中學數(shù)學《立體幾何》大題及答案解析（理）

1.（2009全國卷I）如圖，四棱錐S—中，底面A3CD為矩形，SDJ_底面ABC。，AD=4i,DC=SD=2,

點M在側棱SC上，ZABM=60。

（D證明：M是側棱SC的中點；

（II）求二面角S—AM—8的大小。

2.（2009全國卷H）如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi中,AB_LAC,D、E分別為AAi、BQ的中點,DE_L平面BCCi（I）

證明：AB=AC（II）設二面角A-BD-C為60。,求BiC及平面BCD所成的角的大小

3.（2009浙江卷）如圖，OCJ_平面AWC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,NAC8=120,P,。分別為

的中點.（I）證明：P。//平面ACO；（II）求A0及平面ABE所成角的正弦值.

4.（2009北京卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，

PD±底面A5CD，點E在棱PB上.（I）求證：平面

AEC1WPDB；（II）當=且E為PB的中點時，求AE及平面

PDB所成的角的大小.

5.(2009江西卷)如圖，在四棱錐尸一4?8中，底面ABC。是矩形，PAJ_平面ABC。，PA=AD=4,AB=2.以

5。的中點。為球心、BO為直徑的球面交PO于點M.

(1)求證：平面平面PCQ：P/V

(2)求直線PC及平面ABM所成的角；/\\

(3)求點O到平面A3A/的距離./\\M

6.(2009四川卷)如圖，正方形ABC。所在平面及平面四邊形43上萬B所在平面

相互垂直，△ABE是等腰直角三角形，

AB=AE,FA=FE,ZAEF=45°(I)求證：平面3CE；

(II)設線段CO、AE的中點分別為P、M,求證：〃平面BCE

(III)求二面角/一的大小。

7.(2009湖北卷文)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SDJ_平面ABCD,SD=AD=a，點E是SD上的點，且DE=Aa(0<2

S1).

(I)求證：對隨意的4e(0、1),都有AC_LBE:S

(II)若二面角C-AE-D的大小為60°C,求九的值。/：\\

8.(2009湖南卷)如圖3,在正三棱柱ABC-4與6中,AB=4,例=4,點D

是BC的中點，點E在AC上，且DE_L^E.(I)證明：平面A1￡)E_L平面

ACC.A；(II)求直線A。和平面4。七所成角的正弦值。

B

H3

9.(2009四川卷)如圖，正方形A3CD所在平面及平面四邊形ABER所在平面相互垂直，△ABE是等腰直角三角形,

AB=AE,FA=FE,ZAEF=45"

(I)求證：EF，平面BCE；

(II)設線段8、AE的中點分別為P、M,

求證：PM//平面BCE

(III)求二面角尸一8Q—A的大小。

10.(2009重慶卷文)如題(18)圖，在五面體A5C￡史尸中，AB//DC,,CD=AD=2,四邊形A5EE為平行四

邊形，E4_L平面ABCD,FC=3,ED=y/l.求:

(I)直線AB到平面EFCD的距離；

(II)二面角尸一AD—E的平面角的正切值.

題(18)圖

11.如圖，四棱錐P-ABC。中，底面A8CD為平行四邊形，ZDAB=60°,AB=2AD,PO_L底面A8CO.

(1)證明：PA1BD；

(2)設PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

12(本小題滿分12分)如圖，己知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB|CD,AC±BD,垂足為H,

PH是四棱錐的高，E為AD中點

(1)證明：PE1BC

(2)若NAPB=/ADB=60°,求直線PA及平面PEH所成角的正弦值

參考答案

I、【解析】（I）解法一：作MN〃S。交CO于N,作交A8于E,

連ME、NB,則AfiVJ_fIiA8Cr）,MEA.AB,NE=AD=6

設MN=x,則NC=EB=x,

在RTAMEB中,NMBE=60°；.ME=6X.

在RT^MNE中由ME2=NE2+MN23x2=x2+2

解得x=l,從而.?.M為側棱SC的中點M.

解法二:過M作C。的平行線.

