第02講認(rèn)識(shí)概率

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.初步認(rèn)識(shí)有些事件的發(fā)生是確定的，有些事件的發(fā)生是隨機(jī)的；會(huì)區(qū)分生活中的必然事件，不可能事件

和隨機(jī)事件；

2.知道隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小；

3.讓學(xué)生感受隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，感受影響可能性大小的因素；

4.理解隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，概率的定義；

5.概率是隨機(jī)事件自身的屬性，它反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大?。?/p>

6.在多次重復(fù)試驗(yàn)中，體會(huì)頻率的穩(wěn)定性.

7.在經(jīng)歷猜測(cè)、試驗(yàn)、收集與分析試驗(yàn)結(jié)果的過程中學(xué)會(huì)與他人合作交流，培養(yǎng)合作精神，發(fā)展隨機(jī)觀

念.讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，從猜想玲實(shí)驗(yàn)（驗(yàn)證）的過程和感受從實(shí)驗(yàn)玲結(jié)果（估計(jì)）的過程.

一.隨機(jī)事件

（1）確定事件

事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事

件和不可能事件都是確定的.

（2）隨機(jī)事件

在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.

（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件發(fā)生的概率為1,即尸（必然事件）=1；

②不可能事件發(fā)生的概率為0,即P（不可能事件）=0；

③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0<尸（A）<1.

—.可能性的大小

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法：

（1）理論計(jì)算又分為如下兩種情況：

第一種：只涉及一步實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對(duì)一類概率模型進(jìn)行

的計(jì)算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來(lái)計(jì)算涉及兩步或兩步以上實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：

配紫色，對(duì)游戲是否公平的計(jì)算.

（2）實(shí)驗(yàn)估算又分為如下兩種情況：

第一種：利用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算.要知道當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)非常大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率可作為事件發(fā)生的概率的估

計(jì)值，即大量實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率.

第二種：利用模擬實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算.如，利用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬實(shí)驗(yàn).

三.概率的意義

（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率必會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就

n

叫做事件A的概率，記為尸（A）=p.

（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn).

（3）概率取值范圍：OWpWl.

（4）必然發(fā)生的事件的概率尸（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率尸（A）=0.

（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0.

（5）通過設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實(shí)際生活聯(lián)系密切，通過理解

什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語(yǔ)言說明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計(jì)游戲的概率模型，以及結(jié)合具體

實(shí)際問題，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，可以解決一些實(shí)際問題.

四.利用頻率估計(jì)概率

（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻

率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

（2）用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確.

（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通

過統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率.

題型精講

一.隨機(jī)事件（共5小題）

1.（2023春?漣水縣期中）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（）

A.畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180。

B.在只裝了紅色卡片的袋子里，摸出一張白色卡片

C.投擲一枚正六面體骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)小于7

D.在一副撲克牌中抽出一張，抽出的牌是黑桃6

【分析】在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為不確定事件；事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件

稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的，據(jù)

此逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：A、畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180。，是必然事件；

5、在只裝了紅色卡片的袋子里，摸出一張白色卡片，是不可能事件；

C、投擲一枚正六面體骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)小于7,是必然事件；

。、在一副撲克牌中抽出一張，抽出的牌是黑桃6,屬于隨機(jī)事件；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查隨機(jī)事件的概念：隨機(jī)事件是可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件.

2.（2023春?高郵市期中）下列事件中是必然事件的是（）

A.床前明月光B.大漠孤煙直C.手可摘星辰D.黃河入海流

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷.

【解答】解：A、床前明月光，是隨機(jī)事件，不符合題意；

B、大漠孤煙直，是隨機(jī)事件，不符合題意；

C、手可摘星辰，是不可能事件，不符合題意；

。、黃河入海流，是必然事件，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事

件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)

生也可能不發(fā)生的事件.

3.（2023春?儀征市期末）從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，對(duì)以下成語(yǔ)及詩(shī)句中的事件判斷正確的是（）

A.成語(yǔ)“守株待兔”是隨機(jī)事件

B.成語(yǔ)“水中撈月”是隨機(jī)事件

C.詩(shī)句“清明時(shí)節(jié)雨紛紛”是必然事件

D.詩(shī)句“離離原上草，一歲一枯榮”是不可能事件

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，不可能事件，必然事件的特點(diǎn)，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、成語(yǔ)“守株待兔”是隨機(jī)事件，故A符合題意；

3、成語(yǔ)“水中撈月”是不可能事件，故3不符合題意；

C、詩(shī)句“清明時(shí)節(jié)雨紛紛”是隨機(jī)事件，故C不符合題意；

。、詩(shī)句“離離原上草，一歲一枯榮”是必然事件，故。不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件，熟練掌握隨機(jī)事件，不可能事件，必然事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?鎮(zhèn)江期中）《登鸛雀樓》一詩(shī)描繪出祖國(guó)河山的磅礴氣勢(shì)和壯麗景象，其中“黃河入海流”是

必然.事件（選填“不可能”、“隨機(jī)”或“必然”）

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可.

