3版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版十五函數(shù)模型及其應(yīng)用十五函數(shù)模型及其應(yīng)用(時間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)已知正方形ABCD的邊長為4,動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動.設(shè)點P運動的路程為x,△ABP的面積為S,則函數(shù)S=f(x)的圖象是 ()【解析】選D.依題意知,當(dāng)0≤x≤4時,f(x)=2x;當(dāng)4<x≤8時,f(x)=8;當(dāng)8<x≤12時,f(x)=24-2x,觀察四個選項知D項符合要求.2.(5分)在某種新型材料的研制中,實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù),現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個是 ()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y=2x-2 B.y=12(x2C.y=log2x D.y=log1【解析】選B.由題中表格可知函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),且y的變化隨x的增大而增大得越來越快,分析選項可知B符合.3.(5分)(2023·重慶模擬)生物學(xué)家為了了解抗生素對生態(tài)環(huán)境的影響,常通過檢測水中生物體內(nèi)抗生素的殘留量來進行判斷.已知水中某生物體內(nèi)抗生素的殘留量y(單位:mg)與時間t(單位:年)近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=λ(1-3-λt)(λ≠0),其中λ為抗生素的殘留系數(shù),當(dāng)t=8時,y=89λ,則λ= (A.12 B.13 C.23 【解析】選D.因為抗生素的殘留量y(單位:mg)與時間t(單位:年)近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=λ(1-3-λt)(λ≠0),當(dāng)t=8時,y=89λ所以89λ=λ(1-3-8λ),所以3-8λ=19=3-2,即-8λ=-2,解得λ=4.(5分)(多選題)甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園,甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關(guān)系,下列結(jié)論正確的是 ()A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB.甲從家到公園的時間是30minC.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D.當(dāng)0≤x≤30時,y與x的關(guān)系式為y=115【解析】選BD.在A中,甲在公園休息的時間是10min,所以只走了50min,A錯誤;由題中圖象知,B正確;甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學(xué)家所用的時間長,而距離相等,所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢,C錯誤;當(dāng)0≤x≤30時,設(shè)y=kx(k≠0),則2=30k,解得k=115,D正確5.(5分)大氣壓強p=壓力受力面積,它的單位是“帕斯卡”(Pa,1Pa=1N/m2),大氣壓強p(Pa)隨海拔h(m)的變化規(guī)律是p=p0e-kh(k=0.000126m-1),p0是海平面大氣壓強.已知在某高山A1,A2兩處測得的大氣壓強分別為p1,p2,p1p2=13,那么A1,(參考數(shù)據(jù):ln3≈1.099)A.660m B.2340mC.6600m D.8722m【解析】選D.設(shè)A1,A2兩處的海拔分別為h1,h2,則p1p2=13=所以0.000126(h2-h1)=ln13=-ln3≈-1.得h2-h1=-1.099所以A1,A2兩處的海拔的差約為8722m.6.(5分)深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法,它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L=L0DGG0,其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率,L0表示初始學(xué)習(xí)率,D表示衰減系數(shù),G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),G0表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8,衰減速度為12,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時,學(xué)習(xí)率衰減為0.5.則學(xué)習(xí)率衰減到0.4以下(不含0.4)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010) A.16 B.17 C.18 D.19【解析】選C.由題意知,初始學(xué)習(xí)率L0=0.8,衰減速度G0=12,所以L=0.8DG因為當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時,學(xué)習(xí)率衰減為0.5,可得0.5=0.8D12解得D=58,所以L=0.8×5令0.8×58G12<0.4,可得5則G12lg58<lg12,可得G>12lg12lg7.(5分)“好酒也怕巷子深”,許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R=aA(a為常數(shù)),廣告效應(yīng)為D=aA-A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng),投入的廣告費應(yīng)為________(用常數(shù)a表示).

