一元二次方程的應用華師版數(shù)學九年級上冊期末考試，通常用“一元二次方程的應用”，作為解答題的第四題。該題難度中等，關(guān)鍵是分析數(shù)量關(guān)系，熟悉常見等量關(guān)系。一元二次方程的應用廣泛，重點是“增長率（降低率）、銷售問題、面積（體積）問題”1．（數(shù)字問題）有一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)．2．（體積問題）如圖1，將一張長，寬的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋紙盒，紙盒底面積為，求該有蓋紙盒的高．（單位：）3．（增長率問題）受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素．某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤率年提高，據(jù)統(tǒng)計，2019年利潤為2億元，2021年利潤為3.92億元．(1)求該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率；(2)若2022年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2022年的利潤能否超過5.5億元？4．（銷售問題）某服裝超市購進單價為30元的童裝若干件，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于每件30元，不高于每件60元．銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為60元時，平均每月銷售量為80件，而當銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件，同時，在銷售過程中，每月還要支付其他費用450元，設(shè)銷售單價為x元，平均月銷售量為y件．(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式(2)當銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？5．（面積問題）已知：如圖所示，在中，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，當其中一點到達終點后，另外一點也隨之停止運動．(1)如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？(2)在（1）中，的面積能否等于？請說明理由．6．（行程問題）某學校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)計了點做圓周運動的一個雛型．如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點、以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動.甲運動的路程與時間滿足關(guān)系：（），乙以4的速度勻速運動，半圓的長度為21．（1）甲運動4后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？7．（銷售問題）我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克．在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，每千克茶葉應降價多少元？8．（銷售問題）國慶節(jié)期間，某種水果的進價是每千克12元，當銷售價為每千克22元時，每天可售出160千克；每千克若降價3元，每天的銷售量將增加120千克．如果超市每天要獲得銷售利潤1800元，又要盡可能讓顧客得到實惠，這種水果的銷售價應為每千克多少元？9．（增長率問題、銷售問題）某商場銷售某女款上衣，剛上市時每件可盈利125元，銷售一段時間后開始滯銷，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，每件盈利為80元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降價的百分率；(2)為擴大銷售量，盡快減少庫存，在“雙十一”期間該商場決定再次采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一件女款上衣每降價1元，每天可多售出2件．若商場每天要盈利2250元，每件應降價多少元？10．（傳播率問題）某種電腦病毒傳播速度非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有100臺電腦被感染．每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？11．（數(shù)字問題）一個兩位數(shù)，兩個數(shù)字的和為5，把這個兩位數(shù)的個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字互換得到一個新的兩位數(shù)，它與原兩位數(shù)的積為736，求原兩位數(shù)．