【解答】“黃河入海流”是必然事件，

故答案為：必然.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事

件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)

生也可能不發(fā)生的事件.

5.（2023春?句容市期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”是一句諺語(yǔ)，意思是說如果八月十五晚上

陰天的話，正月十五晚上就下雪，你認(rèn)為農(nóng)諺說的是隨機(jī)事件（填寫“必然事件”或“不可能事件”

或“隨機(jī)事件”）.

【分析】根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義來(lái)區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事

件：在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件稱

為不可能事件；隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件.

【解答】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”是一句諺語(yǔ)，

意思是說如果八月十五晚上陰天的話，正月十五晚上就下雪，說的是隨機(jī)事件.

故答案為：隨機(jī)事件.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定事件和隨機(jī)事件的定義，熟悉定義是解題的關(guān)鍵.

二.可能性的大小（共5小題）

6.（2023春?建湖縣期中）盒子里有10個(gè)球，它們只有顏色不同，其中紅球有6個(gè)，黃球有3個(gè)，黑球有

1個(gè).小軍從中任意摸一個(gè)球，下面說法正確的是（）

A.一定是紅球B.摸出紅球的可能性最大

C.不可能是黑球D.摸出黃球的可能性最小

【分析】根據(jù)題意列出樹狀圖求出各種顏色求得概率，逐個(gè)判斷即可得到答案.

【解答】解：由題意可得，

摸出紅球的概率為片紅）=磊=|,摸出黃球的概率為：％?）=磊，摸出黑球的概率為：聯(lián)）=：，

故選：B.

開始

紅紅紅紅紅紅黃黃黃黑

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率定義及樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是正確理解概率的定義.

7.（2023春?高新區(qū)期末）袋子里有8個(gè)紅球，加個(gè)白球，3個(gè)黑球，每個(gè)球除顏色外都相同，從中任意摸

出一個(gè)球，若摸到紅球的可能性最大，則機(jī)的值不可能是（）

A.1B.3C.5D.10

【分析】摸到紅球的可能性最大，即白球的個(gè)數(shù)比紅球的少.

【解答】解：袋子里有8個(gè)紅球，加個(gè)白球，3個(gè)黑球，若摸到紅球的可能性最大，則機(jī)的值不可能大于

8.觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)。符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對(duì)待.可能性大小的比較：只

要總情況數(shù)目相同，誰(shuí)包含的情況數(shù)目多，誰(shuí)的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的

可能性就相等.

8.（2023春?姜堰區(qū)期末）如圖，一粒雜質(zhì)從粗細(xì)相同且水平放置的“田字型”水管的進(jìn)水口流入，在A、

B,C三處裝有過濾網(wǎng)，該雜質(zhì)經(jīng)過_3_處過濾網(wǎng)的可能性最大.

A

進(jìn)水口出水口

【分析】分別求出從A,BB,C經(jīng)過的概率即可求解.

【解答】解：由圖可知，其中經(jīng)過A出口的可能性有1種，經(jīng)過3出口的可能性有2種，經(jīng)過C出口的可

能性有1種，

.??從A,B,C經(jīng)過的概率分別為工，--

424

從B處經(jīng)過過濾網(wǎng)的可能性最大.

故答案為：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了概率的意義，正確理解概率的意義是解題關(guān)鍵.概率是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小的概

念，只是表示發(fā)生的機(jī)會(huì)的大小，機(jī)會(huì)大也不一定發(fā)生，機(jī)會(huì)小也可能發(fā)生.

9.（2023春?洪澤區(qū)校級(jí)期中）從裝有8個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋子中隨意摸出一個(gè)球，摸到可能性較小的是

白球.

【分析】每個(gè)球被摸到的機(jī)會(huì)相同，因而紅球與白球哪個(gè)少，哪個(gè)就出現(xiàn)的可能性小.

【解答】解：摸到紅球的可能性為?；

5

摸到白球的可能性為

5

摸到可能性較小的是白球.

【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

10.（2023春?高郵市期末）如圖，質(zhì)地均勻的小立方體的一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字1,兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字2,三個(gè)

面上標(biāo)有數(shù)字3,拋擲這個(gè)小立方體，則向上一面的數(shù)字可能性最大的是

【分析】根據(jù)概率公式即可得出答案.

【解答】解：?.?小立方體的一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字1,兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字2,三個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字3,

，向上一面的數(shù)字可能性最大的是3；

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了基本概率的計(jì)算及比較可能性大小，用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況

數(shù)之比.

