2022-2023學年湘教版必修第二冊二平面與平面垂直的性質(zhì)

課堂作業(yè)

一.單項選擇（）

1.如圖，在等腰梯形ABCO中，AB^2AD=2BC=2CD=4現(xiàn)將△D4C沿對角線

4：;所在的直線翻折成4￡>/0,記二面角0'—40-3大小為"（°<"<"）,則（）.

A.存在a,使得DA,平面。BCB,存在a,使得O'A,BC

C.不存在a,使得平面D'AC，平面ABCD.存在a,使得平面。"山，平面

ABC

2.如圖，已知E,歹分別是正方體.8一4破2的棱BC,CG的中點，設(shè)a為

二面角A-AE-。的平面角，則sina=（）

2V2

A.3B.3

Vs2V2

C.3D.3

3.已知以，〃為兩條不同的直線，a和2是兩個不同的平面，下列為真命題的是（）

Am1n,mlla=nlag〃///?,/?_L?！╛La

Cm11n,m10=n1/3口mlla,nuanmlIn

4.如圖，在四棱錐S-MCD中，四邊形ABC。為矩形，AB=2s/2,BC=SC=SD=2,

BC,SD,則四棱錐S-ABCD的外接球的體積為（）

4乃8&乃

A.3B.3

16缶

C.3口.4缶

5.已知圓柱°。中，點A,B,°為底面圓周上的三點，8為圓柱的母線，AC=2,

NAC5=60。，則點A到平面BCD的距離為（）

A.若B.1C.2D.4

二.填空題()

6.已知三棱錐V—ABC,囪，AB=3C=1,AC=0,二面角V—AC—B

_j_

的余弦值為則該三棱錐的外接球的體積為.

5

7.已知三棱錐尸一人。內(nèi)接于半徑為5的球，NACS=90。，AC=7,BC=A/15；

則三棱錐。一體積的最大值為

8.已知正方體.8一440已的棱長為1,垂直于棱的截面分別與面對角線

A。.A?相交于點石.F.GH,則四邊形跖GW面積的最大值

為.

9.如圖，在棱長為1的正方體—a用G"中，點尸在線段AA上運動，給出以

下命題：

①異面直線qp與3c所成的角不為定值；

②平面ACP，平面Dg；

③二面角P—BJD的大小為定值；

④三棱錐。一8PG的體積為定值

其中真命題的序號為.

三.解答題()

10.如圖，在四棱錐P—中，底面A6CD為直角梯形，AD//BC,/ADC=90。，

平面底面ABC。，NPBC=90°,PA=AD=2BC=2,CD=6.

(1)求證：PA=PD.(2)求點0到平面R鉆的距離.

11.如圖，在四棱錐P-A8c0中，底面為直角梯形，ADHBC,ZADC=9Q°,

AD=CD=3,BC=4,AMC為正三角形，點M,N分別在線段AD和尸C上，且

DMCNc1

---==2cos0=—

AMPN.設(shè)二面角尸—4)—3為。，且3.

(1)求證：PM//平面BDV；

(2)求直線PM與平面PBC所成角的正弦值；

(3)求三棱錐P-MN的體積.

12.在正方體至8—44GA中，E是棱§用的中點.

(1)求證：4?！逼矫嫘≈?

(2)若尸是棱0G的中點，求證：平面用0歹//平面ACE.

參考答案與試題解析

1.【答案】B

【解析】取"中點￡,連接理，交4C于F,因為AB=2AD=26C=2CD=4,

所以△AEDaBEC/EBC都是等邊三角形，所以ACLED,/ZMC=/R4C=30°,

ZACB=90°9

在翻折過程中，^C±D'F,AC±FE所以/DFE=C.

對于A,假設(shè)存在￡,使得D'A，平面DBC,因為DCu平面D'BC,

所以。A,DC,與D'A和Z7C成60。角矛盾，故A錯誤；

對B,當夕=90。時，平面D'ACL平面/比；因為BC,AC,所以3cL平面￡>'AC,

又因為ZXAu平面D'AC,所以。'A_LBC,所以存在a,使得ZX4J_BC,故B正確；

對C,當夕=90。時，平面D'AC,平面/比；故c錯誤；

對D,假設(shè)存在a,使得平面次犯,平面ABC,過?？谡WA5于弘

因為平面D'ABc平面ABC=AB,所以。'W平面ABC,

因為ACu平面ABC,所以AC,OM,

又因為AC，。'尸，DFciyM=D',所以AC,平面DMF,

又因為叱u平面所以ACLEW,

又因為ACLEE,所以府與FE重合,

即"與￡重合，此時/。'跖=90°,

與NOZ/為等腰AE⑦'的一個底角矛盾，故D錯誤.

