專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(九)構(gòu)造平行四邊形解決三類問題1.如圖,?ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F分別為OB,

OD的中點(diǎn),過點(diǎn)O作任意一條直線分別交AB,CD于點(diǎn)G,H,連

接GF,EH.求證:GF∥EH.類型一構(gòu)造平行四邊形證明線段平行或線段互相平分證明如圖,連接EG,FH,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD,AB∥CD,∴∠OBG=∠ODH,∵∠BOG=∠DOH,∴△OBG≌△ODH(ASA),∴OG=OH,∵E,F分別為OB,OD的中點(diǎn),∴OE=

OB,OF=

OD,∴OE=OF,∴四邊形EHFG是平行四邊形,∴GF∥EH.2.(2023山東菏澤鄄城期末)如圖,點(diǎn)B,E,F,D在一條直線上,BE

=DF,AC交BD于點(diǎn)O,AD∥BC,AE∥FC.(1)求證:AC與BD互相平分.(2)若AE⊥AC,AE=BE,BD=16,EF=10,求AC的長.

解析

(1)證明:如圖,連接AB,CD,

∵BE=DF,∴BF=DE,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,∵AE∥FC,∴∠AED=∠CFB,∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AD=CB,∵AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴AC與BD互相平分.(2)∵AC與BD互相平分,∴OA=OC,OB=OD=

BD=8,∵BE=DF,∴OE=OF=

EF=5,∴AE=BE=OB-OE=3,在Rt△AOE中,∵AE⊥AC,∴AO=

=4,∴AC=2AO=8.類型二構(gòu)造平行四邊形證明角相等或求角度3.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,求證:∠A=∠B.證明如圖,過C作CE∥AD,交AB于點(diǎn)E,

∵AB∥DC,∴四邊形ADCE是平行四邊形,∴AD=CE,∵AD=BC,∴CE=CB,∴∠B=∠CEB,∵AD∥CE,∴∠A=∠CEB,∴∠A=∠B.4.在等腰三角形ABC中,AB=AC,延長邊AB到點(diǎn)D,延長邊CA

到點(diǎn)E,連接DE,恰有AD=BC=CE=DE.求∠BAC的度數(shù).解析如圖,過D作DF∥BC,且DF=BC,連接CF、EF,則四邊

形BDFC是平行四邊形,

∴BD=CF,DA∥FC,∴∠EAD=∠ECF,∵BC∥DF,∴∠ABC=∠ADF,∵CE=AD,AB=AC,∴AE=BD,∴AE=CF,在△ADE和△CEF中,

∴△ADE≌△CEF(SAS),∴ED=EF,∵ED=BC,BC=DF,∴ED=EF=DF,∴△DEF為等邊三角形,∴∠EDF=60°,設(shè)∠BAC=x°,則∠ADF=∠ABC=

,∵AD=DE,∴∠DEA=∠DAE,∵∠DAE=180°-x°,∴∠ADE=180°-2∠DAE=180°-2(180°-x°)=2x°-180°,∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°,∴

+2x°-180°=60°,∴x=100,∴∠BAC=100°.類型三構(gòu)造平行四邊形證明線段的大小關(guān)系5.如圖,AD是△ABC的邊BC上的中線,求證:AD<

(AB+AC).證明如圖,延長AD到E,使DE=AD,連接BE、EC,

∵AD是△ABC的邊BC上的中線,∴BD=DC,又∵