(ID分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線

定理的方法求作二面角。

過M作M/〃8交SD于，，作陽，A/交A/于”，作HKA.AM交AM于K,則JM〃CD,./M，面

SAD，面SAD1面J?面AMB2SKH即為所求二面角的補角.

法二：利用二面角的定義。在等邊三角形ABA1中過點8作BELA"交40于點F,則點口為AM的中點，

取SA的中點G,連GF,易證GF_LAM,則NGE6即為所求二面角.

解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系D—xyz,則

A(V2,0,0),B(V2,2,0),C(0,0,2),5(0,0,2)。

(I)設M(0,a,b)(a>0,6>0),則

BA=(0,-2,0),BM=(-42,a-2,b)JSM=(0,a,6-2),

SC=((),2,—2),由題得

,即

?2("2)]

?2?yl(a-2)2+b2+22解之個方程組得a=l,b=1即

—2。=2(b—2)

所以M是側棱SC的中點。

2A2—>[-

法2：設SM=；IMC,則M(0,T7I,T7I),MB=(7i,i+I,i+I)

又AB=（0,2,0）,<MB,AB>=60°

故麗?麗=|麗||布|cos60'，即

42+（小心兒

解得4=1,

1+幾

所以M是側棱SC的中點。

（1【）由（1）得疝=（行,一1,-1）,又說=（一痣,0,2）,AB=（0,2,0）,

設％=（巧，/,號）,〃2=（*2，丁2/2）分別是平面54歷、的法向量，貝IJ

且，即且

分別令X]=*2=后得翁=1，『1=1，,2=°，=2，即

1=（衣1,1）,心（國,2）,

.-------2+0+2V6

..COS<>=-----1=—=——

二面角S-AA7-8的大小。

2、解法一：(I)取BC中點F,連接EF,則EF'/,AB,從而EF〃DA。

連接AF,則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。又DE_L平面BCC-故AFJ_平面8CC；,從而AF_LBC,即AF為BC

的垂直平分線，所以AB=AC。

(II)作AG_LBD,垂足為G,連接CG。由三垂線定理知CG1BD,故/AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設知，ZAGC=60°'.

2

設AC=2,則AG=o又AB=2,BC=20,故AF=&。

耳

由=得2AD=,解得AD=JI。

故AD=AF。又ADJ_AF,所以四邊形ADEF為正方形。

因為BC_LAF,BC1AD,AFCAD=A,故BC_L平面DEF,因此平面BCD_L平面DEF。

連接AE、DF,設AEDDF=H,則EH_LDF,EH_L平面BCD。

連接CH,則NECH為fi,C及平面BCD所成的角。

因ADEF為正方形，AD=V2,故EH=1,又EC==2,

所以NECH=30°,即4c及平面BCD所成的角為30°.

的直角坐標系

(r

DE±BC

(11)設平面BCD的法向量AN=(x,y,z),則AN-BC=0,AN-BD=0.

又BC=(-1,1,0),

BD=(-1,0,c)，故

1->1

令x=l,則y=l,z=-,AN=(l,l,-).

又平面43。的法向量AC=（0,1,0）

由二面角A—8。一。為60°知，（赤，衣］60°,

故A^V-AC-|A^-|AC|-COS60O,求得

于是麗=（1,1,揚,西=（1,一1,后）

回，西）=60°

所以30及平面BCD所成的角為30°

3,（I）證明：連接。P,C。，在A4BE中，P,Q分別是AE,AB的中點，所以，又，所以PQgDC,又PQ<z

平面ACD,DCu平面ACD,所以PQ〃平面ACD

（H）在A4BC中，AC=BC=2,AQ=BQ,所以CQ上AB

而DC_L平面ABC,EB//DC,所以EBJ?平面ABC

而E3u平面ABE,所以平面ABE_L平面ABC,所以CQL平面ABE

由（I）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以。尸〃C。

所以DP，平面ABE,所以直線AD在平面ABE內的射影是AP,

所以直線AD及平面ABE所成角是NDAP

在RsMP。中，，八）北+/=正+仔=后,DP=CQ=2smZCAQ=\

所以sinND4P=絲=3=且

AD455

4、【解法1］（I）?..四邊形ABCD是正方形，...ACLBD,

PD1?底面ABC。，

APD1AC,；.AC_L平面PDB,

平面AECL平面PDB.

