第1頁〔共26頁〕2024年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)試卷一.仔細(xì)選一選〔每題3分，共30分每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的〕1．〔3分〕〔2024?黃石〕﹣5的倒數(shù)是〔〕A．5B．C．﹣5D．2．〔3分〕〔2024?黃石〕國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)顯示，截至2024年末全國商品房待售面積約為62200萬平方米，該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為〔〕A．6.22×104B．6.22×107C．6.22×108D．6.22×1093．〔3分〕〔2024?黃石〕以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是〔〕A．4m﹣m=3B．2m2?m3=2m5C．〔﹣m3〕2=m9D．﹣〔m+2n〕=﹣m+2n4．〔3分〕〔2024?黃石〕以下四個(gè)立體圖形中，左視圖為矩形的是〔〕A．①③B．①④C．②③D．③④5．〔3分〕〔2024?黃石〕某班組織了一次讀書活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)了10名同學(xué)在一周內(nèi)的讀書時(shí)間，他們一周內(nèi)的讀書時(shí)間累計(jì)如表，那么這10名同學(xué)一周內(nèi)累計(jì)讀書時(shí)間的中位數(shù)是〔〕一周內(nèi)累計(jì)的讀書時(shí)間〔小時(shí)〕581014人數(shù)〔個(gè)〕1432A．8B．7C．9D．106．〔3分〕〔2024?黃石〕在以下藝術(shù)字中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是〔〕A．B．C．D．7．〔3分〕〔2024?黃石〕在長方形ABCD中AB=16，如以以下圖裁出一扇形ABE，將扇形圍成一個(gè)圓錐〔AB和AE重合〕，那么此圓錐的底面半徑為〔〕A．4B．16C．4D．88．〔3分〕〔2024?黃石〕如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，那么∠ABD=〔〕A．36°B．54°C．18°D．64°9．〔3分〕〔2024?黃石〕當(dāng)1≤x≤2時(shí)，ax+2＞0，那么a的取值范圍是〔〕A．a(chǎn)＞﹣1B．a(chǎn)＞﹣2C．a(chǎn)＞0D．a(chǎn)＞﹣1且a≠010．〔3分〕〔2024?黃石〕如圖是自行車騎行訓(xùn)練場(chǎng)地的一局部，半圓O的直徑AB=100，在半圓弧上有一運(yùn)發(fā)動(dòng)C從B點(diǎn)沿半圓周勻速運(yùn)動(dòng)到M〔最高點(diǎn)〕，此時(shí)由于自行車故障原地停留了一段時(shí)間，修理好繼續(xù)以相同的速度運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)B到直線OC的距離為d，那么以以以下圖象能大致刻畫d與t之間的關(guān)系是〔〕A．B．C．D．二.認(rèn)真填一填〔每題3分，共18分〕11．〔3分〕〔2024?黃石〕分解因式：3x2﹣27=．12．〔3分〕〔2024?黃石〕反比例函數(shù)y=的圖象有一支位于第一象限，那么常數(shù)a的取值范圍是．13．〔3分〕〔2024?黃石〕九年級(jí)〔3〕班共有50名同學(xué)，如圖是該班一次體育模擬測(cè)試成績的頻數(shù)分布直方圖〔總分值為30分，成績均為整數(shù)〕．假設(shè)將不低于23分的成績?cè)u(píng)為合格，那么該班此次成績到達(dá)合格的同學(xué)占全班人數(shù)的百分比是．14．〔3分〕〔2024?黃石〕如圖，圓O的直徑AB=8，AC=3CB，過C作AB的垂線交圓O于M，N兩點(diǎn)，連結(jié)MB，那么∠MBA的余弦值為．15．〔3分〕〔2024?黃石〕一食堂需要購置盒子存放食物，盒子有A，B兩種型號(hào)，單個(gè)盒子的容量和價(jià)格如表．現(xiàn)有15升食物需要存放且要求每個(gè)盒子要裝滿，由于A型號(hào)盒子正做促銷活動(dòng)：購置三個(gè)及三個(gè)以上可一次性返還現(xiàn)金4元，那么購置盒子所需要最少費(fèi)用為元．型號(hào)AB單個(gè)盒子容量〔升〕23單價(jià)〔元〕5616．〔3分〕〔2024?黃石〕現(xiàn)有多個(gè)全等直角三角形，先取三個(gè)拼成如圖1所示的形狀，R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC，CD于P，Q，易得BP：QR：QR=3：1：2．〔1〕假設(shè)取四個(gè)直角三角形拼成如圖2所示的形狀，S為EF的中點(diǎn)，BS分別交AC，CD，DE于P，Q，R，那么BP：PQ：QR：RS=〔2〕假設(shè)取五個(gè)直角三角形拼成如圖3所示的形狀，T為FG的中點(diǎn)，BT分別交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，那么BP：PQ：QR：RS：ST=．三.解答題〔9個(gè)小題，共72分〕17．〔7分〕〔2024?黃石〕計(jì)算：﹣+|﹣|+2sin45°+π0+〔〕﹣1．18．〔7分〕〔2024?黃石〕先化簡，再求值：÷〔﹣1〕，其中x=2﹣．19．〔7分〕〔2024?黃石〕如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點(diǎn)．〔1〕求BC的長；〔2〕過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．20．〔8分〕〔2024?黃石〕解方程組．21．〔8分〕〔2024?黃石〕父親節(jié)快到了，明明準(zhǔn)備為爸爸煮四個(gè)大湯圓作早點(diǎn)：一個(gè)芝麻餡，一個(gè)水果餡，兩個(gè)花生餡，四個(gè)湯圓除內(nèi)部餡料不同外，其它一切均相同．