【解析】令t=A(t≥0),則A=t2,所以D=at-t2=-(t-12a)2+14a所以當(dāng)t=12a,即A=14a2時,D答案:14a8.(5分)里氏震級M的計算公式為M=lgA-lgA0,其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅,A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中,測震儀記錄的最大振幅是1000,此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級為__________級;9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍.

【解析】M=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.設(shè)9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為A1,A2,則9=lgA1-lgA0=lgA1A0,則A1A0=109,5=lgA2-lgA0=lgA2A0即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍.答案:6100009.(10分)國慶期間,某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游,若每團人數(shù)在30或30以下,飛機票每張收費900元;若每團人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠:每多1人,機票每張減少10元,直到達到規(guī)定人數(shù)75為止.每團乘飛機,旅行社需付給航空公司包機費15000元.(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù);(2)每團人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤?【解析】設(shè)該旅行團的人數(shù)為x,由題意得0<x≤75(x∈N*),飛機票的價格為y元.旅行社可獲得的利潤為w元.(1)①當(dāng)0<x≤30時,y=900,②當(dāng)30<x≤75時,y=900-10(x-30)=-10x+1200,綜上,有y=900(2)當(dāng)0<x≤30時,w=900x-15000,當(dāng)x=30時,wmax=900×30-15000=12000(元);當(dāng)30<x≤75時,w=(-10x+1200)·x-15000=-10x2+1200x-15000=-10(x-60)2+21000,當(dāng)x=60時,w最大為21000元,所以每團人數(shù)為60時,旅行社可獲得最大利潤.【能力提升練】10.(5分)某地制定的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定氨氮含量允許排放的最高濃度為15mg/L.某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為450mg/L,現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對生產(chǎn)廢水的氨氮進行過濾,每循環(huán)一次可使氨氮含量減少13,要使廢水中的氨氮含量達到排放標(biāo)準(zhǔn),至少要進行循環(huán)的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771) (A.3 B.4 C.8 D.9【解析】選D.由題意,設(shè)至少循環(huán)n(n∈N*)次才能達到排放標(biāo)準(zhǔn),則15=450·(1-13)n,即130=(23)n,兩邊同時取對數(shù),可得lg130=nlg23,所以n=lg13011.(5分)心理學(xué)家有時使用函數(shù)L(t)=A(1-e-kt)來測定在時間tmin內(nèi)能夠記憶的量L,其中A表示需要記憶的量,k表示記憶率.假設(shè)一個學(xué)生有200個單詞要記憶,心理學(xué)家測定在5min內(nèi)該學(xué)生記憶20個單詞,則記憶率k所在區(qū)間為 (A.(0,120) B.(120,C.(115,110) D.(【解析】選A.將A=200,t=5,L=20代入L(t)=A(1-e-kt),解得e-5k其中y=e-5x在R上單調(diào)遞減,而(e-14)-4=e,(910)y=x-4在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以e-5×120=結(jié)合y=ex的單調(diào)性可知e-12<e-1即e-5×110<e-而e-5×0=e0=1>910其中y=e-5x為連續(xù)函數(shù),故記憶率k所在區(qū)間為(0,120)12.