12．（面積問題）某牧場準備利用現(xiàn)成的一堵“7”字形的墻面（粗線A-B-C表示墻面）建飼養(yǎng)場，已知，米，米，現(xiàn)計劃用總長為38米的籬笆圍建一個“日”字形的飼養(yǎng)場，并在每個區(qū)域開一個寬2米的門，如圖（細線表示籬笆，飼養(yǎng)場中間用籬笆隔開），點F可能在線段上，也可能在線段的延長線上．(1)如圖，當點F在線段上時，①設(shè)的長為x米，則___________米；（用含x的代數(shù)式表示）②若圍成的飼養(yǎng)場的面積為132平方米，求飼養(yǎng)場的寬的長；(2)如圖當點F在線段延長線上，所圍成的飼養(yǎng)場的面積能否為156平方米？如果能達到，求出的長；如果不能，請說明理由．13．（面積問題）某公園準備在一塊長為，寬為的長方形花園內(nèi)修建一個底部為正方形的溫室花房（如圖所示），在溫室花房四周修四條寬度相同，且與溫室花房各邊垂直的小路，溫室花房邊長是小路寬度的倍，花園內(nèi)其他的空白地方鋪草坪，設(shè)小路寬度為．(1)用含x的代數(shù)式表示花園內(nèi)溫室花房的面積和小路面積；(2)若草坪面積為時，求這時道路寬度．14．（增長率問題）某廠工業(yè)廢氣年排放量為400萬立方米，為改善大氣環(huán)境質(zhì)量，決定分兩期投入治理，使廢氣的年排放量減少到256萬立方米．若每期治理中，廢氣減少的百分率相同，則：(1)求每期減少的百分率是多少?(2)預計第一期治理中每減少1萬立方米廢氣，需投入2萬元；第二期治理中每減少1萬立方米廢氣，需投入3萬元．那么，兩期治理完成后共需投入多少萬元?15．（增長率問題）奧密克戎是新冠病毒的變異毒株，傳播性很強，某次一名奧密克戎攜帶者未被有效隔離，經(jīng)過兩輪傳播后，共有100名感染者．求每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人？（假設(shè)每輪傳染人數(shù)相同）16．（增長率問題、銷售問題）某商場于今年年初以每件元的進價購進一批商品．當商品售價為每件元時，一月份銷售件，二、三月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達到件，設(shè)二、三這兩個月的銷售量月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個月的銷售量月平均增長率；(2)從四月份起，在三月份銷量的基礎(chǔ)上，商場決定降價促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價元，銷售量增加5件．為盡可能讓利顧客，贏得市場、問：該商品售價定為多少時，商場當月獲利元？17．（銷售問題）車厘子，其含鐵量是水果之首，它營養(yǎng)豐富，深受消費者喜愛．某超市準備花20000元購進一批車厘子，實際購買時，由于在原進價的基礎(chǔ)上打了8折，結(jié)果用同樣的錢比預期多購進100斤．(1)車厘子的實際進價為每斤多少元？(2)若該品種的車厘子市場售價為80元/斤，可售出200斤，根據(jù)銷售經(jīng)驗，降低售價會促進銷量的增加，即售價每斤降價1元，銷量相應增加10斤，超市決定將部分車厘子降價促銷，售價定為多少元時，可使促銷部分的車厘子獲利9000元？18．（增長率問題、銷售問題）解決問題：鄧州公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售500個，9月份銷售720個，且從7月份到9月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進價為30元/個，經(jīng)市場預測，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？19．（動點問題、面積問題）如圖，在中，，cm，cm，動點從點出發(fā)，沿方向運動，動點從點出發(fā)，沿方向運動，如果點，的運動速度均為1cm/s．(1)設(shè)點Q、點P運動時間為ts，則CP=_______cm，BQ=_______cm．(2)點P、點Q運動幾秒時，它們相距15cm？(3)的面積能等于60平方厘米嗎？為什么？20．（工程問題）甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．(1)若工程結(jié)算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)實際施工開始后，因地質(zhì)情況及實際條件比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖米．若最終每天實際總成本在少于150萬的情況下比計劃多萬元．求a的值．21．（工程問題）為了滿足鐵路交通的快速發(fā)展，安慶火車站從去年開始啟動了擴建工程，其中某項工程，甲隊單獨完成所需時間比乙隊單獨完成所需時間多5個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍．求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需幾個月？