第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法（理）

基礎(chǔ)如艱要打牢強(qiáng)雙基固本源得基礎(chǔ)分掌握程度

11ICHUZHISHIYAIII

［知識(shí)能否憶起］

數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)"有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

⑴（歸納奠基）證明當(dāng)〃取第一個(gè)值時(shí)命題成立；

（2）（歸納遞推）假設(shè)々eN*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)〃=4+1時(shí)命題也成立.

只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從m開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明

方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.

［小題能否全?。?/p>

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明MedgeN,〃23）,第一步應(yīng)驗(yàn)證（）

A.n—1B.n—2

C.n=3D.n=4

答案：C

2.（教材習(xí)題改編）已知〃為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1一4+〈一）+…一!=

,34n

+士+…+白時(shí)，若已假設(shè)"=內(nèi)衣》2且左為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納

1/7十2〃十4Z/7/

假設(shè)再證（）

A.〃=4+1時(shí)等式成立B.〃=4+2時(shí)等式成立

C.〃=2幺+2時(shí)等式成立D.〃=2（*+2）時(shí)等式成立

解析：選B因?yàn)椤榕紨?shù)，故假設(shè)〃=在成立后，再證〃=4+2時(shí)等式成立.

3.已知f（n）=,+一^+----HA,則（）

nn+1〃十2n

A.f（〃）中共有/?項(xiàng)，當(dāng)〃=2時(shí)，/（2）

40

B.F5）中共有〃+1項(xiàng)，當(dāng)〃=2時(shí)，/（2）=1+^+7

C.f（〃）中共有4一〃項(xiàng)，當(dāng)〃=2時(shí)，A2）=|+1

D.f(〃)中共有"2一〃+1項(xiàng)，當(dāng)"=2時(shí)，/⑵=<+<+)

z<5q

解析：選D由f(〃)可知，共有〃+1項(xiàng)，且〃=2時(shí),f?⑵=<+]+；.

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+干+…+2"+i=2'*2-l(〃eN*)的過(guò)程中，在驗(yàn)證〃=1時(shí)，

左端計(jì)算所得的項(xiàng)為_(kāi)______.

答案：1+2+2?

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+:+；+~+歹=〈"(〃>1)"，由〃=aa>D不等式成立，

推證〃=4+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是.

解析：當(dāng)77=4時(shí)，，不等式為----卜21tLi

則〃=衣+1時(shí)，左邊應(yīng)為：

,1.1,,1,1,1,,1

1+/5+…+口+好+FTT+…+產(chǎn)匚？

則增加的項(xiàng)數(shù)為2*+'—1—2*+1=2*.

答案：2"

數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

(1)數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，它們的表述嚴(yán)格而且

規(guī)范，兩個(gè)步驟缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假

設(shè)起著“已知條件”的作用，在〃=〃+1時(shí)一定要運(yùn)用它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.第二步

的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”.

(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的過(guò)程中，要注意從在到衣+1時(shí)命題中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的變化,

防止對(duì)項(xiàng)數(shù)估算錯(cuò)誤.

也?高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)|學(xué)技法|得撥高分|掌握程度

**用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式

占典題導(dǎo)入

［例1］設(shè)Az?)=1+1+^---b］("eN*).

求證：AD+/(2)4---(〃-1)=??［*〃)-1］(〃22,〃￡N*).

［自主解答］(1)當(dāng)〃=2時(shí)，左邊=〃1)=1,

右邊=2(1+[—1)=1,

左邊=右邊，等式成立.

(2)假設(shè)〃=衣々》2,—時(shí),結(jié)論成立，即

AD+/(2)H—FAA—D=Mya)-i],

那么，當(dāng)〃=4+1時(shí)，

Ai)+A2)+-+/a-i)+/a)=A-[/a)-u+/a)

=%+i)/■(★)一★

=(〃+l)f衣+—TTT—k

K\1

=(A+I)/U+I)—(a+D

=U+i)[ra+D-i],

二當(dāng)〃=A+I時(shí)結(jié)論仍然成立.

