/導彈跟蹤問題摘要本文研究的是導彈跟蹤敵艇問題。通過建立合理的數(shù)學模型,利用matlab軟件模擬導彈跟蹤敵艇的過程,并進行分析計算最終求得導彈擊中敵艇的時間和位置。首先我們根據(jù)問題中的條件粗略描繪出導彈和敵艇的運動軌跡并對其進行分析,利用在任何時刻導彈的飛行方向指向敵機的位置得出導彈的運動軌跡滿足微分方程組的結(jié)論。然后結(jié)合初值條件,并經(jīng)過嚴格的數(shù)學公式推導和合理的假設,求解出導彈運動軌跡的方程。在matlab中分別采用Euler法、改進的Euler法和仿真方法近似計算導彈軌跡上的一系列點,接著對這些點進行精確度分析,繪制出導彈運動軌跡的曲線,并比較這三種數(shù)值方法的精確度。最后我們對該模型進行分析評價,指出該模型的優(yōu)點和不足。關鍵詞導彈跟蹤運動軌跡matlab常微分方程Euler法正文模型問題詳述某軍的一導彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120km處海面上有敵艇一艘以90km/h的速度向正東方向行駛。該基地立即發(fā)射導彈跟蹤追擊敵艇,導彈的速度為450km/h,自動導航系統(tǒng)使導彈在任一時刻都能對準敵艇。試問導彈在何時何處擊中敵艇?并繪制導彈軌跡曲線圖。2.模型假設假設一:導彈與敵艇的速率恒定。假設二:導彈飛行的軌跡切線方向始終指向敵艇。假設三:導彈飛行的軌跡和敵艇行駛的高度始終在同一平面內(nèi)。假設四：導彈與敵艇的長度可以忽略,均可看成物理質(zhì)點。假設五:外界對導彈和敵艇的運動沒有影響3.數(shù)據(jù)字典(x,y)坐標位置t經(jīng)歷的時間ve敵艇的速度vw導彈飛行的速度H敵艇最初點與導彈的距離4.問題分類與分析問題一導彈在何時何處擊中敵艇?分析:由于敵艇的運行軌跡和導彈的運行軌跡是處于同一平面內(nèi),故可建立起平面直角坐標系。又由于導彈飛行方向始終指向敵機,即導彈飛行方向隨時間的改變而改變,故可建立起微分方程并求解。問題二繪制導彈軌跡曲線圖。分析:由于導彈運動軌跡滿足微分方程,所以我們可以利用Euler法、改進Euler法、仿真方法分別對所建立的數(shù)學模型進行數(shù)值求解,并繪制出導彈運動軌跡曲線圖像。5.建模設坐標系如下,取導彈基地為原點0（0,0）。軸指向正東方,y軸指向正北方。當t=0時,導彈位于O,敵艇位于點（0,H）,（H=120（km））設導彈t時刻的位置為P（）,由題意,（1）其中。另外在t時刻,敵艇位置應該為,其中=90（km/h）。由于導彈軌跡的切線方向必須指向敵艇,即直線PM的方向就是導彈軌跡上點P的切線方向,故有（2）（3）方程（3）初值條件想x（0）=0,y（0）=0(4)構成了一個關于時間變量t的一階微分方程組的初值問題。由（2）得兩邊對t求導得即有把（1）寫為代入上式,就得到軌跡方程。這是一個二階非線性微分方程,加上初值條件,則初值問題上式分別為（5）,（6）,（7）。就是導彈的軌跡的數(shù)學模型。方程（5）可以降階。令,則式（5）化為一介可分離變量方程易得由式（7）得,從而于是有（8）于是積分又可以得到利用式（6）得,于是導彈軌跡方程為（9）設導彈擊中敵艇于B（L,H）,以y=H代入（9）得（10）而導彈擊中敵艇的時刻（11）將數(shù)據(jù)代入（10）,（11）式,得L=25（km）,T0.2778（h）接下來用數(shù)值方法求解(1)Euler法由方程（1）,（3）解出的表達式,取時間步長,對應時導彈軌跡上點的坐標為,則Euler格式為上式分別為（12）（13）（14）當計算到即停止,于是,使用matlab,編輯m文件:functionEuler(t)H=120;Ve=90;Vw=450;x(1)=0;y(1)=0;T(1)=0;fori=1:10e6M=(Ve*T(i)-x(i))/(H-y(i));x(i+1)=x(i)+Vw*t/sqrt(1+1/M.^2);y(i+1)=y(i)+Vw*t/sqrt(1+M.^2);T(i+1)=t+T(i);ify(i+1)>=Hbreak;endend[T;x;y]'L=x(i+1)T=x(i+1)/Veplot(x,y)運行結(jié)果:>>Euler(0.01)ans=0000.010004.50000.02000.03518.99990.03000.106613.49930.04000.216217.99800.05000.365422.49550.06000.556026.99140.07000.790131.48540.08001.069635.97670.09001.397140.46470.10001.775044.94880.11002.206249.42810.12002.693953.90160.13003.241758.36