高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第二冊(cè)）

6.433余弦定理、正弦定理在幾何和生活應(yīng)用舉例

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一.幾個(gè)專業(yè)術(shù)語(yǔ)

術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示

在目標(biāo)視線與水平視線（兩者在同一鉛垂

1/目標(biāo)

平面內(nèi)）所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線篦演角水平

仰角與俯角

上方的叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下、目標(biāo)

方的叫做俯角視線

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥?/p>

北T

曾。東

方位角標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角

。的范圍是0。W。＜360。

例：⑴北偏東

北1

匕」

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳

方向角

角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）a（2）南偏西a：

坡面與水平面所成銳二面角叫坡角（6為坡

角）；坡面的垂直高度與水平寬度之比叫坡

坡角與坡比

比（坡度），即i=，=tan3

1

考點(diǎn)二距離問(wèn)題

類型圖形方法

兩點(diǎn)間不可到達(dá)的距離余弦定理

A

兩點(diǎn)間可視不可到達(dá)的距離正弦定理

A----------

產(chǎn)先用正弦定理，

兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離jVr

再用余弦定理

D'-*c

考點(diǎn)三高度問(wèn)題

類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法

A

底部可達(dá)測(cè)得8c=a,ZBCA=C,AB=atanC.

C?B

4測(cè)得C￡?=a及C與ZADB的度數(shù).

點(diǎn)8與C,。共線/先由正弦定理求出AC或AO,再解三角形得

^77777^^^5)

C?DB

AB的值.

底部不可達(dá)

-zAL測(cè)得C￡>=a及/8C￡）,ZBDC,NAC2的度數(shù).

點(diǎn)B與C,D不共線在△B。中由正弦定理求得BC,再解三角形得

---------<

Ca口AB的值.

【題型歸納】

題型一：正、余弦定理判定三角形的形狀問(wèn)題

1.（2021.江蘇宿遷.高一期末）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,若I叱=誓,則AABC

a-ccQS,BsinA

的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

2.（2021?甘肅?慶陽(yáng)第六中學(xué)高一期末）已知4ABe的內(nèi)角A,5,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足a=bcosC,WJ4ABe

的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在中，lg（sinA+sinC）=21gsinB-lg（sinC-sinA）,則AABC的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

題型二：求三角形的周長(zhǎng)或者邊長(zhǎng)最值或范圍問(wèn)題

4.（2021?天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校高一期中）在銳角“A8C中，A,B,C的對(duì)邊分別是a”,c,若c=6（l+2cosA）,

嗚的取值范圍是（）

A.（1,6）B.（72,A/3）C.(x/2,2)

5.（2021.吉林?四平市第一高級(jí)中學(xué)高一期末）在AABC中，角AB,C所對(duì)的邊分別為a,仇c,已知a=2行，且AABC

的面積S=#（從+/-/）,則AABC周長(zhǎng)的最大值是（）

A.6B.6+2>/3C.46D.6百

6.（2021.重慶南開(kāi)中學(xué)高一階段練習(xí)）AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若滿足°=夜,

acosC=csinA的三角形45c有兩個(gè)，則邊3c的長(zhǎng)度的取值范圍是（

C.(73,2)

題型三：幾何圖形中的計(jì)算

7.（2021?重慶市育才中學(xué)高一期中）如圖所示，在平面四邊形ABC。中，ABC。是等邊三角形，4）=2,BD=2幣,

ABAD=,則△A5C的面積為（）

A.B.班C.1473D.6G

8.（2021?安徽合肥?高一期末）如圖，設(shè)AA3c的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為4,0,c,>/3（acosC+ccosA）=2/?sinB,

且/C4B=].若點(diǎn)。是外一點(diǎn)，DC=1,D4=2,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