由(1)(2)可知：/(1)+/'(2)2-----f(〃-1)=〃[/■(知—*1](〃22,〃GN*).

3由題悟法

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的規(guī)則

(1)數(shù)學(xué)歸納法證明等式要充分利用定義，其中兩個(gè)步驟缺一不可，缺第一步，則失去

了遞推基礎(chǔ)，缺第二步，則失去了遞推依據(jù).

(2)證明等式時(shí)要注意等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，兩邊各有多少項(xiàng)，并注意初始值團(tuán)是多少,

同時(shí)第二步由〃=么到n=k+l時(shí)要充分利用假設(shè)，不利用〃=在時(shí)的假設(shè)去證明，就不是數(shù)

學(xué)歸納法.

3以題試法

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的〃6N*，e+2+???+------------------=丁27

證明：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，左邊右邊=,,乂、1=4,左邊=右邊，所以等式成

1AooZA1-r1o

立.

(2)假設(shè)當(dāng)且A21)時(shí)等式成立，叩有

1,1,.1k

1X3+3X5++

k—k+~2k+V

則當(dāng)n=k+l時(shí)，

1,1....11

1X33X5^

k—k+k+k+

_k1kk++1

2k+\1k+k+k+k+

2A■'+34+14+14+1

k+A+24+34++1

所以當(dāng)〃=4+1時(shí)，等式也成立.

由(1)(2)可知，對(duì)一切“GN*等式都成立.

_________________用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

&典題導(dǎo)入

［例2］等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為$,已知對(duì)任意的〃GN",點(diǎn)(〃，S)均在函數(shù)

+r(6>0且6W1,b,r均為常數(shù))的圖象上.

⑴求「的值；

⑵當(dāng)b=2時(shí)，記6〃=2(log2a+1)(〃￡“)，證明：對(duì)任意的不等式

*bz....bny〃+l成立.

［自主解答］(1)由題意，$=6+八

當(dāng)〃22時(shí)，SLI=Z/I+_T.

/J1-

所以an=Sn—Sn-1=Z?-(A1).

由于b>0且bWL

所以〃22時(shí)，｛a｝是以6為公比的等比數(shù)歹U.

又a\=b+rf&=b(b-l),

:母=b,即°?----=b,解得r=-L

aib+r

⑵證明：由⑴知&=21，

因此Z?/,=2n(/?GN*),

2+14+12/?+1

所證不等式為yjn+1.

242n

O

①當(dāng)月=1時(shí)，左式=5,右式=也，

左式,右式，所以結(jié)論成立.

②假設(shè)〃=A(A2LA&N*)時(shí)結(jié)論成立，即W°....則當(dāng)〃=

k+1時(shí)，

2+14+12k+l24+3r—2A+324+3

1—?….FA+->小+1-—=/粉，

要證當(dāng)n=k+\時(shí)結(jié)論成立,

只需證瑞，尸

即~A4-A+,

由基本不等式知得m=上~~尸土一21二k+一成立,

故恭T三"成立’

所以，當(dāng)〃=4+1時(shí)，結(jié)論成立.

由??可知，時(shí)，不等式空.空?….怨》g成立，

2由題悟法

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題

(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)〃有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)

學(xué)歸納法.

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由成立，推證〃=衣+1時(shí)也成立，證明時(shí)用

上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.

務(wù)以題試法

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+.+打…+/<2—3"6,42).

1513

證明：(1)當(dāng)〃=2時(shí)，1+夕=彳<2—5=5，命題成立.

⑵假設(shè)〃=4時(shí)命題成立，即1+抖/+…

當(dāng)〃=々+1時(shí)，----\~^+-7T2<2—7+—7T?<2—y+-~~73：=

23kk+kk~\-kkk+

kkk+1

=2一67命題成立.

KI1

由(1)(2)知原不等式在〃22時(shí)均成立.

