第03講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

【基礎訓練】

一、單選題

x2+y-2=0,a

1.若相異兩實數(shù)X,y滿足《2，則/―2孫+y3之值為（）

/+x-2=0'-

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】

XV=-1

根據(jù)已知條件求得＜,,由此求得所求表達式的值.

x+y=1

【詳解】

兩式作差消元得：（x-y）（x+y—l）=0=x+y=l（xwy）,反代回去得：

,（孫=一1

X2-X-l=0-同理可得：y*-y-1=0,由同構及韋達定理有：＜,

x+y=1

繼而有：x3-2xy+y3=x（2-y）+2+＞,（2-x）

=2（x+y）—2xy+2-2+2+2—6.

故選：D

2.已知不等式一+雙+4..0的解集為R,則a的取值范圍是（）

A-[-4.4]B.（-4,4）C.D.（-oo,-4）U（4,+oo）

【答案】A

【分析】

利用判別式小于等于零列不等式求解即可.

【詳解】

因為不等式Y+6+4..0的解集為R,

所以八=。2-4乂1*4,,0,

解得T釉4,

所以。的取值范圍是[-4,4卜

故選：A.

3.不等式(x+l)(x-2)<0的解集為()

A.{x|x<-l或x>2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|x<-2或x>l}D.{x|-2<x<l}

【答案】B

【分析】

由(x+l)(x—2)<0可得x+l,x-2異號，分類討論解不等式組可得答案.

【詳解】

因為(x+l)(x-2)<0,

x+1>0x+l<0

所以《或V

x—2<0x-2>0

解得-4<xv2或

綜上可得，不等式(x+l)(x-2)<0的解集為{x|-l<x<2},

故選：B.

4.不等式/一xwo的解集為()

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】A

【分析】

根據(jù)一元二次不等式解法即可得結果.

【詳解】

由d—xwo得解得owxwi

故先：A

5.不等式，4x_%2<x的解集是()

A.(0,2]B.(2,+00)C.(2,4]D.(-8,O)U(2,+8)

【答案】C

【分析】

根據(jù)無理不等式的解法列出不等式組解之可得答案.

【詳解】

由題意得

x〉0

<4x-x2>0,解得2<x44,

4x-x2<x2

故選：C.

【點睛】

本題考查無理不等式的解法，對于J麗<g(x)型，可以轉化為去解，考查了學生的計

J(x)<[g(x)?

算能力.

6.不等式》2—2》23的解集是()

A.(-00,-1]U[3,+oo)B.(f

C.(—oo,—2]U[l,+°°)D.(-oo,-1]口[2,+00)

【答案】A

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解.

【詳解】

解：因為幺一2兀23,BP(x-3)(x+l)?0,所以尤23或x<—l,

所以原不等式的解集為(T,-1]U[3,+8),

故選：A.

7.不等式(x+l)(4—x)<0的解集為()

A.1x|-l<x<41B.{x|xN4或不<一1}

C.{x|-l<x<4}D.{x|x>4或xv-1}

【答案】B

【分析】

利用分類討論方法求解或者利用二次函數(shù)的圖象求解.

【詳解】

x+l<0x+l>0

解法一：(x+l)(4—x)<0等價于〈或《

4-x>04-x<0'

x<-lx>-l

化簡得』或<即xW-l或xN4,

x>4

所以(x+l)(4—x)K0的解集為{x|xN4或xW-l}

故選：B.

解法二：設f(x)=(x+l)(4—x),這是開口向下的二次函數(shù),

函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標為—1和4,

/(x)<0所對應的x的取值范圍xWT或x?4,

所以(x+l)(4-x)<0的解集為｛x|x?4或

故選：B.

【點睛】

利用二次函數(shù)的圖象求解簡潔迅速，但要注意考查二次函數(shù)的平方項的系數(shù)的正負，進而正確判定二次函

數(shù)的開口方向.

8.不等式lx?-3%一220的解集為()

A.{x|x4—2或xN]}B."x-2<x<^

C./或x?2}D."X——<x<2>

2

【答案】C

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出結果.

【詳解】

I2X2-3X-2>0可得(2X+1)(X-2)N0,

解得x22或,

2

即原不等式的解集為(一8,一；U[2,+co).

故選：C.