820.14003.853562.82640.15004.534067.27460.16005.288471.71090.17006.122876.13290.18007.044380.53750.19008.061384.92110.20009.184189.27880.210010.425493.60420.220011.801097.88880.230013.3318102.12040.240015.0464106.28100.250016.9861110.34140.260019.2171114.24950.270021.8642117.88860.280025.2645120.8361L=25.2645T=0.2807繪制出導彈運動軌跡曲線:改進Euler法改進的Euler迭代式上式分別為（15）（16）（17）（18）（19）使用matlab,編輯m文件:functionEuler2(t)H=120;Ve=90;Vw=450;x(1)=0;y(1)=0;T(1)=0;fori=1:10e6M=(Ve*T(i)-x(i))/(H-y(i));x1(i+1)=x(i)+Vw*t/sqrt(1+1/M.^2);y1(i+1)=y(i)+Vw*t/sqrt(1+M.^2);T(i+1)=i*t;x(i+1)=0.5*(x1(i+1)+x(i)+Vw*t/sqrt(1+((H-y1(i+1))/(Ve*T(i+1)-x1(i+1))).^2));y(i+1)=0.5*(y1(i+1)+y(i)+Vw*t/sqrt(1+((Ve*T(i+1)-x1(i+1))/(H-y1(i+1))).^2));ify(i+1)>=Hbreak;endend[T;x;y]'L=x(i+1)T=x(i+1)/Veplot(x,y)運行結(jié)果:>>Euler2(0.01)ans=0000.01000.01754.49990.02000.07028.99960.03000.159313.49870.04000.286417.99680.05000.453322.49370.06000.661626.98880.07000.913331.48170.08001.210635.97180.09001.555740.45850.10001.951444.94100.11002.400449.41840.12002.905953.88980.13003.471558.35400.14004.101362.80960.15004.799867.25490.16005.572271.68790.17006.424876.10620.18007.364680.50670.19008.400284.88560.20009.542089.23790.210010.802793.55710.220012.198997.83420.230013.7520102.05650.240015.4924106.20450.250017.4657110.24520.260019.7531114.11180.270022.5713117.57190.280023.9104121.6546L=23.9104T=0.2657繪制出導彈運動軌跡曲線:仿真方法設導彈和敵艇在初始時刻分別位于。此時,導彈指向。而在時,導彈的位置,其中,敵艇的位置則為。這時導彈沿方向飛行,的傾角為；在時導彈的位置為。以此方式,當時,導彈的位置為,其中（20）（21）（22）（23）而敵艇的位置為。如之前一樣,當時,仿真停止。這時,建立m.文件functionm4_4(t)H=120;Ve=90;Vw=450;x(1)=0;y(1)=0;fori=1:10e6M=sqrt(((i-1)*Ve*t-x(i)).^2+(H-y(i)).^2);ctheta=((i-1)*Ve*t-x(i))./M;stheta=(H-y(i))./M;x(i+1)=x(i)+Vw*t*ctheta;y(i+1)=y(i)+Vw*t*stheta;ify(i+1)>=Hbreak;endend[x;y]'L=x(i+1)T=x(i+1)/Veplot(x,y)運行結(jié)果:>>fangzhen(0.01)ans=0004.50000.03518.99990.106613.49930.216217.99800.365422.49550.556026.99140.790131.48541.069635.97671.397140.46471.775044.94882.206249.42812.693953.90163.241758.36823.853562.82644.534067.27465.288471.71096.122876.13297.044380.53758.061384.92119.184189.278810.425493.604211.8010