22．（圖表問題）疫情期間，“大白”成了身穿防護服的人員的代稱．開學以來，我校很多老師在繁重的課務之余承擔起了核酸檢測的任務，化身可敬可愛的“大白”．據(jù)多日檢測結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個熟能生巧的現(xiàn)象，當每位大白檢測人數(shù)是人時，每位同學人均檢測時間是秒，而檢測人數(shù)每提高人，人均就少耗時秒（若每位大白的檢測人數(shù)不超過人，設(shè)人均少耗時秒）．(1)補全下列表格：檢測人數(shù)（人）人均檢測時間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時完成了檢測任務，那么他今日檢測總?cè)藬?shù)為多少人？23．（比賽問題）某單位準備舉辦羽毛球邀請賽，賽制為單循環(huán)（每兩位選手之間各進行一場比賽），計劃一共舉行場比賽．(1)求該邀請賽的參賽選手人數(shù)；(2)為了保證比賽正常進行，該單位需要為每場比賽至少準備只羽毛球，且計劃購買的羽毛球數(shù)量為的整數(shù)倍．計劃購買的某品牌羽毛球原價元/只，現(xiàn)有甲，乙兩家公司促銷該品牌羽毛球．甲公司促銷方案：在原價的基礎(chǔ)上，在一定范圍內(nèi)每多購買只，每個的單價可降低元，例如購買只時的單價為元，最低單價不能低于元；乙公司一律按折促銷．若該單位選擇甲，乙中的一家公司購買，經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，分別選擇在這兩家公司購買的總金額相差元，從節(jié)約成本的角度考慮，判斷該單位應選擇哪家公司購買，并求其計劃購買的羽毛球數(shù)量．24．（增長率問題、銷售問題）今年2月北京和張家口舉辦了第24屆冬奧會，其中吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜愛，某超市在今年1月份銷售“冰墩墩”飾扣64個，2月和3月的銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎(chǔ)上，3月份的銷售量達到100個．(1)求“冰墩墩”飾扣2月和3月銷售足的月平均增長率；(2)“冰墩墩”飾扣每個進價25元，原售價為每個40元，該超市在今年4月份進行降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降低1元，銷售量就增加4個，若要4月份出售“冰墩墩”飾扣獲利1200元，則“冰墩墩”飾扣每個需要降價多少元？25．（銷售問題）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，進價20元每千克，如果每千克30元銷售，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克每漲價1元，日銷售量相應減少10千克．(1)若以每千克35元的單價出售，求每天的利潤為多少元；(2)現(xiàn)該商場要保證每天盈利8000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？26．（圖表問題）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2019年1月份的日歷．我們?nèi)我膺x擇其中所示的菱形框部分將每個菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，相對的兩對數(shù)分別相乘，再相減，例如：，．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48．（1）請證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）若用一個如圖所示菱形框，再框出5個數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積為435，求出這5個數(shù)的最大數(shù)；（3）小明說：他用一個如圖所示菱形框，框出5個數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120．直接判斷他的說法是否正確．（不必敘述理由）一元二次方程的應用華師版數(shù)學九年級上冊期末考試，通常用“一元二次方程的應用”，作為解答題的第四題。該題難度中等，關(guān)鍵是分析數(shù)量關(guān)系，熟悉常見等量關(guān)系。一元二次方程的應用廣泛，重點是“增長率（降低率）、銷售問題、面積（體積）問題”1．（數(shù)字問題）有一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)．【答案】24【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為（x+2），根據(jù)題意得：3x（x+2）=10x+（x+2），整理得：3x2-5x-2=0，解得：x1=2，x2=（不合題意，舍去），∴x+2=4，∴這個兩位數(shù)為24．2．