2019-2020學年新人教A版必修一函數(shù)模型及其應用學案

1.幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f（x）=ax+b（a,b為常數(shù),〃W0）

反比例函數(shù)模型式x）=錯誤！+6伏力為常數(shù)且上片0）

1

二次函數(shù)模型f（.x）=ax+bx+c（afb,c為常數(shù)，aWO）

指數(shù)函數(shù)模型/（x）=b/+c（a,b,c為常數(shù)，b于0,a）0且aWl）

對數(shù)函數(shù)模型y（x）=bk）g?x+c（。力,c為常數(shù)2W0,G>0且a#l）

幕函數(shù)模型Ax）^a^'+b（a,b為常數(shù)，aWO）

2o三種函數(shù)模型的性質

數(shù)

y=（fCa>l）y=logd（a〉1））=?（〃〉0）

性質

在（0,+8）上的增減

增加的增加的增力口的

性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表隨n值變化而

圖像的變化

為與y軸平行現(xiàn)為與X軸平行各有不同

值的比較存在一個沏,當X>xo時，有l(wèi)o&x（Z<av

【知識拓展】

1.解函數(shù)應用題的步驟

2.“對勾”函數(shù)

形如於）=x+錯誤!（4>0）的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：

（1）該函數(shù)在（一8,—/］和［錯誤！，+8）上是增加的，在［一錯誤！，0）和（0,錯誤!1

上是減少的.

（2）當x>0時，x=錯誤!時取最小值2錯誤！，

當x〈0時，x=一錯誤!時取最大值一2錯誤!.

基礎自測

題組一思考辨析

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或"X")

(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出

售，則每件還能獲利.(X)

(2)函數(shù)y=2*的函數(shù)值比的函數(shù)值大.(X)

(3)不存在JCO，使""<xn0<logaxo?(X)

(4)在(0,+8)上，隨著x的增大，y="(?1)的增長速度會超過并遠遠大于y=L(a〉

0)的增長速度.(J)

(5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y^a-b'+cQW0力>0,6W1)增長速度越來越快的形象比

喻.(X)

A.收入最高值與收入最低值的比是3：1

B.結余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同

D.前6個月的平均收入為40萬元

答案D

解析由題圖可知,收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元,其比是3：1,故A正確；

由題圖可知,7月份的結余最高，為80—20=60(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份

的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確油題圖可知，前6個月的平

均收入為錯誤！X(40+60+30+30+50+60)=45(萬元)，故D錯誤.

3.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生

產(chǎn)成本為C(x)=錯誤!f+2x+20(萬元).一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企

業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為萬件.

答案18

解析利潤〃》）=20*—（?（》）=一錯誤?。╔-18）2+142,

當x=18時,L（x）有最大值.

4.用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長

度為.

答案3

解析設隔墻的長度為x（0〈X〈6）,矩形面積為y,

則丫=%、錯誤！=2x（6—犬）=一2（x-3）2+18,

當x=3時，y最大.

題組三易錯自糾

5.國家規(guī)定個人稿費納稅辦法:不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按

超過800元部分的14%納稅;超過4000元的按全部稿酬的11.2%納稅.已知某人出版一本書,

共納稅420元，則這個人應得稿費（扣稅前）為（）

A.2800元B.3000元

C.3800元D.3818元

答案C

解析由題意，知納稅額y（單位：元）與稿費（扣稅前）x（單位：元）之間的函數(shù)關系式為

y=錯誤！

由于此人納稅420元，

所以800GW4000時，令（x—800）X0.14=420,

解得x=3800,

x〉4000時，令0。112r=420,解得x=3750（舍去），

故這個人應得稿費（扣稅前）為3800元.

6.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為p,第二年的增長率為名則該市這

兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為.

答案錯誤！一1

解析設年平均增長率為X,則（l+x）2=（l+p）（l+g）,

錯誤！—1.

題型分類深度剖析

---------------------------------------------真題典題深度剖析重點難點多維探究---------------------------------------------

題型一用函數(shù)圖像刻畫變化過程一-自主演練

1.高為“，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流

出，若魚缸水深為人時水的體積為。，則函數(shù)。=式6）的大致圖像是（）

答案B

解析v=f（h）是增函數(shù)，且曲線的斜率應該是先變大后變小，故選B。

2.物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種

綠色運輸方案.據(jù)預測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內完成預測的運輸任務Qo,各種方

案的運輸總量。與時間，的函數(shù)關系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率（單位時間的運

輸量）逐步提高的是（）

答案B

解析由運輸效率（單位時間的運輸量）逐步提高得，曲線上的點的切線斜率應該逐漸增大,

故函數(shù)的圖像應一直是下凸的，故選B.