(5分)(多選題)已知一容器中有A,B兩種菌,且在任何時刻A,B兩種菌的個數(shù)乘積均為定值1010,為了簡單起見,科學(xué)家用PA=lgnA來記錄A種菌個數(shù)的資料,其中nA為A種菌的個數(shù).現(xiàn)有以下幾種說法,其中正確的是 ()A.PA≥1B.PA≤10C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1,則今天的A種菌個數(shù)比昨天的A種菌個數(shù)多10D.假設(shè)科學(xué)家將B種菌的個數(shù)控制為5萬,則此時5<PA<5.5(注:lg2≈0.3)【解析】選BD.當(dāng)nA=1時,PA=0,故A錯誤;又nA·nB=1010且nA,nB∈N*,所以nA≤1010,所以PA≤lg1010=10,故B正確;若PA=1,則nA=10;若PA=2,則nA=100,故C錯誤;設(shè)B種菌的個數(shù)為nB=5×104,所以nA=10105×104=2×105,則PA又lg2≈0.3,所以5<PA<5.5,D正確.13.(5分)“百日沖刺”是各個學(xué)校針對高三學(xué)生進行的高考前的激情教育,它能在短時間內(nèi)最大限度地激發(fā)一個人的潛能,使成績在原來的基礎(chǔ)上有不同程度的提高,以便在高考中取得令人滿意的成績,特別對于成績在中等偏下的學(xué)生來講,其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大.現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化,構(gòu)造了一個經(jīng)過時間t(30≤t≤100)(單位:天),增加總分?jǐn)?shù)f(t)(單位:分)的函數(shù)模型:f(t)=kP1+lg(t+1),k為增分轉(zhuǎn)化系數(shù),P為“百日沖刺”前的最后一次模考總分,且f(60)=16P.【解析】由題意得,f(60)=kP1+lg61≈kP2.79所以k≈2.796=0.465,所以f(100)=0.465×4001+lg101答案:46214.(10分)已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為100萬元,每生產(chǎn)1千件需另投入27萬元,設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x千件(0<x≤25)并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)(單位:萬元),且R(x)=108(1)寫出年利潤f(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時,該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大?(注:年利潤=年銷售收入-年總成本)【解析】(1)當(dāng)0<x≤10時,f(x)=xR(x)-(100+27x)=81x-x3當(dāng)10<x≤25時,f(x)=xR(x)-(100+27x)=-x2+30x+75.故f(x)=81(2)當(dāng)0<x≤10時,由f'(x)=81-x2=-(x+9)(x-9),得當(dāng)x∈(0,9)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(9,10)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.故f(x)max=f(9)=81×9-13×93-100=386.當(dāng)10<x≤25時,f(x)=-x2+30x+75=-(x-15)2+300≤300綜上,當(dāng)x=9時,年利潤取最大值386.所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時,該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大.【素養(yǎng)創(chuàng)新練】15.(5分)(多選題)甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一方向運動,它們的路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),則下列結(jié)論正確的是 ()A.當(dāng)x>1時,甲走在最前面B.當(dāng)x>1時,乙走在最前面C.當(dāng)0<x<1時,丁走在最前面,當(dāng)x>1時,丁走在最后面D.如果它們一直運動下去,最終走在最前面的是甲【解析】選CD.甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它們對應(yīng)的函數(shù)模型分別為指數(shù)型函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、一次函數(shù)模型、對數(shù)型函數(shù)模型.