PAGE9-第1節(jié)萬(wàn)有引力定律及引力常量的測(cè)定學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)脈絡(luò)(老師用書(shū)獨(dú)具)1.了解開(kāi)普勒三定律的內(nèi)容．2．知道萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容、表達(dá)式及適用條件，并會(huì)用其解決簡(jiǎn)潔的問(wèn)題．(重點(diǎn))3．知道萬(wàn)有引力常量的測(cè)定方法及該常量在物理學(xué)上的重要意義．4．會(huì)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算天體質(zhì)量，駕馭天體質(zhì)量求解的基本思路．(重點(diǎn)、難點(diǎn))一、行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律開(kāi)普勒三定律定律內(nèi)容圖示開(kāi)普勒第肯定律全部行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上開(kāi)普勒其次定律太陽(yáng)與任何一個(gè)行星的連線(矢徑)在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等開(kāi)普勒第三定律行星繞太陽(yáng)運(yùn)行軌道半長(zhǎng)軸r的立方與其公轉(zhuǎn)周期T的平方成正比，公式：eq\f(r3,T2)＝k二、萬(wàn)有引力定律1．內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的方向沿兩物體的連線，引力的大小F與這兩個(gè)物體質(zhì)量的乘積m1m2成正比，與這兩個(gè)物體間距離r的平方成反比．2．表達(dá)式：F＝eq\f(Gm1m2,r2)(1)r是兩質(zhì)點(diǎn)間的距離(若為勻質(zhì)球體，則是兩球心的距離)．(2)G為萬(wàn)有引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.三、引力常量的測(cè)定及意義1．在1798年，即牛頓發(fā)覺(jué)萬(wàn)有引力定律一百多年以后，英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤試驗(yàn)，較精確地測(cè)出了引力常量．G＝6.67×10－11N·m2/kg2.2．意義：運(yùn)用萬(wàn)有引力定律能進(jìn)行定量運(yùn)算，顯示出其真正的好用價(jià)值．3．知道G的值后，利用萬(wàn)有引力定律可以計(jì)算出天體的質(zhì)量，卡文迪許也因此被稱(chēng)為“能稱(chēng)出地球質(zhì)量的人”．1．思索推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)為了便于探討問(wèn)題，通常認(rèn)為行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)． (√)(2)太陽(yáng)系中全部行星的運(yùn)動(dòng)速率是不變的． (×)(3)太陽(yáng)系中軌道半徑大的行星其運(yùn)動(dòng)周期也長(zhǎng)． (√)(4)一個(gè)蘋(píng)果由于其質(zhì)量很小，所以它受的萬(wàn)有引力幾乎可以忽視． (×)(5)任何兩物體間都存在萬(wàn)有引力． (√)(6)地球?qū)υ虑虻囊εc地面上的物體所受的地球引力是兩種不同性質(zhì)的力． (×)(7)引力常量是牛頓首先測(cè)出的． (×)(8)卡文迪許通過(guò)變更質(zhì)量和距離，證明了萬(wàn)有引力的存在及萬(wàn)有引力定律的正確性． (√)(9)卡文迪許第一次測(cè)出了引力常量，使萬(wàn)有引力定律能進(jìn)行定量計(jì)算，顯示出真正的好用價(jià)值． (√)2．關(guān)于開(kāi)普勒對(duì)于行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的相識(shí)，下列說(shuō)法正確的是()A．全部行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓B．全部行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是圓C．全部行星的軌道半長(zhǎng)軸的二次方跟公轉(zhuǎn)周期的三次方的比值都相同D．全部行星的公轉(zhuǎn)周期與行星的軌道半徑成正比A[由開(kāi)普勒第肯定律知全部行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；由開(kāi)普勒第三定律知全部行星的軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤．]3．要使兩物體間的萬(wàn)有引力減小到原來(lái)的eq\f(1,4)，下列方法不行采納的是()A．使物體的質(zhì)量各減小一半，距離不變B．使其中一個(gè)物體的質(zhì)量減小到原來(lái)的eq\f(1,4)，距離不變C．使兩物體間的距離增為原來(lái)的2倍，質(zhì)量不變D．使兩物體間的距離和質(zhì)量都減為原來(lái)的eq\f(1,4)D[依據(jù)F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，A、B、C三種狀況中萬(wàn)有引力均減為原來(lái)的eq\f(1,4)，當(dāng)距離和質(zhì)量都減為原來(lái)的eq\f(1,4)時(shí)，萬(wàn)有引力不變，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．]4．