3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、丙三輛

汽車在不同速度下的燃油效率情況。下列敘述中正確的是（）

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多

C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D.某城市機動車最高限速80千米〃卜時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

答案D

解析根據(jù)圖像所給數(shù)據(jù)，逐個驗證選項.

根據(jù)圖像知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米,故選項A錯；以相同速度行駛時,

甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯;甲

車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時,里程為80千米，消耗8

升汽油，故選項C錯;最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，

在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對.

思維升華判斷函數(shù)圖像與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

（1）構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖像.

（2）驗證法:根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖像的變化趨勢，臉證是否吻合，

從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.

題型二已知函數(shù)模型的實際問題……師生共研

典例（1）（2017?石家莊質檢）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱

為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時間f（單位：分鐘）滿足函數(shù)關系p=

4尸+以+。（a,"。是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可

以得到最佳加工時間為分鐘.

答案3。75

解析根據(jù)圖表，把（秘）的三組數(shù)據(jù)（3,0。7）,（4,0.8）,（5,0.5）分別代入函數(shù)關系式，

聯(lián)立方程組得錯誤！

消去c化簡得錯誤！

解得錯誤！

所以p=-0.2尸+1。5f—2=-］錯誤！+錯誤!-2=一錯誤!錯誤!2+錯誤！，所以當/=錯誤!

=3.75時,p取得最大值，即最佳加工時間為3。75分鐘.

（2）某食品的保鮮時間y（單位:小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關系、=盧+&（e=2。

718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃

的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是小時.

答案24

解析由題意得錯誤！，e22&=錯誤！=錯誤！，

??.e""=錯誤！，，無=33時,y=e33H）=?"）

=錯誤!3?192=錯誤！X192=24（小時）.

思維升華求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關注點

(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

(3)利用該模型求解實際問題.

跟蹤訓練(1)擬定甲、乙兩地通話機分鐘的電話費(單位：元)由06(0o5Lw]+1)

給出，其中心0,[〃?]是不超過，〃的最大整數(shù)(如[3]=3,[3o7]=3,[3.1]=3),則甲、

乙兩地通話6.5分鐘的電話費為元.

答案4。24

解析；m=6。5,[ml=6,則/(6。5)=1.06X(0。5X6+1)=4.24.

(2)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬

元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)。的函數(shù)，K(Q)=4O0一錯誤!e2,則總利潤〃Q)的最大值

是萬元.

答案2500

解析L(。)=40。一錯誤!Q2-10Q-2000

=一錯誤!。2+30。-2000=一錯誤!(g-300)2+2500。

則當Q=300時，L(Q)的最大值為2500萬元.

多維

題型三構建函數(shù)模型的實際問題

命題點1構造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型

典例(1)某航空公司規(guī)定，乘飛機所攜帶行李的質量x(kg)與其運費>(元)之間的關系由如

圖所示的一次函數(shù)圖像確定，那么乘客可免費攜帶行李的質量最大為kg.

答案19

解析由圖像可求得一次函數(shù)的解析式為y=30x-570,令30犬—570=0,解得x=19.

(2)將進貨單價為80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個,己知這種商品每漲價1

元，其銷售量就要減少20個，為了賺得最大利潤，每個售價應定為元.

答案95

解析設每個售價定為x元，則利潤y=(x-80>[400—(x-90)20]=-20[(x-95產(chǎn)-225].

當x=95時，y最大.

命題點2構造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

典例一片森林原來面積為",計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到

面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的錯誤！，

己知到今年為止，森林剩余面積為原來的錯誤!。

(1)求每年砍伐面積的百分比；

(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？

解(1)設每年降低的百分比為x(0a<i),

則。(1-x>°=錯誤!”，即(1—x)”>=錯誤！，

_i_

解得x=l-錯誤！而.

(2)設經(jīng)過m年剩余面積為原來的錯誤!，

m1

則a(1一刀產(chǎn)=錯誤!a,即錯誤！歷=錯誤！,

即錯誤！=錯誤！，解得〃7=5.