歸納一猜想一證明

??■________________________________

心典題導(dǎo)入

[例3](2012?天津模擬)如圖，尸i(xi,yi),Pi1X2,㈤，…，P人X”,%)(OV—V.V…

V%)是曲線G/=3x(y2o)上的〃個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)4(&,0)(，=1,2,3,…，〃)在x軸的正半軸上,

且△4—14E是正三角形(4是坐標(biāo)原點(diǎn)).

⑴寫出句、色、&；

⑵求出點(diǎn)4(a,0)(〃￡N")的橫坐標(biāo)&關(guān)于〃的表達(dá)式并證明.

[自主解答](1)國(guó)=2,4=6,a.3=12.

(2)依題意，得用產(chǎn)小：”,%=木?”；,由此及或=3?藥得

(a+&-1)，即(&—&-】)2=2(&L1+4).

由(1)可猜想：&=〃(〃+1)0?￡N*).

下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：

①當(dāng)?shù)?1時(shí)，命題顯然成立；

②假定當(dāng)〃=4時(shí)命題成立，即有為=4(4+1),則當(dāng)〃=4+1時(shí)，由歸納假設(shè)及⑸+i

—a)2=2(a?+&+】)，得[&+1一A(〃+1)『=2[A(A+1)+&+J,即a^+i—2(A2+A+1)a*+i+

[左(4—1)]?[(A+l)(A+2)]=0,解之得，&+i=(4+1)(4+2)(a+i=4(4—1)Va不合題意,

舍去)，即當(dāng)〃=4+1時(shí)成立.由①②知，命題成立.

&由題悟法

“歸納一一猜想一一證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模

式.其一般思路是：通過(guò)觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這

種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用.其關(guān)鍵是

歸納、猜想出公式.

務(wù)以題試法

3.(2012?北京海淀模擬)數(shù)列｛a〃｝滿足5=2〃一&(〃eN*)

(1)計(jì)算科，陵,&3,2,并由此猜想通項(xiàng)公式為;

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.

解：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，a]=S=2—ai,

??&=1.

當(dāng)?shù)?2時(shí)，國(guó)+/=S=2X2一/，

當(dāng)〃=3時(shí)，功+。2+例=$=2><3—4,

7

當(dāng)〃=4時(shí)，&+4+4+4=2=2乂4—囪,

15

o

2"—1

由此猜想&=Fk(〃CN.).

(2)證明：①當(dāng)〃=1時(shí)，ai=l,結(jié)論成立.

2,—1

②假設(shè)n=k(kA且MN*)時(shí)，結(jié)論成立，即a=之一，那么n=k+\時(shí),

a*+i=S+i-Sk=2(4+1)-a+i—2A'+a=2+dk-dk+if

??2?+】=2+&,

2k-l

+l

.2+a.2+-2*-l

??8+1=-2-=2=2"，

這表明〃=4+1時(shí)，結(jié)論成立，

2"-1

由①②知猜想為=干-成立.

田I解題訓(xùn)練要高效抓速度I抓規(guī)范I拒絕眼高手低I掌握程度

A級(jí)全員必做題

1.如果命題〃(〃)對(duì)n=k(kRN*)成立,則它對(duì)n=k+2也成立.若p(〃)對(duì)n=2也成立，

則下列結(jié)論正確的是()

A.°5)對(duì)所有正整數(shù)〃都成立

B.05)對(duì)所有正偶數(shù)〃都成立

c.p(〃)對(duì)所有正奇數(shù)〃都成立

D.05)對(duì)所有自然數(shù)〃都成立

解析：選B由題意〃=在成立，則〃=4+2也成立，又〃=2時(shí)成立，則p(/7)對(duì)所有正

偶數(shù)都成立.

111127

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+5+7+~+祈7＞署"(〃6")成立，其初始值最小應(yīng)取

Z4Z04

()

A.7B.8

C.9D.10

解析：選B可逐個(gè)驗(yàn)證，〃=8成立.