對(duì)于引力常量G的理解，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A．G是一個(gè)比值，在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1kg的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距1m時(shí)的引力大小B．G的數(shù)值是為了便利而人為規(guī)定的C．G的測(cè)定使萬(wàn)有引力定律公式更具有實(shí)際意義D．G的測(cè)定從某種意義上也能夠說(shuō)明萬(wàn)有引力定律公式的正確性B[依據(jù)萬(wàn)有引力定律公式F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，G＝eq\f(Fr2,m1m2)，當(dāng)r＝1m，m1＝m2＝1kg時(shí)，G＝F，故A正確；G是一個(gè)有單位的物理量，單位是m3/(kg·s2)．G的數(shù)值不是人為規(guī)定的，而是在牛頓發(fā)覺(jué)萬(wàn)有引力定律一百多年后，由卡文迪許利用扭秤試驗(yàn)測(cè)出的，故B錯(cuò)誤，C、D正確．]行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律1.從空間分布上相識(shí)：行星的運(yùn)行軌道都是橢圓，不同行星軌道的半長(zhǎng)軸不同，即各行星的橢圓軌道大小不同，但全部軌道都有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，太陽(yáng)在此焦點(diǎn)上．因此開(kāi)普勒第肯定律又叫焦點(diǎn)定律．2．對(duì)速度大小的相識(shí)(1)如圖所示，假如時(shí)間間隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由開(kāi)普勒其次定律，面積SA＝SB，可見(jiàn)離太陽(yáng)越近，行星在相等時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，即行星的速率越大．因此開(kāi)普勒其次定律又叫面積定律．(2)近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)分別是行星距離太陽(yáng)的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)，所以同一行星在近日點(diǎn)速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最?。?．對(duì)周期長(zhǎng)短的相識(shí)(1)行星公轉(zhuǎn)周期跟軌道半長(zhǎng)軸之間有依靠關(guān)系，橢圓軌道半長(zhǎng)軸越長(zhǎng)的行星，其公轉(zhuǎn)周期越長(zhǎng)；反之，其公轉(zhuǎn)周期越短．(2)該定律不僅適用于行星，也適用于其他天體．例如，繞某一行星運(yùn)動(dòng)的不同衛(wèi)星．(3)探討行星時(shí)，常數(shù)k與行星無(wú)關(guān)，只與太陽(yáng)有關(guān)．探討其他天體時(shí)，常數(shù)k只與其中心天體有關(guān)．1．某行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的橢圓軌道如圖所示，F(xiàn)1和F2是橢圓軌道的兩個(gè)焦點(diǎn)，行星在A點(diǎn)的速率比在B點(diǎn)的大，則太陽(yáng)是位于()A．F2 B．AC．F1 D．BA[依據(jù)開(kāi)普勒其次定律：太陽(yáng)和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積，因?yàn)樾行窃贏點(diǎn)的速率比在B點(diǎn)的速率大，所以太陽(yáng)在離A點(diǎn)近的焦點(diǎn)上，故太陽(yáng)位于F2.]2．某人造地球衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)，其軌道半徑為月球軌道半徑的eq\f(1,3)，則此衛(wèi)星運(yùn)行周期大約是()A．3～5天 B．5～7天C．7～9天 D．大于9天B[月球繞地球運(yùn)行的周期約為27天，依據(jù)開(kāi)普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，得eq\f(r3,T2)＝eq\f(r\o\al(3,月),T\o\al(2,月))，則T＝eq\f(1,3)×27×eq\r(\f(1,3))(天)≈5.2(天)．]應(yīng)用開(kāi)普勒定律留意的問(wèn)題1．適用對(duì)象：開(kāi)普勒定律不僅適用于行星，也適用于衛(wèi)星，只不過(guò)此時(shí)eq\f(r3,T2)＝k，比值k是由中心天體所確定的另一恒量，與環(huán)繞天體無(wú)關(guān)．2．定律的性質(zhì)：開(kāi)普勒定律是總結(jié)行星運(yùn)動(dòng)的視察結(jié)果而總結(jié)出來(lái)的規(guī)律．它們每一條都是閱歷定律，都是從視察行星運(yùn)動(dòng)所取得的資料中總結(jié)出來(lái)的．3．對(duì)速度的相識(shí)：當(dāng)行星在近日點(diǎn)時(shí)，速度最大．由近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，速度漸漸減小，在遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)速度最?。f(wàn)有引力定律1.