專題21不等式選講

預(yù)測(cè)高考對(duì)不等式選講的考查仍以絕對(duì)值不等式的解法、性質(zhì)為主，解含兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)

的不等式是解答題題型的主流，并配以不等式的證明和函數(shù)圖象的考查.

■點(diǎn)知織攤建

一、含有絕對(duì)值不等式的解法

1.|ax+b\|ax+4導(dǎo)c(c〉O)型不等式的解法

(1)若c>0,則|ax+6|Wc,等價(jià)于一cWax+6Wc,Iax+4等價(jià)于或ax

+8W—C,然后根據(jù)a,6的值解出即可.

(2)若c<0,則|ax+引Wc的解集為。，|ax+引力c的解集為R.

2.|x—a|+|x—引》c(c〉O),|x—a|+|x—引Wc(c>0)型不等式的解法

可通過(guò)零點(diǎn)分區(qū)間法或利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解.

(1)零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟

①令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；

②將這些根按從小到大排列，把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間；

③由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)得若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集；

④取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集.

(2)利用絕對(duì)值的幾何意義

由于|x-a|+|x—b\與|x-a!-I*一引分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到a,6對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

的距離之和與距離之差，因此對(duì)形如|x-a\+\x-b\<c(c>0)或|x—a]—Ix—引>c(c>0)的不

等式，利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀.

3.|f(x)|>g(x),|f(x)I〈g(x)(g(x)>0)型不等式的解法

⑴If(x)\>g(x)〉g(x)或f(x)<—g(x).

(2)|f(x)\<g(x)0-g(x)<A%)<g(x).

知識(shí)點(diǎn)二不等式的證明

1.證明不等式的常用結(jié)論

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(1)絕對(duì)值的三角不等式

定理1：若a,。為實(shí)數(shù)，則|a+引WIH+I引，當(dāng)且僅當(dāng)劭20,等號(hào)成立.

定理2：設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，則|H—c|W|a—+|6一c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a—A)(b—c)20

時(shí)，等號(hào)成立.

推論1：11a|一|力||W|&+b|.

推論2：||a|-|Z?||<|a-b\.

(2)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式：如果a,b,c￡R+,那么

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a+b+cup9(3

3,EQ\*jcO\*z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(a+b+c,3^abc,up9(3,abc,當(dāng)且

僅當(dāng)a=6=c時(shí)等號(hào)成立.

(3)基本不等式(基本不等式的推廣)：對(duì)于〃個(gè)正數(shù)演，必，…它們的算術(shù)平均值

不小于它們的幾何平均值即

EQ\*jcO\*'Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(al+a2H----Fan

n,EQ\*jcO\*，zFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(al+a2+—Fan,n2

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(n

al,a2....an,EQ\*jcO\*''Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(n,al?a2.....an

,并且僅當(dāng)4=/=…=4時(shí)等號(hào)成立.

⑷一般形式的柯西不等式

設(shè)a,3.2f8,Hn,b\bz,&,bn是實(shí)數(shù)，則(a

EQ\*jcO\*"Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(2

1,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(2,1+a

EQ\*icO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2

2網(wǎng)\*jcO\*z，F(xiàn)ont:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(2,2++

EQ\*jcO\*'Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(2

n,EQ\*jcO\*z，F(xiàn)ont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(2,n)(b

EQ\*jcO\*'Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(2

,1+b

EQ\*jcO\*'Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(2

2,EQ\*jcO\*〃Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2,2++b

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2.

n,EQ\*jcO\*zzFont:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(2,n)2(43山+檢段+…+并

且僅當(dāng)力=0(/=L2,???,刀)或存在一個(gè)數(shù)A,使得a=攵。/(了=1,2,???,〃)時(shí)，等號(hào)成

立.

2.證明不等式的常用方法

(1)比較法

一般步驟：作差一變形一判斷一結(jié)論.為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為

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一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形

式，以判斷其正負(fù).

(2)綜合法

利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫

綜合法.即“由因?qū)Ч钡姆椒?

(3)分析法

證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把

證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具

備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫作分析法.即“執(zhí)果索因”的方法.

(4)反證法和放縮法

①先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、

性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)

矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫作反證法.

②證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到

證明的目的，這種方法叫作放縮法.

高頻考點(diǎn)突破/

考點(diǎn)一解絕對(duì)值不等式

例1.【2017課標(biāo)1,理】已知函數(shù)/(*)=-f+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)當(dāng)疔1時(shí)，求不等式f(x)的解集；

(2)若不等式/'(x)2g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.