9.不等式(x+2)(2x—l)<0的解集為()

—00,-2]U(2,+8)

C.(-oo,-2)UD.

【答案】B

【分析】

直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征解不等式即可.

【詳解】

不等式對應的二次函數(shù)/(x)=(x+2)(2x—l),開口向上，零點為%=-2,/=3,

1

故f(x)=(x+2)(2元-1)<0的解為一2<x<j,即解集為-2,不.

2v2/

故選：B.

10.在R上的定義運算*:a*Z?="+2a+6,則滿足x*(x-2)<0的解集為()

A.(0,2)B.(-2,1)C.(-a>,-2)U(l,4w)D.(-1,2)

【答案】B

【分析】

根據(jù)運算的定義可得關于了的不等式，從而可求不等式的解集.

【詳解】

2

x*(%-2)<0即為x(x—2)+2x+X—2<0,整理得到x+x-2<0.

故一2v元<1,

故選：B.

11.己知不等式依2+笈+2>。的解為則。+匕=()

23

A.-14B.-8C.10D.12

【答案】A

【分析】

由題可得一]■和].是方程?2+加+2=0的兩個根，利用韋達定理可求出.

23

【詳解】

由題可得—和—是方程ax?+Z?x+2=0的兩個根，且〃<0，

23

11b

---1--=---

????；；2"，解得4=-12，b=-2,

——x-=—

[23a

a+b=-14.

故選：A.

12.已知關于%的方程/+巾+加=0有兩個實數(shù)根，則加的取值范圍為()

A.機24B.m>4或/“<0

C.或機<0D.0<m<4

【答案】C

【分析】

由一元二次方程存在兩個實根，有判別式ANO即可求"?的取值范圍.

【詳解】

由題意知：△=??一4機？0，解之得〃zN4或加<0,

故選：C

13.已知函數(shù)/(x)=f-2or+4在(-1,+8)上是增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為().

A.(-co,-l]B.[-l,+oo)C.[0,+oo)D.(-oo,0]

【答案】A

【分析】

先求得了(X)=f-2m；+4的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)在(-l,+o。)上是增函數(shù)求解.

【詳解】

/(x)=f—2ax+4,

f(x)的對稱軸為x=a,

要使/(x)在(一1,一)上是增函數(shù)，

則需aK—1.

故選：A

14.一元二次不等式2/一x-l<0的解集是()

A.(-00,-^-)0(1,+oo)B.(-1,^-)C.(-<?,-l)U(^+℃)D.(-^,1)

2222

【答案】D

【分析】

根據(jù)公式直接求解一元二次不等式.

【詳解】

2x2-x-1<0<=>(%-1)(2%+1)<0,

解得：—<x<1,

2

所以不等式的解集是>.

2

故選：D

15.已知不々是方程％2一仿+1=0的兩根，貝心,+芍2=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】

由韋達定理的乙+W='，玉%=1，再根據(jù)X；+/2=(%+9)2-2%/即可求出.

【詳解】

.?.石，工2是方程x2-幣X+1=0的兩根，

/.玉+/=>/7，玉％2=1?

2

西2+x2=(七+芍『-2為工2=7-2=5

故選：D.

16.“xV3”是“犬―7X+1220”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

利用一元二次不等式的解法求出Y-7x+1220的解集，再根據(jù)充分條件與必要條件的定義求解即可.

【詳解】

記“小一7x+12?0”的解集為集合8,

則3={x|xW3或xN4}

所以“xW3”能推出“為2一7%+1220”

一7X+I2?0”不能推出“xW3”

所以“尤W3”是“f一7x+12?（）”的的充分不必要條件.

故選：A.

17.若關于x的不等式以2一2依+1<0的解集為0,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>1B.a>\C.0<a<lD.0<a<l

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意，討論二次項系數(shù)。的取值情況，找出滿足不等式無解的。的取值集合即可.

【詳解】

解：當a=0時，1<0,此不等式無解；

當。工0,要使原不等式無解，應滿足：

（a>Q

IA=46r2-4a<0）

解得：OWaWl.

故選：D.

18.不等式（x+3）2<1的解集是（)

A.{x|x>-2}B.{x|x<-4}C,{xf<x<-2}D.1x|-4<%<

【答案】C

【分析】

由(X+3)2<1可得一I<x+3<1,然后可得答案.