3.(2013?海南三亞二模)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+于+…+21=2"-1(〃GN")”的

過(guò)程中，第二步〃=在時(shí)等式成立，則當(dāng)〃=4+1時(shí)，應(yīng)得到()

A.1+2+2?+…+2*T+2i=2*+i—1

B.1+2+2?+…+2*+2什1=2*—1+2~

C.1+2+2'+…+21+2"'=2"‘一1

D.1+2+22+*78--+2*-'+2*=2^1-1

解析：選D由條件知，左邊是從2°2一直到2門都是連續(xù)的，因此當(dāng)〃=〃+1時(shí)，左

t+,

邊應(yīng)為1+2+2?+…+2'T+2”,而右邊應(yīng)為2-l.

4.凸〃多邊形有f(〃)條對(duì)角線，則凸5+1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)『("+1)為()

A./■(〃)+/?+1B.f(n)+n

C.f(n)+n~1D.『(〃)+"—2

解析：選C邊數(shù)增加1,頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個(gè)，它與和它不相鄰的77-2個(gè)頂點(diǎn)連接成

對(duì)角線，原來(lái)的一條邊也成為對(duì)角線，因此，對(duì)角線增加〃一1條.

5.在數(shù)列｛a〃｝中，ai=1,且S,=n(2/?—1)a?,通過(guò)求a>,a3,&,猜想a〃的表達(dá)式為()

n~〃+及2n〃+

n-〃+-n+n+

a,==,S,==

解析：選C由a尸g,S產(chǎn)"(2/Ll)a〃求得355x7637X9'

6.下列代數(shù)式(其中AGN*)能被9整除的是()

A.6+6?7"B.2+7*-'

C.2(2+7"+')D.3(2+7，

解析：選D(1)當(dāng)4=1時(shí)，顯然只有3(2+7')能被9整除.

(2)假設(shè)當(dāng)A=〃(〃GN')時(shí)，命題成立，即3(2+7)能被9整除,那么3(2+7+)=21(2

+70-36.

這就是說(shuō)，A=〃+l時(shí)命題也成立.

由(1)(2)可知，命題對(duì)任何AGN*都成立.

7.(2012?徐州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)〃為正奇數(shù)時(shí)，/+/能被x+y整除”，

當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)〃=2%—IJCN*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證〃=時(shí)，命題亦真.

解析：〃為正奇數(shù)，假設(shè)〃=2左一1成立后，需證明的應(yīng)為〃=24+1時(shí)成立.

答案：2A+1

■t_|_2

8.(2012?濟(jì)南模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…則當(dāng)n=k+\時(shí)左

端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為.

解析：當(dāng)〃=/時(shí)左端為

1+2+3+…+〃+(左+1)+(4+2)+…+后

則當(dāng)〃=5+1時(shí)，左端為

1+2+3+…+如+(如+1)+(一+2)+…+—+1)2,

故增加的項(xiàng)為(力+1)+(一+2)+…+(4+1)2.

答案：(2+1)+(『+2)+…+(4+1)2

9.設(shè)數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S”且對(duì)任意的自然數(shù)〃都有：($—1)2=&$,通過(guò)計(jì)算

S,&,S,猜想s“—.

解析:由(S—1)2=5得：s斗

2

由(S—1)~=(S—S)S得：￡=§；

3

由(S—1)~=(&-￡)S得：￡=].

猜想s尸窗.

答案：<1

n+1

10.用數(shù)學(xué)歸納法證明：l2+32+52+-+(2n-l)2

=1/?(4/?2—1)?

證明：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=「=1,右邊=IX(4—1)=1,等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)〃時(shí)等式成立，即12+32+52+-+(2/-1)2=|W2-1).

則當(dāng)〃=4+1時(shí)，J+32+52+…+(24—1)2+(24+1)2=)屋42—1)+(24+1)2=

一1)+4如+4什1

=；4[4(4+1)2-1]?4(24+1)+4六+44+1

=<就4(4+1)2—1]+!(12a2+124+3—8芯―4公

<5J

=；4[4(4+1)2—1]+；[4(4+1)2—1]

OJ

=<(4+1)[4(4+1)2—1].