（體積問題）如圖1，將一張長，寬的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋紙盒，紙盒底面積為，求該有蓋紙盒的高．（單位：）【答案】若紙盒的底面積是48，紙盒的高為2cm．【詳解】解：設(shè)當紙盒的高為時，紙盒的底面積是，依題意，得，化簡，得：，解得：．當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去，答：若紙盒的底面積是，紙盒的高為．3．（增長率問題）受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素．某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤率年提高，據(jù)統(tǒng)計，2019年利潤為2億元，2021年利潤為3.92億元．(1)求該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率；(2)若2022年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2022年的利潤能否超過5.5億元？【答案】(1)；(2)不能【詳解】（1）解：設(shè)該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：，解得：，（不合題意，舍去），即該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率為；（2）解：若2022年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2022年的利潤為：，故該企業(yè)2022年的利潤不能超過5.5億元．4．（銷售問題）某服裝超市購進單價為30元的童裝若干件，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于每件30元，不高于每件60元．銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為60元時，平均每月銷售量為80件，而當銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件，同時，在銷售過程中，每月還要支付其他費用450元，設(shè)銷售單價為x元，平均月銷售量為y件．(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式(2)當銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？【答案】(1)函數(shù)的關(guān)系式為：；(2)當銷售單價為55元時，銷售這種童裝每月可獲利元．【詳解】（1）解：由題意得：，∴函數(shù)的關(guān)系式為：；（2）解：由題意得：，解得，（不符合題意，舍去），答：當銷售單價為元時，銷售這種童裝每月可獲利元．5．（面積問題）已知：如圖所示，在中，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，當其中一點到達終點后，另外一點也隨之停止運動．(1)如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？(2)在（1）中，的面積能否等于？請說明理由．【答案】(1)1秒后的面積等于；(2)的面積不能等于，理由見解析【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒以后面積為，則

，整理得：，解得：，∵當時，，∴不合題意，答：1秒后的面積等于；（2）解：的面積不能等于，理由如下∶設(shè)經(jīng)過t秒以后△PBQ面積為，則，整理得：，，所以此方程無解，故的面積不能等于．6．（行程問題）某學校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)計了點做圓周運動的一個雛型．如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點、以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動.甲運動的路程與時間滿足關(guān)系：（），乙以4的速度勻速運動，半圓的長度為21．（1）甲運動4后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？【答案】（1）甲運動4后的路程是14；（2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了3．【詳解】(1)當時，（），答：甲運動4后的路程是14；（2）由圖可知，甲乙第一次相遇時走過的路程為半圓21，甲走過的路程為，乙走過的路程為4，則，解得：或（不合題意，舍去），答：甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了3．7．（銷售問題）我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克．