【詳解】

因為(X+3)2<1,所以一1<X+3<1,所以T<x<—2

故選：C

【點睛】

本題考查的是一元二次不等式的解法，較簡單.

19.若關于x的不等式_/+4%>2加的解集為{x[0<x<2},則實數(shù)加的值為(

A.-1B.]C.2D.-2

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意得x=0和x=2是方程一/+4x=2mx的實數(shù)根,再代入求解即可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意得x=0和x=2是方程+4x=2處的實數(shù)根，

所以-4+8=4加，解得加=1.

故選：B.

【點睛】

本題考查根據(jù)二次不等式解集求參數(shù)，是基礎題.

20.關于x的一元二次不等式5x+6<d的解集為()

A.B.{R-l<x<6}

C.{x|x<-2癡>3}D.{x|-2<x<3}

【答案】A

【分析】

先把不等式5x+6<f化為(x+l)(x-6)>0,再寫出解集來可得答案.

【詳解】

解:不等式5元+6vd可化為/一5%一6>0,

即：(x+l)(x—6)>0,可得xv-1取>6，

故不等式的解集為：{蟲<—1或。6},

故選：A.

【點睛】

本題主要考查一元二次不等式的解集問題，可以把不等式化為兩個因式枳的形式，屬于基礎題.

21.若實數(shù)a,b,c滿足(a-與S-c)>(),則()

A.a(b-c')>0B.(a-h)(a-c)>0

C.a(b-c)<0D.(a-b)(a-c)<0

【答案】B

【分析】

由已知可得“，％,c大小不等，同b在a,c之間，取。=0可排除兩個選項，將(。一。)3-。)用(。一份(。一c)

表示出即可得解.

【詳解】

因實數(shù)a，b,c滿足(a—Z?)S—c)>0o3一—c)<0,則a,b,c?大小不等，且b在a,c之間，

取a=0,則aS—c)=(),即選項A,C都不正確，

而(a-b)(a-c)=(a-b)[(a-，)+(O-c)]=(a-，)2+(a-b)(b-c)>0,即選項D不正確，選項B正確.

故選：B

22.設一元二次不等式0^+法+1>0的解集為{x|-l<x<2},則她的值為()

1I1

A.-1B.——C.-D.一一

442

【答案】B

【分析】

根據(jù)-1和2是方程依2+法+1=0的兩個根，由韋達定理解得。和人可得結果.

【詳解】

由題意可知方程雙2+區(qū)+1=()的根為一1,2,

b1

由韋達定理得：-1+2=一上，-1x2=-,

aa

解得b=L,a=—L,所以=

224

故選：B.

23.在R上定義運算aQb=ab+2a+b,則滿足XG)(L2)<0的實數(shù)x的取值范圍為()

A.{x|0<x<2}B.{x|—2<x<l}

C.{4x<—2或x>l}D.{x|—l<x<2}

【答案】B

【分析】

根據(jù)定義可得(x+2)(x—1)<0,結合一元二次不等式的解法即可選出正確答案.

【詳解】

根據(jù)給出的定義得，xO(x—2)=x(x—2)+2x+(x—2)=r+工-2=(》+2)(》-1),

又2)<0,則(x+2)(x—1)<0,故不等式的解集是{x|-20<1}.

故選:B.

24.對于任意實數(shù)x,不等式(a—2)/一2(a—2)x—4<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.{?|?<2}B.{a\a<l}

C.{a\-2<a<2}D.{a\~2<a<2}

【答案】D

【分析】

分a-2=0和a—2用兩種情況進行討論，第一種情況很容易驗證符合題意，第二種情況結合二次函數(shù)的特

點，討論開口方向和判別式從而可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】

當4—2=0,即a=2時，-4<0,恒成立，符合題意：

a—2<0

當a-2押時，山題意知，、2/、，解得一2<a<2,；.-2<^2,

4(a-2)'+16(a-2)<0

故選:D

【點睛】

易錯點睛：

本題的易錯點是忽略了尤2的系數(shù)可能為零這種情況，只根據(jù)：次函數(shù)來求參數(shù)，導致求出參數(shù)的范圍比實

際小.

