率與統(tǒng)計內(nèi)容在考試考查中逐步呈現(xiàn)出綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性等特點，該題目的設(shè)置常常以社會、經(jīng)濟(jì)、科技發(fā)展為背景，以考生比較熟悉的實際應(yīng)用問題為載體，考查學(xué)生統(tǒng)計圖表的識別，應(yīng)用基礎(chǔ)知識和基本方法分析問題和解決問題的能力，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性.一、統(tǒng)計圖表與正態(tài)分布例1

從某技術(shù)公司開發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)(記為Z)，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)公司規(guī)定：當(dāng)Z≥95時，產(chǎn)品為正品；當(dāng)Z<95時，產(chǎn)品為次品.公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元.記ξ為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤，求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值；解由頻率估計概率，產(chǎn)品為正品的概率為(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ90－30P0.670.33所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表).①利用該正態(tài)分布，求P(87.8≤Z≤112.2)；附：

≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解由頻率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)μ和樣本方差σ2分別為μ＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，σ2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.因為Z～N(100,150)，從而P(87.8≤Z≤112.2)＝P(100－12.2≤Z≤100＋12.2)≈0.6827.②某客戶從該公司購買了500件這種產(chǎn)品，記X表示這500件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[87.8,112.2]內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X).附：

≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解由①知，一件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[87.8，112.2]內(nèi)的概率約為0.6827，依題意知X～B(500，0.6827)，所以E(X)＝500×0.6827＝341.35.反思感悟本題以統(tǒng)計圖表為載體，將正態(tài)分布、二項分布、頻率分布直方圖巧妙的融合在一起，體現(xiàn)了知識的整合性與交匯融合性，搞清這些統(tǒng)計圖表的含義，掌握好樣本特征的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及均值與方差的運算是解決問題的關(guān)鍵.反思感悟本題以統(tǒng)計圖表為載體，將正態(tài)分布、二項分布、頻率分布直方圖巧妙的融合在一起，體現(xiàn)了知識的整合性與交匯融合性，搞清這些統(tǒng)計圖表的含義，掌握好樣本特征的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及均值與方差的運算是解決問題的關(guān)鍵.二、統(tǒng)計圖表與統(tǒng)計分析例2

一家大型超市委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該超市的顧客使用移動支付的情況.調(diào)查人員從年齡在20歲至60歲的顧客中，隨機(jī)抽取了200人，調(diào)查結(jié)果如圖：(1)為推廣移動支付，超市準(zhǔn)備對使用移動支付的每位顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計有10000人購物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計，該超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋？解根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由頻率估計概率，根據(jù)已知可預(yù)計該超市顧客使用移動支付的概率為：∴超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備的環(huán)保購物袋個數(shù)為移動支付年齡合計年齡<40年齡≥40使用

不使用

合計

200(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷在小概率值α＝0.001的獨立性檢驗下，能否推斷使用移動支付與年齡有關(guān)？解補(bǔ)充列聯(lián)表為移動支付年齡合計年齡<40年齡≥40使用8540125不使用106575合計95105200零假設(shè)H0：移動支付與年齡無關(guān)，∵56.17>10.828，∴在小概率值α＝0.001的獨立性檢驗下，可以認(rèn)為使用移動支付與年齡有關(guān).∵56.17>10.828，∴在小概率值α＝0.001的獨立性檢驗下，可以認(rèn)為使用移動支付與年齡有關(guān).(3)現(xiàn)從該超市這200位顧客年齡在[55,60]的人中，隨機(jī)抽取2人，記這兩人中使用移動支付的顧客為X人，求X的分布列.α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828解X的可能取值為0,1,2，∴X的分布列為三、概率統(tǒng)計中的決策問題例3某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售.已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種：可能10%或者20%，兩種可能對應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢.現(xiàn)處理價格為每箱8400元，遇到廢品不予更換.以一箱產(chǎn)品中正品的價格均值作為決策依據(jù).(1)在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；解在不開箱檢驗的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價格均值為：E(ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8500>8400，∴在不開箱檢驗的情況下，可以購買.(2)現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗.①若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%，記抽到的廢品數(shù)為X，求X的分布列和均值；解X的可能取值為0,1,2，∴X的分布列為X012P0.640.320.04E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.②若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購買.解設(shè)事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，一箱產(chǎn)品中，設(shè)正品的價格的均值為η，則η＝8000,9000，事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，∴E(η)＝8000×0.64＋9000×0.36＝8360<8400，∴已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購買.四、概率統(tǒng)計中的最值問題例4某超市計劃按月訂購一種冰激凌，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本為每桶5元，售價為每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的價格當(dāng)天全部處理完畢，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)，如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600桶，如果最高氣溫(單位：℃)位于區(qū)間[20,25)，需求量為400桶，如果最高氣溫低于20℃，需求量為200桶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫(℃)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列；最高氣溫(℃)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574解由已知得，X的所有可能取值為200,400,600，記六月份最高氣溫低于20℃為事件A1，最高氣溫(單位：℃)位于區(qū)間[20,25)為事件A2，最高氣溫不低于25℃為事件A3，根據(jù)題意，結(jié)合頻數(shù)分布表，用頻率估計概率，可知故六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列為(2)設(shè)六月份一天銷售這種冰激凌的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種冰激凌一天的進(jìn)貨量n(單位：桶)為多少時，Y的均值取得最大值？解由題意得，當(dāng)n≤200時，E(Y)＝2n≤400；當(dāng)400<n≤600時，當(dāng)n>600時，所以當(dāng)n＝400時，Y的均值取得最大值640.備用工具&資料解由題意得，當(dāng)n≤200時，E(Y)＝2n≤400；當(dāng)400<n≤600時，當(dāng)n>600時，故六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列為解由頻率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)μ和樣本方差σ2分別為μ＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，σ2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.因為Z～N(100,150)，從而P(87.8≤Z≤112.2)＝P(100－12.2≤Z≤100＋12.2)≈0.6827.(1)公司規(guī)定：當(dāng)Z≥95時，產(chǎn)品為正品；當(dāng)Z<95時，產(chǎn)品為次品.公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元.記ξ為生產(chǎn)一