故選：B.

2.【答案】C

【解析】如圖，設(shè)正方體ABCD-44GDI的棱長為2,

在平面ABCD內(nèi)過點。作于點"，連接口"，DE

則ZD.HD即是二面角D.-AE-D的平面角，

.lr~^~~GS=-x2x2=—-AEDH=2

且AE=，2-+12=J5,由^AADDEE22

AD7sina=小金

DH

百，...I非，：3

解得.D}H

故選：：C.

3.【答案】C

【解析】A.m'njnlla,則“也可在平面1內(nèi)，故選項A不正確.

B.汨甲/,則〃也可在平面a內(nèi)，故選項B不正確.

Cm11n,m1(3=n1(3成立

兩平行線人”,加工平面尸，加必垂直于6內(nèi)的兩條相交直線,

則“必定垂直于6內(nèi)那兩條相交直線，故故c正確.

D.向Unua,則私〃也可是異面直線的關(guān)系.故選項D不正確.

故選:C

4.【答案】D

【解析】根據(jù)四邊形為矩形和BC,SO,利用線面垂直的判定定理得到

平面SCD,再利用面面垂直的判定定理得到平面A3CD,平面SCD,然后由

SC?+SZ?=。2,得到△SCD是等腰直角三角形，進而得到四棱錐S-ABCD的外接球

的球心為AC,BD的交點，然后求得半徑即可.

詳解：因為四邊形ABC。為矩形，

所以BCLCD又BCLSD,且5￡>門?！?gt;=。，

所以3CL平面SCD

所以平面^CD±平面SCD

^SC2+SD2=CD\

所以ASCD是等腰直角三角形，

所以其外接圓的圓心是CD的中點，又四邊形ABCD為矩形的外接圓的圓心為AC,BD的

交點，

所以四棱錐的外接球的球心為AC,BD的交點，

所以外接球的半徑為R=小+陽=石，

V==4岳

所以四棱錐5-反8的外接球的體積為3

故選：D

【點睛】

本題主要考查四棱錐的外接球的半徑及體積的求法以及線面垂直，面面垂直的判定定理

的應(yīng)用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

5.【答案】A

【解析】如圖所示，由題意知：CD，平面MC,CDu平面BCD,

二平面5co,平面ABC,又面BCOn面ABC=5C,

過點A作人后,,則AE，平面BCD,即AE為點A到平面BCD的距離，

sinZACB=——廠

在△ABC中，AC9故AE=ACsinZAC3=2xsin6()o=J3,

故選：A

6.【答案】辰

【解析】取AC中點為M,連結(jié)VM,BM,-：VA=VC=yf5>AB^BC=\；

w±AC,NVMfi就是二面角V—AC—B的平面角,

AMW2=5--=-BM~=1--=-

22222

cosZVMB=

913

2XV2-VB=46

所以憶＜2+482=^2,VC2+BC2=VB\NM鉆與NVCB都是直角,

所以該三棱錐的外接球球心是避的中點，<)

7.【答案】空叵

3

【解析】要使三棱錐尸一人5。的體積最大，則平面B鉆,平面45。，且P在底面A6。

上的射影為初中點°,利用已知條件求出三棱錐的高，再由棱錐體積公式求解即可.

詳解：解：如圖，在三角形ABC中，由4CB=90。，AC=7,BC=岳,

要使三棱錐尸一人5。的體積最大，則平面B鉆,平面ABC,且「在底面AB。上的射

影為A3中點°,

連接尸。并延長，交三棱錐尸一至。的外接球于力,則功為球的直徑，

設(shè)P0=h,則如0-/7)=4x4=16,解得〃=2(舍)或〃=8.

Ixlx7x^x8=^

二三棱錐的體積的最大值為323

28VH

故答案為：3.

【點睛】

本題考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】1

【解析】分析：如圖所示，設(shè)EF=t,根據(jù)面面平行性質(zhì)定理可得￡F/ABD,從而有

△ABO為正三角形，則4口=’，從而得到FG=0-/,寫出四邊形面積表達式，再

利用基本不等式，即可求得最大值.

詳解：如圖所示，設(shè)EF=t(0<t<6,

截面垂直于棱AA,面EFGHII面ABCD,

根據(jù)面面平行性質(zhì)定理可得EFHBD,同理,

...4G±BD,...截面EFGH為矩形，

???△43。為正三角形，二4"='=8'=0—',

同理ABFG為正三角形，二八7=0-

S=/(V2-O<(—)2=-t=—

22,等號成立當且僅當2,

2_

故答案為：2.