25.已知集合4=詞(》+4)(》-1)WO},8={x|W<2},則AU^=()

A.{x|-2<x<2}B.{x\-2<x<1|

C.{x[-2<x<4}D.{x|-4<x<2}

【答案】D

【分析】

根據(jù)不等式的解法，求得集合人=3|9<%<1},結合集合并集的運算，即可求解.

【詳解】

由不等式(x+4)(x-l)W0,解得-4WxWl,即4=37<》<1},

又因為8={H-2cx<2},所以Au3={x|-44x<2}.

故選：D.

26.已知不等式?2+汝+2>0的解集為{x|-l<x<2},則不等式2/+公+。<0的解集為()

A.{x|一1cxeg}：B.{x|x<-l或x>g}C.{R_2cx<1}D.{x|x<-2或x>l}

【答案】A

【分析】

根據(jù)不等式以2+旅+2>0的解集求出a,〃，代入不等式2犬+法+.<()中，化簡求出不等式的解集.

【詳解】

???不等式面:2+勿+2>0的解集為{x|T<x<2},

ax?+匕x+2=0的兩根為一1,2,ILacO,即-1+2=—,(—1)x2=—,解得a=—l,b=l,

aa

則不等式可化為2Y+X一1V0,解得一1<X<g,則不等式2d+灰+a<0的解集為{x|-1<x<g}.

故選：A

27.若關于x的不等式4x_2_a>0在區(qū)間(1，4)內有解，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-oo,-2)B.(-oo,-2]C.(-6,+oo)D.-6)

【答案】A

【分析】

轉化為求a<(f-4x-2)即可.

\/max

【詳解】

不等式等價于存在X€0,4),使。<%2一4%一2成立，

即a<(X?—4x—2)

\/max

設y=12_4%—2=(九-2)’—6

當x￡(1,4)時，ye［-6,-2)

所以Q<—2.

故選：4

1—Y

28.不等式——>0的解集是()

x+1

A.(1,+8)B.(-1,1)C.(7,-1)D.(F,-1)U(1，”)

【答案】B

【分析】

把分式不等式等價轉換為與之等價的一元二次不等式，從而求出它的解集.

【詳解】

分式不等式宗>0等價于(一元)(x+l)>0,HP(x-l)(x+l)<0

解一元二次不等式得：-1<X<1

1—x

故不等式—>0的解集是(-1,1)

x+1

故選：B.

29.設/(x)=x2+(a一1卜+5,若函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,4］上的圖象位于直線y=x+l上方，則實數(shù)”的

取值范圍是()

A.(—2,+oo)B.［—2,-Foo)C.(—<x>,—2)D.(―℃>,—2］

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，由〃x)=x2+(a—l)x+5>x+l在區(qū)間［1,4］上恒成立，轉化為a-2>-x—d在區(qū)間［1,4］上

X

恒成立求解.

【詳解】

由題意得，/(x)=x2+(a—l)x+5>x+1在區(qū)間［1,4］上恒成立,

ci—2>—x—在區(qū)間［1,4］上恒成立,

4

令丁=工+一，其圖象如圖所不：

X

由圖象知yN4,

所以。一2>~4,

解得a>—2,

故選：A.

30.已知函數(shù)/(幻=如2+云+c,滿足/(3+x)=/(3—x),且/(4)</(5),則不等式/(I一九)<./■⑴

的解集為()

A.(0,+oo)B.(-2,-KO)C.(-4,0)D.(2,4)

【答案】C

【分析】

由題設知f(x)關于x=3對稱且開口向上，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性/(1一為</(1)有1<1一x<5,求解集.

【詳解】

依題意，有二次函數(shù)關于x=3對稱且開口向上，

.??根據(jù)二次函數(shù)的對稱性：若/(1一幻</(1),即有1<1一萬<5,

-4<x<0.

故選：c

【點睛】

關鍵點點睛：山題設可得/（幻關于x=3對稱且開口向上，根據(jù)對稱性求函數(shù)不等式的解集即可.

31.不等式2+x-f＜0的解集為（）

A.(-oo,-l)U(2,+co)B.(-2,1)

C.(-1,2)D.y,-2)u(L”)

【答案】A

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解法即可求出.

【詳解】

不等式可變形為X2-X-2＞0.即（X-2）（X+1）＞0,

解得或x＞2,所以不等式2+》_幺＜0的解集為（-8,-DU（2,+S）.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查一元二次不等式的解法，屬于容易題.