故到今年為止，該森林已砍伐了5年.

引申探究

本例的條件不變，試計算：今后最多還能砍伐多少年？

解設從今年開始，以后砍了〃年，

則〃年后剩余面積為錯誤!a(1-x)".

令錯誤!a(1—x)"2錯誤!a,即(I—x)錯誤!，

21

錯誤！歷2錯誤！-即錯誤!W錯誤！，解得"W15.

故今后最多還能砍伐15年.

命題點3構造尸x+錯誤!(Q0)型函數(shù)

典例(1)(2018屆中原名校質檢)高三學生在新的學期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高,

上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高，當教室在第〃層樓時，上下樓造成的不滿意度

為〃，但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨教室所在樓層升高，環(huán)境不滿

意度降低，設教室在第"層樓時，環(huán)境不滿意度為錯誤!，則同學們認為最適宜的教室應在()

A.2樓B.3樓

C.4樓D.8樓

答案B

解析由題意知同學們總的不滿意度

y=〃+錯誤！32錯誤！=4錯誤！，

當且僅當”=錯誤!，即〃=2錯誤！時等號成立，

又?.?當"=3時，不滿意度y的值比"=2時不滿意度)，的取值小，

,同學們認為最適宜的教室應在3樓.

（2）（2017?南昌模擬）某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為

60。（如圖），考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為9錯誤!平方米，

且高度不低于錯誤!米.記防洪堤橫斷面的腰長為x米,外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長

的和）為y米.要使防洪堤的上面與兩側面的水泥用料最?。礄M斷面的外周長最?。瑒t防

洪堤的腰長尤=.

答案2錯誤！

解析由題意可得BC=錯誤!一錯誤!，

錯誤！+錯誤！22錯誤！=6錯誤!.

當且僅當錯誤！=錯誤?。?Wx<6）,

即x=2小時等號成立.

命題點4構造分段函數(shù)模型

典例（2017?山西孝義?？迹┠尘皡^(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使

用，管理這些自行車的費用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，

則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛.為了便

于結算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于

這一日的管理費用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去

管理費用后得到的部分）.

（1）求函數(shù)y=?r）的解析式；

（2）試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？

解（1）當xW6時，y=50x-115,

令50x-115>0,解得x>2,,3,

為整數(shù)，，3<xW6,xGZo

當x>6時，

產(chǎn)［50—3（x-6）］x-115=-3f+68x—115。

令一3f+681一115〉0,有3/—68x+115<0,結合x為整數(shù)得6〈xW20,xGZ.

.?.尸錯誤！

（2）對于y=50x-115（3WxW6,<GZ）,

顯然當X=6時，ymax=185；

對于y=-3*+68x-115=-3錯誤!2+錯誤?。?GW20,xGZ）,當x=ll時,丫皿=270.

?；270>185,二當每輛自行車的日租金定為11元時才能使一日的凈收入最多.

思維升華構建數(shù)學模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，

將文字語言轉化成教學語言，建立適當?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的

限制.

跟蹤訓練(1)一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品

還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為MX6N+)件.當xW20時，年銷售總收入為(33x—f)萬元;

當x>20時，年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬

元，則)，(萬元)與x(件)的函數(shù)關系式為,該工廠的年產(chǎn)量為

件時，所得年利潤最大.(年利潤=年銷售總收入一年總投資)

答案y=錯誤！(xSN+)16

解析當0aW20時，)，=(33x—/)—x-100=-f+32x-100；當x〉20時，丫=260—100

一X—160—x<>

f-/+3級一100,0GW20,

故y=1、(x￡N+).

L160-x,x〉20

當0GW20時，y=-/+32r-100=-(%-16)2+156,

當x=16時,ymax=156.

而當x〉20時，160—》<140,

故當x=16時取得最大年利潤.

(2)大學畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預算，該門面需要裝修費為20000元,每天需

要房租、水電等費用100元，受經(jīng)營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R

與門面經(jīng)營天數(shù)x的關系是/?*)=錯誤!則總利潤最大時，該門面經(jīng)營的天數(shù)是.

答案300

解析由題意，總利潤

)=錯誤！

當0WxW400時，》=一錯誤！(x-300)2+25000,

所以當x=300時，ymax=25000；

當x〉400時，y=60000-100x<20000,

綜上，當門面經(jīng)營的天數(shù)為300時，總利潤最大為25000元.