（II）設ACCIBD=O,連接OE,

由（I）知AC_L平面PDB于O,

ZAEO為AE及平面PDB所的角，

：.O,E分別為DB、PB的中點，

二OE//PD,,又：P￡>_L底面ABC。，

，OEJ_底面ABCD,OE1AO,

在RtZ\AOE中，OE=LpD=^AB=AO,

22

ZAOE=45°,即AE及平面PDB所成的角的大小為45°.

【解法2］如圖，以D為原點建立空間直角坐標系。-孫z,

設AB=a,P￡>=〃,

則A(a,(),0),3(a,a,0),C((),a,()),。(0,(),0),尸((),(),/?),

(I)VAC=(—a,a,0),DP=(0,0,=,

:ACDP^0,ACDB=0,

AACIDP,AC1DB,ACJ?平面PDB,

平面AEC,平面POB.

(II)當=且E為PB的中點時，P(0,0,V2?),E^a,|?,y-a

設ACnBD=O,連接OE,

由(I)知AC_L平面PDB于O,

ZAEO為AE及平面PDB所的角，

..CA_(11V21_(V2

?EA=-a,—a,----ci,EO—0,0,--------a,

2222

\7\7

.-EAEO_V2

??cosNA￡O-,；~：T7一,

網(wǎng).即2

ZAOE=45°,即AE及平面PDB所成的角的大小為45°.

多面體ABCDEF的體積為VE—ABCD+VE—BCF=2J5

5、解：方法（一）：

（1）證：依題設，M在以BD為直徑的球面上，則BM_LPD.

因為PA_L平面ABCD,則PAJLAB,又AB_LAD,

所以ABJ_平面PAD,則ABJ.PD,因此有PDJ_平面ABM,所以平面ABM_L平面PCD.

（2）設平面ABM及PC交于點N,因為AB〃CD,所以AB

PCD,則AB〃MN〃CD,

由（1）知，PD_L平面ABM,則MN是PN在平面ABM上的射

所以NPM0就是PC及平面A8W所成的角，

且NPNM=NPCD

tanNPNM=tanZPCD=—=20

DC

所求角為arctan2J5

（3）因為O是BD的中點，則O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，由（1）知，PD_L平面

ABM于M,則|DM|就是D點到平面ABM距離.

因為在Rt^PAD中，PA=AD=4,PD1AM,所以M為P。中點，DM=2近,則。點到平面ABM的距離等

于正。

方法二:

(1)同方法一；

(2)如圖所示，建立空間直角坐標系，則A(0,0,0),P(0,0,4),8(2,0,0),C(2,4,0),￡>(0,4,0),M(0,2,2),

設平面A3M的一個法向量〃=(x,y,z),由〃，AM可得：，令z=—1,則y=l,即〃=(0,1,-1).設所求角

為a,則，

所求角的大小為.

(3)設所求距離為6由0(1,2,0),40=(1,2,0),得：

6、【解析】解法一：

因為平面ABEF_L平面ABCD,BCu平面ABCD,BC1AB,平面ABEFC平面ABCD=AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC_LEF.

因為ZABE為等腰直角三角形，AB=AE,

所以NAEB=45°,

又因為ZAEF=45,

所以NFEB=90°,即EFJ_BE.

因為BCu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCnBE=B

所以平面3CE

...............................6分

(11)取BE的中點N,連結CN,MN,則MN幺-AB^PC

2

PMNC為平行四邊形，所以PM//CN.

*/CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內，

/.PM〃平面BCE................................8分

(III)由EA±AB,平面ABEF_L平面ABCD,易知EA_L平面ABCD.

作FG±AB,交BA的延長線于G,則FG〃EA.從而FG_L平面ABCD,

作GH±BD于H,連結FH,則由三垂線定理知BD1FH.