O

即當(dāng)n=k+l時(shí)等式也成立.

由(1),(2)可知，對(duì)一切等式都成立.

b

11.已知點(diǎn)4)滿足&+1=4?兒+”-+i=]_「[()WN*),且點(diǎn)衣的坐標(biāo)為(1,

-1).

(1)求過(guò)點(diǎn)R,K的直線/的方程；

(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于〃￡N”,點(diǎn)月都在(1)中的直線/上.

解:(1)由題意得a=1,&=-L

-1111(\n

&=1-4X1=1'a2=lXg=§,..21，jj.

直線1的方程y為+1干x-—1,即2*+y=1.

—+11

33

(2)①當(dāng)?shù)?1時(shí)，2a+5=2X1+(―1)=1成立.

②假設(shè)〃=衣(421且4￡N*)口寸，2a+兒=1成立.

bk

則2a+i+bk+i=2ak?bk->r\~\~&+i=]]；；?(2&+1)

bk1-2a

1—2編1—2ak'

，當(dāng)〃=4+1時(shí)，28+|+尻H=1也成立.

由①②知，對(duì)于〃￡N*,都有2a+以=1,即點(diǎn)只在直線/上.

12.設(shè)數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為SR,且方程x—anx-an=Q有一根為S—1,〃=1,2,3.......

⑴求功，也；

(2)猜想數(shù)列｛￡｝的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明.

解：⑴當(dāng)〃=(時(shí),8=0有一根為S—1=a—1,

于是(a[一I)、一8(8—1)-ai=O,

解得句=*

當(dāng)〃=2時(shí)，V—4=0有一根為￡—1=/一看于是(4一J"一4(/一J一改=0,

解得也

6

(2)由題設(shè)(S—1)'—&(S-1)-&=0,

即或-25+1一45=0.

當(dāng)〃22時(shí),an=Sn—Sn-\9

代入上式得STSL2S+1=0.①

由⑴得S=ai=1,

S=勁+a2='+w=g.

由①可得&=，.由此猜想S〃=~^7，〃=1,2,3….

4〃十1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.

(i)〃=l時(shí)已知結(jié)論成立.

(「)假設(shè)〃=以左21,衣CN*)時(shí)結(jié)論成立，

口nk

即￡二市,

當(dāng)n=k+l時(shí)，由①得￡+1=21§，

4+1

即S+i=7ZV，故〃=〃+1時(shí)結(jié)論也成立.

KI乙

綜上，由(i)(ii)可知$=￡對(duì)所有正整數(shù)〃都成立.

〃十1

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明"("+1)(〃+2)…(〃+〃)=2"義1X3X-X(2/2-1),〃eN"”時(shí),

從“n=k”變到“〃=衣+1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是()

A.24+1B.2(2〃+1)

2A+12A+3

C-----D-----

k+1,k+\

解析：選B當(dāng)〃=A(A￡N*)時(shí)，

左式為(4+1)(A+2)…(4+4)；

當(dāng)〃=4+1時(shí)，左式為(A+1+1)?(A+1+2).....(A+1+A-1)?(4+1+左)?(A+1

+A+1),

則左邊應(yīng)增乘的式子是一ri-------=2(24+1).

K~\1

2.對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方暴有如下分解方式：

22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7；23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.

根據(jù)上述分解規(guī)律，若力2=1+3+5+…+19,據(jù)①3*)的分解中最小的數(shù)是21,則加

+〃的值為一.

解析：?.?依題意得〃2=-----產(chǎn)——=100,77=10.易知層=210+嘰片一X2,

整理得(卬一5)(必+4)=0,又mWN"所以m=5,所以勿+〃=15.

答案：15

3.已知/'(〃)=1+了+不+/-1---1--,￡(〃)=$一白，〃wN".