三.概率的意義（共4小題）

11.（2023春?建鄴區(qū)校級(jí)期中）下列說法中，正確的是（）

A.”任意畫一個(gè)多邊形，其內(nèi)角和是360?！笔潜厝皇录?/p>

B.“在數(shù)軸上任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)表示的數(shù)是有理數(shù)”是必然事件

C.“從一副撲克牌（含大小王）中抽一張，恰好是紅心A”是隨機(jī)事件

D.可能性是50%的事件，是指在兩次試驗(yàn)中一定有一次會(huì)發(fā)生

【分析】根據(jù)必然事件與隨機(jī)事件的概念逐一判斷即可.

【解答】解：A.“任意畫一個(gè)多邊形，其內(nèi)角和不一定是360?！笔请S機(jī)事件，故不正確；

6.“在數(shù)軸上任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)表示的數(shù)可能是有理數(shù)，也可能是無(wú)理數(shù)”是隨機(jī)事件，故不正確；

C.“從一副撲克牌（含大小王）中抽一張，恰好是紅心A”是隨機(jī)事件，說法正確；

D.可能性是50%的事件，是指在多次試驗(yàn)中一定有一次會(huì)發(fā)生，故原說法錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是概率的意義，即一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率〃明會(huì)穩(wěn)定在某

個(gè)常數(shù)°附近，那么這個(gè)常數(shù)。就叫做事件4的概率，記為P（A）=p.

12.（2023春?玄武區(qū)校級(jí)期中）如圖，某天氣預(yù)報(bào)軟件顯示“仙游明天的降水概率為85%”對(duì)這條信息的

下列說法中，正確的是（）

仙游縣天氣

12-16"C

日出06：43日落17:18

體感溫度降水概率降水量空氣質(zhì)量

14℃85%1.0mm優(yōu)

A.仙游明天將有85%的時(shí)間下雨

B.仙游明天將有85%的地區(qū)下雨

C.仙游明天下雨的可能性較大

D.仙游明天下雨的可能性較小

【分析】根據(jù)概率的意義，即可解答.

【解答】解：如圖，某天氣預(yù)報(bào)軟件顯示“仙游明天的降水概率為85%”，對(duì)這條信息的上列說法中，正確

的是仙游明天下雨的可能性較大，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵.

13.（2023春?江都區(qū)月考）下列說法中：①在367人中至少有兩個(gè)人的生日相同；②一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)

率是1%,那么摸100次必然會(huì)中一次獎(jiǎng)；③一副撲克牌中，隨意抽取一張是紅桃K,這是隨機(jī)事件；④一

個(gè)不透明的口袋中裝有3個(gè)紅球，5個(gè)白球，攪勻后想從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的可能性大于摸到白

球的可能性；以上說法中正確的有①、③（填序號(hào)）.

【分析】根據(jù)概率的意義和隨機(jī)事件的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：①在367人中至少有兩個(gè)人的生日相同，正確；

②一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)率是1%,那么摸100次不一定會(huì)中一次獎(jiǎng)，錯(cuò)誤；

③一副撲克牌中，隨意抽取一張是紅桃K,這是隨機(jī)事件，正確；

④一個(gè)不透明的口袋中裝有3個(gè)紅球，5個(gè)白球，攪勻后想從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的可能性小于摸

到白球的可能性，錯(cuò)誤；

故答案為：①、③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的意義、隨機(jī)事件，解題的關(guān)鍵是明確題意，說法正確的說明理由，錯(cuò)誤的說明理由

或者舉出反例.

14.（2023春?徐州月考）事件A發(fā)生的概率為工，大量重復(fù)做這種試驗(yàn)，事件A平均每100次發(fā)生的次數(shù)

20

是5.

【分析】根據(jù)概率的意義解答即可.

【解答】解：事件A發(fā)生的概率為工，大量重復(fù)做這種試驗(yàn)，

20

則事件A平均每100次發(fā)生的次數(shù)為：100x°=5.

20

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

四.利用頻率估計(jì)概率（共12小題）

15.（2023春?吳江區(qū)月考）一個(gè)不透明的箱子里裝有機(jī)個(gè)球，其中紅球3個(gè)，這些球除顏色不同其余都相

同，每次攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.3

附近，則可以估算出機(jī)的值為（）

A.3B.5C.10D.12

【分析】用紅球的個(gè)數(shù)除以紅球頻率的穩(wěn)定值即可.

【解答】解：由題意知，加的值約為3+0.3=10,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并

且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值

就是這個(gè)事件的概率.