------------------答題模板-------------------

函數(shù)應用問題

典例(12分)已知美國某手機品牌公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬

部還需另投入16萬美元.設公司一年內共生產(chǎn)該款手機尤萬部并全部銷售完，每萬部的銷

售收入為R(x)萬美元，且R(x)=錯誤！

(1)寫出年利潤W(萬美元)關于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；

(2)當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.

思維點撥根據(jù)題意，要利用分段函數(shù)求最大利潤.列出解析式后，比較二次函數(shù)和“對勾”

函數(shù)的最值的結論.

規(guī)范解答

解(1)當0aW40時，W=xR(x)-(16x+40)

=-6X2+384X-40,[2分]

當犬>40時,卬=*/?(x)-(16x+40)

=一錯誤！-16x+7360.

所以W=錯誤！[4分]

(2)①當0<x<40時，W=-6(X-32)2+6104,

所以Wmax=W(32)=6104；[6分]

②當X〉40時，卬=一錯誤！-16x+7360,

由于錯誤！+16x>2錯誤！=1600,

當且僅當錯誤！=16x,即x=50G(40,+8)時，取等號，

所以此時W的最大值為5760.[10分]

綜合①②知，

當x=32時，W取得最大值6104萬美元.[12分]

答題模板

解函數(shù)應用題的一般步驟：

第一步：(審題)弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系；

第二步：(建模)將文字語言轉化成數(shù)學語言，用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；

第三步：(解模)求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結論；

第四步：(還原)將用數(shù)學方法得到的結論還原為實際問題的意義；

第五步：(反思)對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結果，必須驗證這個數(shù)學結果對實際問題的合理性.

課時作業(yè)

X基礎保分練

1.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)

中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()

X1.992345.156o126

ylo5174.04187o51218o01

A.y=2x—2B.y=錯誤?。▁2—1）

C.y=log>D.y—\ogjx

答案B

解析由題中表可知函數(shù)在（0,+8）上是增函數(shù)，且），的變化隨x的增大而增大的越來越

快，分析選項可知B符合，故選B。

2.某家具的標價為132元，若降價以九折出售（即優(yōu)惠10%）,仍可獲利10%（相對進貨價），

則該家具的進貨價是（）

A.118元B.105元C.106元D.108元

答案D

解析設進貨價為。元，由題意知

3.國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%,超過280萬元的部

分按（p+2）%征稅，有一公司的實際繳稅比例為（p+0。25）%,則該公司的年收入是（）

A.560萬元B.420萬元

C.350萬元D.320萬元

答案D

解析設該公司的年收入為x萬元（x>280）,則有

錯誤！=（p+0.25）%,

解得x=320。故該公司的年收入為320萬元.

4.（2018?湖南衡陽、長郡中學等十三校聯(lián)考）某大型民企為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)

資金投入.若該民企2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資

金比上一年增長12%,則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（參

考數(shù)據(jù):1g1。12^0.05,1g1.3^0.11,lg2?0.30）（）

A.2017年B.2018年

C.2019年D.2020年

答案D

解析設從2016年起，過了“（“CN+）年該民企全年投入的研發(fā)資金超過200萬元，則130X

（1+12%）"2200,則“》錯誤!心錯誤!=3。8,由題意取”=4,

則”+2016=2020。故選D.

5.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10n?的，按

每立方米〃，元收費;用水超過10nP的，超過部分加倍收費.某職工某月繳水費16,”元,則該職

工這個月實際用水為（）

A.13m3B.14m3

C.18m3D.26m3

答案A

解析設該職工用水xn?時，繳納的水費為y元，由題意得y=錯誤！

則10，〃+（X—W）-2m—16m,

解得x—13o

6.某汽車銷售公司在4,8兩地銷售同一種品牌的汽車，在4地的銷售利潤（單位：萬元）

為y=4。lx—0olx2,在B地的銷售利潤（單位：萬元）為>2=2X,其中x為銷售量（單位：

輛），若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是（）

A.10。5萬元B.11萬元

C.43萬元D.43（,025萬元

答案C

解析設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在8地銷售該品牌的汽車（16—x）輛，所以

可得利潤

y=4.1x-Ol，+2（16-x）=-0.1f+2.￡+32=-0.1錯誤!2+01X（10.5）2+32?