JT■7T

A.AABC的內(nèi)角8=]B.△ABC的內(nèi)角C二§

D.四邊形A8CZ）面積的最大值為述+2

C.四邊形ABC。面積無(wú)最大值

9.（2021?遼寧?高一期末）在AA8C中，已知3=45。，。是BC邊上一點(diǎn)，如圖，ABAD=75°,DC=l,AC=y/l,則

AB=（）

A.75B.瓜C.2D.3

題型四：求三角形面積最值或者范圍問(wèn)題

10.（2021?四川新都?高一期末）設(shè)銳角AABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且c（l+cosA）=gasinC,

b=2,則AABC的面積的取值范圍是（）

A.（1，+8）B.[￥,+8

C.孚26D.（1,2⑹

11.（2021?江蘇?南京市建鄴高級(jí)中學(xué)高一期末）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了求三角形面積的“三斜求積”公式:

設(shè)4A8C內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,面積$=J?。2a?-（此（生尸].若匕=2,asin5=2"sinC,

則4A3C面積的最大值為（）

4

AIR2cD"

3333

12.（2021?江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知“，b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a=2,

且（2+“（sinA-sinB）=（c—Z?）sinC,則AABC面積的最大值為（）

A.8百B.46C.2百D.6

題型五：正、余弦定理和三角函數(shù)綜合問(wèn)題

13.（2021.河北?石家莊市第一中學(xué)東校區(qū)高一階段練習(xí)）在銳角三角形A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,

c,a2+c2=\[3ac+b2,則cosA+sinC的取值范圍為（）

14.（2021?江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）在。中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a”,c,若ccosA+acosC=2,

AC邊上的高為抬，則/ABC的最大值為（）

A.JB.工C.￡D.生

6323

15.（2021?廣東?深圳中學(xué)高一期中）設(shè)銳角“ABC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若胃=生女，c=1（

cosCc

則/+〃+"的取值范圍為（）

A.1,3B.（1,3]C.f1,3D.弓,3

題型六：測(cè)量距離問(wèn)題

16.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，為測(cè)量某不可到達(dá)的豎直建筑物4B的高度，在此建筑物的同一側(cè)且與

此建筑物底部在同一水平面上選擇相距10米的C,。兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，并在C,。兩點(diǎn)處分別測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45。

和60。，且N80C=6O。，則此建筑物的高度為（）

A.1（）百米B.米

C.10米D.5米

17.（2021.河北邢臺(tái).高一階段練習(xí)）一艘船航行到點(diǎn)5處時(shí)，測(cè)得燈塔A在其西北方向，如圖，隨后該船以20海

里/小時(shí)的速度，按北偏東150的方向航行兩小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)C,測(cè)得燈塔A在其正西方向，此時(shí)船與燈塔A間的距離

為（）

A.20后海里B.4。6海里

C.20"海里D.40街海里

題型七：測(cè)量高度問(wèn)題

18.（2021?湖北?大冶市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在高40m的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?0。，塔基的俯角為45。,

則這座塔的高度為（）

A.40（1+手）mB.40（1+6）mC.20（76+72）mD.40（#+0）m

19.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖,地平面上有一根旗桿O尸，為了測(cè)得它的高度力,在地面上取一基線AB,A8=20m,

在4處測(cè)得點(diǎn)P的仰角NOAP=30。,在B處測(cè)得點(diǎn)P的仰角/O8P=45。,又測(cè)得NAOB=60。,則旗桿的高度為（）

A.20（6-血）m

D.10（0十夜）m

題型八：測(cè)量角度問(wèn)題

20.（2021?江蘇?南京市寧海中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，在坡度一定的山坡4處測(cè)得山頂上一建筑物C。的頂端

C對(duì)于山坡的斜度為15。，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)8處，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45。，若C￡）=50m,山坡對(duì)于地

平面的坡度為。，則cos8等于（）

D.V2-1

21.（2021?浙江?麗水外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測(cè)得小車在A

處的俯角為30。，該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得俯角為45。.已知此山的高

P0=lkm,小車的速度是20km/h,則cos/AO8=()

D.一巫

Bc.