16.（2023春?新吳區(qū)期末）一個(gè)不透明的口袋中裝有〃個(gè)白球，為了估計(jì)白球的個(gè)數(shù)，向口袋中加入兩個(gè)紅

球，它們除顏色外其它完全相同.通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在10%附近，貝州的值為

（）

A.18B.20C.22D.24

【分析】根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即為概率值可知摸到紅球的概率為0.1,由此根據(jù)概率計(jì)算公式

建立方程求解即可.

【解答】解：由題意得，上=0.1,

〃+2

解得〃=18,

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=18是原方程的解，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即為概率值

是解題的關(guān)鍵.

17.（2023春?廣陵區(qū)期末）做隨機(jī)拋擲一枚紀(jì)念幣的試驗(yàn)，得到的結(jié)果如下表所示：

拋擲次數(shù)機(jī)5001000150020002500300040005000

“正面向上”的次數(shù)〃26551279310341306155820832598

“正面向上”的頻率a0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520

m

下面有3個(gè)推斷:

①當(dāng)拋擲次數(shù)是1000時(shí)，''正面向上”的頻率是0.512,所以“正面向上”的概率是0.512；

②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“正面

向上”的概率是0.520；

③若再次做隨機(jī)拋擲該紀(jì)念幣的試驗(yàn)，則當(dāng)拋擲次數(shù)為3000時(shí)，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)不一定是1558次.

其中所有合理推斷的序號(hào)是（）

A.②B.①③C.②③D.①②③

【分析】根據(jù)用頻率估計(jì)概率以及頻率和概率的概念判斷.

【解答】解：①當(dāng)拋擲次數(shù)是1000時(shí)，“正面向上”的頻率是0.512,但“正面向上”的概率不一定是0.512,

本小題推斷不合理；

②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“正面

向上”的概率是0.520,本小題推斷合理；

③若再次做隨機(jī)拋擲該紀(jì)念幣的試驗(yàn)，則當(dāng)拋擲次數(shù)為3000時(shí)，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)不一定是1558次，

本小題推斷合理；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺

動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是

這個(gè)事件的概率.

18.（2023春?泗陽(yáng)縣期中）在一個(gè)不透明的袋子中放入15個(gè)紅球和若干個(gè)白球（球除了顏色不同外其余都

相同），如果從袋子里摸出一個(gè)球記錄下顏色后放回,經(jīng)過多次重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6,

則袋中白球有（）

A.5個(gè)B.10個(gè)C.15個(gè)D.25個(gè)

【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生

的概率.

【解答】解：設(shè)袋中白球有x個(gè)，根據(jù)題意得：

解得：x=10,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=10是分式方程的解，

答：袋中白球約有10個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用概率的求法估計(jì)總體個(gè)數(shù)，利用如果一個(gè)事件有〃種可能，而且這些事件的可能性

相同，其中事件A出現(xiàn)機(jī)種可能，那么事件A的概率P（A）='是解題關(guān)鍵.

n

19.（2023春?靖江市期中）如表是小明做“拋擲圖釘試驗(yàn)”獲得的數(shù)據(jù)，則可估計(jì)“釘尖不著地”的概率

為0.61.

拋擲次數(shù)1003005006008009001000

針尖不著地的頻數(shù)64180310360488549610

針尖不著地的頻率0.640.600.620.60.610.610.61

【分析】大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)

頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

【解答】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，頂尖著地的頻率逐漸穩(wěn)定到0.61附近，

所以可估計(jì)“釘尖不著地”的概率為0.61,

故答案為：0.61.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)

果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率.

20.（2023春?常州期中）下圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果.隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的

增加，“釘尖向上”的頻率總在一常數(shù)附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是

【分析】觀察圖象可得：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)

定性，根據(jù)頻率可估計(jì)概率.

【解答】解：因?yàn)殡S著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，

所以釘尖向上”的頻率約為0.618,可估計(jì)概率是0.618,

故答案為：0.618.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用頻率估算概率，解決本題的關(guān)鍵要明確在隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，事件的發(fā)生頻率總

在一常數(shù)附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以用頻率估計(jì)的概率.

21.（2023春?蘇州期中）一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球，為了估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)，在袋中放入3個(gè)

除了顏色外其余均相同的白球，隨機(jī)的從袋子中摸出一個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，通過大量重

復(fù)這樣的試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個(gè)數(shù)為（）

A.11B.14C.17D.20

【分析】根據(jù)口袋中有3個(gè)白球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相等求出即可.

【解答】解：設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：

3

=0.15,

3+x

解得：x=17,

經(jīng)檢驗(yàn)x=17是原方程的解，

則紅球的個(gè)數(shù)為17個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用樣本估計(jì)總體，根據(jù)已知得出小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相等是

解決問題的關(guān)鍵.