(?1—i+Vr?

【答案】⑴*'一2；(2)[T1].

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【解析】

(1)當(dāng)a=l時(shí)，不等式之g(x)等價(jià)于/-x+|x+"+|x-l卜440.①

當(dāng)x<—l時(shí)，①式化為x、3x—4S0,無(wú)解；

當(dāng)一14x41時(shí)，①式化為/-x-240,從而一ISXWI；

當(dāng)x>l時(shí)，①式化為/+X-4S0,從而I<x4土正

所以/(X)>g(x)的解集為｛x|-l<x<±三｝.

⑵當(dāng)xe［Tl］時(shí)，g⑶=2

所以?Ng⑴的解集包含［T1］,等價(jià)于當(dāng)時(shí)〃x)N2

乂〃x)在［-L1］的最小值必為〃T)與〃1)之一，所以〃T)之2且了⑴之2,得

—1工a工1

所以4的取值范圍為［一111

【變式探究】【2016高考新課標(biāo)1卷】(本小題滿分10分)，選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)〃*)=卜+1一口-3|

(I)在答題卡第(24)題圖中畫出丁=/(制的圖像；

(II)求不等式的解集.

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:8,?U(1,3)u(5,+8)

【答案】(I)見解析(II)Iy

【解析】(1)如圖所示：

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\x—43x?-1

⑵/(x)=<；3x-2,-l<x<2

3

；4-x,x孑一

l2

|/(xj|>1：當(dāng)XW-1,k-4|>1,解得X>5或X<3,「.X1-1

a1

當(dāng)-1vx<3：|3x-2|>1：解得x>1或x<w

或1<x<-

32

aa

當(dāng)?shù)妒植?4-x|>1：解得x>5或x<3/.5s工<3或x>5

22

綜上,X<：或1<X<3或X>5：「.『M>1解集為尸3)U(5,X)

(2015?重慶，16)若函數(shù)F(x)=|x+l|+2|x-a|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a=.

解析由絕對(duì)值的性質(zhì)知/Xx)的最小值在*=一1或x=a時(shí)取得，若〃-1)=2|-1-

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(3

a=5,a=2,EQ\*jcO\*〃戶ont:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(3,2或a=

EQ\*jcO\*'Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(7.

z，，z

2ZEQ\*jcO\*Font:Calibri\*hps21\o(\s\up2,經(jīng)檢驗(yàn)均不合適；若F(a)=5,

則|x+l|=5,a=4或a=—6,經(jīng)檢驗(yàn)合題意，因此a=4或a=-6.

答案4或一6

【變式探究】不等式|x-l|+|x+2|25的解集為_______.

fx>l.

解析原不等式等價(jià)于：

I(X-1)+(x+2)力

[―,

I-(x-1)+(x+2)>5

或I二(x-1)-(x+2)>5,

解得應(yīng)2或爛-3.

故原不等式的解集為口正-3或危2}.

答案口爛-3或忘2}

考點(diǎn)二不等式的證明

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例2.【2017課標(biāo)II,理23】已知。°力>0,1+/=2。證明:

⑴（a+B）（a$+蘇）24；

（2）a+b<2Q

【答案】（1）證明略：（2）證明略。

【解析】（1）"+坨（丁'廣）:9，油5+3,+/

=（a1+b3）7-2a'b'+ab（a4.b4）

=4+ab（a2-b2|2

之4.

（2）因?yàn)?/p>

（a+b/二a5+3a?b+3ab?+b3

=2+3abia?b）

3（a*bi73（a+b）3

42.------------（a.b）:2.-----------

44

所以（a+b『48,因此a+bW2.

【變式探究】【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)221,M為不等式/①）<2的解集

（I）求初\

（II）證明：當(dāng)時(shí)，|a+b|<H+必

【答案】（I）^={x|-l<x<l};（H）詳見解析.

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-2xsx<--s

【解析】(I)/(x)=,

—in

2x.x>—.

7

當(dāng)時(shí)，由/(x)<2得一2x<2：解得X>-1；

當(dāng)Y<x<I時(shí)，f(x)<2；

LL

當(dāng)時(shí)，由/(x)<2得2x<2,解得X<1.

所以/(x)<2的解集.M={x]-1<x<1}.

(II)由(D知，當(dāng)時(shí)，

22:2

從而(a+獷-(1+瀚=a+b-aV-l=(a-lXl-i)<0,

因此|1+曲.