32.若不等式￡_2x—〃?＜0在xe；,2上有解，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.[-l,+oo）B.（-1,+co）

C.（一]00）D.（0,+8）

【答案】B

【分析】

將不等式＜0在xe1,2上有解，轉化為不等式機＞/—2x在XG；,2上有解求解.

【詳解】

因為不等式工2—21—根＜0在X￡—,2上有解，

所以不等式機＞/一2%在1,21^.有解，

令/=一],則4nin=_l，

所以能＞一1，

所以實數(shù)機的取值范圍是(—1,+8)

故選：B

33.若不等式改2+區(qū)—120的解集是｛工|一；＜了?-；1,則。=()

6

A.-6B.-5C.—D.6

5

【答案】A

【分析】

將不等式解集轉化為對應方程的根，然后根據(jù)韋達定理求出方程中的參數(shù)〃.

【詳解】

,不等式方2+法_[20的解集為(X-,

—＞一”為方程ax?+bx—\=0的兩個根，

23

根據(jù)韋達定理，—X—=—,解得：a—

23a

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及韋達定理的運用和一元二次不等式解集與所對應一元二次方

程根的關系，屬于中檔題.

34.不等式2+x-f40的解集為()

A.[-2,1]B.[-1,2]

c.(-oo,-l]u[2,+oo)D.(F,—2]U[1,+°0)

【答案】C

【分析】

把二次項系數(shù)化為正數(shù)，并因式分解后可得不等式的解.

【詳解】

原不等式可化為X2-X-2>0.即(%—2)(%+1)>0,

所以x?-l或x?2.

故選：C.

35.已知函數(shù)=+g(x)=(“2-2a)x+4a—4,若對于任意,均有

〃x)>g(x)成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(一1,3)B.(3,—1)C.(-co,—1)D.(3,+^c)

【答案】A

【分析】

由/(x)>g(x)得E(x)=/(x)-g(x)>0恒成立，分離參數(shù)，轉化為求函數(shù)的最小值，然后可得解。的范

圍.

【詳解】

設下⑶=y(x)-g(x)=x2-(a-Y)2x+4,/(x)>g(x)恒成立,即1(x)>0恒成立,

X>1時，尸(X)>0恒成立,即—1)2<X+：恒成立,

X

4I44.

x>l時，x+—>2.XX—=4,當且僅當x=2時等號成立，.?.x+-的最小值為4.

x\xx

：.(4Z-1)2<4,解得一1<。<3.

故選：A.

36.若關于x的不等式￡一(加+3)%+3加<0的解集中恰有3個正整數(shù)，則實數(shù)〃？的取值范圍為()

A.[-2,-1)B.(3,4)C.(5,6]D.(6,7]

【答案】D

【分析】

根據(jù)不等式的解集中恰有3個正整數(shù)，得出加>3,再由不等式的解集求出實數(shù)機的取值范圍.

【詳解】

因為不等式加+3)x+3加<0的解集中恰有3個正整數(shù)，

即不等式(x—3)(x—機)<0的解集中恰有3個正整數(shù)，

所以加>3,所以不等式的解集為（3,加）

所以這三個正整數(shù)為4,5,6,所以6<加<7,即6<aV7

故選：D

【點睛】

方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結合的方法求解.

37.關于x的不等式如：2+加+。<0的解集為（一3,1）,則不等式板2+以+。<0的解集為（）

A.（1,2）：B.（-1,2）C.f-pljE

【答案】D

【分析】

a>0

b

首先利用一元二次不等式和方程的關系，列出根與系數(shù)的關系，-3+1=一一，得到的關系，代入不

a

C

-3x1

等式化簡求解.