22.（2023春?靖江市月考）某小組做“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果

出現(xiàn)的頻率，表格如下，則不符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能是（）

次數(shù)2004006008001000

頻率0.210.290.300.320.33

A.三張撲克牌，牌面分別是5,7,8,背面朝上洗勻后，隨機(jī)抽出一張牌面是5

B.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的面的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)

C.在玩石頭、剪刀、布的游戲中，小明隨機(jī)出的是剪刀

D.擲一枚一元的硬幣，正面朝上

【分析】根據(jù)利用頻率估計(jì)概率得到實(shí)驗(yàn)的概率在0.33左右，再分別計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)中的概率，然后進(jìn)行

判斷.

【解答】解：4、三張撲克牌，牌面分別是5,7,8,背面朝上洗勻后，隨機(jī)抽出一張牌面是5的概率為:

--0.33,不符合題意；

3

B、擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的面的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)的概率為2=工。0.33,不符合題意；

63

C、在玩石頭、剪刀、布的游戲中，小明隨機(jī)出的是剪刀的概率是工土0.33,不符合題意；

3

D,擲一枚一元的硬幣，正面朝上的概率為工，符合題意，

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且

擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就

是這個(gè)事件的概率.當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相

等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率.

23.（2023春?南通期末）木箱里裝有僅顏色不同的9個(gè)紅球和若干個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)從木箱里摸出一個(gè)球，記

下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計(jì)木箱中藍(lán)球有_6

個(gè).

【分析】根據(jù)摸到紅球的頻率可得摸到紅球的概率，根據(jù)概率公式即可求出藍(lán)球的數(shù)量.

【解答】解：設(shè)木箱中藍(lán)球有X個(gè)，

Q

根據(jù)題意得：——=0.6,

9+x

解得：x=6,

經(jīng)檢驗(yàn)x=6是原方程的解，

則估計(jì)木箱中藍(lán)球有6個(gè).

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并

且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值

就是這個(gè)事件的概率.

24.（2023春?淮安區(qū)期中）一個(gè)不透明的箱子里裝有紅球、藍(lán)球、黃球共20個(gè)，除顏色外，形狀、大小、

質(zhì)地等完全相同.通過大量摸球試驗(yàn)，小明發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球的頻率分別穩(wěn)定在10%、15%,則估計(jì)箱子

里藍(lán)球有15個(gè).

【分析】用球的總個(gè)數(shù)乘以摸到籃球的頻率的穩(wěn)定值即可.

【解答】解：估計(jì)箱子里藍(lán)球有20x（1-10%-15%）=15（個(gè)），

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并

且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值

就是這個(gè)事件的概率.

25.（2023春?大豐區(qū)期中）如圖，某小組做“用頻率估計(jì)概率”試驗(yàn)時(shí)，繪制了上面的頻率統(tǒng)計(jì)圖，則符

合這一結(jié)果的試驗(yàn)是④.（填寫序號(hào)）

①拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上；②一副去掉大小王的撲克牌，從中任抽一張的花色是黑桃；

③擲一個(gè)正方體骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)朝上；④從裝有1個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋中任取1球是紅球.

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在［附近波動(dòng)，即其概率尸=1，分別計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，即可得出

33

正確答案.

【解答】解：①拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率是工，故不符合題意；

2

②一副去掉大小王的撲克牌，從中任抽一張的花色是黑桃的概率是工，故不符合題意；

4

③擲一個(gè)正方體骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)朝上的概率是工，故不符合題意；

6

④從裝有1個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋中任取1球是紅球的概率是工，故符合題意；

3

故答案為：④.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

26.（2023春?清江浦區(qū)期末）一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種球共40個(gè)（除顏色外其它均相同），小

明將盒子里的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程.下表是實(shí)驗(yàn)

中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)估計(jì)摸到白球的概率為0.61（精確到0.01）.

摸球的次10020030050080010003000

數(shù)〃

摸到白球651261853074916131833

的次數(shù)加

摸到白球0.650.630.6160.6140.6140.6130.611

的頻率依

n

【分析】概率接近于表格中得到的頻率，由此即可解決問題.

【解答】解：?.?隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，摸到白球的頻率逐漸靠近常數(shù)0.61,

.?.估計(jì)摸到白球的概率為0.61,

故答案為：0.61.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且

擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一.選擇題（共8小題）

1.（2023春?棲霞區(qū)校級(jí)期中）”任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”這個(gè)事件是（）

A.必然事件B.不可能事件C.隨機(jī)事件D.確定事件

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：“任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)可能是偶數(shù)，有可能是奇數(shù)”，

"任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”是隨機(jī)事件；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事

件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)

生也可能不發(fā)生的事件.