〔1〕求爸爸吃前兩個(gè)湯圓剛好都是花生餡的概率；〔2〕假設(shè)給爸爸再增加一個(gè)花生餡的湯圓，那么爸爸吃前兩個(gè)湯圓都是花生的可能性是否會(huì)增大？請(qǐng)說明理由．22．〔8分〕〔2024?黃石〕如以以下圖，體育場(chǎng)內(nèi)一看臺(tái)與地面所成夾角為30°，看臺(tái)最低點(diǎn)A到最高點(diǎn)B的距離為10，A，B兩點(diǎn)正前方有垂直于地面的旗桿DE．在A，B兩點(diǎn)處用儀器測(cè)量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°〔仰角即視線與水平線的夾角〕〔1〕求AE的長；〔2〕旗桿上有一面旗在離地1米的F點(diǎn)處，這面旗以0.5米/秒的速度勻速上升，求這面旗到達(dá)旗桿頂端需要多少秒？23．〔8分〕〔2024?黃石〕大學(xué)畢業(yè)生小王響應(yīng)國家“自主創(chuàng)業(yè)〞的號(hào)召，利用銀行小額無息貸款開辦了一家飾品店．該店購進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行銷售，飾品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元，每月可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：調(diào)整價(jià)格時(shí)，售價(jià)每漲1元每月要少賣10件；售價(jià)每下降1元每月要多賣20件．為了獲得更大的利潤，現(xiàn)將飾品售價(jià)調(diào)整為60+x〔元/件〕〔x＞0即售價(jià)上漲，x＜0即售價(jià)下降〕，每月飾品銷量為y〔件〕，月利潤為w〔元〕．〔1〕直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕如何確定銷售價(jià)格才能使月利潤最大？求最大月利潤；〔3〕為了使每月利潤不少于6000元應(yīng)如何控制銷售價(jià)格？24．〔9分〕〔2024?黃石〕在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點(diǎn)，將△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．〔1〕如圖1，假設(shè)∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；〔2〕如圖2，假設(shè)△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點(diǎn)E，猜測(cè)∠AEB=θ是否成立？請(qǐng)說明理由．25．〔10分〕〔2024?黃石〕雙曲線y=〔x＞0〕，直線l1：y﹣=k〔x﹣〕〔k＜0〕過定點(diǎn)F且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕〔x1＜x2〕，直線l2：y=﹣x+．〔1〕假設(shè)k=﹣1，求△OAB的面積S；〔2〕假設(shè)AB=，求k的值；〔3〕設(shè)N〔0，2〕，P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值時(shí)P的坐標(biāo)．〔參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕那么A，B兩點(diǎn)間的距離為AB=〕

2024年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.仔細(xì)選一選〔每題3分，共30分每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的〕1．〔3分〕〔2024?黃石〕﹣5的倒數(shù)是〔〕A．5B．C．﹣5D．考點(diǎn)：倒數(shù)．分析：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，所以﹣5的倒數(shù)是﹣．解答：解：﹣5與﹣的乘積是1，所以﹣5的倒數(shù)是﹣．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查倒數(shù)的概念：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．2．〔3分〕〔2024?黃石〕國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)顯示，截至2024年末全國商品房待售面積約為62200萬平方米，該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為〔〕A．6.22×104B．6.22×107C．6.22×108D．6.22×109考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．解答：解：將62200萬用科學(xué)記數(shù)法表示為6.22×108．應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．〔3分〕〔2024?黃石〕以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是〔〕A．4m﹣m=3B．2m2?m3=2m5C．〔﹣m3〕2=m9D．﹣〔m+2n〕=﹣m+2n考點(diǎn)：單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式；合并同類項(xiàng)；去括號(hào)與添括號(hào)；冪的乘方與積的乘方．分析：分別利用合并同類項(xiàng)法那么以及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法那么和冪的乘方、去括號(hào)法那么化簡各式判斷即可．