【詳解】

a>0

?.?a^+^x+ccO的解集是（一3,1）,-3+1=-，，得b=2a,c=--3a,

-3xl=-

、a

則不等式汝2+ax+c<0=2ax2+ax-3a<O>

3

即2￡+X-3<0，解得：一二<x<l,

2

所以不等式的解集是(-1,1

故選：D

38.已知函數(shù)/。)=40r+41-1,入6(-1,1),/(為<0恒成立，則實數(shù)4的取值范圍是()

,3

A.--B.a<—\

4

,3

C.-1<a?—D.a<—1

4

【答案】B

【分析】

將不等式化簡，參變分離，利用換元法構造新函數(shù)并求出值域，可得實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】

f(x)-4ax2+4x-l<0,即4a￡<-4x+l

當x=0時，不等式恒成立，acR；

當XHO時，％2>0,則4a<--+[

Ixx一人演

19

令/=_￡(_8,_l)u(l,+oo),則y=Y/+/=(f_2)-4G[-4,+OO)

即4(7<—4，解得Q<—1

故選：B

?_o

39.不等式丁不<-1的解集為()

X2+2

A.(—3,-2)B.(—3,2)C.(—3,4)D.(—2,4)

【答案】B

【分析】

y_O

將--<-1轉化為/+》_6<o,利用一元二次不等式的解法求解.

X2+2

【詳解】

?_o

1可得V+x—6<0,

X2+2

解得—3<x<2,

所以不等式的解集為(-3,2).

故選：B

40.若對滿足8。+力的任意正數(shù)。，〃及任意xeR,不等式a+勸之一/+2x+18-加恒成立，則實

數(shù)陽的取值范圍是()

A.[-6,+2o)B.(-8,-6]C.(Y0,1]D.[l,+8)

【答案】A

【分析】

利用基本不等式“1”的妙用求得a+2Z>的最小值，即可轉化為二次不等式恒成立問題，利用判別式求得實數(shù)

m的取值范圍即可.

【詳解】

,正數(shù)a,人滿足8a+Z?=a6,

.81,c,/…2b8a-c12b8a?

??i—1,a+2b=(a+2b)—I—=174---1>17+2J-----25,

ba\ba)ab\ab

當且僅當——=；,即b=2a，a=5,Z?=10時，等號成立，

ab

.，.25>-X2+2X+18-W.即/一2x+7+m20時任意實數(shù)x恒成立，

AA=4-4(7+m)<0,解得加2-6.

故選：A.

【點睛】

在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和

為定值；三相等——等號能否取得“，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.

41.使“不等式/一2%+。>0在xeR上恒成立”的一個必要不充分條件是()

A.a>1B.?>0C.a<1D.a<0

【答案】B

【分析】

先利用參變量分離法求出。的取值范圍，然后根據(jù)充分條件、必要條件的定義進行判定即可.

【詳解】

解：因為不等式￡—2x+a>0在xeR上恒成立，

所以一。<(/-2%)*=[U-I)2-1U=T，

即a>l,而a>1可以推出。>0,。:>0不能推出a>l,

所以“不等式為2-2x+a>0在xeR上恒成立'’的一個必要不充分條件是a>0，

故選：B.

二、多選題

42.若不等式依2——+c>o的解集是(一1,2),則下列選項正確的是()

A.a<0B.ZxOfLoO

C.a+b+c>0D.不等式<o的解集是R

【答案】AB

【分析】

結合不等式的解集與方程的根之間的關系，求得b=a,c=-2a且。<0,逐項判定，即可求解.

【詳解】

由題意，不等式at?一版+<?>0的解集是(—1,2),

''cb

—1+2=—

可得一1,2是方程以2—樂+c=。的兩個根，所以,"，且。<0,所以A正確；

-1x2=-

a

又由Z?=a,c=-2a,所以b<O,c>。，所以B正確；

當％=-1時，此時a+b+c=0，所以C不正確；

把匕=a,c=-2。代入不等式??一5+〃<0,可得ax?+2OX+QvO，

因為a<0,所以f+2x+l>0，g|J(x+l)2>0,此時不等式的解集為{x|xH-l},

所以D不正確.

故選：AB.

43.不等式以2+陵+。20的解集是{乂一14%42},對于系數(shù)a,b,c,下列結論正確的是()

A.a+h=OB.a+h+c>0C.c>()D.b<0

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解集以及韋達定理即可求解.

【詳解】

不等式o?+法+C20的解集是{x|—l<x<2},

可得。<0，且or?+法+。=0的兩個根為一1,2,

韋達定理=—1+2=1>0,所以Z?=—〃,/?>0,故A正確,D錯誤;

a

由￡=—2,則c>0,故c正確；

a

二次函數(shù)/(%)=52+云+c開口向下，函數(shù)的零點為一1,2,

當x=l時，,f(l)=a+8+c>0,故B正確；

故選：ABC.