-444

題型九：正、余弦定理在幾何中的綜合性問(wèn)題

22.(2021.廣東.中山市第二中學(xué)高一階段練習(xí))在AABC中，設(shè)角A8,C的對(duì)邊分別為a,0,c,已知

cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.

(1)求角C的大小;

(2)若c=6,求AABC周長(zhǎng)的取值范圍.

23.(2021.重慶市江津中學(xué)校高一階段練習(xí))如圖，在四邊形A8CD中，CD=3+,BC=@,cosZCBD=--.

TT

(2)右乙4=§,求周長(zhǎng)的最大值.

24.(2021?廣東?東莞市新世紀(jì)英才學(xué)校高一階段練習(xí))在中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,

sin2A+sin2C=sin28+sinAsinC.

(1)求角5的大小；

(2)若AMC為銳角三角形，6=百，求2a—c的取值范圍.

【雙基達(dá)標(biāo)】

一、單選題

25.（2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有四座城市A,B,C,D,其中8在A的正東方向，且與A相距120km,

。在A的北偏東30。方向，且與4相距60km,C在B的北偏東30。方向，且與B相距GOjiWkm,一架飛機(jī)從城市O

出發(fā)，以360km/h的速度向城市C飛行，飛行了15min,接到命令改變航向，飛向城市B,此時(shí)飛機(jī)距離城市B有

A.120kmB.665/6kmC.60石kmD.60』km

26.（2021?湖南?嘉禾縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量湖中A、8兩處亭子間的距離，湖岸邊現(xiàn)有相

距100米的甲、乙兩位測(cè)量人員，甲測(cè)量員在。處測(cè)量發(fā)現(xiàn)A亭子位于西偏北75。，B亭子位于東北方向，乙測(cè)量

員在C處測(cè)量發(fā)現(xiàn)B亭子位于正北方向，A亭子位于西偏北3（T方向，則A,B兩亭子間的距離為（）

A.50G米B.100G米C.50#米D.100幾米

27.（2021?全國(guó)?高一課前預(yù)習(xí)）如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測(cè)得小車在A處的俯角為30,該小車在

公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達(dá)8處，此時(shí)測(cè)得俯角為45。.已知此山的高產(chǎn)。=1km,小車的速度是

20km/h,則cosZAQ8=（）

BA

28.（2021?全國(guó)?高一課前預(yù)習(xí)）今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”于2021年7月25日12時(shí)30分前后登陸舟山普陀區(qū).如圖，

A點(diǎn)，正北方向的C市受到臺(tái)風(fēng)侵襲，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)前去實(shí)施救援，以24nmile/h的速度向正北航行，在A處

看到S島在船的北偏東15。方向，船航行1h后到達(dá)8處，在5處看到S島在船的北偏東45。方向.此船從A點(diǎn)到C市

航行過(guò)程中距離S島的最近距離為（）

A.972nmile/hB.-ljnmile/h

C.nmile/hD.9f>/3->/2jnmile/h

29.（2021.全國(guó).高一課時(shí)練習(xí)）為測(cè)量?jī)伤庵g的距離，某同學(xué)建立了如圖所示的幾何模型.若M4_L平面ABC,

N8,平面ABC,AC=60m,=*NMCN=150l則塔尖MN之間的

距離為（）

A.75>/i0mB.756mC.75gmD.75m

30.（2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取A,B兩點(diǎn)，從A,B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)

尖的仰角為30。，45°,且4,8兩點(diǎn)之間的距離為60m,則樹(shù)的高度為（）

A.(15+36)mB.(30+15>/3)mC.(30+30右)mD.(15+3()G)m

31.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為。，對(duì)著山峰在地面上前進(jìn)600m后測(cè)得仰角為26,