萬(wàn)有引力定律公式的適用條件：嚴(yán)格地說(shuō)，萬(wàn)有引力定律公式F＝Geq\f(m1m2,r2)只適用于計(jì)算兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，但對(duì)于下述兩類(lèi)狀況，也可用該公式計(jì)算：(1)兩個(gè)質(zhì)量分布勻稱(chēng)的球體間的相互作用，可用該公式計(jì)算，其中r是兩個(gè)球體球心間的距離．(2)一個(gè)勻稱(chēng)球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力，可用公式計(jì)算，其中r為球心到質(zhì)點(diǎn)間的距離．2．萬(wàn)有引力的“四性”四性內(nèi)容普遍性萬(wàn)有引力不僅存在于太陽(yáng)與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互吸引的力相互性兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力和反作用力，依據(jù)牛頓第三定律，總是滿意大小相等，方向相反，分別作用在兩個(gè)物體上宏觀性地面上的一般物體之間的萬(wàn)有引力比較小，與其他力比較可忽視不計(jì)，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其旁邊的物體之間，萬(wàn)有引力起著確定性作用特別性兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力只與它們本身的質(zhì)量和它們之間的距離有關(guān)，而與所在空間的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)無(wú)關(guān)，也與四周是否存在其他物體無(wú)關(guān)【例1】已知地球的赤道半徑rE＝6.37×103km，地球的質(zhì)量mE＝5.977×1024kg.設(shè)地球?yàn)閯蚍Q(chēng)球體．(1)若兩個(gè)質(zhì)量都為1kg的勻稱(chēng)球體相距1m，求它們之間的萬(wàn)有引力；(2)質(zhì)量為1kg的物體在地面上受到地球的萬(wàn)有引力為多大？思路點(diǎn)撥：解此題的關(guān)鍵是理解公式F＝Geq\f(m1m2,r2)中各符號(hào)的意義．[解析](1)由萬(wàn)有引力定律的公式可得兩個(gè)球體之間的引力為F＝Geq\f(m1m2,r2)＝6.67×10－11×eq\f(1×1,12)N＝6.67×10－11N.(2)將地球近似為一勻稱(chēng)球體，便可將地球看作一質(zhì)量集中于地心的質(zhì)點(diǎn)；而地面上的物體的大小與它到地心的距離(地球半徑rE)相比甚小，也可視為質(zhì)點(diǎn)．因此，可利用萬(wàn)有引力定律的公式求得地面上的物體受到地球的引力為F′＝Geq\f(mEm,r\o\al(2,E))＝6.67×10－11×eq\f(5.977×1024×1,6.37×1062)N＝9.8N.[答案](1)6.67×10－11N(2)9.8N萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用方法1．首先分析能否滿意用F＝Geq\f(m1m2,r2)公式求解萬(wàn)有引力的條件．2．明確公式中各物理量的大?。?．利用萬(wàn)有引力公式求解引力的大小及方向．3．已知太陽(yáng)的質(zhì)量M＝2.0×1030kg，地球的質(zhì)量m＝6.0×1024kg，太陽(yáng)與地球相距r＝1.5×1011m，(比例系數(shù)G＝6.67×10－11N·m2/kg2)求：(1)太陽(yáng)對(duì)地球的引力大??；(2)地球?qū)μ?yáng)的引力大小．[解析](1)太陽(yáng)與地球之間的引力跟太陽(yáng)的質(zhì)量成正比、跟地球的質(zhì)量成正比，跟它們之間的距離的二次方成反比，則F＝Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(6.67×10－11×2.0×1030×6.0×1024,1.5×10112)N＝3.56×1022N.(2)地球?qū)μ?yáng)的引力與太陽(yáng)對(duì)地球的引力是作用力與反作用力，由牛頓第三定律可知F′＝F＝3.56×1022N.[答案](1)3.56×1022N(2)3.56×1022N引力常量的測(cè)定及意義1.天體質(zhì)量的計(jì)算：下面以計(jì)算地球的質(zhì)量為例，介紹兩種方法．方法1：已知月球(地球的衛(wèi)星)繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r，可計(jì)算出地球的質(zhì)量M.由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up20(2)r得M＝eq\f(4π2r3,GT2).方法2：已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，可求得地球的質(zhì)量．不考慮地球自轉(zhuǎn)，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，M＝geq\f(R2,G).2．計(jì)算天體的密度(1)若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得：ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).(2)已知天體表面上的重力加速度為g，則ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πRG).【例2】已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，日地球心的距離r＝1.49×1011m.(1)試估算太陽(yáng)的質(zhì)量；(2)若萬(wàn)有引力常量未知，而已知地球質(zhì)量m＝6.0×1024kg，地球半徑R＝6.4×106m，地球表面重力加速度g＝9.8m/s2，試求出太陽(yáng)質(zhì)量．