44.若方程/+2工+/1=0在區(qū)間(一1,0)上有實數(shù)根，則實數(shù)/I的取值可以是()

A.—3B.—C.—D.1

84

【答案】BC

【分析】

分離參數(shù)得4=一萬2一2%，求出—f—2x在(―1,0)內的值域即可判斷.

【詳解】

由題意4=一2%在(-1,0)上有解.

VXG(-1,0),2=-x2-2x=-(x+1)2+1e(0,1),

故選：BC.

(2b—l)x+b—2(%>0),

45.若函數(shù)〃尤)='2二,、，/二在R上為單調增函數(shù)，則實數(shù)匕的值可以為()

-x+(2-/?)%-1(A;,0)

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】ABC

【分析】

令工⑴=(2〃—l)x+b-2(x>0),2a)=+(2-b)x-1(%,0),根據(jù)/(x)在R上為增函數(shù)，則工(x)

遞增，力(x)遞增，且力(。),"(0)求解.

【詳解】

(2b—l)x+b—2(尤>0),

因為函數(shù)/(X)=<在R上為單調增函數(shù),

一廠+(2—份x-?l(x,0)

2/?-1>0,

0.0,

所以《

2

—L,b—2,

解得啜/2.

故選：ABC

46.已知函數(shù)/(力=加+2；1+1(4。0),若方程/(x)=0有兩個不等的實數(shù)根*,々且王<々()

A.當a>0時，不等式/(x)<0的解集為｛R玉<x<w｝

B.當a>0時，不等式/(x)<0的解集為｛xlx<X］或%>々｝

C.若不等式〃力>0的解集為｛R玉<%<9｝，則否>。

D.若不等式/(x)>0的解集為｛N玉<%<%｝,則/>0

【答案】AD

【分析】

利用二次函數(shù)，二次方程和一元二次不等式的解集間的關系判斷.

【詳解】

1

A.,］?！怠r，函數(shù)圖象開口方向向上，所以不等式/(x)<0的解集為｛x|X1cx<%｝,故正確；

B.當a>0時，函數(shù)圖象開口方向向上，所以不等式f(x)<0的解集為｛Rx<x<w｝,故錯誤；

C.若不等式f(x)>0的解集為何n<x<xj,則a<0,對稱軸」>0,函數(shù)乂過定點(0,1)，則不<0,

故錯誤；

D.若不等式/(力>0的解集為｛x|X|CXV^｝,貝iJa<0，對稱軸一:>0，則尤2>。，故正確；

故選：AD

三、填空題

47.不等式!〈尤的解集為.

X

【答案】(-1,0)?(1,?)

【分析】

根據(jù)分式不等式以及一元二次不等式解法即可求解.

【詳解】

11-r2

一%<0,即」L<0,

XX

即x(l—》2)<0,即x(x-l)(%+l)>0,

x>0x<0

所以—+0a(x-l)(x+l)<0

解得x>1或一1<x<0

所以不等式的解集為(-1,0)?(1,?).

故答案為：(-1,0)7(1,?)

48.不等式<1的解集是.

2

【答案】(1,2)

【分析】

由指數(shù)函數(shù)的單調性可得/一3X+2<0,求解即可.

【詳解】

???2*5+1<1=2-1,.”2_3%+1<-1，即％2_3%+2<0,解得

2

故不等式的解集為(1,2).

故答案為：(1,2).

49.若不等式/+辦+120對一切恒成立，則。的取值范圍是.

【答案】［一之,+8)

2

【分析】

利用參變分離法將不等式/+以+后。轉化為aN—(x+3,令/(x)=_(x+L),將不等式恒成立問題

XX

轉化為a>成立，求解函數(shù)/(X)的最大值.

【詳解】

因為不等式必+改+1之0對一切恒成立，所以aZ-(x+3對一切xe(o，］恒成立，令

I2」xI2」

/(x)=—(X+L),可知a2/,(x)m”成立，當xe(0,1,函數(shù)單調遞增，所以/'(?〈―'，所以aN—

xI2」22

故答案為：［---,+8)

2

50.若ar2+/?x+2>0的充要條件是卜一;<了<§卜則""的值為?

【答案】-14.