【變式探究】(2015?新課標(biāo)全國(guó)n,24)設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且a+6=c+〃,

證明：

(1)^ab>cd9則+>+；

(2)+>+是|a—引V|c—d\的充要條件.

證明⑴因?yàn)?+)2=a+/?+2,(+)*=c+d+2,

由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(+)?>(+)\

因此+>+.

(2)①若|m—引V|c—d\,

則(a—6)，V(c—c/)2,

即(a+Z?)~—4aA<(c+d)‘一4cd.

因?yàn)閍+/?=c+d,所以ab>cd.

由(D得+>+.

②若+>+,則(+”>(+)',即a+6+2>c+d+2.

因?yàn)閍+8=c+d,所以a6>cd,于是

(a—/?)'=(a+Z?)J—4aZ;<(c+中4cd=(c—d)二

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因此|a-b\<|c—d\.

綜上，+>+是la—引V|c—M的充要條件.

【變式探究】已知夕和"均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合材={0,1,2,…，q-

1},集合［={X|X=XI+X2<H-----\-x?q~',Xi&M,i=1,2,—,n}.

(1)當(dāng)g=2,〃=3時(shí)，用列舉法表示集合4

(2)設(shè)s,J,s=ai+a2gH----Fa?qt—b\+biq-\------Fb?q1,其中a”i—

1,2,-??,c.證明：若則s〈工

⑴解當(dāng)g=2,”=3時(shí)，M={0,1},N={xx=xi+xr2+嘉?22,劉€跖1=1,2,3}.可得，/={0,

1,2,3,4,5,6,7).

⑵證明由s,s=ai+o2q+...+an^l~1,r=6i+5：g+…a.,瓦€〃，t=1,2,n

及<h<bn,可得J—r=(ai—6］)+(a：—bz)q+,..+(a,-i—+(a,—bn')qn_}<(q—1)+(g—1)</+...+(^―

l)q*2一/i=—2］二q------q"1=-1<0.

眥、，sa

真題感悟

1.【2017課標(biāo)II,理23］己知a>°力>0，。3+川=2。證明:

⑴(a+塊<?+/)之4；

⑵a+b<2c

【答案】(1)證明略；(2)證明略。

.x5.5\6.55..6

【解析】(1)但+b)(a+b|=a+ab+日b+b

=|a1+b\?-2a'b'*ab(a4?b4j

=4+ab(a2-b?|2

N4.

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(2)因?yàn)?/p>

(a+b|J-a,+3a2b+3ab'+b3

=2+3abia+b)

3(a+bi73(a+b)3

<2+....—<a+b)=2+--------

44

所以｛a+b：38,因此a+bW2.

2.[2017課標(biāo)11理】已知函數(shù)f(x)=-f+a/l,g(x)=|A+1|+|x-1|,

(1)當(dāng)爐1時(shí)，求不等式f(x)2g(x)的解集；

(2)若不等式/'(A的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.

?--I+A/17

(x-1<x<-------｝riii

【答案】⑴2-⑵ITU

【解析】

(1)當(dāng)4=1時(shí)，不等式f(x)2g(x)等價(jià)于X，-x+|x+l|+|x-l卜4W0.①

當(dāng)x<—1時(shí)，①式化為/-3X-4M0,無(wú)解；

當(dāng)一14x41時(shí)，①式化為^一工一240,從而一14X41；

當(dāng)X>1時(shí)，①式除x：+x—4=0,從而

所以〃x)Ng(x)的解集為｛x|-1<x4土盧｝■

⑵當(dāng)xe[-Ll]時(shí),g(")=2.

所以〃x)Ng(x)的解集包含[T1],等價(jià)于當(dāng)xc[-Ll]時(shí)/(x)之2.

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又在［T1］的最小值必為〃T）與/⑴之一，所以〃7*2且〃1）之2,得

—1工a工1.

所以a的取值范圍為［一UL

1.12016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分10分），選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/（小卜+卜做一”

（I）在答題卡第（24）題圖中畫出=的圖像；

1-03,號(hào)U（l,3）U（5,+00）

【答案】（D見解析（IDI3）

【解析】（1）如圖所示：

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,x-4,xW-l

13

⑵八"3x-2,-10q

3一

.4-x,x>-

I2

:

|/何|>1,當(dāng)工1-1;卜-4|>1解得*>5或工<3/，.*5-1

當(dāng)-1<工<33工-2|>1解得丫>1或》<（

1、3

.'.-1<X<-°^1<x<-

aa

當(dāng)工三不：|4-x|>1：解得工>5或工<3<3或x>5

r<--\f（r\\>>\，8,可U（5,+8）

綜上，3或l〈x<3或x>5解集為<V

2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】選修4一5：不等式選講

已知函數(shù)221,M為不等式了（G<2的解集.