因為xG[0,16]且xCN,所以當x=10或11時，總利潤取得最大值43萬元.

7.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為），=/（其中％為常數(shù)，，

表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù)），則％=,經(jīng)過5小時，1個病毒能繁殖

為個.

答案21n21024

解析當/=0。5時，y=2,/.2=e2,

.,.左=21n2,.*.y=e2,ln2,

當t=5時，y=el0ln2=210=l024.

8.“好酒也怕巷子深"，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品

靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R=〃錯誤!（。為常數(shù)），廣告效應為錯誤！

—A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應，投入的廣告費應為.（用常數(shù)a表

示）

答案錯誤!萬

解析令『錯誤!”20）,則A=戶，

.,.￡>=〃一產(chǎn)=一錯誤!錯誤!標，

.?.當/=錯誤!a,即4=錯誤!M時，。取得最大值.

9.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園（陰影部分），則其邊長x

為m.

40m

40m

答案20

解析設內接矩形另一邊長為ym,

則由相似三角形性質可得錯誤!=錯誤!，

解得y=40—x,

所以面積S=X(40-X)=—A2+40X=—(X—20)2+400(0<x<40),

所以當X=20時，Smax=400.

10.某市用37輛汽車往災區(qū)運送一批救災物資，假設以。km/h的速度直達災區(qū)，已知某市到

災區(qū)公路線長400km,為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于錯誤!2km,那么這批物資全

部到達災區(qū)的最少時間是h(車身長度不計).

答案12

解析設全部物資到達災區(qū)所需時間為fh,由題意可知，f相當于最后一輛車行駛了錯誤!

km所用的時間，因此，r=錯誤！212,

當且僅當錯誤！=錯誤!，即。=錯誤！時取.

故這些汽車以錯誤！km/h的速度勻速行駛時，所需時間最少，最少時間為12h.

11.已知某物體的溫度。(單位：攝氏度)隨時間“單位:分鐘)的變化規(guī)律:。=帆>+21飛■(),

并且根〉0).

(1)如果機=2,求經(jīng)過多長時間，物體的溫度為5攝氏度；

(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求機的取值范圍.

解(1)若機=2,則。=22+2皿=2錯誤！，

當0=5時，7+錯誤！=錯誤！，

令T=x>l,則x+錯誤！=錯誤！，

即Zx2—5x+2=0,解得x=2或x=；(舍去)，

此時仁1。所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度.

(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即恒成立.

亦m-2'+錯誤！》2恒成立，亦即團22錯誤!恒成立.

令錯誤！=x,則0(xWl,所以加22(%—JC2),

由于x-/W錯誤！，所以機N錯誤!.

因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時一的取值范圍是錯誤!。

12.某書商為提高某套叢書的銷售量，準備舉辦一場展銷會.據(jù)市場調查，當每套叢書售價

定為x元時，銷售量可達到15—。民萬套.現(xiàn)出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改

革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動

價格(單位:元)與銷售量(單位:萬套)成反比，比例系數(shù)為10.假設不計其他成本，即銷售每套

叢書的利潤=售價一供貨價格，問：

(I)每套叢書售價定為100元時，書商能獲得的總利潤是多少萬元？

(2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？

解(1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為15—0.1X100=5(萬套)，此時每套供貨價格

為30+錯誤！=32(元)，書商所獲得的總利潤為5X(100-32)=340(萬元).

(2)每套叢書售價定為x元時，由錯誤！

解得0G〈150。

依題意，單套叢書利潤

P=x一錯誤！=x一錯誤！—30,

所以P=-錯誤!+120.

因為0〈X〈150,所以150-x>0,

則(150-力+錯誤!

22錯誤！

=2X10=20,

當且僅當150—,

150—x

即x=140時等號成立，

此時，Pmax=一20+120=100。

所以每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，最大值為100元.

土技能提升練

13.已知某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房.當每套公寓房月租金定為3000元時，

這70套公寓房能全部租出去；當月租金每增加50元時(設月租金均為50元的整數(shù)倍)，就

會多一套房子不能出租.設已出租的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用

(設沒有出租的房子不需要花這些費用)，則要使公司獲得最大利潤,每套房月租金應定為

____元,

答案3300

解析由題意，設利澗為y元，每套房月租金定為3000+50X元(0WxW70,xGN),則y

=(3000+50%)(70—x)-100(70-x)=(2900+50x)(70—x