當(dāng)x=2時,f1(2)=3,f2(2)=4,所以A不正確;當(dāng)x=5時,f1(5)=31,f2(5)=25,所以B不正確;根據(jù)四種函數(shù)的變化特點,對數(shù)型函數(shù)的增長速度是先快后慢,又當(dāng)x=1時,甲、乙、丙、丁四個物體走過的路程相等,從而可知,當(dāng)0<x<1時,丁走在最前面,當(dāng)x>1時,丁走在最后面,所以C正確;指數(shù)型函數(shù)的增長速度是先慢后快,當(dāng)運動的時間足夠長時,最前面的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)模型運動的物體,即一定是甲物體,所以D正確.十一指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(時間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)化簡2c3a481a5b2A.±4ab2 BC.-ab2 D【解析】選B.原式=2c3a(81a5b22.(5分)下列函數(shù)中,值域是(0,+∞)的為 ()A.y=3x-1 B.y=(C.y=1-(13)

x【解析】選B.函數(shù)y=3x函數(shù)y=(13)x函數(shù)y=1-函數(shù)y=31x的值域為(0,1)∪3.(5分)設(shè)a=30.7,b=2-0.4,c=90.4,則 ()A.b<c<a B.c<a<bC.a<b<c D.b<a<c【解析】選D.b=2-0.4<20=1,c=90.4=30.8>30.7=a>30=1,所以b<a<c.4.(5分)函數(shù)y=ax-1a(a>0,且a≠1)的圖象可能是 (【解析】選D.當(dāng)a>1時,0<1a<1,函數(shù)y=ax的圖象為過點(0,1)的上升的曲線,函數(shù)y=ax-1a的圖象由函數(shù)y=ax的圖象向下平移當(dāng)0<a<1時,1a>1,函數(shù)y=ax的圖象為過點(0,1)的下降的曲線,函數(shù)y=ax-1a的圖象由函數(shù)y=ax的圖象向下平移15.(5分)(多選題)(2023·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,實數(shù)a,b滿足f(a)=f(b)(a<b),則 ()A.2a+2b>2B.?a,b∈R,使得0<a+b<1C.2a+2b=2D.a+b<0【解析】選CD.畫出函數(shù)f(x)=|2x-1|的圖象,如圖所示.由圖知1-2a=2b-1,則2a+2b=2,故A錯,C對.由基本不等式可得2=2a+2b>22a·2b=22a+b,所以2a+6.(5分)若關(guān)于x的方程(14)|x|+a-2=0有解,則a的取值范圍是 (A.[0,1) B.[1,2)C.[1,+∞) D.(2,+∞)【解析】選B.(14)|x|+a-2=0有解等價于2-a=(14)|x|有解.因為函數(shù)y=(14)|x|的值域為(0,1],所以0<2-a≤1,解得1≤7.(5分)寫出一個值域為(-∞,1),在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)=________.

【解析】f(x)=1-12x,理由如下:因為y=12x為R上的減函數(shù),且12x>0,所以f(x)=1-12x為R上的增函數(shù),且f(x)=1-12答案:1-128.(5分)已知函數(shù)f(x)=3x+1-4x-5,則不等式f(x)<0的解集是【解析】因為函數(shù)f(x)=3x+1-4x-5,所以不等式f(x)<0即為3x+1<4x+5,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=3x+1,y=4x+5的圖象,如圖所示,因為y=3x+1,y=4x+5的圖象都經(jīng)過A(1,9),B(-1,1),所以f(x)<0,即y=3x+1的圖象在y=4x+5圖象的下方,所以由圖象知,不等式f(x)<0的解集是(-1,1).答案:(-1,1)9.(10分)已知函數(shù)f(x)=2x的定義域是[0,3],設(shè)g(x)=f(2x)-f(x+2).(1)求g(x)的解析式及定義域;(2)求函數(shù)g(x)的最大值和最小值.【解析】(1)因為f(x)=2x,所以g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2.因為f(x)的定義域是[0,3],所以0≤2x≤3,0≤即g(x)的定義域為[0,1].(2)設(shè)g(x)=(2x)2-4×2x因為x∈[0,1],所以2x∈[1,2],所以當(dāng)2x=2即x=1時,g(x)取得最小值-4,當(dāng)2x=1即x=0時,g(x)取得最大值-3.【能力提升練】10.