2.（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）下列事件為必然事件的是（）

A.購(gòu)買兩張彩票，一定中獎(jiǎng)

B.打開電視，正在播放新聞聯(lián)播

C.拋擲一枚硬幣，正面向上

D.三角形三個(gè)內(nèi)角和為180。

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：A、購(gòu)買兩張彩票，一定中獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件，不符合題意；

B,打開電視，正在播放新聞聯(lián)播，是隨機(jī)事件，不符合題意；

C、拋擲一枚硬幣，正面向上，是隨機(jī)事件，不符合題意；

D、三角形三個(gè)內(nèi)角和為180。，是必然事件，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事

件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)

生也可能不發(fā)生的事件.

3.（2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列說法正確的是（）

A.“水在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度為-10℃時(shí)不結(jié)冰”是不可能事件

B.某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是0.1%,買1000張一定會(huì)中獎(jiǎng)

C.為檢驗(yàn)?zāi)称放芁ED燈管的使用壽命，采用普查的調(diào)查方式比較合適

D.”如果x、y是實(shí)數(shù)，那么x+y=y+x”是隨機(jī)事件

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的定義，概率的意義和全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的定義判斷即可.

【解答】解：A、“水在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度為-10°C時(shí)不結(jié)冰”是不可能事件，故此選項(xiàng)符合題意；

B、某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是0.1%,買1000張不一定會(huì)中獎(jiǎng)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、為檢驗(yàn)?zāi)称放芁ED燈管的使用壽命，采用抽樣調(diào)查方式比較合適，故此選項(xiàng)不符合題意；

“如果x、y是實(shí)數(shù)，那么x+y=y+x”是必然事件，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念、概率的意義和全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的定

義.熟練掌握這些概念是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?高港區(qū)期中）下表是某商場(chǎng)舉行活動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，你轉(zhuǎn)

到“謝謝參與”的概率為（精確到0。1）（）

轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)1003005008001000

落在“謝謝參與”區(qū)域的次數(shù)3393153236301

落在“謝謝參與”區(qū)域的頻率0.330.310.3060.2950.301

A.0.33B.0.31C.0.29D.0.30

【分析】利用頻率估計(jì)概率求解.

【解答】解：觀察表中數(shù)據(jù)可知，轉(zhuǎn)到“謝謝參與”的頻率逐漸穩(wěn)定在0.30左右，所以轉(zhuǎn)到“謝謝參與”

的概率約是0.30.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，

并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的

近似值就是這個(gè)事件的概率.用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確.

5.（2023春?泰州期末）下列事件是必然事件的為（）

A.拋一枚均勻骰子，點(diǎn)數(shù)是1的一面朝上

B.打開電視，正在播放神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射實(shí)況

C.端午節(jié)賽龍舟，甲隊(duì)獲得冠軍

D.三角形的內(nèi)角和是180。

【分析】根據(jù)隨便事件的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【解答】解：A、拋一枚均勻骰子，點(diǎn)數(shù)是1的一面朝上，是隨機(jī)事件，不符合題意；

B,開電視，正在播放神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射實(shí)況，是隨機(jī)事件，不符合題意；

C、端午節(jié)賽龍舟，甲隊(duì)獲得冠軍，是隨機(jī)事件，不符合題意；

D、三角形的內(nèi)角和是180。，是必然事件，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是隨機(jī)事件，熟知在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件是解題

的關(guān)鍵.

6.（2023春?贛榆區(qū)期末）從一副撲克牌中任意抽取1張，則下列事件中發(fā)生的可能性最大的是（）

A.這張牌是“A"B.這張牌是“紅心”

C.這張牌是“大王”D.這張牌是“紅色的”

【分析】分別求出抽出各種撲克的數(shù)量，即可比較出各種撲克的可能性大小.

【解答】解：從一副撲克牌中“A”有4張，“紅心”有13張，“大王”有1張，“紅色的”有27張，

?.-27>13>4>1,

.??這張牌是“紅色的”的可能性最大，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對(duì)待.用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能

性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.（2023春?錫山區(qū)期中）在一個(gè)不透明的口袋中有紅球、白球共60個(gè)，它們除顏色外，其余完全相同.通

過大量的摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%附近，估算口袋中紅球的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.20C.30D.48

【分析】根據(jù)頻率、頻數(shù)、總數(shù)的關(guān)系求解即可.

【解答】解：由題意得，60x20%=12（個(gè)）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用頻率估計(jì)概率，熟練掌握頻率=頻數(shù)+總數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

8.（2023春?大豐區(qū)期中）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,

骰子停止后，在下列四個(gè)選項(xiàng)中，可能性最大的是

（）

A.點(diǎn)數(shù)小于4B.點(diǎn)數(shù)大于4C.點(diǎn)數(shù)大于5D.點(diǎn)數(shù)小于5

【分析】根據(jù)所有可能的6種結(jié)果中，看哪種情況出現(xiàn)的多，哪種發(fā)生的可能性就大.