在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，每千克茶葉應降價多少元？【答案】每千克茶葉應降價元【詳解】設(shè)每千克茶葉應降價元，每周利潤為，則平均每周可售出千克，依題意，得：，解得：，∵為盡可能讓利于顧客，贏得市場，∴，答：每千克茶葉應降價元．8．（銷售問題）國慶節(jié)期間，某種水果的進價是每千克12元，當銷售價為每千克22元時，每天可售出160千克；每千克若降價3元，每天的銷售量將增加120千克．如果超市每天要獲得銷售利潤1800元，又要盡可能讓顧客得到實惠，這種水果的銷售價應為每千克多少元？【答案】17【詳解】解：設(shè)每千克水果降低元，超市每天要獲得銷售利潤1800元，由題意，得，整理，得，或，要盡可能讓顧客得到實惠，，售價為（元/千克）答：這種水果的銷售價應為每千克17元．9．（增長率問題、銷售問題）某商場銷售某女款上衣，剛上市時每件可盈利125元，銷售一段時間后開始滯銷，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，每件盈利為80元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降價的百分率；(2)為擴大銷售量，盡快減少庫存，在“雙十一”期間該商場決定再次采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一件女款上衣每降價1元，每天可多售出2件．若商場每天要盈利2250元，每件應降價多少元？【答案】(1)平均每次降價盈利減少的百分率為；(2)若商場每天要盈利2250元，每件應降價65元．【詳解】（1）解：設(shè)盈利減少的平均百分率為a，根據(jù)題意，得：，解得：（舍）或，答：平均每次降價盈利減少的百分率為；（2）設(shè)每件應降價x元，根據(jù)題意，得，解得：，∵盡快減少庫存，∴，答：若商場每天要盈利2250元，每件應降價65元．10．（傳播率問題）某種電腦病毒傳播速度非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有100臺電腦被感染．每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？【答案】9臺【詳解】解設(shè)每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦，依題意得：，整理得，解得（舍去），答：每輪感染中平均一臺電腦感染9臺電腦.11．（數(shù)字問題）一個兩位數(shù)，兩個數(shù)字的和為5，把這個兩位數(shù)的個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字互換得到一個新的兩位數(shù)，它與原兩位數(shù)的積為736，求原兩位數(shù)．【答案】23或32．【詳解】解：設(shè)原兩位數(shù)字的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為（5-x），根據(jù)題意得（10x+5-x）[10（5-x）+x]=736，整理得：x2-5x+6=0，解得：x1=2，x2=3，∴5-x=3或2，∴原兩位數(shù)是23或32．故答案為：23或32．12．（面積問題）某牧場準備利用現(xiàn)成的一堵“7”字形的墻面（粗線A-B-C表示墻面）建飼養(yǎng)場，已知，米，米，現(xiàn)計劃用總長為38米的籬笆圍建一個“日”字形的飼養(yǎng)場，并在每個區(qū)域開一個寬2米的門，如圖（細線表示籬笆，飼養(yǎng)場中間用籬笆隔開），點F可能在線段上，也可能在線段的延長線上．(1)如圖，當點F在線段上時，①設(shè)的長為x米，則___________米；（用含x的代數(shù)式表示）②若圍成的飼養(yǎng)場的面積為132平方米，求飼養(yǎng)場的寬的長；(2)如圖當點F在線段延長線上，所圍成的飼養(yǎng)場的面積能否為156平方米？如果能達到，求出的長；如果不能，請說明理由．【答案】(1)①，②11米(2)不能，見解析【詳解】（1）①設(shè)的長為x米，則（米）．故答案為：．②依題意得：，整理得∶，解得：．當時，，不合題意，舍去；當時，，符合題意．答：飼養(yǎng)場的寬的長為11米．（2）不能達到，理由如下：設(shè)的長為y米，則米，依題意得：，整理得：，∵，該方程沒有實數(shù)根，即當點F在線段延長線上，所圍成的飼養(yǎng)場的面積不能達到156平方米．13．（面積問題）某公園準備在一塊長為，寬為的長方形花園內(nèi)修建一個底部為正方形的溫室花房（如圖所示），在溫室花房四周修四條寬度相同，且與溫室花房各邊垂直的小路，溫室花房邊長是小路寬度的倍，花園內(nèi)其他的空白地方鋪草坪，設(shè)小路寬度為．(1)用含x的代數(shù)式表示花園內(nèi)溫室花房的面積和小路面積；(2)若草坪面積為時，求這時道路寬度．【答案】(1)花園內(nèi)溫室花房的面積為平方米，小路面積為：平方米(2)道路寬度的值為米．【詳解】（1）解：小路寬度為米，溫室花房邊長是小路寬度的倍，溫室花房邊長是米，∴花園內(nèi)溫室花房的面積為平方米小路面積為平方米，故小路面積為：平方米；（2）依題意得：，整理得：，解得：，不合題意，舍去．