思路點(diǎn)撥：(1)試分析地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)滿意的規(guī)律：①地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．②地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)周期為1年．(2)若不考慮地球自轉(zhuǎn)，地面上的物體所受重力等于物體和地球間的萬(wàn)有引力．[解析](1)由牛頓其次定律和萬(wàn)有引力定律，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up20(2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，其中M是太陽(yáng)的質(zhì)量，r是地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)半徑，T是地球公轉(zhuǎn)周期，m是地球質(zhì)量，則M＝eq\f(4×3.142×1.49×10113,6.67×10－11×365×24×36002)kg≈1.97×1030kg.(2)已知Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up20(2)r①對(duì)地球表面的物體有m′g＝Geq\f(mm′,R2)，即Gm＝gR2②由①②得M＝eq\f(4π2r3m,gR2T2)＝eq\f(4×3.142×1.49×10113×6.0×1024,9.8×6.4×1062×365×24×36002)kg≈1.96×1030kg.[答案](1)1.97×1030kg(2)1.96×1030kg求解天體質(zhì)量時(shí)應(yīng)明確的問(wèn)題萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)的結(jié)合，應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決天體問(wèn)題是特別典型的一種題型．解答此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)明確以下三點(diǎn)：1．利用天體運(yùn)動(dòng)求解天體質(zhì)量時(shí)，只能將被求天體作為中心天體，所探討的環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行求解．2．由于向心力表達(dá)式較多，要依據(jù)已知條件選擇合適的公式求解．3．正確理解向心力表達(dá)式中的r的含義，它不是環(huán)繞天體到中心天體表面的距離，而是環(huán)繞天體球心到中心天體球心的距離．4．“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次放射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為()A．8.1×1010kgB．7.4×1013kgC．5.4×1019kg D．7.4×1022kgD[設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m，月球的質(zhì)量為M，依據(jù)萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力Geq\f(mM,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，將h＝200000m，T＝127×60s，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，R＝1.74×106m，代入上式解得M＝7.4×1022kg，可知D選項(xiàng)正確．]1．(多選)如圖所示，對(duì)開(kāi)普勒第肯定律的理解．下列說(shuō)法中正確的是()A．在行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，它到太陽(yáng)的距離是不變的B．太陽(yáng)系中的全部行星有一個(gè)共同的軌道焦點(diǎn)C．一個(gè)行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道肯定是在某一固定的平面內(nèi)D．行星的運(yùn)動(dòng)方向總是與它和太陽(yáng)的連線垂直BC[依據(jù)開(kāi)普勒第肯定律(軌道定律)的內(nèi)容可以判定：行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，太陽(yáng)處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，行星有時(shí)遠(yuǎn)離太陽(yáng)，有時(shí)靠近太陽(yáng)，其軌道在某一確定平面內(nèi)，運(yùn)動(dòng)方向并不總是與它和太陽(yáng)的連線垂直．故A、D錯(cuò)誤，B、C正確．]2．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)2024年1月，我國(guó)嫦娥四號(hào)探測(cè)器勝利在月球背面軟著陸．在探測(cè)器“奔向”月球的過(guò)程中，用h表示探測(cè)器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變更關(guān)系的圖像是()ABCDD[在嫦娥四號(hào)探測(cè)器“奔向”月球的過(guò)程中，依據(jù)萬(wàn)有引力定律，可知隨著h的增大，探測(cè)器所受的地球引力漸漸減小但并不是勻稱(chēng)減小的，故能夠描述F隨h變更關(guān)系的