/j4n乙//?

(1)當(dāng)〃=1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(〃)的大小關(guān)系；

(2)猜想F5)與g(〃)的大小關(guān)系，并給出證明.

解：(D當(dāng)"=1時(shí)，AD=Lg(D=l,所以/U)=g(l);

911

當(dāng)n=2時(shí)，f(2)g(2),

oo

所以F(2)Vg(2)；

w4\251/、312

當(dāng)〃=3時(shí)，y(3)=°]g⑶=9i

ZioZlb

所以所3)Vg(3).

(2)由(1)猜想An)Wg(〃),下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.

①當(dāng)〃=1,2,3時(shí)，不等式顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)〃=4(423,AGN*)時(shí)不等式成立，

即1+J+3+%----7^2,那么，當(dāng)〃=〃+1時(shí)，

乙JK乙乙K

1311

-f

m+i=m)HA+3<22左+

1______11]_+3__1-3^-1

因?yàn)?+―k+―j-k+一~~2p=_k+―T<0,

3i

所以f(〃+l)<J---------7=g(jt+l).

乙K\

由①②可知，對(duì)一切〃eN*,都有/X4WgS)成立.

建師備選題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明@小+(&+1)2|(〃610能被J+a+l整除.

證明：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，a?+(a+l)=才+a+l可被才+a+l整除.

⑵假設(shè)〃=4(4)1,AGN*)時(shí)，

a*+'+(a+1)?1能被才+a+l整除,

則當(dāng)力=衣+1時(shí)，

a*+儲(chǔ)+1嚴(yán)&?a++(a+l)“a+l)2i

=a?a^'+a-(a+l)2*-'+(a2+a+l)(a+1)2*-1

=a[a-'+(a+l)2i]+(a2+a+l)(a+l)2W

由假設(shè)可知a[a-+(a+l)2i]能被摑+a+l整除，(a'+a+l)(a+l)?-也能被才+a

+1整除，

a*+2+(a+1)”也能被才+a+1整除,

即n=k+1時(shí)命題也成立，

由(1)(2)知，對(duì)任意〃GN*原命題成立.

2.在數(shù)列｛a,,｝中，ai=l,&+1=。&+小|(2〃+1),〃6N*,其中cWO.求數(shù)列｛&｝的通

項(xiàng)公式.

解：由ai=l,a2=ca\+c?3=3c+c

=(22—1)c~+c,

ai—caz+c,5=8<?+<?=(32-1)c3+d,

ai=ca+c,7=15c'+c,t=(4'—1)c+c,

猜測(cè)&=(——i)c〃+c"T,neN*.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)。=1時(shí)，等式成立；

假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，

2

即ak—(/r—1)c-\-c則當(dāng)n=k+l時(shí)，

a*+i=ca*+c+'(2A+1)

=c-[U2-l)?+?-]+/+1(24+1)

=(^+2A)?+1+?=[a+l)2-l]?+1+?,

綜上，a.=5—1)c"+尸對(duì)任何都成立.

階段驗(yàn)收評(píng)估(四)

不等式、推理與證明

一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分)

X—9

1.不等式fWO的解集是()

A+1

A.(-8,-1)u(-1,2]B.(-1,2]

C.(-8,-1)U[2,+8)D.[-1,2]

x—2

解析：選BV—TT^O,

x+1

2.把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間，結(jié)論還正確的是()

A.如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也與另一條相交

B.如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則也與另一條垂直

C.如果兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行

D.如果兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直，則這兩條直線平行

解析：選B由空間立體幾何的知識(shí)可知B正確.

3.(2012?保定模擬)已知a>8,則下列不等式成立的是()

A.a’一彥》0B.ac>be

C.ac>bcD.2">2"

解析：選DA中，若a=-1,6=-2,則才一62不成立；當(dāng)c=0時(shí)，B、C不成立.由

知2">2"成立.