【點睛】

本題考查正方體中截面面積的最值.基本不等式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想.轉(zhuǎn)化與

化歸思想，考查空間想象能力.運算求解能力.

9.【答案】②③④

【解析】對于①：因為在棱長為1的正方體AB。-A4GA中，

點P在線段A2上運動，由正方體的性質(zhì)可知：CQIBC由正方形的性質(zhì)可知：

BCj±BtC而￡)iGnc/=G，℃i，G3u平面ABC［。］,所以gC_L平面48￡￡>］,

而GPu平面A3C4,所以3QCF,

故這兩個異面直線所成的角為定值90°,所以①不正確；

對于②：由正方體的性質(zhì)可知：AA'AC,由正方形的性質(zhì)可知：BD±AC)而

A41nAe=A,所以。5，平面明。，而AC平面AA〈，所以DBLAq

同理而DBCBC^B,Mgu平面Dg,所以平面Dg,

而4°u平面所以有平面4°尸，平面DBG,故②正確；

對于③：因為二面角P-g一0的大小，實質(zhì)為平面A3GD與平面所成的二面

角而這兩的平面為固定的不變的平面所以夾角也為定值，故③正確；

對于④：三棱錐。一3PG的體積還等于三棱錐的體積P—DBG的體積，

而平面。叫為固定平面且大小一定，又因為PeA%而他〃平面

所以點A到平面DBG的距離即為點尸到該平面的距離，

所以三棱錐的體積為定值，故④正確.

故答案為：②③④

10.【答案】（1）證明見解析；（2）2姮.

5

【解析】（1）取的中點Q,連接BQ,PQ「.■IBC,Q為的中點，

AD=2BC=29

?-BC//QD,8C=QQ,.?.四邊形BCDQ為平行四邊形，

:.BQ//CDZA￡>C=90°,±BQ

?.?ZPBC=90°,ADIIBC,.-.AD±PB_

又尸5ClBQ=6,A。_L平面P5Q.

??.PQu平面P3Q,APQ±AD

又。為A。的中點，所以上4=P￡>.

（2）,J平面Q4D，平面A5。。，平面PADC平面ABCD=M>,PQAD

.?.尸0,平面450。，」0,°§

PB=^PQ^+QB2=y/p^-AQ^+CD2=。4-1+3=瓜

.,"=”卜-*=；義限

SABD=-AD-CD=-x2xy/3=y/3,

"22,設(shè)點。到平面B45的距離為〃，

v=v彳S4D?

則由VD-PAB-VP-ABD，得3AB3,

?jS：-PQ6義62岳_

…s,叵5馬叵

2.即點0到平面Q鉆的距離為5.

11.【答案】（1）證明見解析；（2）逅；（3）逑

33

【解析】分析：（1）連接"C,交BD于E,由相似三角形可得平行關(guān)系，再由線面平行

的判定定理即可證明；

（2）取BC中點/，連接MF.PF,可證為M到平面PBC的距離，"Q也是A到

平面P3C的距離，即可求解；

（3）先利用線面平行的判定定理證明仞〃平面P3C,得到加。的長也是A點到平面

PBC的距離，再利用三棱錐的體積公式即可求解.

詳解：解：（1）證明：如圖所示：連接火，交BD于E,

,?-D---M---2c

.AM,AD=39

:.DM^2,AM=1,

?.ADIIBC,

:AMDESMBE,

CEBC_2_CN

前二而二二訊

■-PMIINE,

;NEu平面BDN,PAftZ平面BZW,

RW〃平面BZW；

（2）如圖所示：取BC中點尸，連接MF.PF,

為正三角形，

???PFLBC,

PF=PBsin60°=4?sin60°=2/

???四邊形ABC。為直角梯形，AD!IBC,ZADC=90°,FC=MD=2,

???四邊形加加C為矩形，

即WBC,

,:MFcPF=F,

，BC_L平面,

又?.?BCu平面P3C,

平面尸3CL平面PMF,

-.AD//BC,

二ADJ■平面PMF,

:.AD±MP,ADYMF,

即NPMF=6>,

設(shè)PM=x,由余弦定理得.PF°=PM°+MF?-2-PM?MF-cos。,

(2^=X2+32-2-X-3--

于是''3,

整理得f-2x-3=°,

解得：％=3或x=-l(舍去)，

取.中