答：這時道路寬度的值為米．14．（增長率問題）某廠工業(yè)廢氣年排放量為400萬立方米，為改善大氣環(huán)境質(zhì)量，決定分兩期投入治理，使廢氣的年排放量減少到256萬立方米．若每期治理中，廢氣減少的百分率相同，則：(1)求每期減少的百分率是多少?(2)預計第一期治理中每減少1萬立方米廢氣，需投入2萬元；第二期治理中每減少1萬立方米廢氣，需投入3萬元．那么，兩期治理完成后共需投入多少萬元?【答案】(1)20%；(2)352萬元【詳解】（1）解：設(shè)每期減少的百分率是,根據(jù)題意得，解得，（舍去），所以每期減少的百分率為．（2）解：根據(jù)題意有（萬元），（萬元），∴（萬元），答：兩期治理完成后需要投入萬元．15．（增長率問題）奧密克戎是新冠病毒的變異毒株，傳播性很強，某次一名奧密克戎攜帶者未被有效隔離，經(jīng)過兩輪傳播后，共有100名感染者．求每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人？（假設(shè)每輪傳染人數(shù)相同）【答案】每輪傳染中，平均每個人傳染9個人．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中，平均每個人傳染了x個人，依題意，得：，解得：（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中，平均每個人傳染9個人．16．（增長率問題、銷售問題）某商場于今年年初以每件元的進價購進一批商品．當商品售價為每件元時，一月份銷售件，二、三月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達到件，設(shè)二、三這兩個月的銷售量月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個月的銷售量月平均增長率；(2)從四月份起，在三月份銷量的基礎(chǔ)上，商場決定降價促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價元，銷售量增加5件．為盡可能讓利顧客，贏得市場、問：該商品售價定為多少時，商場當月獲利元？【答案】(1)二、三這兩個月的銷售量月平均增長率為(2)該商品售價定為72元時，商場當月獲利元【詳解】（1）解：設(shè)二、三這兩個月的銷售量月平均增長率為x，依題意得，，，解得：，（不符合題意，舍去）．答：二、三這兩個月的銷售量月平均增長率為；（2）解：設(shè)該商品售價定為y元，則每件的銷售利潤為元，當月的銷售量為件，依題意得：，整理得：，解得：，，又∵要盡可能讓利顧客，贏得市場，∴，即該商品售價定為元時，商場當月獲利元．17．（銷售問題）車厘子，其含鐵量是水果之首，它營養(yǎng)豐富，深受消費者喜愛．某超市準備花20000元購進一批車厘子，實際購買時，由于在原進價的基礎(chǔ)上打了8折，結(jié)果用同樣的錢比預期多購進100斤．(1)車厘子的實際進價為每斤多少元？(2)若該品種的車厘子市場售價為80元/斤，可售出200斤，根據(jù)銷售經(jīng)驗，降低售價會促進銷量的增加，即售價每斤降價1元，銷量相應增加10斤，超市決定將部分車厘子降價促銷，售價定為多少元時，可使促銷部分的車厘子獲利9000元？【答案】(1)車厘子的實際進價為每斤40元；(2)售價定為70元時，可使促銷部分的車厘子獲利9000元．【詳解】（1）解：設(shè)原進價為每斤x元，則實際購買時，車厘子每斤元，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴，答：車厘子的實際進價為每斤40元；（2）解：設(shè)售價定為m元時，可使促銷部分的車厘子獲利9000元，根據(jù)題意得：，化簡整理得：，解得，答：售價定為70元時，可使促銷部分的車厘子獲利9000元．18．（增長率問題、銷售問題）解決問題：鄧州公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售500個，9月份銷售720個，且從7月份到9月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進價為30元/個，經(jīng)市場預測，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為；(2)該品牌頭盔的實際售價應定為50元/個．【詳解】（1）解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，由題意得：，解得：，（不合題意，舍去），答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為；（2）解：設(shè)該品牌頭盔的實際售價應定為y元/個，由題意得：，整理得：，解得：，，∵盡可能讓顧客得到實惠，∴，答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元/個．19．（動點問題、面積問題）如圖，在中，，cm，cm，動點從點出發(fā)，沿方向運動，動點從點出發(fā)，沿方向運動，如果點，的運動速度均為1cm/s．