4.若規(guī)定［=ad-bc,則不等式0<［口<1的解集是()

A.(-1,1)B.(-1,0)U(0,1)

C.(-72,-1)U(l,4)D.(1,的

解析：選C由題意可知ovf—1<1=1<才2<2=1<3</=一能</<—1或IV

x<y［2.

2x+y—220,

5.(2012?天津高考)設(shè)變量y滿足約束條件卜一27+4>0,則目標(biāo)函數(shù)z=

/TWO,

解析：選B不等式表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分，作輔助線1°：3x—2y=0,

結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線3*—2尸z平移到過(guò)點(diǎn)(0,2)時(shí)，z=3x—2y的值最小，最小值為一

4.

a—1

6.設(shè)aCR,則是成立的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分也非必要條件

解析：選C因?yàn)?一a+l=(a—廿2+'2,>0,所以由」一<o得a〈l,不能得

\2/44a—a1+1

知|a|<l；反過(guò)來(lái)，由|a|Vl得一所以「一］|<0,因此，“廠［<0”是

a—a十1a-a十1

成立的必要不充分條件.

7.設(shè)，井=(1-1)&一",且a+6+c=l(a,b,c均為正數(shù))，由綜合法得M的取

值范圍是()

1--

1

---」)

O,8B.8

--

8-D

8,+8)

解析：選D由女+力+。=1,

Y+■迸+盥+■翡8(當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)取等號(hào)).

8.如果a,b,。滿足eV力Va,且acVO,那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是()

A.ab>acB.c{b~a)>0

C.cl)<a/fD.ac(a—c)<0

解析：選C由題意知cVO,a>0,則A一定正確；B一定正確；D一定正確；當(dāng)力=0

時(shí)C不正確.

3，*20，

9.已知函數(shù)/U)='2,則/■(Hx))與l的充要條件是()

[%,>￥<0,

A.(—8,—y^2]

B.x￡[4卷+8)

C.(-oo,-i]u[4^/2,+8)

D.(—8,—U[4,+°°)

V/

解析：選D當(dāng)x20時(shí)，f(f(x))=a2l,所以x24；當(dāng)xVO時(shí)，*(-(力)=萬(wàn)21,

所以步22,解得心嫡(舍去)或后一鏡,因此A/V))21的充要條件是正(—,-721

U[4,+8).

(2x—y+220,

10.(2012-山西省四校聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，8x—y—4W0,若目標(biāo)函

〔x20,y20,

數(shù)z=abx+y(a>0,6>0)的最大值為13,則a+力的最小值為()

A.2B.4

C.6D.8

解析：選C在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線a-+y=O,平

移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（1,4）時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最大，

此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=a"+y（a>0,。>0）取得最大值，依題意有a6X1+4=13,即助=9,其

中a>0,Z?>0,a+b，2vb=2木=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=3時(shí)取等號(hào)，因此a+b的最小值

為6.

11.已知〃是△/胸內(nèi)的一點(diǎn)，且A5-AC=2yf3fN刈C=30°,若△初%、IXMCA

114

和△物8的面積分別是J、x、y,則一+-的最小值是（）

2xy

A.9B.18

C.16D.20

解析：選BAB?AC=IAB\ACIcos30°=2鎘，

A|ABAC|=4,A^=|x4Xsin30°=1,

.??/+x+y=l,即2(x+y)=1,

?2G+y)

=2(5+"駢2(5+2

=2X（5+4）=18,當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,即時(shí)等號(hào)成立.

o,J

12.（2012?湖南高考）設(shè)a>6>l,X0,給出下列三個(gè)結(jié)論:

01>p?a<b\③log〃（a—c）>log“（6—c）.

其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①B.①②

C.②③D.①②③

解析：選1）由臥力1,“0得，蕓，急基函數(shù)y=x'（c〈0）是減函數(shù)，所以43；

因?yàn)閍-c>b—。，所以log〃Q—c）>logKa-c）>log〃（Z?一。），①②③均正確.