繼續(xù)在地面上前進(jìn)200Gm以后測(cè)得山峰的仰角為4。，則該山峰的高度為（）

A.200mB.300mC.400mD.100\/3m

32.（2021?安徽?安慶九一六學(xué)校高一階段練習(xí)）空中有一氣球，在它的正西方A點(diǎn)測(cè)得它的仰角為45。，同時(shí)在它

南偏東60。的8點(diǎn)，測(cè)得它的仰角為30。，若A、B兩點(diǎn)間的距離為266米，這兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)均離地1米，那么測(cè)量時(shí)

氣球到地面的距離8是（）

C.266米D.266近米

33.（2021?重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）在，U3C中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為4瓦c,滿足

則AABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

34.（2021?江蘇?泰州中學(xué)高一期中）泰州基督教堂，始建于清光緒二十八年，位于泰州市區(qū)迎春東路185號(hào)，市人

民醫(yī)院北院對(duì)面，總建筑面積2500多平方米.2017年被認(rèn)定為省四星級(jí)宗教活動(dòng)場(chǎng)所.小明同學(xué)為了估算泰州基督教

堂的高度，在人民醫(yī)院北院內(nèi)找到一座建筑物A3,高為（15G-15）m,在它們之間的地面上的點(diǎn)〃（B,M,D三

點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15和60,在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30,則小明估算泰州

基督教堂的高度為（）

D.30百m

【高分突破】

一：?jiǎn)芜x題

35.（2021?云南?昆明八中高一階段練習(xí)）若（a+"c）S+c-a）=36c,且sinA=2sin8cosC,那么4M。是（)

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

36.（2011?河南衛(wèi)輝?高一期末）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA：sinB：sinC=3：5：7,則△ABC（）

A.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形D.可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形

TT

37.（2021.黑龍江?哈爾濱三中高一階段練習(xí)）若。是“ABC垂心，NA=/且

6

sinBcosCAB+sinCcosBAC=2機(jī)sinBsinCA。，貝U機(jī)=（）

A.1B.BC.立D.立

2236

38.（2021?上海?高一專題練習(xí)）已知A4BC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,0,c,滿足

cos2A-cos2B+cos2C=l+sinAsinC,且sinA+sinC=l,則AABC的形狀為

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.頂角為150的等腰三角形D.頂角為120的等腰三角形

39.（2020?遼寧?沈陽(yáng)二中高一期末）如圖，已知OPQ是半徑為1,圓心角為75的扇形，點(diǎn)A8,C分別是半徑

及扇形弧上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不同于O，P，Q三點(diǎn)），則AA8C周長(zhǎng)的最小值是（）

Q

AV6+1底+五2V6+12V6+V2

A.--------Dn.-----------rC.---------Dn.--------

2244

40.(2021?浙江?高一單元測(cè)試)如圖，在AABC中，NBAC/,點(diǎn)O在線段BC上，AD1AC,*=則sinC=

()

A.且B.叵C.也D.叵

141477

41.（2021.江蘇.揚(yáng)州中學(xué)高一期中）在AABC中，cos咚=二2（a,6,c分別為角A,B,C的對(duì)邊），則的

22c

形狀為

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

42.（2021?江西?奉新縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）銳角△轉(zhuǎn)。中，角A、3、C所對(duì)的邊分別為“、b、C,若

a2-b2+ac=0,則嗎的取值范圍是（）

sinB

二、多選題

43.（2021?江蘇?高郵市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，a,b,c分別為NA,SB,NC的對(duì)邊，下列敘述正確

的是（）

B.若一二=一",則AABC為等腰三角形

cosBcosA

C.若tanA+tanB+tanCvO,則△ABC為鈍角三角形

TT

若a=/?sinC+ccosB,則ZC=—

44.（2021?河北?滄州市一中高一階段練習(xí)）如圖，AAGC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,J若。=8,

且G（acosC+ccosA）=?sinB,。是“ABC外一點(diǎn)，DC=\,D4=3,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AABC是等邊二角形