解答：解：A、4m﹣m=3m，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、2m2?m3=2m5，正確；C、〔﹣m3〕2=m6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、﹣〔m+2n〕=﹣m﹣2n，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；應(yīng)選：B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了合并同類項(xiàng)法那么以及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法那么和冪的乘方、去括號(hào)法那么等知識(shí)，正確掌握運(yùn)算法那么是解題關(guān)鍵．4．〔3分〕〔2024?黃石〕以下四個(gè)立體圖形中，左視圖為矩形的是〔〕A．①③B．①④C．②③D．③④考點(diǎn)：簡單幾何體的三視圖．分析：根據(jù)左視圖是分別從物體左面看，所得到的圖形，即可解答．解答：解：長方體左視圖為矩形；球左視圖為圓；圓錐左視圖為三角形；圓柱左視圖為矩形；因此左視圖為矩形的有①④．應(yīng)選：B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．5．〔3分〕〔2024?黃石〕某班組織了一次讀書活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)了10名同學(xué)在一周內(nèi)的讀書時(shí)間，他們一周內(nèi)的讀書時(shí)間累計(jì)如表，那么這10名同學(xué)一周內(nèi)累計(jì)讀書時(shí)間的中位數(shù)是〔〕一周內(nèi)累計(jì)的讀書時(shí)間〔小時(shí)〕581014人數(shù)〔個(gè)〕1432A．8B．7C．9D．10考點(diǎn)：中位數(shù)．分析：根據(jù)中位數(shù)的概念求解．解答：解：∵共有10名同學(xué)，∴第5名和第6名同學(xué)的讀書時(shí)間的平均數(shù)為中位數(shù)，那么中位數(shù)為：=9．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了中位數(shù)的知識(shí)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大〔或從大到小〕的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．6．〔3分〕〔2024?黃石〕在以下藝術(shù)字中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形．分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．解答：解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．故錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．故錯(cuò)誤；C、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形．故錯(cuò)誤；D、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．故正確．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩局部沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．7．〔3分〕〔2024?黃石〕在長方形ABCD中AB=16，如以以下圖裁出一扇形ABE，將扇形圍成一個(gè)圓錐〔AB和AE重合〕，那么此圓錐的底面半徑為〔〕A．4B．16C．4D．8考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算．分析：圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)圓錐的底面圓周長=扇形的弧長，列方程求解．解答：解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，依題意，得2πr=，解得r=4．故小圓錐的底面半徑為4；應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓錐的計(jì)算．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，計(jì)算要表達(dá)兩個(gè)轉(zhuǎn)化：1、圓錐的母線長為扇形的半徑，2、圓錐的底面圓周長為扇形的弧長．8．〔3分〕〔2024?黃石〕如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，那么∠ABD=〔〕A．36°B．54°C．18°D．64°考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)．分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由可求得∠A的度數(shù)，再根據(jù)垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理不難求得∠ABD的度數(shù)．解答：解：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°﹣36°=54°．應(yīng)選：B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題，此題難度一般．9．〔3分〕〔2024?黃石〕當(dāng)1≤x≤2時(shí)，ax+2＞0，那么a的取值范圍是〔〕A．a(chǎn)＞﹣1B．a(chǎn)＞﹣2C．a(chǎn)＞0D．