(5分)已知函數(shù)f(x)=x-4+9x+1,x∈(0,4),當(dāng)x=a時,f(x)取得最小值b,則函數(shù)g(x)=a|x+b|的圖象為 (【解析】選A.因為x∈(0,4),所以x+1>1,所以f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5≥29x+1·(x+1)-5=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號,此時函數(shù)有最小值1,所以a=2,b由函數(shù)y=2x,x≥0,111.(5分)(2023·棗莊模擬)對任意實數(shù)a>1,函數(shù)y=(a-1)x-1+1的圖象必過定點A(m,n),f(x)=(nm)x的定義域為[0,2],g(x)=f(2x)+f(x),則g(x)的值域為A.(0,6] B.(0,20]C.[2,6] D.[2,20]【解析】選C.令x-1=0得x=1,y=2,即函數(shù)圖象必過定點(1,2),所以m=1,n=2,f(x)=(nm)x=2x,由解得x∈[0,1],g(x)=f(2x)+f(x)=22x+2x,令t=2x,則y=t2+t,t∈[1,2],所以g(x)的值域為[2,6].12.(5分)(多選題)(2023·哈爾濱模擬)已知函數(shù)f(x)=a·(12)|x|+b的圖象經(jīng)過原點,且無限接近直線y=2,但又不與該直線相交,則下列說法正確的是 (A.a+b=0B.若f(x)=f(y),且x≠y,則x+y=0C.若x<y<0,則f(x)<f(y)D.f(x)的值域為[0,2)【解析】選ABD.因為函數(shù)f(x)=a·(12)|x|+b所以a+b=0,即b=-a,f(x)=a·(12)|x|-a且f(x)的圖象無限接近直線y=2,但又不與該直線相交,所以b=2,a=-2,f(x)=-2·(12)|x|由于f(x)為偶函數(shù),故若f(x)=f(y),且x≠y,則x=-y,即x+y=0,故B正確;由于在(-∞,0)上,f(x)=2-2·2x單調(diào)遞減,故若x<y<0,則f(x)>f(y),故C錯誤;因為(12)|x|∈所以f(x)=-2·(12)|x|+2∈[0,2),故D正確13.(5分)已知函數(shù)y=9x+m·3x-3在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞減,則m的取值范圍為__________.

【解析】設(shè)t=3x,則y=9x+m·3x-3=t2+mt-3.因為x∈[-2,2],所以t∈[19,9]又函數(shù)y=9x+m·3x-3在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞減,即y=t2+mt-3在區(qū)間[19,9]上單調(diào)遞減,故有-m2≥9,解得m≤-18.所以m答案:(-∞,-18]14.(10分)(2023·武漢模擬)函數(shù)f(x)=a2x+ax+1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值為13,求實數(shù)a的值.【解析】由f(x)=a2x+ax+1,令ax=t,則t>0,則y=f(x)=t2+t+1=(t+12)2+3其對稱軸為t=-12該二次函數(shù)在[-12,+∞)上單調(diào)遞增①若a>1,由x∈[-1,1],得t=ax∈[1a,a]故當(dāng)t=a,即x=1時,ymax=a2+a+1=13,解得a=3或a=-4(舍去).②若0<a<1,由x∈[-1,1],可得t=ax∈[a,1a],故當(dāng)t=1a,即x=-1時,ymax=(1a)2+1a+1=13.解得a=13或綜上可得,a=3或1315.(10分)已知函數(shù)f(x)=8x+a·2xa·4x(a為常數(shù),且a(1)求a的值;(2)若?x∈[1,2],都有f(2x)-mf(x)≥0成立,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)f(x)=1a×2x+12x,因為f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f所以1a×12x+2x=-(1a×2所以(1a+1)(2x+1即1a+1=0,解得a=-1(2)因為f(x)=12x-2x,x所以122x-22x≥m所以m≥12x+2x,x∈[1,2],令t=2x,t由于y=t+1t所以m≥4+14=17所以m的取值范圍為[174,+∞)【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)對于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0滿足f(-x0)=-f(x0),則稱函數(shù)f(x)為“倒戈函數(shù)”.設(shè)f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定義在[-1,1]上的“倒戈函數(shù)”,則實數(shù)m的取值范圍是________.