（I）求加；

（H）證明：當(dāng)a力已初時(shí)，I°+匕141+他I.

【答案】（I）M={x—l<x<D；（］【）詳見解析.

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-2x.x<——.

)?

,11

【解析】(D/(x)=-1.一一一.

?22'

2x:x>

當(dāng)時(shí)，由/(x)<2得-2x<2,解得

當(dāng)一呆時(shí)，/(x)<2；

當(dāng)時(shí)，由/(x)<2得2x<2：解得X<1.

所以〃x)<2的解集”={x|-l<x<l}.

(II)由(D知，當(dāng)a力c”時(shí)，一l<a<L-l<b<l,

從而(a+-(1+ab)2=az+bz-azb2-1=(a1-Y)(l-b2)<Q,

因此|a+b|<|l+a&|.

3.12016高考新課標(biāo)3理數(shù)】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|2x-a|+a.

(I)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式*x)W6的解集；

(H)設(shè)函數(shù)g(x)T2x-l|.當(dāng)xeR時(shí)，/(x)+g(x)>3i求a的取值范圍.

【答案】(I)｛刈一1?%?3｝；(n)[2,+oo)

【解析】

(I)當(dāng)a=2時(shí)，f(z)=|2x—21+2

解不等式I2X-2|+2<6^-1<X<3,

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因此〃x)M6的解集為｛x|7WxM31

(II)當(dāng)xeR時(shí)，

/(X)+g(x)X2x-aI+4+|l-2x|

>|2x-a4-l-2x|+a

=|1-<71+a>

當(dāng)x時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)XER時(shí),f(x)+g(x)之3等價(jià)于

11-<71+a>3.①

當(dāng)時(shí)，①等價(jià)于】—a+a23,無(wú)解.

當(dāng)時(shí)，①等價(jià)于。一1+。23,解得aN2.

所以a的取值范圍是［2,+8).

1.(2015?陜西，24)已知關(guān)于”的不等式|x+a|<6的解集為｛x|2Vx<4｝.

(1)求實(shí)數(shù)a,方的值；

(2)求+的最大值.

解(1)由%+a\<b,得一3一a<x<。一a,

■?ba2

貝ijb—a=4,b—a=2,,b—a=4,解得a=-3,6=1.

(2)+

=+<

=2=4,

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(4—t

當(dāng)且僅當(dāng)3,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(4—t,3=

EQ\*jcO\*'Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(t

1,EQ\*jcO\*，?Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(t,1,

即￡=1時(shí)等號(hào)成立，

故(+)*=4.

2.(2015?新課標(biāo)全國(guó)I,24)已知函數(shù)/'(x)=|x+l,-2|x—a|,a>0.

(1)當(dāng)3=1時(shí)，求不等式f(x)〉l的解集；

(2)若Ax)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.

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解(1)當(dāng)a=l時(shí)，化為|x+l|-2|x-l|-1>0.

當(dāng)xW—l時(shí)，不等式化為X—4〉0,無(wú)解：

當(dāng)一Kx<l時(shí)，不等式化為3x一2>0,解得

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(2

3,EQ\*jcO\*"戶ont:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,3<X1；

當(dāng)時(shí)，不等式化為一x+2>0,解得1〈水2.

所以f(x)>l的解集為

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(2

<x<2,EQ\*jcO\*"戶ont:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(2,<x<2.

(2)由題設(shè)可得，

x—1—2a,xv-1,

f[x)='3x+l-2a,-l<x<a,

x+l+2a,x>a.

所以函數(shù)KO的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為』二U，0；,B(2a+1,0),C(a,a+1),

X.3J

AzIBC的面積為

由題設(shè)得第a+1>>6,故o>2.

所以a的取值范圍為(2,+x).