若AC=2A/L則A,B,C,。四點(diǎn)共圓

四邊形A3C￡＞面積最大值為生叵+3

D.四邊形ABC。面積最小值為亞-3

2

TT

45.（2021?重慶?銅梁一中高一階段練習(xí)）在AABC中，內(nèi)角A3,C所對(duì)的邊分別為ZABC=y,NA8C的平

分線交AC于點(diǎn)。，且則下列說(shuō)法正確的是（）

A."的最小值是4B.*的最大值是4

C.。+3。的最小值是3+26D.a+3c的最小值是4+26

46.（2021?湖北?石首市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，若B=gTT,角B的平分線8。交AC于力，且80=2,

則下列說(shuō)法正確的是（)

A.若BD=BC,則AABC的面積是2±且

B.若BD=BC,則AABC的外接圓半徑是2&

2

C.若BD=BC,則絲=立±1D."+BC的最小值是還

DC23

三、填空題

47.（2020?安徽省岳西縣店前中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，為測(cè)量出高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)

點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得〃點(diǎn)的仰角/M4N=60°,C點(diǎn)的仰角NC48=45°以及NM4c=75°;從C點(diǎn)測(cè)得NMC4=60".己

知山高3c=1（X）〃?，則山高M(jìn)V=m.

M

48.（2021?上海?高一期中）在銳角三角形ABC中，已知2sin2A+si/B=ZsiMC,則一++—二的最小值

tanAtanBtanC

為一.

49.（2020?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCZ）中，AB=4,BC=5,8=3,NABC=90°,N8C￡>=120。，

則AO的長(zhǎng)為

db=3,

50.（2021?上海?高一期中）在AA3c中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,且叱-嗎

sinn+sinCa

則的周長(zhǎng)的最大值是.

51.（2020?吉林?遼源市第五中學(xué)校高一期末（理））對(duì)于AA3C,有如下命題:

（1）若sin2A=sin23,則“A3C一定為等腰三角形.

⑵若sinA=sinB,則AABC一定為等腰三角形.

（3）若siYA+si/B+cos2c<1,則AABC一定為鈍角三角形.

（4）若tanA+tanB+tanC>（）,則AABC一定為銳角三角形.

則其中正確命題的序號(hào)是.（把所有正確的命題序號(hào)都填上）

四、解答題

52.（2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試）在AABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,c=&,B=45。.

A

（1）求sinC的值;

4

（2）在邊BC上取一點(diǎn)O,使得cosZAOC=-g,求tanND4c的值.

53.（2021?吉林?汪清縣汪清第四中學(xué)高一階段練習(xí)）己知AA8C的內(nèi)角分別為4aC,其對(duì)應(yīng)邊分別是"Ac,

且滿足

bcosC+ccosB=2acosB.

（I）求角B的大小；

（II）若6=6，求a+2c的最大值.

54.（2021?江蘇?吳江汾湖高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，設(shè)角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為。，b,c,已知

sinA-sinBa-c

-----.

sinCa+b

（1）求角B的值；

（2）若AABC為銳角三角形，且c=2,求“ABC的面積S的取值范圍.

55.（2020.湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

'J^asinC=ccosA,a2+c2=b2+'j3ac.

⑴求A和B的大小；

⑵若M,N是邊A8上的點(diǎn)，NMCN=9,b=4,求KMN的面積的最小值.

【答案詳解】

1.A

【分析】

根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡(jiǎn)得sin2A=sin23,故2A=23或者

2A+28=萬(wàn)，進(jìn)而可判斷出三角形的形狀

【詳解】

b-ccosA嗎，由正弦定理可得:sinS-sinCeosA_sinB

因?yàn)?/p>

a-ccosBsinAsinA-sinCcosBsinA

整理可得：sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin25,所以2A=23或者2A+2g=4，

rr

所以A=8或A+3=q,

2

jrJr

而當(dāng)A+3=7時(shí)則C=7，

22

所以三角形ABC為直角三角形，

所以c-cosB=a,

則"￡母=當(dāng)中，這時(shí)”Y.885=0,分母為0無(wú)意義

a-ccosBsinA

所以A=8,

故選：A.