【解析】因為f(x)=3x+m-1是定義在[-1,1]上的“倒戈函數(shù)”,所以存在x0∈[-1,1]滿足f(-x0)=-f(x0),所以3-x0+m-1=-3所以2m=-3-x0構(gòu)造函數(shù)y=-3-x0-3x0令t=3x0,t∈[則y=-1t-t+2=2-(t+1t)在[所以當(dāng)t=1時,函數(shù)取得最大值0,當(dāng)t=13或t=3時,函數(shù)取得最小值-4所以y∈[-43又因為m≠0,所以-43≤2m<0,所以-23≤m答案:[-23四基本不等式(時間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)(2024·臨夏模擬)若x>0,則函數(shù)y=x+4x (A.有最大值-4 B.有最小值4C.有最大值-2 D.有最小值-2【解析】選B.因為x>0,所以y=x+4x≥2x·4x=4,當(dāng)且僅當(dāng)x所以當(dāng)x>0時函數(shù)y=x+4x有最小值42.(5分)若正實數(shù)x,y滿足2x+y=9,則-1x-4y的最大值是 (A.6+429 C.6+42 D.-6-42【解析】選B.由題意可得正實數(shù)x,y滿足2x+y=9,所以1x+4y=19×1x+=19(2+yx+8x當(dāng)且僅當(dāng)yx=8xy,即x=9(2-1)2,y=9(2-23.(5分)(2024·南昌模擬)放假期間,小明一家準(zhǔn)備去淄博旅游,已知他家汽車行駛速度vkm/h與每千米油費w(元)的關(guān)系式為w=1300·v2v-40A.60km/h B.80km/hC.100km/h D.120km/h【解析】選B.w=1300·v2v-40=1因為60≤v≤120,所以20≤v-40≤80,則1300v-40+當(dāng)且僅當(dāng)v-40=1600v所以當(dāng)每千米油費最低時,v=80km/h.4.(5分)若關(guān)于x的不等式4xa+1x-2是 ()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】選A.因為x>2,所以x-2>0,所以4xa+1x-2≥4對任意x>2恒成立?4(x-2)a+1x-2+8a≥4對任意x>2恒成立?[4(x-2)a+1x-2+8a]min≥4,而5.(5分)(多選題)(2024·連云港模擬)下列命題中的真命題有 ()A.當(dāng)x>1時,x+1xB.x2C.當(dāng)0<x<10時,xD.若正數(shù)x,y為實數(shù),x+2y=3xy,則2x+y的最大值為3【解析】選AC.對于選項A,因為x>1,則x-1>0,所以x+1x-1=(x-1)+1當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1對于選項B,因為x2+5x2+4=等號成立的條件是x2=-3,顯然不成立,所以等號不成立,不能使用基本不等式,即最小值不為2,令t=x2+4≥2,則y=t+1t在2,對于選項C,因為0<x<10,則10-x>0,所以x(10當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即x=5時,等號成立,故選項C正確;對于選項D,由x+2y=3xy得13y+23x=1,故2x+y=2x+y=2x3y+2y3x+13+4當(dāng)且僅當(dāng)2x3y=6.(5分)(多選題)已知a,b為正實數(shù),且ab+2a+b=16,則 ()A.ab的最大值為8B.2a+b的最小值為8C.a+b的最小值為62-3D.1a+1+1【解析】選ABC.因為16=ab+2a+b≥ab+22ab,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b解不等式得0<ab≤22,即ab≤8,故ab的最大值為8,A正確;由16=ab+2a+b得b=16-2a所以2a+b=2a+16-2aa+1=2a當(dāng)且僅當(dāng)2a+1=18a+1a+b=a+18a+1-2=a+1+18a+1-3≥62-3,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=18a1a+1+1b+2≥21a+1·1b+2=21ab+2a+7.(5分)(2024·南充模擬)已知函數(shù)fx=4x+1x-2.若存在x∈2,+∞,使得fx≤a2-【解析】因為x∈2,+∞所以fx=4x+1x-2=4(x-2)+1當(dāng)且僅當(dāng)4(x-2)=1x-2,即x=52因為存在x∈2,+∞,使得fx≤a2-a成立,所以只要fxmin≤a2-a,即12≤a2-a,得a答案:-∞,-3∪8.(5分)若正數(shù)x,y滿足x+4y-xy=0,則x+y的最小值為________.