1.【2014高考安徽卷理第9題】若函數(shù)，(x)=k+1+|2x+H的最小值為3,則實(shí)數(shù)a

的值為()

A.5或8B.-1或5C.-1或一4D.-4或8

【答案】D

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—3x—(1+a),x4-一

2

a

/（X）x+a-1,——<x<-1

2

3x+3+1)/>-1

-

【解析】由題意，①當(dāng)2時(shí)，即a>2,

則當(dāng)”=一?時(shí)，一鄉(xiāng)=1樣+1|+~+訃3

,解得a=8或a=-4

-3x-(1+a),x4-1

f3=<7+1-。，-1<x<--

2

-1<-^3x+(a+l),x>一—x=

（舍）；②當(dāng)2時(shí)，即a<2,L2,則當(dāng)2

篙3=/(-/=1-怖+11+1-a+a|=3

解得a=8（舍）或a=-4；③當(dāng)

2時(shí)，即a=2,/G）=3|x+l|,此時(shí)以《工）=0,不滿足題意，所以a=8

或。=T,故選I）.

2.【2014陜西高考理第15題】設(shè)巴瓦附，”Cr,且1+/=5,如+%占=5,則

痂工3的最小值為

【答案】石

［解析］由柯西不等式得：（/+/）（>+M2）N（Ma+/所以5伽2+/）25一

得雨2+4'>5

所以JV+/之有,故答案為石。

3.12014高考廣東卷理第9題】不等式kT+k+2|"的解集為

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[答案](Y°/3]U[2,刈)

~2x~l.x<-2

【解析】^-/(x)=|x-l|+|x+2|,則3,-2<x<l,

2x+Lx>1

(1)當(dāng)xv-2時(shí)，由f(x)N5得一2N一125,解得x4-3,此時(shí)有xK—3；

(2)當(dāng)一24x41時(shí)，/(x)=3,此時(shí)不等式無(wú)解；

(3)當(dāng)x>l時(shí)，由/(x)之5得2x+125,解得x32,此時(shí)有xN2；

綜上所述，不等式|x-l|+|.r+2|>5的解集為(t「3]U[2,+0.

4.12014高考湖南卷第13題】若關(guān)于x的不等式卜X一21<3的解集為

\?511

I33J,則&=________.

【答案】-3

I51151

I2x|--<X<—>------

【解析】因?yàn)榈仁娇赬—4<3的解集為I33J,所以3'3為方程

血-2|=3的根，

5c?

--(2-2=3

3

1仁

-a-2=o3

即13=a=_3,故填-3.

5.12014江西高考理第11題】對(duì)任意xje及，卜―1|+卜|+｝一1|+卜+1|的最小值為

()

A.1B.2C,3D.4

【答案】C

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【解析】因?yàn)閨x-l|+|x|+|y—l|+|y+1|x-(x-l)|-|(j1-l)-(y+l)|-1-2=3,當(dāng)且僅當(dāng)

0WxWL-lWy41時(shí)取等號(hào),所以|x-l|+|x|+|y-l|+|j+l|的最小值為3,選C.

|2x—1|+|X+2|><22+—tj+2

6.【2014重慶高考理第16題】若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】

-3x-l(x<-2)

/(x)=|2x-l|+|x+2\=*3-xf-2<x<

3x+l|x>—J

【解析】令LI2J，其圖象如下所示(圖中

的實(shí)線部分)

由圖可知：12/2

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a2+—<at+2<—-1<a<—,

由題意得：22,解這得：2

[-di

所以答案應(yīng)填：L2」

7.12014高考福建理第21(3)題】已知定義在R上的函數(shù)/以1=卜+1|+卜一2|的最

小值為”.

(I)求4的值；

(口)若P，r為正實(shí)數(shù)，且p+g+r=a,求證：p2+q2+r2>3

【答案】(I)a=3；(H)參考解析

【解析】⑴因?yàn)閨x+l|+|x-2|N|(x+l)-(x-2)|=3,當(dāng)且僅當(dāng)-14x42時(shí),等號(hào)成立所以“X)的

最小值等于3,即a=3.

(ID由(D知p+q+'=3,又因?yàn)槭钦龜?shù)，所以

2:：2:2:22:

(p+g+rXl+l+l)>(^xl+gxl+rxl)=(p+g+r)：=9:SPp+g+r>3.

8.[2014高考江蘇第21題]已知證明(1+*+y2)(1+/+力之9初

【答案】證明見解析.

【解析】

...x〉0,y>0,...1+芯+/之3^?1+x2+y>3l[^y

...(1+工+1/)(1+*2+川之9癡"^^=9平

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■-121ri11一「21

A=,B=a=

9.12014高考江蘇第21B題】已知矩陣L1刈L2-1」，向量卜」，冗丁

是實(shí)數(shù)，若疝=83，求矛+y的值.