a(chǎn)＞﹣1且a≠0考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)．分析：當(dāng)x=1時(shí)，a+2＞0；當(dāng)x=2，2a+2＞0，解兩個(gè)不等式，得到a的范圍，最后綜合得到a的取值范圍．解答：解：當(dāng)x=1時(shí)，a+2＞0解得：a＞﹣2；當(dāng)x=2，2a+2＞0，解得：a＞﹣1，∴a的取值范圍為：a＞﹣1．點(diǎn)評(píng)：此題考查了不等式的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是熟記不等式的性質(zhì)．10．〔3分〕〔2024?黃石〕如圖是自行車騎行訓(xùn)練場(chǎng)地的一局部，半圓O的直徑AB=100，在半圓弧上有一運(yùn)發(fā)動(dòng)C從B點(diǎn)沿半圓周勻速運(yùn)動(dòng)到M〔最高點(diǎn)〕，此時(shí)由于自行車故障原地停留了一段時(shí)間，修理好繼續(xù)以相同的速度運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)B到直線OC的距離為d，那么以以以下圖象能大致刻畫d與t之間的關(guān)系是〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．分析：設(shè)運(yùn)發(fā)動(dòng)C的速度為v，那么運(yùn)動(dòng)了t的路程為vt，設(shè)∠BOC=α，當(dāng)點(diǎn)C從運(yùn)動(dòng)到M時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C從M運(yùn)動(dòng)到A時(shí)，分別求出d與t之間的關(guān)系即可進(jìn)行判斷．解答：解：設(shè)運(yùn)發(fā)動(dòng)C的速度為v，那么運(yùn)動(dòng)了t的路程為vt，設(shè)∠BOC=α，當(dāng)點(diǎn)C從運(yùn)動(dòng)到M時(shí)，∵vt==，∴α=，在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin=50sint，∴d與t之間的關(guān)系d=50sint，當(dāng)點(diǎn)C從M運(yùn)動(dòng)到A時(shí)，d與t之間的關(guān)系d=50sin〔180﹣t〕，應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查的是動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，熟知圓的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．二.認(rèn)真填一填〔每題3分，共18分〕11．〔3分〕〔2024?黃石〕分解因式：3x2﹣27=3〔x+3〕〔x﹣3〕．考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．專題：因式分解．分析：觀察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后發(fā)現(xiàn)x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式繼續(xù)分解．解答：解：3x2﹣27，=3〔x2﹣9〕，=3〔x+3〕〔x﹣3〕．故答案為：3〔x+3〕〔x﹣3〕．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要進(jìn)行二次分解因式．12．〔3分〕〔2024?黃石〕反比例函數(shù)y=的圖象有一支位于第一象限，那么常數(shù)a的取值范圍是a．考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì)．分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小可得2a﹣1＞0，再解不等式即可．解答：解：∵反比例函數(shù)y=的圖象有一支位于第一象限，∴2a﹣1＞0，解得：a＞．故答案為：a．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)〔k≠0〕，〔1〕k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限；〔2〕k＜0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)．13．〔3分〕〔2024?黃石〕九年級(jí)〔3〕班共有50名同學(xué)，如圖是該班一次體育模擬測(cè)試成績的頻數(shù)分布直方圖〔總分值為30分，成績均為整數(shù)〕．假設(shè)將不低于23分的成績?cè)u(píng)為合格，那么該班此次成績到達(dá)合格的同學(xué)占全班人數(shù)的百分比是92%．考點(diǎn)：頻數(shù)〔率〕分布直方圖．分析：利用合格的人數(shù)即50﹣4=46人，除以總?cè)藬?shù)即可求得．解答：解：該班此次成績到達(dá)合格的同學(xué)占全班人數(shù)的百分比是×100%=92%．故答案是：92%．點(diǎn)評(píng)：此題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題．14．〔3分〕〔2024?黃石〕如圖，圓O的直徑AB=8，AC=3CB，過C作AB的垂線交圓O于M，N兩點(diǎn)，連結(jié)MB，那么∠MBA的余弦值為．考點(diǎn)：垂徑定理；解直角三角形．分析：如圖，作輔助線；求出BC的長度；運(yùn)用射影定理求出BM的長度，借助銳角三角函數(shù)的定義求出∠MBA的余弦值，即可解決問題．解答：解：如圖，連接AM；∵AB=8，AC=3CB，∴BC=AB=2：∵AB為⊙O的直徑，∴∠AMB=90°；由射影定理得：BM2=AB?CB，∴BM=4，cos∠MBA==，故答案為．