【解析】因為x>0,y>0,x+4y-xy=0,所以x+4y=xy,兩邊同除以xy,得4x+1所以x+y=x+y4x+1y當(dāng)且僅當(dāng)xy=4yxx+4y答案:99.(10分)(2024·南京模擬)已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1.(1)當(dāng)x,y取何值時,xy有最大值?(2)若1x+2y≥3a恒成立,求實數(shù)a【解析】(1)因為正數(shù)x,y滿足x+2y=1,由基本不等式得x+2y=1≥22xy,解得xy≤當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=12,y=14時,等號成立,故xy的最大值為(2)要想1x+2y≥3a恒成立,只需1x正數(shù)x,y滿足x+2y=1,所以1x+2y=1x+2yx當(dāng)且僅當(dāng)2yx=2xy,即x=故9≥3a,解得a≤2,所以實數(shù)a的取值范圍是-∞,2【能力提升練】10.(5分)(2024·紅河模擬)公元前3世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果,寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》,在此著作第七卷《平面軌跡》中,有眾多關(guān)于平面軌跡的問題,例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值(不為1)的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點A(-1,0)和B(2,1),且該平面內(nèi)的點P滿足PA=2PB,若點P的軌跡關(guān)于直線mx+ny-2=0m>0,n>0對稱,則2mA.10 B.20 C.30 D.40【解析】選B.設(shè)點P的坐標(biāo)為x,y,因為PA=2PB,則即x+12+y2=2所以點P的軌跡方程為(x-5)2+(y-2)2=20,因為P點的軌跡關(guān)于直線mx+ny-2=0m>0所以圓心5,2在此直線上,即5m+2所以2m+5n=125m+2n2m+5當(dāng)且僅當(dāng)4nm=25mn,即m=15,n=1211.(5分)(2024·西安模擬)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題,這種方法是數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù),很多代數(shù)公理、定理都可以根據(jù)這一原理實現(xiàn)證明,也稱為“無字證明”.如圖,AB是圓O的直徑,點O為圓心,點C是線段AB上的一點,且AC=m,BC=n.過點C作垂直于AB的半弦DC,連接DA,DB,DO,過點C作CE垂直DO于點E,則根據(jù)該圖形我們可以完成的無字證明有 ()①m2+n2≥2mn(m>0,n>0)②mn≤m+n2(③m2+n22≥m④mn≥21m+1A.①② B.①③ C.②③ D.②④【解析】選D.在給定的圖中沒有表示m2+n2的幾何量,即①③不能根據(jù)給定圖形完成無字證明;對于②,AC+BC=m+n,AD⊥BD,由直角三角形得CD2=AC·BC=mn,則CD=mn,由于圓上任意弦的長度不大于直徑,即2DC≤AB于是得CD≤12AB,即mn≤m+n2(m對于④,因為CE⊥OD,OC⊥CD,由直角三角形得CD2=DE·OD,DE=CD2OD=m·nm+n2=21m+1n,又CD12.(5分)(多選題)(2024·潮州模擬)設(shè)正實數(shù)x,y滿足x+2y=3,則下列說法正確的是()A.yx+3B.xy的最大值為9C.x+D.x2+4y2的最小值為9【解析】選ABD.對于A,yx+3y=yx+x+2yy=yx+x對于B,xy=12·x·2y≤12×x+2y22=12×94=98,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y對于C,(x+2y)2=x+2y+22xy≤3+22×98=3+3=6,則x+2對于D,x2+4y2=(x+2y)2-4xy≥9-4×98=92,當(dāng)且僅當(dāng)x=32,y=13.(5分)若正實數(shù)a,b滿足a+b+2=ab,則a+b-2的最小值為________;3a-1+7【解題指南】將條件轉(zhuǎn)化為a-1【解析】由a+b+2=ab,得a=b+2b-1>0,所以b>1,同理可得a>1,所以b因為a+b+2=ab,所以a-所以a+b-2=a-1+b-1≥2a-1b-1=23,當(dāng)且僅當(dāng)a-1=又b-1=3a-1,所以3a-1+7b-1=b-1+7b-1≥2b答案:2327【加練備選】已知x+y=1,y>0,x>0,則12x+xy【解