(1)設(shè)點Q、點P運動時間為ts，則CP=_______cm，BQ=_______cm．(2)點P、點Q運動幾秒時，它們相距15cm？(3)的面積能等于60平方厘米嗎？為什么？【答案】(1)t；t；(2)9秒或12秒；(3)不能，理由見解析【詳解】（1）解：，，（2）解：設(shè)運動秒時，，兩點相距15厘米，依題意，得：，解得：，，運動9秒或12秒時，，兩點相距15厘米．（3）解：的面積不能等于60平方厘米，理由如下：設(shè)運動秒時，的面積等于60平方厘米，依題意，得：，整理，得：，，原方程無解，即的面積不能等于60平方厘米．20．（工程問題）甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．(1)若工程結(jié)算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)實際施工開始后，因地質(zhì)情況及實際條件比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖米．若最終每天實際總成本在少于150萬的情況下比計劃多萬元．求a的值．【答案】(1)甲最多施工2500米；(2)a的值為6【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊施工x米，則乙工程隊施工（5000-x）米，依題意，得：12（5000-x）≥×10x，解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米．（2）依題意，得：，整理，得：，解得：，，當時，總成本為：（萬元），∵，∴不符合題意舍去；當時，總成本為：（萬元），∵，∴符合題意；答：a的值為6．21．（工程問題）為了滿足鐵路交通的快速發(fā)展，安慶火車站從去年開始啟動了擴建工程，其中某項工程，甲隊單獨完成所需時間比乙隊單獨完成所需時間多5個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍．求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需幾個月？【答案】甲隊單獨完成這項工程需要15個月，乙隊單獨完成這項工程需要10個月【詳解】解：設(shè)甲隊單獨完成這項工程需要x個月，則乙隊單獨完成這項工程需要（x﹣5）個月，由題意，得x（x﹣5）=6（x+x﹣5），解得：x1=2（舍去），x2=15．∴乙隊單獨完成這項工程需要15﹣5=10個月答：甲隊單獨完成這項工程需要15個月，乙隊單獨完成這項工程需要10個月．22．（圖表問題）疫情期間，“大白”成了身穿防護服的人員的代稱．開學以來，我校很多老師在繁重的課務之余承擔起了核酸檢測的任務，化身可敬可愛的“大白”．據(jù)多日檢測結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個熟能生巧的現(xiàn)象，當每位大白檢測人數(shù)是人時，每位同學人均檢測時間是秒，而檢測人數(shù)每提高人，人均就少耗時秒（若每位大白的檢測人數(shù)不超過人，設(shè)人均少耗時秒）．(1)補全下列表格：檢測人數(shù)（人）人均檢測時間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時完成了檢測任務，那么他今日檢測總?cè)藬?shù)為多少人？【答案】(1)40，，29，26；(2)他今日檢測總?cè)藬?shù)為人【詳解】（1）解：設(shè)檢測人數(shù)為，人均檢測時間為秒，由題意得：、，補全表格如下：檢測人數(shù)人人均檢測時間秒（2）解：由題意得，，解得，，當時，檢測總?cè)藬?shù)為人，每位大白的檢測人數(shù)不超過人，不符合題意，舍去，當時，檢測總?cè)藬?shù)為人，答：他今日檢測總?cè)藬?shù)為人．23．（比賽問題）某單位準備舉辦羽毛球邀請賽，賽制為單循環(huán)（每兩位選手之間各進行一場比賽），計劃一共舉行場比賽．(1)求該邀請賽的參賽選手人數(shù)；(2)為了保證比賽正常進行，該單位需要為每場比賽至少準備只羽毛球，且計劃購買的羽毛球數(shù)量為的整數(shù)倍．計劃購買的某品牌羽毛球原價元/只，現(xiàn)有甲，乙兩家公司促銷該品牌羽毛球．甲公司促銷方案：在原價的基礎(chǔ)上，在一定范圍內(nèi)每多購買只，每個的單價可降低元，例如購買只時的單價為元，最低單價不能低于元；乙公司一律按折促銷．若該單位選擇甲，乙中的一家公司購買，經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，分別選擇在這兩家公司購買的總金額相差元，從節(jié)約成本的角度考慮，判斷該單位應選擇哪家公司購買，并求其計劃購買的羽毛球數(shù)量．【答案】(1)該邀請賽的參賽選手為人(2)該單位應選擇甲公司購買，購買的羽毛球數(shù)量為只【詳解】（1）解：設(shè)該邀請賽的參賽選手為人．則比賽場次為．依題意，．

整理得：．解得（舍去），．

所以該邀請賽的參賽選手為人．（2）解：設(shè)該單位計劃購買的羽毛球數(shù)量為（為正整數(shù)）．

則，所以．

若選擇乙公司購買