點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了圓周角定理及其推論、射影定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，構(gòu)造直角三角形；解題的關(guān)鍵是靈巧運(yùn)用圓周角定理及其推論、射影定理等知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、解答．15．〔3分〕〔2024?黃石〕一食堂需要購置盒子存放食物，盒子有A，B兩種型號(hào)，單個(gè)盒子的容量和價(jià)格如表．現(xiàn)有15升食物需要存放且要求每個(gè)盒子要裝滿，由于A型號(hào)盒子正做促銷活動(dòng)：購置三個(gè)及三個(gè)以上可一次性返還現(xiàn)金4元，那么購置盒子所需要最少費(fèi)用為29元．型號(hào)AB單個(gè)盒子容量〔升〕23單價(jià)〔元〕56考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用．分析：設(shè)購置A種型號(hào)盒子x個(gè)，購置盒子所需要費(fèi)用為y元，那么購置B種盒子的個(gè)數(shù)為個(gè)，分兩種情況討論：①當(dāng)0≤x＜3時(shí)；②當(dāng)3≤x時(shí)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．解答：解：設(shè)購置A種型號(hào)盒子x個(gè)，購置盒子所需要費(fèi)用為y元，那么購置B種盒子的個(gè)數(shù)為個(gè)，①當(dāng)0≤x＜3時(shí)，y=5x+=x+30，∵k=1＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，最小值為30元；②當(dāng)3≤x時(shí)，y=5x+﹣4=26+x，∵k=1＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值，最小值為29元；綜合①②可得，購置盒子所需要最少費(fèi)用為29元．故答案為：29．點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決最小值的問題，注意分類討論思想的應(yīng)用．16．〔3分〕〔2024?黃石〕現(xiàn)有多個(gè)全等直角三角形，先取三個(gè)拼成如圖1所示的形狀，R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC，CD于P，Q，易得BP：QR：QR=3：1：2．〔1〕假設(shè)取四個(gè)直角三角形拼成如圖2所示的形狀，S為EF的中點(diǎn)，BS分別交AC，CD，DE于P，Q，R，那么BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2〔2〕假設(shè)取五個(gè)直角三角形拼成如圖3所示的形狀，T為FG的中點(diǎn)，BT分別交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，那么BP：PQ：QR：RS：ST=5：1：4：2：3．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1〕首先證明△BCQ∽△BES，從而可求得CQ=，DQ=EF，然后證明△BAP∽△QDR得到BP：QR=4：3從而可知：BP：PQ：QR=4：1：3，然后由DQ∥SE，可知：QR：RS=DQ：SE=3：2，從而可求得BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2；〔2〕由AC∥DE∥GF，可知：△BPC∽△BER∽BTG，能夠求得：AP：DR：FT=5：4：3，然后再證明△BAP∽△QDR∽△SFT．，求得BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3，因?yàn)椤連P：QR：RT=1：1：1，所以可求得：BP：PQ：QR：RS：ST=5：1：4：2：3．解答：解：〔1〕∵四個(gè)直角三角形是全等三角形，∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE，∴BP：PR=BC：CE=1，∵CD∥EF，∴△BCQ∽△BES．又∵BC=CE∴CQ==，∴DQ=∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DQR．又∵∠BAP=∠QDR，∴△BAP∽△QDR．∴BP：QR=4：3．∴BP：PQ：QR=4：1：3，∵DQ∥SE，∴QR：RS=DQ：SE=3：2，∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2．故答案為：4：1：3：2；〔2〕∵五個(gè)直角三角形是全等直角三角形∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AC=DE=GF，AC∥DE∥GF，BC=CE=EG，∴BP=PR=RT，∵AC∥DE∥GF，∴△BPC∽△BER∽BTG，∴PC==，RE==FG，∴AP=，DR=，F(xiàn)T=∴AP：DR：FT=5：4：3．∵AC∥DE∥GF，∴∠BPA=∠QRD=∠STF．又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT，∴△BAP∽△QDR∽△SFT．∴BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3．又∵BP：QR：RT=1：1：1，∴BP：PQ：QR：RS：ST=5：〔5﹣4〕：4：〔5﹣3〕：3=5：1：4：2：3．故答案為：5：1：4：2：3．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，找出圖中的相似三角形，求得相應(yīng)線段之間的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三.解答題〔9個(gè)小題，共72分〕17．