【解答】解：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子停止后共有6種等可能的情況，

即：點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6；其中點(diǎn)數(shù)小于4的有3種，點(diǎn)數(shù)大于4的有2種，點(diǎn)數(shù)大于5的有1種，

點(diǎn)數(shù)小于5的有4種，

故點(diǎn)數(shù)小于5的可能性較大，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查等可能事件發(fā)生的概率，理解可能性的大小是關(guān)鍵.

填空題（共10小題）

9.（2023春?豐縣期中）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同.小明通

過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子中紅球的大約有8個(gè).

【分析】根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù)，可以計(jì)算出紅球的個(gè)數(shù).

【解答】解：由題意可得，20x0.4=8（個(gè)），

即袋子中紅球的個(gè)數(shù)大約有8個(gè)，

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用頻率估計(jì)概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，計(jì)算出紅球的個(gè)數(shù).

10.（2023春?句容市期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”是一句諺語(yǔ)，意思是說如果八月十五晚上

陰天的話，正月十五晚上就下雪，你認(rèn)為農(nóng)諺說的是隨機(jī)事件（填寫“必然事件”或“不可能事件”

或“隨機(jī)事件”）.

【分析】根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義來(lái)區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事

件：在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件稱

為不可能事件；隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件.

【解答】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”是一句諺語(yǔ)，

意思是說如果八月十五晚上陰天的話，正月十五晚上就下雪，說的是隨機(jī)事件.

故答案為：隨機(jī)事件.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定事件和隨機(jī)事件的定義，熟悉定義是解題的關(guān)鍵.

11.（2023春?清江浦區(qū)期末）一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種球共40個(gè)（除顏色外其它均相同），小

明將盒子里的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程.下表是實(shí)驗(yàn)

中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)估計(jì)摸到白球的概率為0.61（精確到0.01）.

摸球的次10020030050080010003000

數(shù)〃

摸到白球651261853074916131833

的次數(shù)加

摸到白球0.650.630.6160.6140.6140.6130.611

的頻率%

n

【分析】概率接近于表格中得到的頻率，由此即可解決問題.

【解答】解：???隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，摸到白球的頻率逐漸靠近常數(shù)0.61,

.??估計(jì)摸到白球的概率為0.61,

故答案為：0.61.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且

擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率.

12.（2023春?泰州期末）袋中裝有8個(gè)小球，顏色為紅、白、黑，每個(gè)球除顏色外其它都相同，將球搖勻，

從中任意摸出一個(gè)球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一樣，則紅球和白球共有4個(gè).

【分析】8x紅球和白球所占總體的百分比=紅球和白球的數(shù)目.

【解答】解：若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一樣，則黑球占工；

2

紅球和白球共占工.

2

故紅球和白球共有Lx8=4個(gè).

2

故答案我：4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了可能性的大小.解決本題的關(guān)鍵是得到紅球和紅球占球的數(shù)目占球的總數(shù)的百分

比.

13.（2023春?淮陰區(qū)校級(jí)期末）某種水稻種子在相同條件下發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如表：

每批粒數(shù)機(jī)100500800100020005000

發(fā)芽的頻數(shù)〃9444272890217984505

發(fā)芽的頻率40.9400.8840.9100.9020.8990.901

m

則該種水稻種子發(fā)芽的概率的估計(jì)值為0.9（精確到0.1）.

【分析】根據(jù)頻率估計(jì)概率求解即可.

【解答】解：由表格知，該種水稻種子發(fā)芽的概率的估計(jì)值為0.9,

故答案為：0.9.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并

且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值

就是這個(gè)事件的概率.

14.（2023春?洪澤區(qū)期中）一個(gè)不透明的箱子里裝有紅球、藍(lán)球、黃球共20個(gè)，除顏色外，形狀、大小、

質(zhì)地等完全相同.通過大量摸球試驗(yàn)，小明發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球的頻率分別穩(wěn)定在10%、15%,則估計(jì)箱子

里藍(lán)球有15個(gè).

【分析】利用頻率估計(jì)概率，可得到摸到紅色、黃色球的概率為10%和15%,則摸到藍(lán)球的概率為75%,

然后根據(jù)概率公式可計(jì)算出口袋中藍(lán)色球的個(gè)數(shù).

【解答】解：估計(jì)箱子里藍(lán)球有20x（l-10%-15%）=15（個(gè)），

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且

擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就

是這個(gè)事件的概率.用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確.