二、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）

13.(文)若不等式一4V2x—3<4與不等式V+px+qVO的解集相同，則".

解析：由一4V2x—3V4

,17

得/r一5VXV5,

由題意得^一；=_。，

即〃=-3,q=-；,

小自12

答案：—

13.(理)若/"(『)=12+22+32+…+(2),則/U+1)與/U)的遞推關(guān)系式是.

解析：?."(4)=『+2?+…+(2獷，

：.f(k+1)=l2+22+-+(2A)2+(2A+1)2+(24+2產(chǎn)；

f(k+1)=f(衣)+(2X+1)2+(24+2)：

答案：H4+1)=f(A)+(24+1)?+(24+2)2

14.(2012?福州模擬)如圖，一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第〃行的首尾兩個(gè)數(shù)均為

,第〃行的第2個(gè)數(shù)為.

解析：每行的第一個(gè)數(shù)可構(gòu)成數(shù)列1,3,5,7,9,…，是以1為首項(xiàng)，

1

以2為公差的等差數(shù)列，故第〃行第一個(gè)數(shù)為1+2(〃―1)=2〃-1.33

從第2行起，每行的第2個(gè)數(shù)可構(gòu)成數(shù)列3,6,11,18,…，可得a3565

711117

=

—/=3,a一為=5,a—a=7,…，3n—3n-\2n-3.91822189

(其中〃為行數(shù))，以上各式兩邊分別相加，可得&=[3+5+7+…

77—F3~H

+(2〃-3)]+色=-----------------------+3=/?2-2/?+3,

答案：2n—1n—2"+3

y+1》0,

15.(2012?浙江調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x,y滿足°',若(-1,0)是使ax+y取

[2x—y+230,

得最大值的可行解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：題中不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，☆z=ax+y,則尸一ax+z,

因?yàn)椋ㄒ?,0）是使ax+y取得最大值的可行解，所以結(jié)合圖形可知一a22,即aW—2.

答案：（-8,—2]

，W2,

16.（2012-北京西城模擬）設(shè)4>0,不等式組，所表示的平面區(qū)域

、x+2/y20

是死給出下列三個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)兒=1時(shí)，/「的面積為3：

②m，>0,使/是直角三角形區(qū)域；

③設(shè)點(diǎn)P（x,y）,VP&/有X+4<4.

A

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是一

.后2,

解析：當(dāng)a=1時(shí)，不等式組變成《x-y20,其表示以點(diǎn)（0,0）,（2,2）,（2,一

1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，易得華的面積為3,①正確；

4

?.?直線4x—y=0的斜率為直線x+24尸0的斜率為一

Z人

-1,且直線x=2垂直于x軸，

???（不可能成為直角三角形區(qū)域，②錯(cuò)誤；

“W2,

顯然，不等式組，表示的區(qū)域是以點(diǎn)（0,0）,（2,2，），（2,一為頂

、x+2"20

點(diǎn)的三角形區(qū)域，令z=x+5則其在三個(gè)點(diǎn)處的值依次為：0,4,2—~卜，??.z=x+玉勺最

AAA

大值Z",*=4,③正確.

答案：①③

三、解答題（本題共6小題，共70分）

4

17.（本小題滿分10分）已知集合1=3V<4},6=x1

（1）求集合4n5；

（2）若不等式2/+m+6Vo的解集為6,求a、6的值.

解：WA={x\-2<x<2},

44x—1

x十3x十3x十3

."={x|-3<xVl}.

：.AQB=｛x\-2<x<｝,｝.

(2)由(1)及題意知,不等式2—x+bVO的解集為(-3,1),

,ab

A-3+l=--3X1=-,

?'?a=4,b=-6.

18.(本小題滿分12分)已知x>0,y>0,且2x+8y—xy=O,

求：(1)燈的最小值；

(2)x+y的最小值.

解:x>0,y>0,2x+8y—盯=0,

⑴燈=2x+8介2y/Wxy,