〔7分〕〔2024?黃石〕計(jì)算：﹣+|﹣|+2sin45°+π0+〔〕﹣1．考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．專題：計(jì)算題．分析：原式第一項(xiàng)化為最簡二次根式，第二項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡，第三項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，第四項(xiàng)利用零指數(shù)冪法那么計(jì)算，最后一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法那么計(jì)算即可得到結(jié)果．解答：解：原式=﹣2++2×+1+2=3．點(diǎn)評(píng)：此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法那么是解此題的關(guān)鍵．18．〔7分〕〔2024?黃石〕先化簡，再求值：÷〔﹣1〕，其中x=2﹣．考點(diǎn)：分式的化簡求值．專題：計(jì)算題．分析：原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法那么計(jì)算，同時(shí)利用除法法那么變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值．解答：解：原式=÷=﹣?=﹣x+2，當(dāng)x=2﹣時(shí)，原式=﹣2++2=．點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法那么是解此題的關(guān)鍵．19．〔7分〕〔2024?黃石〕如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點(diǎn)．〔1〕求BC的長；〔2〕過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．考點(diǎn)：切線的判定；含30度角的直角三角形；圓周角定理．分析：〔1〕根據(jù)圓周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，進(jìn)而求得BC即可；〔2〕要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．解答：證明：〔1〕解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BC=2BD=4；〔2〕證明：連接OD．∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，∴DO是△ABC的中位線，∴OD∥AC，那么∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切線．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．解題時(shí)要注意連接過切點(diǎn)的半徑是圓中的常見輔助線．20．〔8分〕〔2024?黃石〕解方程組．考點(diǎn)：高次方程．分析：由②得③，把③代入①解答即可．解答：解：，由②得③，把③代入①得：，解得：，當(dāng)x1=0時(shí)，y1=1；當(dāng)時(shí)，，所以方程組的解是．點(diǎn)評(píng)：此題考查高次方程問題，關(guān)鍵是把高次方程化為一般方程再解答．21．〔8分〕〔2024?黃石〕父親節(jié)快到了，明明準(zhǔn)備為爸爸煮四個(gè)大湯圓作早點(diǎn)：一個(gè)芝麻餡，一個(gè)水果餡，兩個(gè)花生餡，四個(gè)湯圓除內(nèi)部餡料不同外，其它一切均相同．〔1〕求爸爸吃前兩個(gè)湯圓剛好都是花生餡的概率；〔2〕假設(shè)給爸爸再增加一個(gè)花生餡的湯圓，那么爸爸吃前兩個(gè)湯圓都是花生的可能性是否會(huì)增大？請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法．分析：〔1〕首先分別用A，B，C表示芝麻餡、水果餡、花生餡的大湯圓，然后根據(jù)題意畫樹狀圖，再由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與爸爸吃前兩個(gè)湯圓剛好都是花生餡的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案；〔2〕首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與爸爸吃前兩個(gè)湯圓都是花生的情況，再利用概率公式即可求得給爸爸再增加一個(gè)花生餡的湯圓，那么爸爸吃前兩個(gè)湯圓都是花生的概率，比擬大小，即可知爸爸吃前兩個(gè)湯圓都是花生的可能性是否會(huì)增大．解答：解：〔1〕分別用A，B，C表示芝麻餡、水果餡、花生餡的大湯圓，畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，爸爸吃前兩個(gè)湯圓剛好都是花生餡的有2種情況，∴爸爸吃前兩個(gè)湯圓剛好都是花生餡的概率為：=；〔2〕會(huì)增大．理由：分別用A，B，C表示芝麻餡、水果餡、花生餡的大湯圓，畫樹狀圖得：∵共有20種等可能的結(jié)果，爸爸吃前兩個(gè)湯圓都是花生的有6種情況，∴爸爸吃前兩個(gè)湯圓都是花生的概率為：=＞；∴給爸爸再增加一個(gè)花生餡的湯圓，那么爸爸吃前兩個(gè)湯圓都是花生的可能性會(huì)增大．點(diǎn)評(píng)：此題考查了樹狀圖法與列表法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22．〔8分〕〔2024?黃石〕如以以下圖，體育場(chǎng)內(nèi)一看臺(tái)與地面所成夾角為30°，看臺(tái)最低點(diǎn)A到最高點(diǎn)B的距離為10，A，B兩點(diǎn)正前方有垂直于地面的旗桿DE．