15.（2023春?天寧區(qū)校級(jí)期中）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果如表：

抽取的乒乓球數(shù)〃50100200500100015002000

優(yōu)等品的頻數(shù)必489518847194614261898

優(yōu)等品的頻率絲0.9600.9500.9400.9420.9460.9510.949

n

從這批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是0.95.（精確到0.01）

【分析】由表中數(shù)據(jù)可判斷頻率在0.95左右擺動(dòng)，于是利用頻率估計(jì)概率可判斷任意抽取一只乒乓球是優(yōu)

等品的概率為0.95.

【解答】解：從這批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是0.95.

故答案為0.95.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且

擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就

是這個(gè)事件的概率.用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確.

16.（2023春?惠山區(qū)校級(jí)期中）一只不透明的袋子中裝有白、紅、黑三種不同顏色的球，其中白球有3個(gè)，

紅球有8個(gè)，黑球有他個(gè)，這些球除顏色外完全相同.若從袋子中任意取一個(gè)球，摸到黑球的可能性最大，

則%可以為9（答案不唯一）（寫出一個(gè)符合條件的機(jī)的值）.

【分析】根據(jù)摸到哪種球的可能性最小，哪種球的數(shù)量最少確定答案即可.

【解答】解：?.?袋子中裝有白、紅、黑三種不同的球，其中白球有3個(gè)，紅球有8個(gè)，黑球有機(jī)個(gè)，摸到黑

球的可能性最小,

，加的值最大,則zn>8,

故答案為：9（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了可能性的大小的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)可能性的大小判斷要求的數(shù)值的多少，難

度不大.

17.（2023春?秦淮區(qū)校級(jí)期中）某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一事件發(fā)生的頻率，繪

制了如圖所示的折線圖.

①擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是2；

②擲一枚硬幣，正面朝上；

③暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別，從中任取一球是紅球.

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率尸。工，計(jì)算三個(gè)選項(xiàng)的概率，約為1者即

33

為正確答案.

【解答】解：由折線統(tǒng)計(jì)圖知，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率逐漸穩(wěn)定在0.33,即1左右，

3

①中向上一面的點(diǎn)數(shù)是2的概率為工，不符合題意；

6

②中擲一枚硬幣，正面朝上的概率為1,不符合題意；

2

③中從中任取一球是紅球的概率為』，符合題意，

3

故答案為：③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.同時(shí)此題在解答中要用到概率公式.

18.（2023春?鹽城月考）某種油菜籽在相同條件下發(fā)芽試驗(yàn)的結(jié)果如表：

每批粒數(shù)〃100300400600100020003000

發(fā)芽的頻數(shù)加9628438057194819022848

發(fā)芽的頻率巴0.9600.9470.9500.9520.9480.9510.949

n

那么這種油菜籽發(fā)芽的概率是0.95（結(jié)果精確到0.01）.

【分析】觀察表格得到這種油菜籽發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.95附近，即可估計(jì)出這種油菜發(fā)芽的概率.

【解答】解:觀察表格得到這種油菜籽發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.95附近，

則這種油菜籽發(fā)芽的概率是0.95,

故答案為：0.95.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，從表格中的數(shù)據(jù)確定出這種油菜籽發(fā)芽的頻率是解本題的關(guān)鍵.

三.解答題（共8小題）

19.（2023春?大豐區(qū)期中）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)紅球、7個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同.

（1）若從中任意摸出一個(gè)球，則摸到黑球的可能性大;

（2）如果另外拿紅球和黑球一共6個(gè)放入袋中，你認(rèn)為怎樣放才能讓摸到紅球和摸到黑球的可能性相同.

【分析】（1）分別求出摸出各種顏色球的概率，即可比較出摸出何種顏色球的可能性大.

（2）另外放入5個(gè)球，那么共有16個(gè)球，每種顏色的各有8個(gè)時(shí)，摸到紅球和黃球的概率都是工.

2

【解答】解：（1）摸到紅球的可能性為：—=—；

5+712

摸到黑球的可能性為工=工.

5+712

故摸到黑球的概率大.

故答案為：黑；

（2）放入4個(gè)紅球，2個(gè)黑球.

理由如下：

另外拿紅球和黑球一共6個(gè)放入袋中，

共有5+7+6=18個(gè)球，

摸到紅球和摸到黑球的可能性相同，

黑球和紅球的數(shù)量相等，

，應(yīng)放入4個(gè)紅球，2個(gè)黑球.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是可能性的大小，解決這類題目要注意具體情況具體對(duì)待.用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等

于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20.（2023春?句容市期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有〃個(gè)相同的紅球，為了估計(jì)袋中紅球的數(shù)量，八（1）

學(xué)生利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分組做摸球試驗(yàn)：現(xiàn)將10個(gè)與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機(jī)

摸出一個(gè)并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，表是統(tǒng)計(jì)匯總各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：

摸球的次數(shù)