【分析】

根據(jù)ax2+bx+2>0的充要條件是《工|一/<%<3由一』和'為方程堞+叱2=0的兩根求解.

23

【詳解】

因為〃/+加:+2>()的充要條件是\-v|--<x<^

所以ar2+/?x+2=0的兩根為—和一，且a<0.

23

b11

—=-------1—

由za23

所以211且4V0,

—=------X-

[a23

解得a=-12,b=-2.

a+b=-14.

故答案為：?14

51.函數(shù)y=yjmx2-2/wc+m+2的定義域是R，則實數(shù)m的取值范圍是.

【答案】［0,+oo)

【分析】

根據(jù)函數(shù)y=7mx2-2zm+m+2的定義域是R，分m=0和gO,利用判別式法求解.

【詳解】

因為函數(shù)y=mx2-2inx+m+2的定義域是R,

當加=0時，符合題意；

當“印0時，由題意知mx2—2nvc+m+2>0對x￡R恒成立,

m>0

則《2，

A=4加~-4m（m+2）<0

解得加>0.

綜上，"?K）.

所以實數(shù)次的取值范圍是［0，+助.

故答案為：［0,+oo）.

四、雙空題

52.關于X的不等式/+辦_3<0的解集為（一3,1）,則a=,不等式ax2+x-3<Q的解集為.

【答案】2

【分析】

根據(jù)題意尤=-3,x=l是方程/+辦一3=0的兩個實數(shù)根，進而得a=2,再解一元二次不等式即可得

答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意得x=—3,%=1是方程/+方一3=0的兩個實數(shù)根，

所以根據(jù)韋達定理得：—3+l=—a,即a=2.

所以不等式加+x-3<0即為2d+x-3<0，

所以（2x+3）（x-l）<0,解得一■|<x<l

所以不等式以2+工一3<0的解集為（一；』.

故答案為：2；（一51）

【點睛】

本題考查一元二次不等式的解法，解題的關鍵在于掌握一元二次方程的根與一元二次不等式的解集之間的

關系與區(qū)別，考查運算求解能力，是基礎題.

五、解答題

53.設/(%)=工(常數(shù)awR),且已知x=3是方程/(幻一1+12=0的根.

a-x

(1)求函數(shù)y=/(x)的值域；

(2)設常數(shù)ZeR,解關于x的不等式：(2-x)/(x)<(&+I)x—A.

【答案】⑴(-8,-8]U[0,+S)；⑵答案不唯一，具體見解析.

【分析】

Y2Y24

(1)由條件求出。，得到/(x)=，匚，令r二2—元，則一匚=1+2一4,然后可得答案；

2—x2—xt

(2)原不等式可化為(xT)(x-A)<0(x02),然后分左e(-8,l)、k=T、Zw(L2]、:G(2,+8)四種

情況討論求解即可.

【詳解】

(1)將x=3代入方程/(x)—x+12=0,解得。=2

2

故/(x)=A

2-x

元244

令1=2-x,則-----=t+——4,因為f+—e(-oo,-4]u[4,+oo)

2-xtt

所以f+4-4e(-oo,-8](j[0,+<?)

2

即/(X)=—的值域為(3,—8]U[0,4W)

2-x

(2)(2-x)/(x)<(k+\)x-k(x^2)

?.J一(&+l)x+&<0(xw2)

即九一A)<0(xw2)

1)當：w(-oo,l)時,不等式的解集為伍,1);

2)當％=1時，不等式的解集為0；

3)當左G(1,2]時，不等式的解集為(1,k).

4)當Ze(2,+o))時，不等式的解集為(l,2)u(2,Z).

54.求下列不等式的解集:

⑴-X2+8X-3>0;

x-1

(2)<0

2x+l

【答案】(1){x|4-VB<x<4+V13}；(2)I

【分析】

(1)根據(jù)“三個二次'’之間的關系來解不等式即可;

(2)可以分類討論或者轉化為整式不等式.

【詳解】

(1)因為△=82-4X(—1)X(—3)=52>0,

所以方程一f+8x—3=0有兩個不相等的實根士=4一萬，&=4+屈?

又二次函數(shù)丁=一/+8》一3的圖象開口向下,

所以原不等式的解集為{x|4-JB<x<4+JR}.

x-1x-l<0