在A，B兩點(diǎn)處用儀器測(cè)量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°〔仰角即視線與水平線的夾角〕〔1〕求AE的長；〔2〕旗桿上有一面旗在離地1米的F點(diǎn)處，這面旗以0.5米/秒的速度勻速上升，求這面旗到達(dá)旗桿頂端需要多少秒？考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．分析：〔1〕先求得∠ABE和AEB，利用等腰直角三角形即可求得AE；〔2〕在RT△ADE中，利用sin∠EAD=，求得ED的長，即可求得這面旗到達(dá)旗桿頂端需要的時(shí)間．解答：解：〔1〕∵BG∥CD，∴∠GBA=∠BAC=30°，又∵∠GBE=15°，∴∠ABE=45°，∵∠EAD=60°，∴∠BAE=90°，∴∠AEB=45°，∴AB=AE=10，故AE的長為10米．〔2〕在RT△ADE中，sin∠EAD=，∴DE=10×=15，又∵DF=1，∴FE=14，∴時(shí)間t==28〔秒〕．故旗子到達(dá)旗桿頂端需要28秒．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，此類問題的解決關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)建模，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決．23．〔8分〕〔2024?黃石〕大學(xué)畢業(yè)生小王響應(yīng)國家“自主創(chuàng)業(yè)〞的號(hào)召，利用銀行小額無息貸款開辦了一家飾品店．該店購進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行銷售，飾品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元，每月可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：調(diào)整價(jià)格時(shí)，售價(jià)每漲1元每月要少賣10件；售價(jià)每下降1元每月要多賣20件．為了獲得更大的利潤，現(xiàn)將飾品售價(jià)調(diào)整為60+x〔元/件〕〔x＞0即售價(jià)上漲，x＜0即售價(jià)下降〕，每月飾品銷量為y〔件〕，月利潤為w〔元〕．〔1〕直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕如何確定銷售價(jià)格才能使月利潤最大？求最大月利潤；〔3〕為了使每月利潤不少于6000元應(yīng)如何控制銷售價(jià)格？考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．分析：〔1〕直接根據(jù)題意售價(jià)每漲1元每月要少賣10件；售價(jià)每下降1元每月要多賣20件，進(jìn)而得出等量關(guān)系；〔2〕利用每件利潤×銷量=總利潤，進(jìn)而利用配方法求出即可；〔3〕利用函數(shù)圖象結(jié)合一元二次方程的解法得出符合題意的答案．解答：解：〔1〕由題意可得：y=；〔2〕由題意可得：w=，化簡得：w=，即w=，由題意可知x應(yīng)取整數(shù)，故當(dāng)x=﹣2或x=﹣3時(shí)，w＜6125＜6250，故當(dāng)銷售價(jià)格為65元時(shí)，利潤最大，最大利潤為6250元；〔3〕由題意w≥6000，如圖，令w=6000，即6000=﹣10〔x﹣5〕2+6250，6000=﹣20〔x+〕2+6125，解得：x1=﹣5，x2=0，x3=10，﹣5≤x≤10，故將銷售價(jià)格控制在55元到70元之間〔含55元和70元〕才能使每月利潤不少于6000元．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及配方法求二次函數(shù)最值等知識(shí)，利用函數(shù)圖象得出x的取值范圍是解題關(guān)鍵．24．〔9分〕〔2024?黃石〕在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點(diǎn)，將△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．〔1〕如圖1，假設(shè)∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；〔2〕如圖2，假設(shè)△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點(diǎn)E，猜測(cè)∠AEB=θ是否成立？請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．分析：〔1〕①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，證出OC′=OD′，由SAS證明△AOC′≌△BOD′，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；②由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC′=∠OBD′，又由對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出∠BEA=90°，即可得出結(jié)論；〔2〕由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行線得出比例式，得出，證明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理即可得出∠AEB=θ．解答：〔1〕證明：①∵△OCD旋轉(zhuǎn)到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D為OA、OB的中點(diǎn)，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′〔SAS〕，∴AC′=BD′；②延長AC′交