2.D

【分析】

利用余弦定理將a=hcosC化為a=b?〃，然后化簡(jiǎn)可得答案.

lab

【詳解】

?/a=Z?cosC,

由余弦定理可得a=b-"-”-c?-,則2/=a2+h2_c2t

2ab

則a2+/=加，所以AABC為直角三角形.

故選：D

3.B

【分析】

利用給定條件結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得sin28=sin2C-sii?A,再利用正弦定理角化邊即可判斷得解.

【詳解】

因lg(sinA+sinC)=21gsinB-lg(sinC-sinA),則有l(wèi)g(sii?C-sin2A)=lgsin2B,

即有sin2C—sin2A=sin2B?于是得sin?C=sin2A+sin2B,

在“ABC中，由正弦定理三=工=三得：02="+〃，

smAsinBsinC

所以AABC是直角三角形.

故選：B

4.B

【分析】

利用正弦定理化c="l+2cosA)轉(zhuǎn)化為sinC=sinfi(l+2cosA),根據(jù)三角恒等變換與三角形的內(nèi)角和定理得出A與3

的關(guān)系，化：=粵，求出它的取值范圍即可.

bsinn

【詳解】

解：銳角AABC中，vc=Z?(l+2cosA),

/.sinC=sinB(l+2cosA),

/.sin(A+B)=sinB+2cosAsinB,

/.sinAcosB+cosAsinB=sinB+2cosAsinB,

/.sin(A-B)=sinB,

:.A-B=B,即A=23,若A—3+3=4，則A=4,不符合題意舍去；

asinA2sinBcosB八八

—=------=--------------=2cos3,

hsinBsinB

?;A+B+C=3B+C=^,Ce^0,—,

2

7T

又???A=23v—

2

nn冗

一<3<—,

64

^2<2cos8<G

即關(guān)的取值范圍是(亞舟

故選：B.

5.B

【分析】

由已知利用三角形的面積公式可求的2亞cosA=sinA,進(jìn)而可得cosA=《，sin4=迪，由余弦定理，基本不等式

33

可求8+C46,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)即可求解其最大值.