7

【答案】2

【解析】

,__1

:-2+2y=2+y<X~~27

由題意得12+?=4-丁，解得b=4

2

10.【2014高考遼寧理第24題】設(shè)函數(shù)/(x)=2|x-l|+x-l,g(x)=16x-8x+l(

記/(x)工1的解集為機(jī)g(x)工4的解集為月

(I)求

力⑸+x"⑼￡

(H)當(dāng)xeMClN時(shí)，證明:

4

21/=(x|0<x<—)

【答案】(1)3；(2)詳見解析.

【解析】

3x—3.[1.+x)

⑴/?=<

—

1X:X€(—X.1)

44

當(dāng)x±l時(shí)，由f(x)=3x-341得二，故lWxW

33

當(dāng)x<l時(shí)，由f(x)=l-xSl得xNO,故04x<l；

4

所以/(x)<1的解集為JZ={x|O<x<j).

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/sQ,1A16(x——)工4,———

⑵由g(x)=16x-8x+lM4得4解得44,因此

133

27=(x|--<x<-)Mn^=(x|O<x<-)

44,故4.

當(dāng)xeMDN時(shí)，/W=l-x>于是

x7W+x[/(x)]2=VU)[^+/(x)]

1lol

=V(x)=x(l-x)=--(x--)2<-

r乙T.

c八c—"1—=

11.12014高考全國(guó)1第24題】若a>u,z?>u,且ab

(I)求a，+9的最小值；

(II)是否存在a處,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由.

【答案】(I)4近；(II)不存在.

?Jab=—+—>-廣

【解析】（I）由ab,力，得4522,且當(dāng)。=占=,2時(shí)取等號(hào).故

（?+8322，?艮之4應(yīng)，且當(dāng)。=小=應(yīng)時(shí)取等號(hào).所以Y+9的最小值為4點(diǎn).

（II）由（I）知，2a+比之2#而24店.由于4/>6,從而不存在0力，使

得2a+3b=6.

12.12014高考全國(guó)2第24題】設(shè)函數(shù)/（x）='+!+卜_?（a,0）

（1）證明：

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(II)若/⑶<5,求a的取值范圍.

1+嶼5+V21

———<a<-----------

【答案】(1)見解析(2)22

【解析】

(1)證明：由絕對(duì)值不等式的幾何意義可知：/(x)Iir=a+l>2,當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)，取等號(hào)，所

a

以“X)22.

(2)因?yàn)?(3)<5,所以|^+3|+|a—3|<5=1+3+|a-3|<50|a-3|<2-L=

aaa

1i、1助戶1+而5+01

——2<a-3<2——,解得：———<a<-----------.

aa22

(2013?新課標(biāo)I理)(24)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=|2x—11+|2x+a|,g(x)二產(chǎn)3.

(I)當(dāng)才-2時(shí)，求不等式Ax)Vg(x)的解集；

1

(II)設(shè)a>—1,且當(dāng)xG[—,

]

EQ\*jcO\*，zFont:TimesNewRoman”\*hps24\o(\s\up11(a---

2,EQ\*jcO\*'Font:TimesNewRoman”\*hps24\o(\s\up11(a,22,22

EQ\*jcO\*z，F(xiàn)ont:TimesNewRoman”\*hps24\o(\s\up11(1

2,EQ\*jcO\*，zFont:TimesNewRoman”\*hps24\o(\s\up11(1,2)時(shí)，F(xiàn)(x)W

g(x),求d的取值范圍.

【答案】

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-5x.x<—

2

當(dāng)々=一2時(shí)，令y=悟工一1|+|2工一2|一.丫-3=<MxSl,,做出函數(shù)圖像可知，當(dāng)xe(0.2)Bl,

3x-6;x>1

,故x2a-2對(duì)一￡二；都成立，故一：2a-2,故

（2）依題意,原不等式化為l+aKx+3

故a的取值范圍是:一11

【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)丁=悟了一”+悟芯一2|一，-3,作出函數(shù)圖像，觀察可知結(jié)論;

（2）利用分離參數(shù)法進(jìn)行求解.

（2013?陜西理）A.（不等式選做題）已知a,b,m,n均為正數(shù)，且a+b=l,mn=

2,則（am+bn）（bm+an）的最小值為.

【答案】2

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【解析】由柯西不等式可得

(am+bn)(bn^~an)>jyjam>Jan4-=mn[a+b^=2

(2)(不等式選做題)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式卜一2卜"'1的解