ZFHG為二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,ZAEF=45°,

ZAEF=90°,ZFAG=45°.

設AB=1,則AE=1,AF=^，貝iJFG=AF-sinFAG=-

22

13

在Rt/BGH中，ZGBH=45°,BG=AB+AG=1+—=—,

22

o/o逑

GH=BG-sinGBH=--—

22~T~

在Rt/FGH中，，

二面角尸一8D-A的大小為

...............................12分

解法二：因A48E等腰直角三角形，AB=AE,所以

又因為平面ABEfc平面48co=A8,所以AE_L平面43cD,

所以AELAD

即A。、AB、AE兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系，

(I)設AB=1,則AE=1,B(0,l,0),0(1,0,0),E(0,0,l),C(l,l,0)

,/FA=FE,ZAEF=45°,/.ZAFE=90°,

從而

,BE=(0-1,1),(1,0,0)

------11--,—―

于是E尸8^=0+±一±=0,EFBC=U

22

：.EF±BE,EF±BC

「BEU平面5CE,8Cu平面BCE,BCcBE=B

：.EF±平面3CE

(II),從而

-----1111]i

于是尸=(一1,一一,-)-(0,一一,一一)=0+-----=0

222244

APMA.EF,又平面BCE,直線不在平面BCE內,

故PM〃平面BCE

(III)設平面的一個法向量為4,并設/=(x,y,z)

—--"31

fi￡>=(l,-l,0),BF=(0-p-)

即

取y=l,則x=l,z=3,從而〃]=(1,1,3)

取平面A8OD的一個法向量為%=(0,0,1)

“「4_33vH

COS<〃]、〃2

口同加11

故二面角尸―BO—A的大小為

7、(I)證發(fā)1：連接BD,由底面是正方形可得ACJ.BD。

：SD_L平面ABCD,;.BD是BE在平面ABCD上的射影,

由三垂線定理得AC1BE.

(II)解法1：:SD，平面ABCD,CDu平面ABCD,SD1CD.

又底面ABCD是正方形，，CD1AD,又SDp|AD=D,，CD_L平面SAD。

過點D在平面SAD內做DF_LAE于F,連接CF,則CF1AE,

故NCFD是二面角C-AE-D的平面角，即NCFD=60°

在RtAADE中，：AD=a,DE=Aa,AE=aV/l2+1?

于是，DF=

在RtZkCDF中，由cot600

得，即，3才+3=32

/le(O,l],解得力=苗

8、解：(I)如圖所示，由正三棱柱ABC—AqG的性質知AA_L平面A5C.

又。Eu平面ABC,所以OEJ_4A.而DEJ.A|E,AA,\E=\,

所以。平面ACGA?又OEu平面AQE,

故平面AOEJ■平面ACGA.

(II)解法1:過點A作AF垂直AE于點尸，

連接。尸.由(1)知，平面4￡>E_L平面AC￡4,

所以AF_L平面A^DE，故NAD/7是直線AD和

平面ADE所成的角。因為。E_LACGA，

所以。E_LAC.而AABC是邊長為4的正三角形，

于是AD=26AE=4-CE=4-=3.

又因為AA=a，所以AE=\E=7M2+A￡2=V（^7）2+32=4,

sin/A〃=辿=叵

AD8

即直線4。和平面4OE所成角的正弦值為巨

8

解法2:如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系，

則相關各點的坐標分別是A(2,0,0,),A|(2,0,、/7),D(-l,G,0),E(-1,0,0).

易知4力=(-3,石，-幣),DE=(0>-A/3,0),AD=(-3,石,0).

設3=(x,y,z)是平面ROE的一個法向量，則

（TUUWL

n-DE=73y=0,

<rULUWj-「

n,A^D=—3x+J3y—J7z=0.

解得.

故可取Ji=（77,0,—3）.于是

由此即知，直線A。和平面ADE所成角的正弦值為粵

所以ME及BN不共面，它們是異面直線?！?.12分

9、【解析】解法一：

因為平面ABEF_L平面ABCD,BCu平面ABCD,BC1AB,平面ABEFCI平面ABCD=AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC1EF.

