PAGEPAGE6黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題（9月）試題試題說(shuō)明：1、本試題滿分150分，答題時(shí)間120分鐘。2、請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡上，考試結(jié)束后只交答題卡。第Ⅰ卷（選擇題滿分60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.橢圓的離心率為（）A.B. C. D.2.已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在上,則橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A.1B. C.2D.3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若是線段的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為（）

A.B. C. D.4.已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)P在雙曲線上,且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是（）

A. B.C. D.5.已知是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若,,則C的離心率為（）A.B.C.D.6.設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最大值為（）A.13

B.14

C.15

D.167.設(shè)是橢圓的兩焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，若，則的面積為（）A.8B. C.4 D.8.已知方程表示雙曲線,且雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則的取值范圍是（）A.B. C. D.9.已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓C所得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.10.橢圓上的點(diǎn)到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C.D.11.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為分別是的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)為上的隨意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.12.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線分別在其次、第三象限交雙曲線于兩點(diǎn),連接交軸于點(diǎn),連接交于點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為（）A.3B.4C.5D.6第II卷非選擇題部分（選擇題滿分90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．)13.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，斜率不為0的直線過(guò)點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)________.14.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),,直線交橢圓于另一點(diǎn),且,則橢圓的離心率是_________.15.若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的隨意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn).當(dāng)時(shí)，橢圓C的離心率的取值范圍是_________.三、解答題（本大題共6小題，共70分．)17.(本題10分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率,過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn):（1）求橢圓的方程;（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí),求的面積.18.(本題12分)已知兩定點(diǎn),點(diǎn)是曲線上隨意一點(diǎn),且滿意條件.

（1）求曲線的軌跡方程;

（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn),求的范圍.19.(本題12分)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程是，且雙曲線過(guò)點(diǎn)

（1）求雙曲線的方程；

（2）過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，求．20.(本題12分)已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;

（2）若,證明直線的斜率滿意.21.(本題12分)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓的方程;

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)),則直線與的斜率之和是否為定值？假如是懇求出該定值，假如不是請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(本題12分)橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).的最大值是，的最小值是，滿意.

（1）求該橢圓的離心率；

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).記的面積為，的面積為，求的取值范圍.

鐵人中學(xué)2024級(jí)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)答案一、選擇題1.答案:A解析:即,故,故,所以.2.答案：C解析：因?yàn)?,所以,所以,選C．3.答案：D解析：由已知可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，易知點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入橢圓方程得，所以離心率為，故選D.4.答案：B解析：由雙曲線的焦點(diǎn)可知,線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以.設(shè)右焦點(diǎn)為,則有,且軸,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,所以,所以,所以,,所以雙曲線的方程為,故選B.5.答案：D解析：由題設(shè)知,所以.由橢圓的定義得,即,所以,故橢圓C的離心率.6.答案：C7.答案：C解析：由橢圓,可知,可得,即，設(shè)，由橢圓的定義可知：，∵,得，由勾股定理可知：，∴，則解得：，∴.∴的面積.8.答案：A雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以，解得，因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得，所以n的取值范圍是，9.答案：B10.答案：B11.答案：D解析：由已知的，故.∵的面積為，∴，∴.又∵，∴，∴.又,∴,∴.∴的取值范圍為.12.答案：C解析：依據(jù)題意,作出如圖所示的雙曲線的草圖,由題意得,將代入雙曲線的方程,可得,則.由,得,則有,則,而,則有,即,所以,則,故雙曲線的離心率為5.二、填空題13.解析：由題意得，周長(zhǎng)：14.答案：解析：設(shè),由,得,由,得,所以,又,即,化簡(jiǎn)得,即,依據(jù),得,又,所以,所以橢圓的離心率.15.解析：點(diǎn)為橢圓上的隨意一點(diǎn)，設(shè)，依題意得左焦點(diǎn)，∴，∴..∵，∴，∴，∴，∴，即.故的最小值為6.16.解析：點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且四邊形是矩形，為直角三角形（為直角）.設(shè)，則，，，.點(diǎn)P在第一象限，.三、解答題17.解析：試題分析:(Ⅰ)由已知,橢圓方程可設(shè)為∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,

心率,∴,所求橢圓方程為:.

(Ⅱ)因?yàn)橹本€過(guò)橢圓右焦點(diǎn),且斜率為,所以直線的方程為.設(shè),由得,解得.∴.

18答案：解:①由雙曲線的定義可知,曲線E是以,為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且,a=1,∴b==1故曲線E的方程為:x2﹣y2=1(x<0)

②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意建立方程組消去y,

得(1﹣k2)x2+2kx﹣2=0已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A,B,

有解得:19.解析：試題解析：(1)設(shè)雙曲線方程為：，點(diǎn)代入得：，所以所求雙曲線方程為

（2）直線的方程為：，由得：，

．

20.解析：(1)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意,有①

由,得,由,可得,代入①并整理得由于,故.于是,所以橢圓的離心率

(2)證明:(方法一)依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由條件得消去并整理得②由,及,得.整理得.而,于是,代入②,整理得由,故,因此.所以.

(方法二)依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由P在橢圓上,有因?yàn)?,所以,即③

由,,得整理得.

于是,代入③,整理得解得,所以.21.答案：（1）由題意知,,綜合,解得,

所以,橢圓的方程為.

（2）由題設(shè)知,直線的方程為,代入,

得,