【詳解】

?.?$*(/+。)在

2-/=x(2/?ccosA)=—Z?csinA,

222

BP2>/2cosA=sinAf又cos?A+sin2A=1,

解得cos4="sinA=逑，

33

又a=26,由余弦定理可得：12=戶+c?-：加=S+c)2-gbc..(b+c)2-■|(6+<?)2=g(o+cy,

.?,S+c)2V36,即人+c<6

當(dāng)且僅當(dāng)匕=c時(shí)取等號(hào)，

則△的。周長(zhǎng)的最大值是6+2月，

故選：B

6.D

【分析】

由正弦定理及題意可得C的值，再由余弦定理得關(guān)于邊b的二次方程，由方程有兩個(gè)正根可求得結(jié)果

【詳解】

解：因?yàn)閍cosC=csinA,所以由正弦定理得sinAcosC=sinCsinA,

因?yàn)閟inAxO,所以tanC=l,

TT

因?yàn)??！?0,萬(wàn))，所以。二一，

4

由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC,由于c=&，

所以6-缶6+42-2=0，

因?yàn)闈M足條件的三角形有2個(gè)，所以方程有兩個(gè)根，

所以卜=(缶)、面-2)>。，即卜:<4,

a2-2>0[a->2

解得正<“<2，

故選：D

7.D

【分析】

設(shè)A8=x,在△AB￡)中，由余弦定理求得x=4,設(shè)NAB￡)=a,結(jié)合正弦定理求得sina,得到cosa,進(jìn)而求得

sin[a+?)的值，利用三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】

設(shè)=

在△48。中，由余弦定理可知5Z)2=A82+A￡>2-2A8?A￡>COS',

3

整理可得1+2%-24=0,解得x=4,

ADBDr—r-

設(shè)NAB￡)=a,由正弦定理知sina.2兀，解得sina=—所以cosa=2^,

sin—1414

F-C111.(吟.7i.兀后\5出m3歷

所以sma+—=sin(7cos——bcosasin—=-----x—+------x——=--------,

I3J3314214214

所以SZS/Ufc=；A8.BCsin[a+q]=；x4x24x^^=6G.

故選：D.

8.C

【分析】

根據(jù)題設(shè)條件和正弦定理化簡(jiǎn)得儡in8=2sin%,求得8=(,得到C=(,可判定A、B正確；由四邊形A3CZ)面

積等于￡,或+5/8=苧+25畝(//1℃一9)4乎+2,可判定D正確，C錯(cuò)誤?

【詳解】

因?yàn)镚(acosC+ccosA)=2/?sinB,

由正弦定理，可得G(sinAcosC+sinCcos/A)=2sin2B,

所以Gsin(4+C)=2sin*,即6sin8=2sin28,

因?yàn)?€(0,萬(wàn))，可得sinB>0,所以sin8=立，解得B=g,

23

冗TT

又因?yàn)镹C4B=；,所以C=1-A-B=；,所以A、B正確；

33

2

由四邊形ABC。面積等于SABC+SACD=-AC+-ADDC-sinZADC

=~-[AD2+DC2-2ADDC-cosZADC)+^AD-DC-sinNAOC

=負(fù)4+1_4.cos/AOC)+；*2sin/A￡>C=苧+2sin(/ADC-。)4竽+2,

所以D正確，C錯(cuò)誤.

故選：C.

9.B

【分析】

在AADC中利用余弦定理求得A￡>=2,在△A￡>3中由正弦定理可求得

【詳解】

Z/1DC=45°+75°=120°,根據(jù)余弦定理AC?=4。?+OC2-24Z￡>C-cosl200,

A3AD

AD2+AD-6=0,AD=2,ZADB=60u,根據(jù)正弦定理.“°=."0

sin60sin45

…cADsin60°

則AB=--------

sin45°

故選：B

10.C

【分析】

利用正弦定理、三角恒等變換求得A=g,利用正弦定理求得c=l+巫，求出角B的取值范圍，結(jié)合三角形的面

3tanB

積公式以及正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閏(l+cosA)=GasinC,由正弦定理可得sinC(l+cosA)=V5sinAsinC,

因?yàn)?。為銳角，貝lJsinC>0,所以，V3sinA-cosA=\,即2sin(A-7)=1,

uu[、i?(A4]1/、i冗冗,冗兀M.t.7T.7C

所以，sinA--=-,QO</1<-,A--<~,貝ijA一w:工，A=-

k07z2663663

c皿士,._ftsinfB+—I

Qb=2,由正弦定理工——,貝II有bsinCI3)sin8+GcosB[G,

sinBsmCc=—----=-----f---------------------=1H------

sinBsinBsinBtanB

0<B<-

2解戔＜5杉,所以，今

因?yàn)锳A3C為銳角三角形，貝IJ

B+—>—

32

故選：c.

11.c

【分析】

a,,202256

由正弦定理邊角關(guān)系得必=2bc,則a=2c,由題設(shè)得＜+工，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求△ABC

面積的最大值.

【詳解】

***6rsinB=2Z?sinC,

???由正弦定理得必=2/?c且6W0,即。=2r且〃=2,

20，256

——+10c--41""4.八、TT——)+

勺4cj亭^=4V-9c+40c--1699

24

on4

；./=三時(shí)，△ABC面積取最大值

故選：C.

12.D

【分析】

先運(yùn)用正弦定理邊角互化得出邊之間的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求出角A