因為ZABE為等腰直角三角形，AB=AE,

所以NAEB=45°,

又因為NAEF=45,

所以NFEB=90°,即EF_LBE.

因為BCu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCnBE=B

所以政，平面8CE...........6分

(II)取BE的中點N,連結CN,MN,則MNX-A5幺PC

2

PMNC為平行四邊形,所以PM//CN.

CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內，

PM〃平面BCE................................8分

(III)由EA_LAB,平面ABEF_L平面ABCD,易知EA_L平面ABCD.

作FG1AB,交BA的延長線于G,則FG〃EA.從而FG_L平面ABCD,

作GH1BD于H,連結F1I,則由三垂線定理知BD1FIL

ZFHG為二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,ZAEF=45°,ZAEF=90°,ZFAG=45".

設AB=1,則AE=1,AF=^-,則FG=AF-sinFAG=—

22

*4。13

在Rt/BGH中，ZGBH=45",BG=AB+AG=l+—=—

22

runr?PnU3收3收

GH=BG-sinGBH=—?——----,

224

在Rt/FGH中，，

二面角尸一8D-A的大小為.......12分

解法二：因A4BE等腰直角三角形，AB=AE,所以

又因為平面ABEfc平面48c￡>=A8,所以AE_L平面A3CD,所以

即A。、AB.AE兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系，

(I)設45=1,則AE=1,B(0,l,0),D(l,0,0),E(0,0,l),C(l,l,0)

FA=FE,ZAEF=

從而

,BE=(0-1,1),BC=(1,0,0)

--*.11--------

于是EF-8E=0+-----=0,EFBC=0

22

:.EF±BE,EF1BC

???3Eu平面BCE,BCu平面BCE,BCcBE=B

：.EF±平面3CE

(II),從而

——■—■111111

于是PM-EF=(-1,--)-(0,--)=0+---=0

222244

:.PM工EF,又EF,平面BCE,直線PM不在平面BCE內,

故PM〃平面BCE

(III)設平面8。尸的一個法向量為并設［=(x,y,z)

—BD="(l,-l,0),-fi-F=(0-311)

即

取y=l,則x=l,z=3,從而々=(1,1,3)

取平面A8DD的一個法向量為%=(0,0,1)

3VH

n}-n2_3

COS<幾］、〃2>=

麗511

故二面角尸一3。一A的大小為

10、解法一：(I)?ABOC,OCu平面EfCD,;.AB到面EFCD的距離等于點A到面EFCO的距離，過點A

作AGLED于G,因AB〃OC,故CD,AO；又-E4J_平面ABC。，由三垂線定理可知，CDLFD,故

CD1ffiFAD,知C￡>J_AG,所以AG為所求直線AB到面EFCD的距離。

在MZXA3C中，F(xiàn)DAFC—CD?=希二=#)

由E4J_平面ABCD,得E4LAD,從而在RrAFAD中，F(xiàn)A=yjFD2-AD2=75^4=1

AG=FAAD=義=漢1。即直線AB到平面EECD的距離為拽.

FDJ555

(II)由己知，E4J_平面A8CQ,得E4LAD,又由，知ADLA3,故49,平面ABFE

DALAE,所以，NE4E為二面角產一AD—E的平面角，記為夕

在吊△AED中，AE=NED2_AD?=77^=6,由LABC。得,FEBA,從而

在Hr^A所中，F(xiàn)E=dAE2-AF°=4^1=無，故

所以二面角/一A￡>—E的平面角的正切值為3.

解法二：

(I)如圖以A點為坐標原點,AB,ARAP的方向為

直角坐標系數(shù)，則

A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)設廠(0,0,z。)(z0>0)可得收=(2,2,—z。),由IFC1=3.即12?+2之+z：=3,解

得尸(0,0,1)AB//DC,

。。u面EFCD,所以直線AB到面EFCD的距離等于點A到面EFCD的距離。設A點在平面EFCD上的射影

點為G(%,y”zJ,則4G=(%,y,Z1)因AG-￡)